Coefficients de Clebsch-Gordan de la super-algèbre osp(1|2)
par
Geoffroy Bergeron
Département de physique Faculté des arts et des sciences
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)
en physique
Août, 2015
c
Ce mémoire intitulé:
Coefficients de Clebsch-Gordan de la super-algèbre osp(1|2)
présenté par: Geoffroy Bergeron
a été évalué par un jury composé des personnes suivantes: Richard Mackenzie, président-rapporteur
Luc Vinet, directeur de recherche Manu Paranjape, membre du jury
Les fonctions génératrices des coefficients de Clebsch Gordan pour la superalgèbre de Lie osp(1|2) sont dérivées en utilisant deux approches. Une première approche généralise une méthode proposée par Granovskii et Zhedanov pour l’appliquer dans le cas de osp(1|2), une algèbre dont le coproduit est torsadé. Une seconde approche repose sur la réalisation de osp(1|2) en tant qu’algèbre dynamique d’un oscillateur parabosonique et utilise une équivalence dans cette réalisation entre le change-ments de coordonnées polaires à cartésiennes et le problème de Clebsch-Gordan. Un chapitre moins formel précède ces dérivations et présente comment le problème de Clebsch-Gordan s’interprète en tant que réalisation d’une algèbre de fusion. La notion abstraite de fusion est introduite, soulignant son importance en physique, pour en venir au cas particulier du problème de Clebsch-Gordan. Un survol du cas de l’algèbre osp(1|2) et de ses utilisations en physique mathématique conclut ce chapitre.
Mots clés : Superalgèbre de Lie, Coefficients de Clebsch-Gordan, Al-gèbre de Hopf, Oscillateur parabosonique, Oscillateur de Dunkl, Fonc-tions génératrices, États cohérents, Coproduit torsadé.
The generating functions for the osp(1|2) Lie superalgebra Clebsch-Gordan co-efficients are derived using two approaches. The first one consists of generalizing a method first proposed by Granovskii and Zhedanov to apply it to the case of osp(1|2), an algebra with a twisted coproduct. The second one is based on the realization of the osp(1|2) as the dynamical algebra for a parabosonic oscillator and used an equivalence in this realization between a change of basis from polar to cartesian coordinates and the Clebsch-Gordan problem. A less formal chapter precedes those derivations and present how the Clebsch-Gordan problem can be interpreted as a realization of a fusion algebra. The abstract notion of fusion is introduced, mentionning its importance in physics, and leads to the particular case of the Clebsch-Gordan problem. A brief review of the problem for the osp(1|2) algebra and its uses in mathematical physics concludes this chapter.
Keywords: Lie superalgebra, Clebsch-Gordan coefficients, Hopf al-gebra, Parabosonic oscillator, Dunkl oscillator, Generating functions, Coherent states, Twisted coproduct.
RÉSUMÉ . . . . iii
ABSTRACT . . . . iv
TABLE DES MATIÈRES . . . . v
REMERCIEMENTS . . . . vii
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION . . . . 1
1.1 Contributions de l’auteur . . . 3
CHAPITRE 2 : COEFFICIENTS DE CLEBSCH-GORDAN . . . . 4
2.1 Algèbres dynamiques et symétries . . . 4
2.2 Concept de fusion . . . 10
2.2.1 Fusion de systèmes physiques . . . 11
2.2.2 Réalisations de la fusion et bialgèbres . . . 12
2.3 Coefficients de Clebsch-Gordan . . . 14
2.3.1 Applications . . . 16
2.3.2 Lien avec les polynômes orthogonaux . . . 18
2.4 Superalgèbre osp(1|2) . . . 20
CHAPITRE 3 : GENERATING FUNCTIONS FOR THE OSP(1|2) CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS . . . . 23
3.0 Abstract . . . 23
3.1 Introduction . . . 23
3.2 Dual -1 Hahn Polynomials . . . 27
3.3 Algebraic approach . . . 29
3.3.1 The case of su(1, 1) . . . . 29
3.3.2 The case of osp(1|2) . . . 35
3.3.4 Factorization of the overlap . . . 36
3.3.5 Coupled vectors decomposition . . . 38
3.3.6 Selection rules . . . 40 3.3.7 Generating function . . . 41 3.4 Wavefunction Approach . . . 50 3.4.1 Decoupled Wavefunctions . . . 54 3.4.2 Coupled Wavefunctions . . . 54 3.4.3 Generating function . . . 56 3.5 Conclusion . . . 61 CHAPITRE 4 : CONCLUSION . . . . 63 4.1 Perspectives . . . 63 BIBLIOGRAPHIE . . . . 65
Je voudrais d’abord remercier mon directeur de recherche, Luc Vinet, pour son soutien dans cette démarche. Sa passion pour la recherche a été des plus inspirantes. Je souhaite également remercier Vincent X. Genest pour ses précieux conseils et son aide dans la rédaction de l’article présenté dans ce mémoire. Je remercie aussi mes parents et amis pour la relecture de mes écrits et leur soutien de ma passion pour la physique.
INTRODUCTION
La codification d’un problème physique en terme de structures algébriques est une approche dans la construction de modèle qui s’est avérée fructueuse. On en com-prend l’importance et la portée en considérant, par exemple, l’algèbre de Poisson qui, au travers de ses diverses réalisations, constitue la structure derrière beaucoup des systèmes dynamiques provenant aussi bien de la mécanique classique que de la mécanique quantique. En effet, cette codification en algèbres dynamiques permet souvent de faire un étude qualitative de la dynamique associée à un problème et parfois même de le solutionner complètement lorsque ce problème admet suffisam-ment de symétries.
Généralement, un système dynamique sera décrit par un espace indexant les différents états possibles du système et une règle d’évolution décrivant l’évolution temporelle d’un état à l’autre. Cette règle d’évolution peut être exprimée sous la forme d’un opérateur agissant sur l’espace des états. Physiquement, on ne connait d’un système que ce qui en est observable. Aussi, il devient souhaitable d’agran-dir ce modèle de base avec la notion d’observables. La dynamique dans l’espace des états se reflète alors dans ces observables. Cette structure dynamique entre les observables et la loi d’évolution peut alors être encodée abstraitement sous la forme d’une algèbre, l’algèbre dynamique du système. En plus de la dynamique, l’algèbre dynamique d’un système peut encoder également la structure de l’espace des états. Par exemple, en mécanique classique, il est possible de reconstruire la structure de l’espace de phase. Une procédure analogue existe aussi en mécanique quantique, l’algèbre dynamique associée à un système quantique contraignant la forme de l’espace de Hilbert du système sachant que cette espace doit permettre une représentation de l’algèbre. Les états admis par une dynamique peuvent ainsi être étudiés à partir de l’algèbre dynamique.
représentation irréductible de l’algèbre associée à cette dynamique. Un système composite peut ensuite être construit par la juxtaposition de tels systèmes élé-mentaires. Il est souvent naturel, voire nécessaire, que l’algèbre dynamique ait une action sur un tel système composite. Ce système doit donc permettre également une représentation de l’algèbre. Cette notion est connue sous le nom de fusion dans la littérature. En mécanique quantique, la juxtaposition de systèmes s’in-terprète comme le produit tensoriel des représentations correspondant aux deux systèmes. Ainsi, la fusion établit une équivalence entre un tel produit tensoriel et une représentation de l’algèbre. Les deux espaces de représentation, sous une telle équivalence, sont isomorphes en tant qu’espace vectoriel et la fusion s’interprète alors comme un changement de base. Le problème de Clebsch-Gordan réside dans la détermination des coefficients de la matrice de ce changement de base.
