Quantifications naturelles projectivement équivariantes

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

Quantications naturelles projectivement

équivariantes

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Introduction • A l'origine : qp → QP qp → 1₂(QP + PQ) avec P = ∂x ; Q = x.

Problèmes : Dépendance en l'ordre Changements de variables

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Introduction • A l'origine : qp → QP qp → 1₂(QP + PQ) avec P = ∂x ; Q = x.

Problèmes : Dépendance en l'ordre

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Introduction • A l'origine : qp → QP qp → 1₂(QP + PQ) avec P = ∂x ; Q = x.

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Quantication : Q : S(M) 7→ D1 2(M) Q : bijection linéaire

préserve le symbole principal • @Q : Q(Φ∗S) = Φ∗Q(S) ∀ diéomorphisme local Φ

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Quantication : Q : S(M) 7→ D1 2(M) Q : bijection linéaire

préserve le symbole principal • @Q : Q(Φ∗S) = Φ∗Q(S) ∀ diéomorphisme local Φ

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Quantication : Q : S(M) 7→ D1 2(M) Q : bijection linéaire

préserve le symbole principal

• @Q : Q(Φ∗S) = Φ∗Q(S) ∀ diéomorphisme local Φ @Q : Q(LXS) = LXQ(S) ∀ champ de vecteurs X

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Quantication : Q : S(M) 7→ D1 2(M) Q : bijection linéaire

préserve le symbole principal • @Q : Q(Φ∗S) = Φ∗Q(S) ∀ diéomorphisme local Φ

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Quantication : Q : S(M) 7→ D1 2(M) Q : bijection linéaire

préserve le symbole principal • @Q : Q(Φ∗S) = Φ∗Q(S) ∀ diéomorphisme local Φ

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Cas plat : • ∃Q : Q(Φ∗_gS) = Φ∗_gQ(S) ∀g ∈ G ∃Q : Q(L_h∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g • PGL(m + 1, R) agit sur RPm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur R}m

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Cas plat : • ∃Q : Q(Φ∗_gS) = Φ∗_gQ(S) ∀g ∈ G ∃Q : Q(L_h∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g • PGL(m + 1, R) agit sur RPm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur R}m

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Cas plat : • ∃Q : Q(Φ∗_gS) = Φ∗_gQ(S) ∀g ∈ G ∃Q : Q(L_h∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g • PGL(m + 1, R) agit sur RPm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur R}m

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Cas plat : • ∃Q : Q(Φ∗_gS) = Φ∗_gQ(S) ∀g ∈ G ∃Q : Q(L_h∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g • PGL(m + 1, R) agit sur RPm ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Cas plat : • ∃Q : Q(Φ∗_gS) = Φ∗_gQ(S) ∀g ∈ G ∃Q : Q(L_h∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g • PGL(m + 1, R) agit sur RPm

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• Méthode de l'opérateur de Casimir :

C : S(Rm_{) 7→ S(R}m_{) ; C : D(R}m_{) 7→ D(R}m₎

Condition : ∃Q tel que si C(S) = αS, alors C(Q(S)) = αQ(S) et σ(Q(S)) = S

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• Méthode de l'opérateur de Casimir :

C : S(Rm_{) 7→ S(R}m_{) ; C : D(R}m_{) 7→ D(R}m₎

Condition : ∃Q tel que si C(S) = αS, alors

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• Méthode de l'opérateur de Casimir :

C : S(Rm_{) 7→ S(R}m_{) ; C : D(R}m_{) 7→ D(R}m₎

Condition : ∃Q tel que si C(S) = αS, alors C(Q(S)) = αQ(S)

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• Méthode de l'opérateur de Casimir :

C : S(Rm_{) 7→ S(R}m_{) ; C : D(R}m_{) 7→ D(R}m₎

Condition : ∃Q tel que si C(S) = αS, alors Q(S)) = αQ(S) et σ(Q(S)) = S

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Cas courbe : •Q(∇) : S3(M) 7→ D3(M) Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id}

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{) si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{) si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d dtφ∗tQ(∇0)(S)|t=0= _dtdQ(∇0)(φ∗tS)|t=0 LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) ∀X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Conjecture : Q(∇) : S(M) 7→ D(M) naturel et Q(∇) = Q(∇0_{)si ∇}0_{= ∇ + α ∨id} φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(φ∗_t∇0)(φ∗_tS) φ∗_tQ(∇0)(S) = Q(∇0)(φ∗_tS) d 0 d 0

