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Chapitre 9

Les polynômes

Motivation : Les polynomes sont les seules fonctions dont on sache calculer les images des rationnels.

K sera le corps R ou C.

I

Définitions et structures

I.1 Définitions

Définition I.1

On appelle polynôme à coefficients dans K toute fonction f : K → K pour laquelle il existe n ∈ N et a0, a1, . . . , an∈ K tels que

∀x ∈ K, f (x) = a0+ a1x + a2x2+ . . . + anxn.

On notera alors ce polynôme

n

X

k=0

akXk, et K[X] l’ensemble de ces polynômes.

Remarque :

– Noter que la fonction X0_{est la fonction constante égale à 1 dans la notation}Pn

k=0akXk. – Untrinôme est un polynôme du type x 7→ aX2_{+ bX + c.}

– Les fonctions constantes (donc la fonction nulle) et les fonctions affines sont des polynômes. – Soit P (X) =Pn

k=0akX

k_{un polynôme. Si m > n, on peut noter P (X) =}Pm k=0akX

k_{en posant a}

k = 0pour tout k > n. Cette remarque nous permettra par la suite lorsque nous aurons deux polynômes de prendre le même n. Par ailleurs, on peut définir les polyômes comme les fonctions P (X) =P

kakX

k_{, où les a} k sont tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux.

Proposition I.2 (unicité des coefficients) – Soit un polynôme P (X) =

n

X

k=0

akXk ∈ K[X] .

P est la fonction nulle ⇐⇒ pour tout i ∈ [[0, n]], ai = 0. On dit alors que P est le

polynôme nul. – Soient P (X) = n X k=0 akXk et Q(X) = n X k=0

bkXk ∈ K[X] . Les fonctions P et Q sont

(2)

Démonstration : Supposons que tous les coefficients ne soient pas nuls. Alors l’ensemble {0 6

k 6 n tels que ak6= 0} est une partie non vide de N. Elle possède donc un plus petit élément

k0. Ainsi, P (X) =Pnk=k0akX

k_{. La fonction x ∈ R 7→} f (x)

xk0 = ak0 + ak0+1x + ... + anx

n−k0 _est

nulle sur R∗, donc sa limite en 0 est nulle. Or celle-ci vaut ak0. ABSURDE.

Définition I.3 Soit P ∈ R[X].

B On appelle coefficients de P les scalaires ak tels que P (X) =Pk>0akXk.

B P est un polynôme pair lorsque tous ses coefficients d’indice impair sont nuls, i.e lorsqu’il existe n ∈ N et a0, a2, . . . , a2n ∈ K tels que P (X) =Pnk=0a2kX2k.

B P est un polynôme impair lorsque tous ses coefficients d’indice pair sont nuls, i.e lorsqu’il existe n ∈ N et a1, a3, . . . , a2n+1 ∈ K tels que P (X) =Pnk=0a2k+1X2k+1.

I.2 Lois

On peut définir deux lois sur l’ensemble K[X] : Soient deux entiers naturels n 6 m, et P (X) =

n X k=0 akXket Q(X) = m X k=0 bkXk. Tous les ai

sont donc nuls pour i > n.

B P + Q est le polynôme défini par P + Q (X) := m X k=0 (ak+ bk)Xk.

B P × Q est le polynôme défini par P × Q (X) := n+m X k=0 ckXk,

où pour tout k ∈ [[0, n + m]], ck = k X i=0 aibk−i ! Remarque : B c0= a0b0, cn+m= anbm.

B (a + bX + cX2) × (d + eX + f X2) = ad + (ae + bd)X + (af + be + cd)X2+ (ce + bf )X3+ cf X4.

B A quelle CNS sur a, b le polynôme x4+ ax3+ bX2+ 4x + 4 est-il le carré d’un polynôme à coeffs réels ? Réponse : une des deux racines carrées sera de la forme X2_{+αX +2, où}2_{= 1. Or le carré de ce polynôme}

sera X4_{+ 2αX}3_{+ (α}2_{+ 4)X}2_{+ 4αX + 4}

. Par unicité des coefficients, ceci est possible ssi il existe α ∈ R et valant 1 ou −1 tels que α = a/2, α2_{+ 4 = b, et 4α = 4. Alors soit = 1, auquel cas a = 2 et b + 5, soit}  = −1et a = −2, b = −3.