Plusieurs approches existent dans la solution de ce problème et les solutions peuvent souvent être exprimées sous la forme de relations de récurrence ou de fonctions génératrices. Granovskii et Zhedanov ont proposé en 1993 [6] une ap-proche algébrique permettant la dérivation des fonctions génératrices des coeffi-cients de Clebsch-Gordan pour de nombreuses algèbres de Lie. La méthode origi-nale fonctionne uniquement lorsque le coproduit de l’algèbre de Lie considérée est symmétrique. Ce mémoire développe, dans un premier temps, une généralisation de cette méthode permettant son utilisation dans le cas d’une super-algèbre de Lie, osp(1|2), dont le coproduit n’est plus symétrique mais torsadé. Ces fonctions génératrices sont également obtenues en utilisant une concrétisation de l’algèbre osp(1|2) en tant qu’algèbre dynamique.
Deux chapitres composent ce mémoire. Le premier aborde le contexte théorique du problème de Clebsch-Gordan, interprété comme une instance du concept de fu-sion. La notion d’algèbre dynamique et son lien avec les symétries d’un problème est brièvement présentée pour permettre d’introduire le concept abstrait de fusion et sa concrétisation en termes de systèmes physiques décrits par une algèbre dy-namique. Finalement, le cas particulier de l’algèbre osp(1|2) est abordé et l’intérêt de son étude est décrit. Le second chapitre est constitué d’un article en anglais
constituant le coeur de l’ouvrage et présentant les résultats obtenus pour l’algèbre osp(1|2). Deux dérivations des fonctions génératrices des coefficients de Clebsch-Gordan sont présentées, l’une expliquant et généralisant l’approche de Granovskii et Zhedanov, l’autre se basant sur une réalisation concrète de l’algèbre.
1.1 Contributions de l’auteur
Les travaux de l’auteur se placent dans une continuité de travaux de recherche portant sur l’algèbre osp(1|2). Ces coefficients ont déjà été identifiés en 1994 [8] et plus récemment en 2013 par une méthode différente [22]. Leur fonction génératrice a également été déterminée en 2011 [17]. L’article constituant le chapitre 3 propose deux nouvelles dérivations de cette fonction génératrice. Le projet de recherche, proposé par Luc Vinet, cherchait initialement à dériver la fonction génératrice des coefficients de Clebsch-Gordan de cette algèbre en utilisant une approche décrite initialement par Granovskii et Zhedanov en 1993. Une difficulté dans l’application de cette approche, propre à l’algèbre osp(1|2), est rapidement devenue évidente. En effet, la méthode ne peut s’appliquer dans une situation où le coproduit de l’algèbre n’est pas symmétrique et trivial. L’auteur a donc entrepris de construire une généralisation permettant tout de même l’utilisation de la méthode pour mener à terme la dérivation. Luc Vinet et Vincent X. Genest ont confirmé la validité de la modification apportée à la méthode originale. Vincent X. Genest a également proposé la possibilité de la seconde dérivation qui a été porté à terme par l’auteur. Le premier jet de l’article de même que les différentes révisions sont les travaux de l’auteur. Toutefois, Vincent X. Genest a fourni une aide précieuse par ses relectures et ses conseils sur la mise en page et certaines références pertinentes. Le co-auteur de l’article, Luc Vinet, a guidé le processus rédactionnel et s’est assuré de la qualité scientifique de l’ouvrage, notamment en ce qui a trait à placer l’article dans un contexte qui présente sa pertinence aux experts du domaine et à s’assurer de la précision du texte.
COEFFICIENTS DE CLEBSCH-GORDAN
Ce chapitre concerne la clarification du concept abstrait de fusion et sa concré-tisation dans le problème de Clebsch-Gordan et la mise en contexte de la probléma-tique traitée au chapitre suivant. Un survol de la notion d’algèbre dynamique et du concept connexe d’algèbre de symétries est présenté à la section 2.1 pour ensuite permettre de dégager le concept de fusion dans la section 2.2. Les coefficients de Clebsch-Gordan sont alors présentés comme une réalisation de la fusion abstraite à la section 2.3. Finalement, la section 2.4 et introduit le problème abordé au chapitre 3. Le but de ce chapitre est surtout de poser un contexte aux travaux du chapitre 3. Ainsi, on ne cherchera pas à élaborer une construction rigoureuse de la théorie, mais plutôt de cerner les concepts importants.
2.1 Algèbres dynamiques et symétries
Les structures algébriques se retrouvent dans bien des contextes en physique et il est de l’opinion de l’auteur que cette diversité mène facilement à une confusion dans la terminologie. De plus, la physique se laisse souvent guidée par l’intuition, ce qui porte parfois à travailler avec des structures mal définies ou qui n’existent tout simplement pas.1 Il est donc nécessaire de clarifier ce que l’on entend par
algèbre dynamique, si ce n’est que pour se doter d’un contexte sur lequel bâtir les raisonnements pour le reste du présent chapitre. Une construction rigoureuse ne sera pas entreprise dans cette section, cherchant plutôt à cerner le concept, ce qui ne serait pas possible avec parfaite rigueur vue l’étendue de la question et notre compréhension qui en est limitée. Aussi, nous suivrons une approche qui rappelle l’apparition historique des différents concepts, commençant par l’idée générale et 1Les résultats restent valides, mais il peut être difficile de justifier la procédure. Par exemple,
le théorème de Haag [15] démontre l’inexistence du point de vue d’interaction en théorie des champs. S’il est vrai que les procédures modernes n’utilisent pas à proprement parler ce point de vue, elles sont tout de même basées sur une intuition qui provient d’un tel point de vue.
suivant ses différentes concrétisations en mécanique classique puis quantique. L’utilisation de structures algébriques pour encoder la dynamique de systèmes physiques permet de faire abstraction du contexte particulier où cette dynamique se concrétise. On comprend rapidement l’avantage d’une telle approche en ce qu’elle nous permet de classifier les dynamiques possibles dans un cadre donné, de compa-rer aisément la dynamique de deux systèmes et d’isoler le rôle d’un sous-système en particulier dans la dynamique globale. On entend donc par algèbre dynamique une structure associée à un système physique encodant sa dynamique. Cette définition reste vague et pour la préciser, il sera nécessaire de se limiter, pour commencer, à la mécanique classique. Dans la formulation hamiltonienne de la mécanique clas-sique, un système est décrit par un espace de phase paramétrisant les différents états du système et où chaque point identifie un état du système. Les quantités observables de ce système sont représentées par les fonctions continues sur cette espace de phase, englobant l’état du système lui-même au travers des fonctions linéaires. Une fonction distinguée, l’hamiltonien, encode l’évolution temporelle de ces observables par la structure supplémentaire du crochet de Poisson. Le produit et la somme de telles fonctions étant fermés, on obtient une algèbre associative de fonctions. La structure additionnelle du crochet de Poisson fait de cette algèbre de Poisson une algèbre de Lie. On remarque alors que cette algèbre encode complète-ment la dynamique du système et il est possible de faire abstraction de l’espace de phase. À l’inverse, étant donnée une algèbre de Poisson, il est possible, moyennant quelques hypothèses, de reconstruire l’espace de phase2. Un système dynamique
classique est donc une réalisation concrète d’une algèbre de Poisson.