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Méthode de M. Bordemann : M 7→ ˜M; ∇ 7→ ˜∇; S 7→ ˜S; ^ Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Méthode de M. Bordemann : M 7→ ˜M; ∇ 7→ ˜∇; S 7→ ˜S; ^ Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Méthode de M. Bordemann : M 7→ ˜M; ∇ 7→ ˜∇; S 7→ ˜S; ^ Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Méthode de M. Bordemann : M 7→ ˜M; ∇ 7→ ˜∇; S 7→ ˜S; ^ Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Méthode de M. Bordemann : M 7→ ˜M; ∇ 7→ ˜∇; S 7→ ˜S; ^ Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule • Questions : Valeurs critiques de δ Formule explicite Unicité

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• Questions : Valeurs critiques de δ

Formule explicite Unicité

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• Questions : Valeurs critiques de δ Formule explicite

Unicité

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• Questions : Valeurs critiques de δ Formule explicite Unicité

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• Questions : Valeurs critiques de δ Formule explicite Unicité

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

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•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g ₁⊕ h, g ₁ ∼= Rm f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication Autres

•Fibrés de Cartan et connexions de Cartan :

[∇] →P 7→ M [∇] → ω :TP 7→ g ω_u:T_uP 7→ g bijection ∀u ∈ P T → p∗_{T ∈ C}∞_{(P, V )} H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1 ∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗ −₁ (Pk l=0Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), avec Ck,l = (λ+ k−1 m+1)···(λ+m+1k−l) γ_2k−1···γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, Ck,0=1

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication Autres

•Cas des densités :

S → p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f → p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordres inférieurs en p∗_{f ...}

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Formule explicite : Υ → σΥ:P1M 7→ P σΥ→ τ :P 7→ g1 ∇ωl

s (p∗f ) = Plt=0τt∨At, où At est égal à :

 l t  t Y j=1 (−λ(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (∇_s+T₁)j)f ), si T1|SjT∗_M⊗F λ(M)= (−λ(m + 1) − j)(j + 1) ∨ r Divωl_(p∗_{S) = P}l

t=0hτt,Bti, où Bt est égal à :

 l t  t Y j=1 (γ_2k−1(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (Div + T₂)j)S), si T2|S_δj(M) = ((m + 1)γ2k−1−k + j)(k − j + 1)i(r)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Formule explicite :Υ → σΥ:P1M 7→ P σΥ→ τ :P 7→ g1 ∇ωl

s (p∗f ) = Plt=0τt∨At, où At est égal à :

 l t  t Y j=1 (−λ(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (∇_s+T₁)j)f ), si T1|SjT∗_M⊗F λ(M)= (−λ(m + 1) − j)(j + 1) ∨ r Divωl_(p∗_{S) = P}l

t=0hτt,Bti, où Bt est égal à :

 l t  t Y j=1 (γ_2k−1(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (Div + T₂)j)S), si T2|S_δj(M) = ((m + 1)γ2k−1−k + j)(k − j + 1)i(r)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Formule explicite :Υ → σΥ:P1M 7→ P σΥ→ τ :P 7→ g1 ∇ωl

s (p∗f ) = Plt=0τt∨At, où At est égal à :

 l t  t Y j=1 (−λ(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (∇_s+T₁)j)f ), si T1|SjT∗_M⊗F λ(M)= (−λ(m + 1) − j)(j + 1) ∨ r Divωl_(p∗_{S) = P}l

t=0hτt,Bti, où Bt est égal à :

 l t  t Y j=1 (γ_2k−1(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (Div + T₂)j)S), si T2|S_δj(M) = ((m + 1)γ2k−1−k + j)(k − j + 1)i(r)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Formule explicite :Υ → σΥ:P1M 7→ P σΥ→ τ :P 7→ g1 ∇ωl

s (p∗f ) = Plt=0τt∨At, où At est égal à :

 l t  t Y j=1 (−λ(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (∇_s+T₁)j)f ), si T1|SjT∗_M⊗F λ(M)= (−λ(m + 1) − j)(j + 1) ∨ r Divωl_(p∗_{S) = P}l

t=0hτt,Bti, où Bt est égal à :