B Montrons l’égalité C2nn =

X

(C_nk)2. On serait bien inspirés d’utiliser le binôme de Newton, et d’écrire plus

précisément : (X + 1)2n _{= (X + 1)}n_{× (X + 1)}n_,_soit 2n X k=0 2n k Xk = n X k=0 n k Xk ! × n X k=0 n k Xk ! .

L’unicité des coefficients implique que2n

n = n X i=0 n i n n − i . On conclut avec n n − i =n i . Propriétés I.4 K[X], +, ×

(3)

Démonstration : N (K[X], +) est un sous-groupe de (KK_{, +)} _{car 0 ∈ K[X] et la différence} de deux polynômes est un polynôme.

N La fonction constante égale à 1 est un polynôme. Le produit de deux polynômes est encore un polynôme.

I.3 Dérivation

Définition I.5 Soit P (X) = n X k=0

akXk.On appelle polynôme dérivé de P le polynôme P0(X) = n X k=1 kakXk−1 = n−1 X k=0 (k + 1)ak+1Xk. Remarque :

– A ce stade, la dérivation n’est qu’une opération formelle, mais nous savons qu’elle provient de la dérivation des fonctions si l’on considère P comme une fonction de R dans R ou C, et que par suite elle hérite de toutes les formules que nous connaissons sur celles-ci.

– On a en particulier ∀p ∈ N, (Xp₎0 ₌

(

pXp−1 _{si p > 1,} 0 si p = 0.

– On note P(0) _{= P, P}(1)_{= P}0 _{et P}(n+1)_{le polynôme dérivé de P}(n)_{pour tout entier naturel n.}

– On a ∀p, k ∈ N, (Xp)(k)₌    p! (p − k)!X p−k si p > k, 0 si k > p. Propriétés I.6 Soient P, Q ∈ K[X]. 1. Pout tout a, b ∈ K,aP + bQ0 = aP0+ bQ0. 2. P Q0 = P0Q + P Q0. Démonstration : Soient P (X) =P

akXket Q(X) =PbkXk. Soit n ∈ N. Le n−ième coefficient

de P Q0_{+ P}0_Q_est n X k=0 ak(n + 1 − k)bn+1−k + n X k=0 (k + 1)a_k+1bn−k = n X k=0 (n + 1 − k)a_kbn+1−k+ n+1 X k=1 kakbn−k+1 = (n + 1)a₀bn+1+ n X k=1 (n + 1)a_kbn+1−k+ (n + 1)an+1b0 = (n + 1) n+1 X k=0 akbn+1−k.

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Proposition I.7

1. Les polynômes constants sont ceux dont le polynôme dérivé est nul. 2. P0 _{= Q}0 _{ssi P et Q diffèrent d’une constante.}

Démonstration : On a pour tout n ∈ N, (n + 1)an= 0.

Du cours de calcul différentiel, nous déduisons : Proposition I.8 (Formule de Leibnitz (1670))

Soient P, Q ∈ K[X] et n ∈ N∗_. P × Q (n) = n X k=0 n k ! P(k)× Q(n−k)_.

II

L’aspect algébrique

On aurait pu définir K[X] comme l’ensemble des suites de K dont tous les termes sont nuls APCR, et munir celui-ci des lois + et × données ci-dessus. Ce point de vue oublierait les propriétés fonctionnelles du poly pour ne s’intéresser qu’aux notions propres aux anneaux : la divisibilité, la division euclidienne, l’irréductibilité des polynômes. C’est ce point du vue qui va nous intéresser dans cette partie.

II.1

Le degré

Définition II.1 Soit P (X) = n X k=0 akXk∈ K[X]. On pose B deg P :=   

max{0 6 k 6 n tels que ak6= 0} si P 6= 0K[X]

−∞ si P = 0_K[X].