Considérons maintenant uniquement les fonctions linéaires de l’espace de phase, soit essentiellement les données nécessaires pour décrire complètement l’état d’un système, en ignorant tout autre observable. Pour un espace de phase de dimension finie, l’ensemble {qi, pi} des paires de coordonnées canoniques génère complètement
les fonctions linéaires. Sous la structure seule du crochet de Poisson et de l’addition 2Ces hypothèses concernent principalement la topologie de l’espace de phase. Les méthodes
de la géométrie algébrique moderne permettent ensuite de reconstruire l’espace, voyant l’algèbre dynamique comme une algèbre de fonctions sur cette espace.
de fonctions, ces fonctions linéaires forment l’algèbre de Heisenberg. Sur les géné-rateurs {qi, pi} et C, où C est une extension centrale, le crochet de Lie est donné
explicitement par
[qi, pj] = Cδij, [C, qi] = 0, [C, pi] = 0.
Le principe de quantification canonique implique la recherche de représentations (projectives) unitaires et irréductibles de cette algèbre. Les systèmes quantiques ayant un analogue classique avec un espace de phase euclidien de dimension finie apparaissent ainsi naturellement comme la seule représentation de la sorte, à une transformation unitaire près. C’est là l’essence du théorème de Stone-von Neumann [14]. Cette représentation peut même être étendue à une représentation unitaire irréductible des fonctions quadratiques de l’espace de phase. De cette façon, pour un hamiltonien quadratique, la dynamique classique induit une dynamique sur le système quantique équivalent. Par contre, cette approche ne se généralise pas aux fonctions polynomiales de l’espace de phase3. La question de la quantification est vaste, mais ne fait pas l’objet du présent mémoire et nous n’allons donc pas élaborer cette théorie plus qu’il ne le faut. Cependant, la constatation que les observables quantiques munis des relations de commutation canoniques4 à titre de crochet de Lie forment une algèbre demeure générale. Aussi, en incluant l’hamiltonien, on obtient une algèbre dynamique pour les systèmes quantiques. Le spin ne s’indexant pas dans un espace de phase linéaire est ici ignoré, mais apparait naturellement [2] lorsque les symétries spatio-temporelles sont imposées sur la théorie.
Le contexte adopté dans ce mémoire peut maintenant être cerné. Une algèbre dynamique est donnée par des générateurs représentant les quantités dynamiques. Le produit de l’algèbre est donné par un crochet de Lie encodant à la fois les rela-tions de commutation canoniques et la loi d’évolution par l’identification d’un élé-ment distingué, l’hamiltonien. Dans ce contexte minimaliste, le produit d’éléélé-ments
3Cette preuve découle d’un théorème de Groenewold et Van Hove [11].
4Les observables qui ne se déduisent pas de cette procédure héritent de telles relations s’ils
xx = x2 qui n’est pas le crochet de Lie n’est pas défini. Cependant, il est possible
d’interpréter les éléments quadratiques, et même polynomiaux, comme le produit des éléments linéaires. Pour ce faire, on introduit la notion d’algèbre enveloppante
universelle. Pour une algèbre de Lie L sur C avec crochet de Lie [., .] : L ⊗ L → L,
on construit d’abord l’algèbre tensorielle T (L) donnée par
T (L) = ∞ M n=0 L⊗n, L⊗n= n fois z }| { L⊗ L ⊗ ... ⊗ L n > 0 C n = 0
et fermée sous le produit tensoriel L⊗m⊗ L⊗n7→ L⊗(m+n). On définit alors l’algèbre
enveloppante universelle U (L) de L par le quotient T (L)/I où I est l’idéal généré par l’ensemble des éléments de T (L) donné par u ⊗ v − v ⊗ u − [u, v], ∀u, v ∈ L. Ainsi, la structure du crochet de Lie est préservée puisque l’idéal est identifié à l’unité additive 0 et ainsi, les relations de la forme [u, v] = u ⊗ v − v ⊗ u sont imposées. L’algèbre L est naturellement incluse dans U (L) et cette construction préserve la théorie des représentations [29]. Une représentation de L sur V peut alors être vue comme une représentation de U (L) sur le même espace V ou le produit tensoriel (associatif) est interprété comme le produit matriciel dans gl(V ). En général, un espace V d’une représentation de L, induit une représentation sur
V ⊗ V de la sous-algèbre L ⊗ L dans l’algèbre enveloppante. Exiger que V soit
directement une représentation de L⊗L est une modification de cette représentation naturelle et n’est pas équivalente. Pour ce faire, il est alors nécessaire de voir la représentation gl(V ) de L comme l’algèbre de Lie issue de l’algèbre associative
End(V ) des endomorphismes de V en définissant le crochet de Lie par [x, y] = xy − yx pour x, y ∈ End(V ). Autrement, le produit matriciel n’est pas défini.
Ainsi, la représentation de U (L) sur V induite par celle de L est un homomorphisme d’algèbre associative U (L) → End(V ). La mécanique quantique standard se place implicitement dans ce contexte lorsque, par exemple, on interprète p2 comme la
double application de l’opérateur p sur un état. Nous ne différencierons donc pas ces deux constructions pour le reste du mémoire et une algèbre dynamique désigne
alors aussi bien sa définition stricte ou son algèbre enveloppante universelle. La notion d’algèbre dynamique englobe également les algèbres de symétries. En effet, le théorème de Noether établit une équivalence entre les symétries conti-nues de l’action, et donc de la dynamique, d’un système physique et les quantités conservées sous cette dynamique. Ces quantités conservées sont des observables et appartiennent alors à l’algèbre dynamique ou du moins à son algèbre enveloppante. L’évolution temporelle étant encodée par le crochet de Lie avec l’hamiltonien, les quantités conservées se démarquent dans l’algèbre dynamique comme le noyau de l’action par l’hamiltonien avec le crochet de Lie. Ces symétries continues forment naturellement des groupes de Lie et peuvent donc être encodées en terme de gé-nérateurs d’une algèbre de Lie. Ces gégé-nérateurs sont précisément les éléments de l’algèbre dynamique qui représentent les quantités conservées. L’exemple classique est celui d’une système invariant sous translation pour lequel la quantité de mouve-ment est préservée. Or, cette quantité de mouvemouve-ment est précisémouve-ment le générateur des translations. Cela provient du fait que tout les éléments de l’algèbre dynamique sont des générateurs de transformations de l’espace de phase lorsqu’ils agissent par le crochet de Lie. Lorsque ces transformations sont des symétries, le générateur correspondant génère alors la symétrie. Dans cette optique, les développements ul-térieurs et la notion de coefficients de Clebsch-Gordan s’appliquent également pour ces algèbres de symétries lorsque vues comme sous-algèbres de l’algèbre dynamique. Le type de symétries discuté ici n’inclut pas nécessairement les symétries spatio-temporelles liées au principe de relativité. Or, ces symétries jouent un rôle clé dans la nécessité pour une théorie physique multiparticule du concept de fusion qui sera introduit sous peu et dans la justification derrière l’étude de systèmes tels que ce-lui étudié au chapitre 3. De plus, il a été mentionné plus haut que les symétries spatio-temporelles, lorsqu’imposées sur la théorie, forcent l’adoption de représenta-tions dont certains paramètres forment des degrés de liberté purement quantiques, tel le spin5. Cernons d’abord le rôle fondamental que jouent ces symétries dans
5Sous certaines réserves, le spin peut être modélisé dans une théorie classique, seulement, il
la structure de l’algèbre dynamique. En effet, les relations de commutations ca-noniques peuvent être interprétées comme une conséquence des symétries spatio-temporelles. Que le groupe de relativité adopté soit le groupe de Poincaré ou de Galilée, la conclusion est la même, ignorant quelques subtilités. Aussi, pour un système quantique, si la quantité de mouvement Pi peut être vue comme le
généra-teur de translation, la position Qi s’identifie au générateur d’une translation dans
la quantité de mouvement. Sous la bonne normalisation, cette opération revient à un changement de référentiel ayant pour générateur6 K
i ∝ Qi. Or, pour les deux
groupes de relativité, on retrouve dans l’algèbre de Lie [1] un crochet de la forme suivante
[Ki, Pj] = imδij =⇒ [Qi, Pj] ∝ iδij.
