PC∗
Interrogation d’algèbre linéaire
Durée : environ une heure
Exercice 1
a) (1 pt)Soient A et B dans Mn(K). Montrer que rg(AB) 6 min(rg A, rg B).
b) (1,5 pt)Soit M ∈ Mn(K). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) rg M 6 1 ;
(ii) il existe deux vecteurs X et Y de Kntels que M = XYT.
Exercice 2
Soit M = A CO B
!
∈ Mn(K), avec A ∈ Mp(K) et B ∈ GLn−p(K) inversible. a) (1,5 pt)Comparer dim(Ker M) et dim(Ker A).
b) (1 pt)En déduire que rg M = rg A + rg B.
Exercice 3
Soit u ∈ L(E) tel que u2= 0. On pose n = dim E et r = rg u.
a) (1 pt)Comparer pour l’inclusion Im u et Ker u, et en déduire que 2r 6 n.
b) (2 pts)On considère un supplémentaire H de Ker u, et (e1, . . . , er) une base de H. Justifier l’existence d’une base
(b1, . . . , br, br+1, . . . , bn−r, e1, . . . , er) de E telle que Mat(e)(u) =
O Ir
O O
! .
Exercice 4
Soit E un espace vectoriel de dimension n, et u et v dans L(E). On suppose u + v = Id et rg u + rg v = n. a) (1,5 pts)Que vaut Im u + Im v ? En déduire que Im u ⊕ Im v = E.
b) (1 pt)Montrer que Ker u ⊂ Im v. En déduire que Ker u = Im v et Ker v = Im u. c) (1,5 pt)Montrer que u est la projection sur Im u parallèlement à Im v.
Exercice 5
a) (1 pt)Soient A et B dans Mn(K) telles que AB = In. Montrer que BA = In.
b) (1 pt)On suppose n < p. Expliciter deux matrices A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,n(K) telles que AB = Inet BA , Ip.
c) (1 pt)Est-ce possible dans le cas où n > p ?
Exercice 6
(2 pt)Soit A ∈ Mn(K). Montrer que deux des assertions suivantes impliquent la troisième :
(i) A2= A ; (ii) rg A = 1 ; (iii) tr A = 1.
Exercice 7
Soit C ∈ Mn,1(K) et L ∈ M1,n(K).
a) (2 pts)Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que A = In+ CL soit inversible.
b) (1 pt)Calculer alors son inverse.