B SI P est non nul, on note CD(P ) := am si m est le degré de P .

B P est dit unitaire s’il est non nul et de coefficient dominant 1. Exemples :

– (X2_{+ 1)}13_{est unitaire et de degré 26.}

– Le polynôme P (X) = n X k=0

akXkest de degréinférieur ou égal à n. – Soit n ∈ N∗_. _{Quels sont le degré et le coefficient dominant de P}

n(X) := (X2+ 1)2n − (X2− 1)2n? Son dégré est déjà 6 4n. De plus, le coefficient en X4n _{est nul, celui en X}4n−1_{aussi car il est pair, et celui en} X4n−2_{vaut 2n − (−2n) = 4n 6= 0. Son dégré est donc 4n − 2 et son CD 4n.}

Pour simplifier la proposition à venir, on pose pour tout n ∈ R ∪ {−∞} : – −∞ + n = −∞,

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Propriétés II.2

Degré et lois Soient P, Q ∈ K[X].

1. degP × Q = deg P + deg Q, et, si ces polynômes sont non nuls, CD(P Q) =

CD(P )CD(Q).

2. degP + Q_{6 max{deg P, deg Q},}

et si deg P 6= deg Q, degP + Q= max{deg P, deg Q}.

Démonstration : Ces deux affirmations sont évidentes dans le cas où l’iun des deux polynômes

P ou Q est nul. Nous excluons ce cas dans la suite de cette preuve. Notons n = deg P > m = deg Q, P (X) =Pn

k=0akXk et P (X) =Pmk=0bkXk. P × Q est un

polynôme de degré au plus n + m et son coefficient en Xm+n_{est a}

nbm 6= 0.

Le deuxième point est encore plus évident, puisque si n > m, le coefficient dominant de

P + Qest celui de P .

Exemples : Résolvons l’équation d’inconnue P dans R[X] suivante :

X(X + 1)P00+ (X + 2)P0− P = 0.

Notons n le degré de P et anson CD. Le coefficient en Xndu polynôme de droite est (n(n − 1) + n − 1)an = (n2_{+ 2n − 1)a}

n. Puisqu’il est nul, n = 1 et P est donc une fonction affine. Si P (X) = aX + b, on trouve

aX + 2a − aX − b = 2a − b = 0. L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes qui s’écrivent

P (X) = aX + 2a.

Propriétés II.3 (de l’anneau des polynômes)

1. K[X] est un anneau intègre, i.e que si P, Q ∈ K[X] vérifient P × Q = 0 alors P = 0 ou Q = 0.

2. Les inversibles de K[X] sont les polynômes constants non nuls : soit P ∈ K[X]. Alors il existe Q ∈ K[X] tel que P × Q = 1 ssi deg P = 0.

Démonstration : 1. P Q = 0 ⇒ deg P Q = −∞ ⇒ deg P + deg Q = −∞ ⇒ deg P ou deg Q = −∞.

2. Le sens ⇐ est facile. pour ⇒ , il suffit de dire que n + m = 0 implique n = m = 0 lorsque n, m ∈ N.

II.2

La division euclidienne

Rappelons la définition de la divisibilité dans l’anneau K[X] : soient A, B ∈ K[X]. On dit que B divise A lorsqu’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ. On note B|A.

Exemples :

– Soient n ∈ N∗_{et P (X) =}

n X k=0

akXk. X divise P ssi a0est nul, et Xmdivise P ssi a0= a1= ... = am−1= 0. – X2_{|(X + 1)}n_{− nX − 1 car (X + 1)}n _{= 1 + nX + X}2_Q(X)_{où Q est un polynôme d’après le binôme de}

Newton.

(6)

Théorème II.4

La division euclidienne

Soient A, B ∈ K[X], où B n’est pas le polynôme nul. Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes à coefficients dans K qui vérifie :

– A = BQ + R, – deg R < deg B.

Cette égalité s’appelle division euclidienne de A par B, Q est appelé quotient et R reste. Exemples :

– Effectuer la division euclidienne de A(X) = 6X4_{+ 2X}3_{− X + 6 par B(X) = X}2_{+ X + 4.}

– Soit a ∈ C et P ∈ C[X]. Le reste de la division euclidienne de P par B(X) = X −α est le polynôme constant

P (α): P (X) = Q(X)(X − α) + P (α).