Une particule ponctuelle sans structure interne possède deux ensembles de variables dynamiques Qi et Pi, et les relations de commutation canoniques sont imposées par
la relativité de la théorie. Évidemment, l’argument ne peut s’appliquer directement à un système multiparticule, mais c’est essentiellement cette constatation qui de-mande de définir le concept de fusion. De plus, les particules élémentaires consti-tuant un système sont définies à partir de leur description comme système isolé dans le vide. Demander que les relations de commutations canoniques soient préservées dans cette généralisation ne revient alors qu’à conserver la même structure que pour la particule isolée. Ce cheminement mène à une interprétation élégante de ces relations canoniques comme des contraintes sur la dynamique pour qu’une certaine cohérence, issue de la relativité, soit préservée. Ces symétries spatio-temporelles ne sont pas équivalentes à des symétries dynamiques, leur générateurs n’étant pas tous dans le noyau de l’action hamiltonienne par le crochet de Lie. Par contre, ces géné-rateurs sont des éléments de l’algèbre dynamique et très souvent un sous-ensemble 6Ceci n’est strictement vrai que à t = 0, cependant les relations de commutation canoniques
seront préservées sous une évolution subséquente unitaire. Dans tout les cas, la charge associée aux symétries de changement de référentiel s’apparente à la position du centre de masse, ce qui permet toujours l’argument qui suit.
est dans l’algèbre de symétries, ce qui implique que la notion de fusion telle qu’ex-posée ici peut être développée pour ces algèbres, de même que la décomposition de Clebsch-Gordan.
2.2 Concept de fusion
L’introduction en physique des coefficients de Clebsch-Gordan reposait histo-riquement sur un impératif pragmatique. Il est tout a fait possible d’introduire le concept en se limitant au contexte de la mécanique quantique et de ses premières applications dans le traitement perturbatif de l’atome d’hydrogène avec spin. Ce-pendant, il est pertinent d’assoir le concept sur une base rigoureuse qui a permis sa généralisation à des cas plus complexes et aussi pour pouvoir cerner le parallèle entre l’opération abstraite à laquelle il correspond et sa concrétisation dans le cas présent.
La nécessité de pouvoir faire agir une algèbre dynamique sur un système consti-tué de plusieurs représentations irréductibles a été soulignée à la section précédente. Pour ce faire, il faut pouvoir combiner ces représentations irréductibles en une seule représentation. Cette opération se concrétise par le concept de fusion. Afin de dégager la notion de fusion de systèmes physiques, on cherche à encoder al-gébriquement les propriétés de l’opération abstraite de fusion. Aussi, si la notion de fusion s’applique à beaucoup d’objets en mathématique, la fusion de systèmes physiques sera utilisée comme exemple sur lequel s’appuyer pour développer une intuition. Prenons donc l’exemple de tels systèmes pour cerner ces propriétés. On entend par système physique un ensemble de quantités dynamiques, couplées ou non, avec une loi d’évolution. Une paire de tels systèmes forme donc également un système. On demande que la structure de ce nouveau système ne dépende pas de l’ordre de la paire puisque la juxtaposition de deux systèmes qui forment ce nouveau système est abstraite, et ne permet pas de définir un ordre. De plus, on demande une opération qui est unique pour un ensemble donné de système. Par fusion on entend aussi une opération où la structure du système résultant est
in-timement liée à celles des systèmes d’origine. Naturellement, l’opération de fusion est, dans sa forme la plus simple, une opération ? binaire fermée sur un ensemble. Par exemple, en considérant une famille de systèmes physiques de même algèbre dynamique, on demanderait l’opération fermée sur un ensemble des représentations de cette algèbre. Cette conception intuitive de l’opération de fusion ne permet pas de distinguer l’action à gauche de celle à droite par ? d’un élément de la structure algébrique sur un autre et demande que la fusion de trois élément soit unique. Aussi, ? se doit d’être commutative et, par compatibilité, associative. Il est souvent possible de définir une autre opération compatible avec ?, donnant au concept de fusion la structure d’une algèbre. Les systèmes physiques décrits par une algèbre ayant cette propriété, on voit donc l’opération de fusion ? comme le produit abélien d’une algèbre associative, ou algèbre de fusion.
2.2.1 Fusion de systèmes physiques
Portons alors notre attention sur un système physique décrit par une algèbre dynamique. On considère l’opération de fusion d’une paire de tels systèmes. Sachant qu’une instance particulière de ces systèmes est une représentation de l’algèbre, la question se traduit en une opération de fusion d’une paire de représentations de cette algèbre. Une algèbre de fusion peut maintenant être définie rigoureusement [7]. Cette opération de fusion peut souvent être interprétée comme la juxtaposition de deux tels systèmes n’ayant aucun couplage entre eux. Cette juxtaposition doit être entendue comme conceptuelle au sens où l’on cherche maintenant à interpréter les deux systèmes comme les deux sous-systèmes d’un système total formé de la paire.
Pour un système quantique avec algèbre dynamique a, l’espace de Hilbert H sous l’action de la réalisation de a en termes d’opérateurs est une représentation ir-réductible de cette algèbre. Le système global, composé d’une paire de tels systèmes quantiques juxtaposés, aura pour espace de Hilbert le produit tensoriel H ⊗ H des deux sous-espaces. De même, on obtient une algèbre dynamique globale donnée par le produit tensoriel de l’algèbre avec elle-même a ⊗ a agissant sur l’espace globale
par
a⊗ a(H ⊗ H) = a(H) ⊗ a(H).
L’opération ? de l’algèbre de fusion se présente donc dans les systèmes quantiques comme le produit tensoriel de représentations irréductibles d’une algèbre dyna-mique. De plus, il est cohérent de poser la somme directe de représentations comme étant l’opération additive de l’algèbre. En effet, la somme directe d’espaces de Hil-bert s’interprète naturellement comme l’ajout de possibilité d’état à un système existant. Par exemple, lorsqu’est construit l’espace de Fock des états en théorie des champs, les espaces de Hilbert pour des états multiparticules sont construits par le produit tensoriel de l’espace de Hilbert d’une seule particule. Aussi, puisque l’on cherche maintenant à permettre que le nombre de particules soit variable, l’espace de Hilbert complet est constitué de la somme directe de ces espaces multiparticules. Cependant, la structure d’algèbre seule d’une algèbre dynamique ne suffit pas pour réaliser complètement une algèbre de fusion. En effet, cette structure doit être fer-mée sous ? et rien ne permet une telle conclusion sans structure supplémentaire puisque H ⊗ H est une représentation de a ⊗ a mais il n’est pas clair que cet espace permette une représentation de a. Ainsi, le produit tensoriel de représentation n’est pas suffisant pour correspondre au concept de fusion puisque la paire d’éléments initiale n’est pas identifiée à un élément du même ensemble. Il est nécessaire d’in-troduire des structures supplémentaires. Au nombre des structures permettant la réalisation de l’algèbre de fusion, les bialgèbres se démarquent par leur ubiquité en physique mathématique.