 l t  t Y j=1 (γ_2k−1(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (Div + T₂)j)S), si T2|S_δj(M) = ((m + 1)γ2k−1−k + j)(k − j + 1)i(r)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication Autres opérateurs diérentiels •Formule explicite :Υ → σΥ:P1M 7→ P σΥ→ τ :P 7→ g1 ∇ωl

s (p∗f ) = Plt=0τt∨At, où At est égal à :

 l t  t Y j=1 (−λ(m + 1) − l + j)p∗(π_l−t( l−t X j=0 (∇_s+T₁)j)f ), si T1|SjT∗_M⊗F λ(M)= (−λ(m + 1) − j)(j + 1) ∨ r Divωl_(p∗_{S) = P}l

t=0hτt,Bti, où Bt est égal à :

 l  t Y (γ (m + 1) − l + j)p∗(π ( l−t X (Div + T₂)j)S),

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Formule : QM(∇,S)(f ) = Pk l=0Ck,lhπl(Plj=0(Div + T2)j)S, πk−l(Pk−lj=0(∇s+T1)j)f i.

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) := P ν P r1,...,r_jκ0(u)irν(11)iν(2)rσ(1). . . κ0(u) rj iν(2j−1)iν(2j)rσ(j) S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) := P ν P r1,...,r_jκ0(u)irν(11)iν(2)rσ(1). . . κ0(u) rj iν(2j−1)iν(2j)rσ(j) S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) := P ν P r1,...,r_jκ0(u)irν(11)iν(2)rσ(1). . . κ0(u) rj iν(2j−1)iν(2j)rσ(j) S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) := P ν P r1,...,r_jκ0(u)irν(11)iν(2)rσ(1). . . κ0(u) rj iν(2j−1)iν(2j)rσ(j) S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) := P ν P r1,...,r_jκ0(u)irν(11)iν(2)rσ(1). . . κ0(u) rj iν(2j−1)iν(2j)rσ(j) S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl S 7→ p∗−₁ (Pl−2j r=0 Ck,l,rhDivωrp∗S, ∇ωsl−r−2jW i)

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication •Non-unicité de la quantication :

Non-unicité ↔ Applications naturelles projectivement invariantes de Sk δ(M) dans Sδk−l(M) ω → Ω =dω + 1₂[ω, ω] → κ(., .) = Ω(ω−1(.), ω−1(.)) κ → κ₀∈ C∞(P, ∧2Rm∗⊗ Rm∗⊗ Rm)H κ₀→ Tenseur de Weyl W (u)(ei1, . . . ,ei2j) :=

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Autres opérateurs diérentiels : méthode de l'opérateur de

Casimir :

Opérateurs diérentiels entre E1(M) et E₂(M)

Cas plat Cas courbe

Quantication ane : Quantication ane : Si S(x, ξ) = P|α|=_kCα(x)ξα, Qω(S)(f ) = hS, ∇ω k s f i QA(S) = P|α|=kCα(x) ◦ (_∂∂_x)α Application γ : Application γ : γ : g →gl(S(Rm), S(Rm)) : L_h∗Q_ω(S)(f ) − Q_ω(S)(L_h∗f ) h 7→ γ(h) = L_Xh −L_Xh =Qω((Lh∗+ γ(h))S)(f )

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Autres opérateurs diérentiels : méthode de l'opérateur de

Casimir :

Opérateurs diérentiels entre E1(M) et E₂(M)

Cas plat Cas courbe

Quantication ane : Quantication ane : Si S(x, ξ) = P|α|=_kCα(x)ξα, Qω(S)(f ) = hS, ∇ω k s f i QA(S) = P|α|=kCα(x) ◦ (_∂∂_x)α Application γ : Application γ : γ : g →gl(S(Rm), S(Rm)) : L_h∗Q_ω(S)(f ) − Q_ω(S)(L_h∗f ) h 7→ γ(h) = L_Xh −L_Xh =Qω((Lh∗+ γ(h))S)(f )

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule

•Autres opérateurs diérentiels : méthode de l'opérateur de

Casimir :

Opérateurs diérentiels entre E1(M) et E₂(M)

Cas plat Cas courbe

Quantication ane : Quantication ane : Si S(x, ξ) = P|α|=_kCα(x)ξα, Qω(S)(f ) = hS, ∇ω k s f i QA(S) = P|α|=kCα(x) ◦ (_∂∂_x)α Application γ : Application γ : γ : g →gl(S(Rm), S(Rm)) : L_h∗Q_ω(S)(f ) − Q_ω(S)(L_h∗f ) h 7→ γ(h) = L_Xh −L_Xh =Qω((Lh∗+ γ(h))S)(f )

