vecteur normal - equation de cercle

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Applications du produit scalaire :

vecteur normal à une droite, équation cartésienne d’un cercle

Dans le chapitre, on se place dans un repère orthonormal du plan

I) Droites et vecteur normal

1) Définition : On appelle vecteur normal à une droite d de vecteur directeur ⃗ tout vecteur ⃗ non nul orthogonal à ⃗.

2) Equation cartésienne et vecteur normal :

Soit A ; et ⃗ ; M(x ; y) un point quelconque. On a ⃗ −₋ .

Dire que M appartient à la droite passant par A et de vecteur normal ⃗ équivaut à dire que : ⃗ ∙ ⃗ = 0  − + − = 0

 + − − = 0  + + = 0

a) L’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que ⃗ ∙ ⃗ = 0 où ⃗ , est la droite

d’équation ax + by + c = 0.

b) La droite d’équation ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal ⃗ et

réciproquement.

3) Exemple :

On donne, dans un repère orthonormal, A(–1 ; 2), B(3 ; 1) et C(2 ; 4). Déterminer l’équation cartésienne de la hauteur d issue de A du triangle ABC.

d et (BC) sont perpendiculaires donc !"⃗ est un vecteur normal à d. !"⃗ −1₃ et ⃗ % + 1_{− 2'}

M ∈ d signifie que !"⃗ ∙ ⃗ = 0  –1(x + 1) + 3(y – 2) = 0  –x + 3y – 7 = 0.

II) Equation cartésienne d’un cercle

1) Simplification de ⃗ ∙ !⃗ : on appelle I le milieu de [AB]. ⃗ ∙ !⃗ = ( )⃗ + ) ⃗* ∙ ( )⃗ + )!⃗* = )⃗++ )⃗ ∙ )!⃗ + ) ⃗ ∙ )⃗ + ) ⃗ ∙ )!⃗ = )⃗++ )⃗ ∙ )!⃗ + )⃗ ∙ ) ⃗ −,₊ !⃗ ∙,₊ !⃗ = )⃗++ )⃗ ∙ ()!⃗ + ) ⃗* −,_- !⃗+ = )⃗++ )⃗ ∙ 0⃗ −,_- !+ = )+−, - !+

Pour tout point M du plan, I étant le milieu de [AB], on a : ⃗ ∙ /⃗ = 01−2₃ /1

2) Ensemble des points M tels que ⃗ ∙ !⃗ = 0 : ⃗ ∙ !⃗ = 0  )+₋, - !+ = 0  )+ = , - !+ MI = , + AB.

L’ensemble des points M du plan tels que ⃗ ∙ /⃗ = 0 est le cercle de diamètre [AB].

u

d

n

A

B

I

M

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2

3) Equation cartésienne d’un cercle :

On donne Ω( ₄; ₄ et M(x ; y). R Désigne un réel positif.

On veut déterminer l’équation du cercle de centre Ω et de rayon R, c’est-à-dire l’ensemble des points M tels que ΩM = R. Or, ΩM = 5 − _{4 +}+ − _{4 +}

ΩM = R  ΩM2_{= R}2_ −

4 ++ − 4 + = R2

Une équation cartésienne du cercle de centre Ω(6₇; 8₇) et de rayon R est :

6 − 67 1+ 8 − 87 1= R2.

4) Exemple 1 : Equation du cercle de centre Ω(1 ; 0) et de rayon 2. On a : − 1 ++ − 0 + = 22 _{ x}2_{– 2x + 1 + y}2_{= 4}_{ x}2_{– 2x + y}2_{= 3.}

Exemple 2 : Equation du cercle C de diamètre [AB] avec A(–1 ; –1) et B(3 ; 1). On a ⃗ %−1 −_{−1 − ' et} ⃗ %3 −_{1 − '.}

C est l’ensemble des points M tels que ⃗ ∙ !⃗ = 0  (–1 – x)(3 – x) + (–1 – y)(1 – y) = 0  –3 + x – 3x + x2_{– 1 + y – y + y}2_{= 0}