2.2.2 Réalisations de la fusion et bialgèbres
Soit une algèbre associative a avec unité sur un corps K. On sait que a possède un produit associatif ∇ : a ⊗ a → a et une unité η : K → a. La structure duale de a au sens de la théorie des catégories, lorsqu’existante, est donnée par les homo-morphismes ∆ : a → a ⊗ a, le coproduit, et : a → K, la counité et fait de a une
coalgèbre. Une telle algèbre devient une bialgèbre lorsque la compatibilité entre ces deux structures est demandée [31]. Les bialgèbres ou des structures similaires se retrouvent dans plusieurs problèmes de la physique mathématique au travers, par exemple, des algèbres de Hopf ou encore des bialgèbres de Lie, où l’associativité est remplacée par l’identité de Jacobi.
Les bialgèbres permettent de réaliser une algèbre de fusion. En effet, la réa-lisation est construite à partir d’une bialgèbre b en prenant les représentations irréductibles de b pour éléments et la somme directe de représentations comme opération d’addition, qui est naturellement fermée. Par une heuristique basée sur l’interprétation physique de l’opération de fusion d’une algèbre dynamique, l’opé-ration ? de l’algèbre de fusion a été associée au produit tensoriel de représentations. Cette réalisation de ? ne garantissait pas, en général, sa fermeture dans l’algèbre de fusion. Or, dans le cas d’une bialgèbre, il est toujours possible d’interpréter le produit tensoriel de représentation comme une représentation. Reprenant les notations du paragraphe précédent, une représentation de a est donnée par un ho-momorphisme π paramétrisé par un ensemble {mi} et un espace (mi) associé de
tel sorte que π : a → End((mi)). Tel que relevé plus haut, l’espace (mi) ⊗ (mj) est
une représentation de a ⊗ a par l’homomorphisme π ⊗ π. Une bialgèbre possède un coproduit ∆ : a → a ⊗ a qui, étant un homomorphisme, induit une représentation ˆ
π : a → End((mi) ⊗ (mj)) de a sur (mi) ⊗ (mj) avec ˆπ = (π ⊗ π) ◦ ∆. Le
pro-duit tensoriel est donc fermé et il est fondé de réaliser l’opération ? par le propro-duit tensoriel de représentations.
La réalisation de l’algèbre de fusion que forme les bialgèbres est construite à partir d’algèbres associatives, cependant, l’algèbre dynamique L n’est pas associa-tive puisque son produit est donné par un crochet de Lie qui n’est pas associatif. L’algèbre enveloppante universelle U (L), présentée dans la section précédente, ne correspond pas non plus à la structure désirée puisque le produit tensoriel d’élé-ments de l’algèbre était dans ce cas interprété comme l’action consécutive des l’élé-ments sur une même représentation alors que pour la fusion, on désir plutôt une interprétation comme l’action simultanée sur deux représentations différentes.
Ce-pendant, la même la structure d’algèbre enveloppante universelle peut être utilisée. En procédant à nouveau dans la construction de l’algèbre enveloppante en partant maintenant de U (L) on retrouve exactement la même structure d’algèbre, au sens où cette structure n’est en rien enrichie. Cependant, cela nous permet de donner une interprétation différente au produit tensoriel et ainsi d’enrichir la théorie des représentation de U (L). Ainsi, l’objet résultant possède deux interprétations du produit tensoriel : la première en termes d’actions consécutives sur une même re-présentation, la seconde en termes de l’action simultanée sur deux représentations différentes. Cette seconde interprétation suit de l’introduction du coproduit symé-trique ∆ : u 7→ u ⊗ 1 + 1 ⊗ u sur U (L), en faisant automatiquement une algèbre de Hopf er donc une bialgèbre. L’algèbre de fusion se réalise donc comme une algèbre sur les représentations irréductibles de l’algèbre enveloppante universelle d’une al-gèbre dynamique avec ? réalisée par le produit tensoriel ⊗ et l’opération additive +, par la somme directe ⊕ de représentations. Cette forme simple du coproduit est intuitive pour beaucoup de systèmes, interprétant la mesure d’une quantité sur le système global comme la somme de la mesure sur l’un et, séparement, sur l’autre système juxtaposé de ce système global.
Il est maintenant possible d’introduire les coefficients de Clebsch-Gordan dans le contexte des algèbres de Lie. Les principaux résultats de ce mémoire se situent dans une généralisation de ce contexte qui sera élaborée à la section 2.4.
2.3 Coefficients de Clebsch-Gordan
Les représentations d’une algèbre de Lie sur le produit tensoriel de ses représen-tations irréductibles obtenues par le biais du coproduit ne sont pas nécessairement irréductibles, mais peuvent toujours se décomposer en une somme directe de re-présentations irréductibles. Aussi, l’opération de fusion que représente le produit tensoriel est une juxtaposition abstraite et ne correspond donc qu’à un changement de point de vue dans la description du système. Les deux descriptions restent iso-morphes et puisqu’il s’agit ici d’un isomorphisme de représentations, l’espace formé
par le produit tensoriel et sa décomposition en une somme directe sont isomorphes et peuvent être identifiés. De cette façon, les deux descriptions correspondent sim-plement à deux bases de cette espace unique et la fusion s’apparente à un change-ment de base. Les coefficients de Clebsch-Gordan sont préciséchange-ment les coefficients de ce changement de base. Dans le cas de systèmes physiques, cette correspondance entre les espaces liée au changement de point de vue s’interprète intuitivement : un système global est décrit soit comme un tout unique, soit comme une conjonction de sous-systèmes.
Soit un système quantique décrit par une algèbre dynamique, l’espace de Hilbert associé est une représentation irréductible de l’algèbre. Notons alors cette représen-tation par (g) où g est un élément de l’ensemble {g} paramétrisant les différentes représentations irréductibles7. La fusion de deux tels systèmes avec paramètres
{g1} et {g2} identifie l’espace de représentation (g1) ⊗ (g2) avec sa décomposition
en représentations irréductibles
(g1) ⊗ (g2) '
M
gi∈g
(gi). (2.3.1)
Ces représentations d’algèbres dynamiques étant des espaces de Hilbert, on peut définir la base donnée par les vecteurs propres d’un élément distingué de l’algèbre, l’hamiltonien, dont le spectre forme les énergies permises. L’énergie étant bornée inférieurement par zéro et, pour un système lié, le spectre d’énergie étant discret, il est possible d’indexer le spectre par N. Parallèlement, les vecteurs propres sont également indexés par n ∈ N. En notant les vecteurs orthonormés d’une telle base |n, gi, où les dégénérescences du spectre sont supposés inexistantes, l’isomorphisme (2.3.1) s’écrit comme un changement de base
|n1, g1i ⊗ |n2, g2i =
X
n∈N
Cnn,g
1,n2|n, gi. (2.3.2)
Les coefficients de Clebsch-Gordan Cnn,g1,n2 sont donc les éléments de matrices de ce 7Le spectre des opérateurs de Casimir [29] donne souvent un tel ensemble, ces opérateurs étant
changement de base. Une relation duale existe puisque le changement de base est un isomorphisme et s’exprime par la décomposition inverse qui sera utilisée dans le présent travail |n, gi = X n1,n2∈N Cnn,g 1,n2 †|n 1, g1i ⊗ |n2, g2i.