Démonstration : – Unicité : Supposons que A = BQ1+R1 = BQ2+R2et deg Rk< deg B.

Alors degB(Q1−Q2)

= degR2−R1

< deg B, i.e deg Q2−Q1 < 0et ainsi Q2= Q1 qui implique à son tour l’égalité entre R1 et R2.

– Existence : Nous allons effectuer une récurrence sur n = deg A.

P(n) : (∀A ∈ K[X] de degré n, ∀B ∈ K[X] non nul, il existe au moins ...). Le cas A = 0est évident :(Q, R) = (0, 0).

L’initialisationP(0) : A est une constante non nulle a. Si B est aussi une constante non nulle b, on prend Q = b/a et R = 0. Sinon, on prend Q = 0 et R = a.

Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons P(n) vraie et montrons P(n + 1). – Si deg B > n, il suffit de poser (Q, R) = (0, A).

– Supposons deg B 6 n. Soit A(X) =

n+1 X k=0 akXk où an+1 6= 0, et B(X) = q X i=0 biXi

où bq 6= 0. En posant Qn+1(X) = an+1_b_q Xn+1−q et An(X) = A − BQn+1, on voit

facilement que An est de degré au plus n. Par HdR, il existe (Qn, Rn) couple de

polynômes tel que deg Rn < deg B et A − BQn+1 = QnB + Rn, i.e A = B Qn+1+

Qn+ Rn.

Proposition II.5

Soient A, B ∈ K[X], où B 6= 0K[X].

B divise A ssi le reste dans la division euclidienne de A par B est nul. Démonstration : Cela provient de l’unicité du reste : A = BQ + R = BS

Exemples : Cns pour que X2_{+ 1}_{divise X}4_{+ aX}3_{+ bX + c. Réponse : c = −1 et b = a.}

III

Racines de polynômes

Retour sur le point de vue fonctionnel des polynômes avec une notion qui fait la syn-thèse, puisqu’elle relie la divisibilité (notion algèbrique) à l’existence de racines (notion fonctionnelle).

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III.1

Racines simples

Définition III.1

Soit a ∈ K et P ∈ K[X]. On dit que a est une racine de P lorsque P (a) = 0.

On appelle_{équation algébrique toute équation en x ∈ K du type P (x) = 0 où P est} un polynôme.

Exemples :

– Un polynôme constant ne possède aucune racine s’il est non nul, et tout a ∈ K est racine du polynôme nul. – Soient a, b, c ∈ R, a 6= 0, et P (X) = aX2_{+ bX + c. P possède au moins une racine complexe, et il possède}

au moins une racine réelle ssi ∆ > 0. Il existe donc des polynômes qui ne possèdent pas de racines réelles, le parangon de ceux-ci étant X2_{+ 1.}

Proposition III.2

Soit P ∈ K[X] et a ∈ K. Alors a est une racine de P ssi le polynôme X − a divise P (X). Démonstration : Le reste dans la division euclidienne de P par X − a est la constante P (a). Or

la divisibilité est équivalente à la nullité du reste.

Soit P ∈ K[X], k ∈ N∗ _{et a}

1, a2, ..., ak k éléments de K deux à deux distincts. Alors

a1, ..., ak sont des racines de P

⇐⇒ k Y j=1 (X − aj)divise P (X).

Démonstration : Le sens ⇐ est évident.

⇒ On effectue une récurrence sur k > 1, puisque l’initialisation est le fait de la proposition précédente.

Si P (a1) = ...P (ak+1) = 0, par HdR, il existe un polynôme Q tel que P (X) = Q(X) k

Y

j=1

(X−

aj). Puisque les racines sont deux à deux distinctes, Q(ak+1) = 0, et on peut lui appliquer à

nouveau la proposition précédente.

Exemples : – Soit n ∈ N∗_. Xn− 1 = n Y k=1 X − exp2ikπ n

– Il existe au plus un polynôme de degré 4 dont 5 valeurs sont prescrites.