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Autres opérateurs diérentiels : méthode de l'opérateur de

Casimir :

Opérateurs diérentiels entre E1(M) et E₂(M)

Cas plat Cas courbe

Quantication ane : Quantication ane : Si S(x, ξ) = P|α|=_kCα(x)ξα, Qω(S)(f ) = hS, ∇ω_skf i

Q (S) = P C (x) ◦ ( ∂ α

Application γ : Application γ :

γ : g →gl(S(Rm), S(Rm)) : L_h∗Q_ω(S)(f ) − Q_ω(S)(L_h∗f )

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication

•Autres opérateurs diérentiels : méthode de l'opérateur de

Casimir :

Opérateurs diérentiels entre E1(M) et E₂(M)

Cas plat Cas courbe

Quantication ane : Quantication ane : Si S(x, ξ) = P|α|=_kCα(x)ξα, Qω(S)(f ) = hS, ∇ω_skf i

QA(S) = P|α|=kCα(x) ◦ (_∂∂_x)α

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Casimirs : Casimirs : C|Ek,s = αk,sIdEk,s Cω(S) = αk,sS si S ∈ C∞(P, Ik,s) C =C + 2 P_iγ(i)L_Xei Cω _=Cω_{−2 P} iγ(i)Lω−1_(ei) Quantication : Quantication :

QA(Q(S)), Q(S) tel que Qω(Q(S)), Q(S) tel que

si C(S) = αS, alors si Cω_{(S) = αS, alors} C(Q(S)) = αQ(S) et Cω_{(Q(S)) = αQ(S) et} tête de Q(S) = S tête de Q(S) = S Alors : Alors : L ◦Q = Q ◦ L car (L_h∗+ γ(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ car [C, L] =0 et [C, L] = 0 [Cω,L_h∗+ γ(h)] = 0 et [Cω,L_h∗] =0

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule Casimirs : Casimirs : C|Ek,s = αk,sIdEk,s Cω(S) = αk,sS si S ∈ C∞(P, Ik,s) C =C + 2 P_iγ(i)L_Xei Cω _=Cω_{−2 P} iγ(i)Lω−1_(ei) Quantication : Quantication :

QA(Q(S)), Q(S) tel que Qω(Q(S)), Q(S) tel que

si C(S) = αS, alors si Cω_{(S) = αS, alors}

Alors : Alors :

L ◦Q = Q ◦ L car (L_h∗+ γ(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ car

[C, L] =0 et [C, L] = 0 [Cω,L_h∗+ γ(h)] = 0 et

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication Casimirs : Casimirs : C|Ek,s = αk,sIdEk,s Cω(S) = αk,sS si S ∈ C∞(P, Ik,s) C =C + 2 P_iγ(i)L_Xei Cω _=Cω_{−2 P} iγ(i)Lω−1_(ei) Quantication : Quantication :

QA(Q(S)), Q(S) tel que Qω(Q(S)), Q(S) tel que

si C(S) = αS, alors si Cω_{(S) = αS, alors}

C(Q(S)) = αQ(S) et Cω_{(Q(S)) = αQ(S) et}

tête de Q(S) = S tête de Q(S) = S

[C, L] =0 et [C, L] = 0 [Cω,L_h∗+ γ(h)] = 0 et

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite Non-unicité de la quantication Autres opérateurs Casimirs : Casimirs : C|Ek,s = αk,sIdEk,s Cω(S) = αk,sS si S ∈ C∞(P, Ik,s) C =C + 2 P_iγ(i)L_Xei Cω _=Cω_{−2 P} iγ(i)Lω−1_(ei) Quantication : Quantication :

QA(Q(S)), Q(S) tel que Qω(Q(S)), Q(S) tel que

si C(S) = αS, alors si Cω_{(S) = αS, alors}

C(Q(S)) = αQ(S) et Cω_{(Q(S)) = αQ(S) et}

tête de Q(S) = S tête de Q(S) = S

Quantications naturelles projectivement équivariantes Fabian Radoux Introduction Fibrés et connexions de Cartan Le cas des densités Une formule explicite

•Conclusion : Cas plat Cas courbe ∂_i L_ω−1_(ei)