Lorsque le spectre de l’hamiltonien n’est pas discret, pour une particule libre, par exemple, les vecteurs de base ne sont pas dénombrables et il n’est pas possible de poser le problème sous la forme d’une somme. Cependant une relation équiva-lente se pose en terme d’une intégrale directe et les coefficients de Clebsch-Gordan s’apparentent alors à une mesure sur les vecteurs de base.
2.3.1 Applications
On pourrait se demander maintenant la pertinence d’introduire les coefficients de Clebsch-Gordan si ceux-ci décrivent simplement un isomorphisme entre deux espaces, voire, un automorphisme d’un seul espace. La pertinence de ces coefficients découle intuitivement de leur interprétation en terme de points de vue différents dans la modélisation d’un système physique. En effet, il est souvent plus facile de travailler un problème sous un différent point de vue que celui dans lequel le problème est décrit. Entre autres, le changement de base lié au problème de Clebsch-Gordan permet parfois de diagonaliser des opérateurs. Illustrons alors ces applications par un exemple général.
La relativité restreinte postule l’invariance des systèmes physiques isolés sous les transformations de Poincaré. Ces transformations étant des symétries forment un groupe et, ainsi, le modèle mathématique qui décrit un tel système doit former une représentation de ce groupe afin de pouvoir modéliser l’effet de ces transformations sur la description du modèle. Un exemple intéressant pour la présente exposition apparaît dans la restriction au sous-groupe SO(3) des rotations du groupe de Poin-caré. Les éléments de l’algèbre de Lie associée à ces symétries sont identifiés aux générateurs des rotations de l’espace et, par le théorème de Noether, correspondent
à la conservation du moment angulaire. Les représentations pertinentes en physique seront projectives8 et on peut se permettre de considérer le double recouvrement
SU (2). La théorie des représentations de ce groupe mène à la classification des
dif-férentes représentations et ne sera pas poursuivie ici, les représentations d’intérêt physique étant bien connues [32], ayant pour paramètre la norme du moment an-gulaire, un entier ou demi-entier. Chaque particule physique fondamentale dans le vide est identifiée à une représentation irréductible de ce groupe9. Le modèle d’un
système multiparticule constitué de telles particules est construit à partir de ces représentations irréductibles. Or, ce modèle, si le système est isolé, doit lui-même être une représentation10, puisque les symétries spatio-temporelles agissent sur tout
système physique. Il s’agit là d’une des raisons principales de demander à ce que cette algèbre de symétries soit munie d’un coproduit et permette alors la réalisation de la fusion.
Supposons maintenant un système composite constitué de deux particules, cha-cune étant des représentation de su(2) et ayant donc un moment angulaire intrin-sèque, ou spin. L’hamiltonien de ce système est pris comme étant nul. Dans ce contexte, le moment angulaire total est préservé et l’une ou l’autre des descrip-tions du modèle est justifiée et diagonalise l’hamiltonien, c’est-à-dire la description du système comme l’état de chaque sous-système ou un état du système global. Si maintenant le système est perturbé par l’introduction d’un couplage entre les deux moments angulaires dépendant de leur produit scalaire, il n’est plus vrai que l’hamiltonien est diagonalisé par les deux choix de base. La description du sys-tème global en terme du moment angulaire total prévaut au sens où elle permet de diagonaliser l’hamiltonien. Pour connaître l’évolution de chaque sous-système, les coefficients de Clebsch-Gordan seront alors utilisés pour exprimer une solution globale en terme de solution sur les sous-systèmes ou, à l’inverse, pour exprimer une condition initiale donnée pour les sous-systèmes comme une condition initiale 8On considère les représentations projectives sur l’espace de Hilbert puisque les observables
physiques ne seront pas affectés par une phase.
9On le demande en postulant l’isotropie de l’espace.
dans la base diagonale de l’hamiltonien.
Une seconde perturbation à ce système modélisant une interaction extérieure permet également d’introduire le concept de règles de sélection. En effet, si cette intéraction est médiée par une particule ayant elle aussi un moment angulaire intrin-sèque, la conservation du moment angulaire ne s’applique plus au système constitué de la paire initiale, mais bien au nouveau système formé des trois particules. Aussi, les transitions permises entre les états, en plus des contraintes issues de la préser-vation de l’énergie, seront contraintes par cette préserpréser-vation du moment angulaire. Afin de voir comment ces transitions du système global se reflèteront sur les états des deux particules intiales, les coefficients de Clebsch-Gordan seront utilisés pour effectuer le changement de base nécessaire.
Il existe de nombreux exemples en physique atomique et moléculaire où les coefficients de Clebsch-Gordan simplifient l’obtention de solutions exactes ou de résultats qualitatifs comme les règles de sélection dans les transitions. Au nombre de ces utilisations, on dénote le théorème de Wigner-Eckart, l’utilisation des règles de sélections pour déterminer les transitions électroniques permises ou bien encore pour déterminer les sections efficaces en physique des particules. Cette section ne cherchait qu’à illustrer très sommairement leur importance dans l’utilisation de nombreux modèles de la physique. Le lecteur intéressé aux applications en méca-nique quantique des coefficients de Clebsch-Gordan de su(2) est référé à n’importe quel livre d’introduction à la mécanique quantique, par exemple [27] qui en explicite plusieurs.
2.3.2 Lien avec les polynômes orthogonaux
Les coefficients de Clebsch-Gordan s’expriment en pratique souvent en termes de polynômes orthogonaux. C’est le cas des coefficients traités dans ce mémoire. Les polynômes orthogonaux forme des ensembles de fonctions polynomiales qui sont orthogonales sur leurs degrés pour une certaine mesure. Dans cette optique, ils forment une base d’un espace vectoriel de fonctions muni d’un produit scalaire et se retrouvent dans les solutions exactes de nombreux modèles de la physique
mathématique. Ces polynômes sont également le sujet d’une riche branche des ma-thématiques au-delà de leur utilisation en physique. Ainsi, plusieurs classifications ont été entreprises [25] et de nouvelles sont encore découvertes [18]. Un traitement plus large est offert dans le livre de Chihara [26]. Sans vouloir développer la théorie des polynômes orthogonaux ici, il demeure possible de souligner les raisons derrière leur émergence dans le contexte des coefficients de Clebsch-Gordan.