Un corollaire essentiel est Corollaire III.4

(Version 1) Soit n ∈ N. Un polynôme de K[X] de degré n possède au plus n racines deux à deux distinctes.

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Démonstration : Soient a1, ...akkracines deux à deux distinctes de P . Alors il existe Q ∈ K[X]

tel que P (X) =

k

Y

j=1

(X − aj)Q(X). Ce qui implique que n − k = deg Q > 0 car Q est non nul.

Corollaire III.5 (Version 2)

– Soit n ∈ N. Si P est un polynôme de degré 6 n et s’il possède au moins n + 1 racines deux à deux distinctes, alors P est le polynôme nul.

– Si deux polynômes coincident sur une partie infinie, alors ils sont égaux.

Exemples : Tout polynôme périodique est constant : si P (X + 1) = P (X), le polynôme Q(X) := P (X) − P (0) s’annule en tous les entiers naturels. Il est donc nul.

III.2

Dérivation et racine multiples

Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. On appelle multiplicité de a dans P le plus grand entier

m ∈ N tel que (X − a)m _{divise P (X). C’est donc le seul entier m ∈ N qui vérifie : il existe}

Q ∈ K[X] tel que P (X) = (X − a)mQ(X)et Q(a) 6= 0. Remarque :

– a est racine de P ssi sa multiplicité est non nulle. – On parle de racine simple, double, triple...

La multiplicité de a se lit simplement sur les dérivées successives P (a), P0_{(a), P}00_{(a), ...} grâce à la formule de Taylor.

Proposition III.7 Formule de Taylor

Soient n ∈ N∗

et P ∈ K[X] de degré au plus n. Soit a ∈ K. Alors

P (X) = n X k=0 P(k)(a) k! (X − a) k .

En particulier, si a0, a1, ...an sont les coefficients de P , alors

∀k ∈ [[0, n]], ak =

P(k)₍₀₎

k! .

Démonstration : Il suffit de le vérifier pour P (X) = Xi_{. Or pour cette valeur de P ,} dk

dXkP (X) =

i!

(i − k)!X

i−k_{, et donc P}(k)_{(a) =} i! (i − k)!a i−k_{. Finalement,} n X k=0 P(k)(a) k! (X−a) k₌ n X k=0 i! (i − k)!k!a i−k_(X− a)k= n X k=0 i k ! ai−k(X − a)k = Xi.

(9)

Alors :

Soit P ∈ K[X], a ∈ K et m ∈ N. Alors,

1. a est une racine de P de multiplicité > m ssi

P (a) = P0(a) = P00(a) = ... = P(m−1)(a) = 0. 2. La multiplicité de a dans P est exactement m ssi

  

P(k)_{(a) = 0,} _{∀k ∈ [[0, m − 1]],}

P(m)_{(a) 6= 0.}

Démonstration : On ne prouve que le 2. Le sens ⇐ est évident d’après Taylor.

L’autre sens vient de P (X) = Q(X)(X − a)m_{et Q(a) 6= 0. ∀k ∈ [[0, m]],}

P(k)(X) = k X j=0 k j ! (X − a)m(j)Q(k−j) = k X j=0 k j ! m! (m − j)!(X − a) m−j_Q(k−j)

Ce polynôme s’annule si k 6 m − 1 et vaut m!Q(a) 6= 0 si k = m.

Exemples : Montrer que (X − 1)2_divise

n−1 X k=0 Xk !2 − n2_Xn−1_.

On peut généraliser la proposition reliant le nombre de racines au degré dans le cas où les racines sont multiples :

Proposition III.9 Soient k ∈ N∗

, P ∈ K[X], a1, ...akdes racines de P deux à deux distinctes de multiplicités

respectives m1, ...mk. Alors k

Y

j=1

(X − aj)mj divise P (X).

Démonstration : Se démontre par récurrences sur k > 1. L’initialisation n’étant que la définition de la multiplicité.

Corollaire III.10

La somme des multiplicités des racines d’un polynôme non nul est toujours 6 à son degré.

(10)

III.3

Relations coefficients-racines

Définition III.11 Polynôme scindé

Soit P un polynôme de degré > 1. P est dit scindé sur K lorsqu’il s’écrit comme pro-duit de polynômes de degré 1 à coefficients dans K, i.e lorsqu’il existe p ∈ N∗_complexes

a1, ..ap tels que P (X) = c(X − a1)(X − a2) . . . (X − ap), c étant le coefficient dominant

de P . Exemples :

B P (X) = X2+ 1 est scindé en tant que polynôme de C[X], mais pas en tant que polynôme de R[X]. Un trinôme à coefficient réels est scindé sur R ssi ∆ > 0.

B Tout polynôme de degré 1 est scindé. B

(X − a1)(X − a2) = X2− SX + P,

(X − a1)(X − a2)(X − a3) = X3− σ1X2+ σ2X − σ3.

Ceci se généralise :

Fonctions symétriques élémentaires Soit n ∈ N∗_{, a}

1, . . . , an nscalaires de K. On appelle FSE de a1, . . . , an les scalaires

σ1 = a1+ · · · + an, σ2 = X 16i1<i26n ai1ai2, σp = X 16i1<...<ip6n ai1ai2...aip.

pour tout 1 6 p 6 n. En particulier, σn = a1...an.

Exemples :

B σ1, σ2, σ3, σ4pour n = 4.

Relations coefficients-racines Soit P (X) =Pn

k=0akXk ∈ K[X] un polynôme de degré n > 1 scindé sur K.

Il existe alors α1, . . . , αn ∈ K tels que P (X) = an n

Y

k=1

(X − αk). Notons σ1, ..., σn les FSE

des ai. On a alors pour tout k ∈ [[1, n − 1]], σk= (−1)k an−k an . Exemples :

B x1, x2, x3, x4les racines complexes de P (X) = X4+ X3+ X2+ X + 1. Calculer x1+ ...x4et x21+ ... + x24.

(11)

IV

Polynomes irréductibles

Définition IV.1

Un polynôme est dit_{irréductible sur K s’il est de degré > 1 et s’il ne peut s’écrire comme} le produit de deux polynômes de K[X] de degrés > 1. Par exemple, tout polynôme de degré 1 est irréductible. Ces polys se situent à l’opposé des polynômes scindés dans l’hémicycle des polynômes.

IV.1

Le corps des complexes

Théorème IV.2 de D’Alembert

Soit P ∈ C[X]. Il existe α ∈ C tel que P (α) = 0, i.e tel que (X − α) divise P . Corollaire IV.3

– Tout polynôme à coefficients complexes (a fortiori à coefficients réels) est scindé sur C.

– Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Exemples : B Calculer n Y k=1 sin kπ n + 1 en décomposant n X k=0 Xk.

IV.2

Le corps des réels

Proposition IV.4

– Soit P ∈ C[X]. Alors P ∈ R[X] ssi pour tout z ∈ C, P (z) = P (¯z). – Soit a un complexe non réel et P ∈ R[X]. Alors multP(a) =multP(¯a).

Démonstration : Se prouve évidemment avec la carcatérisation de la multiplicité avec les dérivées.

Théorème IV.5

Les polynômes irréductibles de R[X] sont : – les polynômes de degré 1.

– les trinômes de discriminant < 0.

Démonstration : Le sens direct se prouve avec les théorème de D’Alembert.

Théorème IV.6

Tout polynôme de R[X] s’écrit comme le produit de polynômes irréductibles sur R.

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B X4_{− 2X}2_{− 3 = (X −}√_{3)(X +}√_3)(X2_{+ 1).} B X4_{+ X}2_{+ 1 = (X}2_{+ 1)}2_{− X}2_{= (X}2_{− X + 1)(X}2_{+ X + 1).} B Soit n ∈ N∗. X2n− 1 = (X − 1)(X + 1) n−1 Y k=1 X2− 2 coskπ 2nX + 1 , X2n+1− 1 = (X − 1) n Y k=1 X2− 2 cos kπ 2n + 1X + 1 .