Soit le problème de Clebsch-Gordan défini sur des espaces de Hilbert de di-mension infinie. Les coefficients de Clebsch-Gordan dépendent des paramètres in-dexant les vecteurs des bases et il est raisonnable de supposer qu’ils en sont des fonctions. La normalisation des vecteurs des bases et l’unitarité du changement de base contraint substantiellement la forme des coefficients de Clebsch-Gordan. Entre autres, leur valeur absolue doit décroître suffisamment rapidement lorsque l’index tend vers l’infini, pour maintenir la normalisation. En pratique, cette dé-croissance est souvent exponentielle. De plus, puisque le changement de base est unitaire, on a que les coefficients sont orthogonaux pour un certain produit scalaire. Ces coefficients sont donc des fonctions orthogonales sur un index des vecteurs de base. Des contraintes supplémentaires s’obtiennent par l’application des éléments de l’algèbre dynamique sur les deux membres de (2.3.2). Pour des systèmes avec suffisamment de symétries, cette dépendance sur les paramètre des vecteurs de base est réalisée par un système de polynômes orthogonaux. Par exemple, l’utilisation d’un opérateur échelle permet souvent d’extraire une relation de récurrence à trois termes, la solution de laquelle sera donnée par des polynômes orthogonaux. Les polynômes ainsi obtenus, indexés par leur degrés, sont orthogonaux sous une me-sure provenant de l’orthogonalité des vecteurs de base et étant donc associée à la décroissance exponentielle. La normalisation de ces polynômes est induite direc-tement de la normalisation de la base. Ces systèmes de polynômes orthogonaux sont, tel que mentionné, une structure présente dans de nombreux modèles de la physique mathématique, lorsque les symétries contraignent suffisamment la struc-ture du modèle de sorte que les solutions en série des équations tronquent à une puissance finie, omettant un facteur transcendantal que l’on peut factoriser. Ils
sont donc profondément reliés à la présence de symétries dans les systèmes qu’ils modélisent.
2.4 Superalgèbre osp(1|2)
Ce chapitre débute avec la remarque que les coefficients de Clebsch-Gordan ne nécessitent pas l’introduction du concept de fusion pour être définis. Ces coeffi-cients peuvent également être introduits pour osp(1|2), l’algèbre dynamique traitée au prochain chapitre, sans mention de fusion. Cependant, le coproduit n’est plus symétrique et prend une forme différente que dans les cas triviaux, ce qui introduit une subtilité supplémentaire dans la dérivation des coefficients de Clebsch-Gordan qui y sont associés. Cette subtilité s’interprète facilement lorsque le problème est approché par le concept de fusion. Ainsi, si une description formelle de cette algèbre sera donnée, cette section cherche plus à dégager cette subtilité et la placer dans le contexte du concept de fusion. De plus, les applications théoriques de cette algèbre dynamique et son intérêt dans la physique moderne seront couverts.
La superalgèbre de Lie osp(1|2) est l’algèbre orthosymplectique la plus simple permettant le mélange de relations de commutation de parité différente [3]. Elle peut être introduite comme l’algèbre générée [5] par cinq générateurs {J0, J±, K±},
dont trois sont paires {J0, K±} et deux sont impaires {J±}, au sens le crochet de
Lie diffère, et les relations suivantes
[J0, J±] = ±J±, {J+, J−} = 2J0, [K−, K+] = 4J0, [J0, K±] = ±2K±.
Cette algèbre sera traitée comme une algèbre dynamique dans le chapitre suivant et pour se faire les constructions de se chapitres doivent être appliquées. Cette algèbre n’étant pas une algèbre de Lie, mais bien une superalgèbre de Lie, les constructions sont légèrement différentes mais suivent suffisamment celles présentées qu’il n’est pas pertinent de les exposer. Entre autres, l’algèbre enveloppante universelle est construite de façon similaire. Une différence est dans la représentation de cette al-gèbre en tant qu’endomorphismes d’un espace. Le crochet de Lie doit tenir compte
de la parité des opérateurs et être défini alors comme le commutateur ou l’anticom-mutateur selon la parité. En effet, le crochet ne peut être vu, à proprement parler, comme un commutateur ou un anticommutateur que si l’algèbre est réalisée par une construction partant d’une algèbre associative. Dans l’algèbre enveloppante, il est redondant d’introduire les générateurs K±, qui sont simplement le carré des
opérateurs J±, et ne sont donc pas inclus dans la description de l’algèbre au chapitre
3.
La seconde procédure est de faire de cette algèbre enveloppante une algèbre de Hopf par l’introduction d’un coproduit compatible. Le coproduit ne peut plus être symétrique : il est nécessaire d’introduire un élément de torsion dans l’algèbre ce qui mène à un coproduit torsadé [31]. Cette déformation du coproduit peut sembler arbitraire, mais est nécessaire pour en assurer sa compatibilité tel que demandé par le principe de fusion. Les algèbres de Hopf déformées ainsi admettent une justification satisfaisante à l’introduction de cette déformation. En effet, si la réalisation de la fusion est nécessaire pour permettre l’application des symétries sur des systèmes mutiparticules, elle demeure facilement réalisable pour les algèbres de Lie. Cependant, si une théorie est construite dans un espace de la géométrie non-commutative telle qu’introduite par Alain Connes, un coproduit symétrique n’est plus un homomorphisme d’algèbres et on ne peut définir l’action de l’algèbre sur un système multiparticule qu’à travers un coproduit torsadé.
Ces algèbres de Hopf torsadées ont la propriété intéressante [28] que les repré-sentations irréductibles ne sont pas perturbées par l’introduction de la torsion dans l’algèbre. En effet, les représentations de l’algèbre non-déformée, construites à partir d’objets covariants de Lorentz par exemple, demeurent valides. La différence n’ap-paraît en fait que lorsque sont considérées les propriétés des états sous l’échanges de particules pour un état multiparticule. Naturellement, ces modifications seront reflétées dans les statistiques que ces particules obéissent. Avec ces observations, il n’est pas étonnant que l’algèbre osp(1|2) soit l’algèbre dynamique d’un oscillateur parabosonique [3, 16] puisqu’un paraboson est un cas particulier de particule obéis-sant aux parastatistiques, une généralisation des statistiques usuelles bosoniques
ou fermioniques correpondant à des représentation de dimensions supérieures du groupe symétrique SN, encodant ici l’échange de particules.
Ne voulant pas spéculer sur les possibles applications de tels modèles en gravité quantique, il demeure que ces généralisations statistiques ont un intérêt réel à de multiples problèmes physiques que la géométrie de notre espace soit abélienne ou non. Par exemple, ces algèbres torsadées se retrouvent dans l’étude de l’équation de Yang-Baxter quantique, une condition d’intégrabilité de systèmes quantiques [30]. Ce domaine de la physique mathématique est un sujet d’actualité, particuliè-rement la méthode de la diffusion quantique inverse [9]. Il semble que ces méthodes permettront l’étude théorique de systèmes complexes issus de la matière condensée. La réalisation de statistiques non-standards peut paraître futile sachant que ces champs peuvent s’exprimer en trois dimensions spatiales comme des particules aux statistiques usuelles par le biais de transformations de Klein. On retrouve alors la conclusion principale du théorème de spin-statistique établissant la correspondance entre le type de statistiques permises et les moments intrinsèques permis. Or, ce théorème ne s’applique seulement qu’en trois dimensions et la topologie d’un espace bidimensionnel ne permet pas la preuve de ce théorème. Aussi, un système confiné pourrait exhiber des quasi-particules obéissant à de nouvelles statistiques. Les ma-tériaux en deux dimensions sont justement un domaine de la matière condensée en pleine expansion, comme le démontre l’effort international dans l’étude du gra-phène ou encore du M oS2. En particulier, l’effet de Hall quantique fractionnaire
s’explique par des quasi-particules anyoniques, le groupe de permutations des par-ticules étant ici le groupe de tresse. On ne peut alors que se demander quelles découvertes demanderont le développement de ces nouveaux outils de la physique mathématique.
GENERATING FUNCTIONS FOR THE OSP(1|2) CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS
Ce chapitre est le travail de deux co-auteurs, soit de l’auteur du présent mémoire et de Luc Vinet.
Abstract
Generating functions for Clebsch-Gordan coefficients of osp(1|2) are derived. These coefficients are expressed as q → −1 limits of the dual q-Hahn polynomials. The generating functions are obtained using two different approaches respecti-vely based on the coherent-state representation and the position representation of osp(1|2).
3.1 Introduction
The purpose of this paper is to obtain generating functions for the Clebsch-Gordan coefficients (CGC) of the osp(1|2) Lie superalgebra. This Z2-graded
alge-bra, which corresponds to the dynamical algebra of a one-dimensional para-Bose oscillator [3], is generated by two odd elements J± and one even element J0. The
abstract Z2 grading of osp(1|2) can be concretized by introducing a grade
invo-lution operator R (R2 = 1) which commutes/anticommutes with the even/odd
elements and by adding it to the set of generators. The osp(1|2) algebra can thus be presented as the associative algebra with generators J0, J±, R and relations
[J0, J±] = ±J±, [J0, R] = 0, {J+, J−} = 2J0, {J±, R} = 0, R2 = 1, (3.1.1)
where [a, b] = ab−ba is the commutator and {a, b} = ab+ba is the anticommutator. The presentation (3.1.1) of osp(1|2) has sometimes been referred to as sl−1(2), as
it can be obtained from a q → −1 limit of the quantum algebra Uq(sl(2)) [17]. The
algebra (3.1.1) has a Casimir operator which can be written as :
C = (J+J−− J0+ 1/2) R. (3.1.2)
The operator (3.1.2) corresponds to the sCasimir of osp(1|2) multiplied by the grade involution [10]. The irreducible representations of osp(1|2) used in this paper are the positive-discrete series representations. These infinite-dimensional representations are labeled by two numbers (µ, ) with µ ≥ 0 and = ±1. On the orthonormal basis vector |n, µ, i with n = 0, 1, 2, . . ., these representations are defined by the following actions J0|n, µ, i = (n + µ + 1/2) |n, µ, i, R|n, µ, i = (−1)n|n, µ, i, J+|n, µ, i = q [n + 1]µ|n + 1, µ, i, J−|n, µ, i = q [n]µ|n − 1, µ, i, (3.1.3)
where [n]µ stands for the “µ-number”
[n]µ= n + µ (1 − (−1)n). (3.1.4)
The Casimir operator is a multiple of the identity :
C |n, µ, i = − µ|n, µ, i.
The representations (µ, ) defined by (3.1.3) correspond to the para-Bose oscillator model (see section 3.4). In the presentation (3.1.1), the superalgebra osp(1|2) has a coproduct ∆ : osp(1|2) → osp(1|2) ⊗ osp(1|2) which has the form
∆(J0) = J0⊗ 1 + 1 ⊗ J0, ∆(J±) = J±⊗ R + 1 ⊗ J±, ∆(R) = R ⊗ R. (3.1.5)
The Clebsch-Gordan problem for osp(1|2) can be posited as follows. Consider the tensor product representation (µ1, 1) ⊗ (µ2, 2) defined using (3.1.5). There are two
with basis vectors |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i. This basis, thereafter referred to as the
uncoupled basis, corresponds to the diagonalization of the operators J0⊗ 1, R ⊗ 1,
∆(J0) and ∆(R). On these basis vectors, one has
(J0⊗ 1)|n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i = (n1+ µ1+ 1/2) |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i,
(R ⊗ 1)|n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i = 1(−1)n1 |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i,
∆(J0)|n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i = (n1+ n2 + µ1+ µ2+ 1) |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i,
∆(R)|n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i = 12(−1)n1+n2 |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i,
(3.1.6) where n1, n2 ∈ {0, 1, 2, . . .}. The second basis, referred to as the coupled basis,
corresponds to the diagonalization of ∆(C), ∆(J0) and ∆(R). On the coupled
basis vectors |n12, µ12, 12i, one has
∆(C) |n12, µ12, 12i = −12µ12|n12, µ12, 12i,
∆(R)|n12, µ12, 12i = 12(−1)n12|n12, µ12, 12i,
∆(J0)|n12, µ12, 12i = (n12+ µ12+ 1/2) |n12, µ12, 12i,
(3.1.7)
where n12 = 0, 1, 2 . . .. The possible values of µ12 and 12 are determined by the
irreducible content of the tensor product representation (µ1, 1) ⊗ (µ2, 2). It is
known that one has the decomposition [24]
(µ1, 1) ⊗ (µ2, 2) = ∞ M j=0 (µ1+ µ2+ 1 2+ j, (−1) j 12),
provided that µ1, µ2 ≥ 0. As a consequence, the values of µ12 and 12 are given by
µ12 = µ1+ µ2+
1
2+ j, 12= (−1)
j
12 j = 0, 1, 2, . . . (3.1.8)
The Clebsch-Gordan problem for the osp(1|2) algebra consists in finding the coef-ficients Cn1n2
of the uncoupled basis |n12, µ12, 12i = X n1,n2 Cn1n2 n12,j |n1, µ1, 1i ⊗ |n2, µ2, 2i. (3.1.9)
The Clebsch–Gordan coefficients Cn1n2
n12,j have already been determined in [17, 22].
They are given in terms of the dual −1 Hahn polynomials. These polynomials belong to the Bannai–Ito scheme, which comprises several families of bispectral orthogonal polynomials that correspond to q → −1 limits of polynomials of the Askey scheme [19]. The dual −1 Hahn polynomials are q → −1 limits of the dual
q-Hahn polynomials [23] ; they can also be obtained as a special case of the
Com-plementary Bannai-Ito polynomials [21]. The dual −1 Hahn polynomial obey a discrete orthogonality relation on a finite lattice. In addition to satisfying the man-datory three-term recurrence relation, these polynomials are also eigenfunctions of a second-order Dunkl shift operator involving reflections ; they are thus bispectral but lie outside the framework of Leonard duality.
In the present paper, we expand upon these results by deriving generating functions for these Clebsch–Gordan coefficients. We do so using two different ap-proaches. The first approach is based on a method originally proposed by Gra-novskii and Zhedanov in [6]. We generalize this technique to take into account the twisted coproduct (3.1.5) of osp(1|2) (see also [13]). This method relies upon the coherent-state representation of the para-Bose oscillator. The second approach is based on the two-dimensional Dunkl oscillator model, a superintegrable system which is obtained by combining two independent one-dimensional para-Bose oscilla-tors. Here, we use the wavefunctions of the Dunkl oscillator separated in Cartesian and polar coordinates as realizations of the basis vectors of the uncoupled and cou-pled bases to derive the generating functions. This method relies upon the position representation of the para-Bose oscillator.
The paper is organized as follows. In Section 2, the properties of the dual −1 Hahn polynomials are recalled. The generating functions for the osp(1|2) CGC are derived using the first approach in section 3 and using the second method in section
4. A short conclusion follows.
3.2 Dual -1 Hahn Polynomials
This section reviews the main properties of the dual −1 Hahn polynomials. The connection between the osp(1|2) Clebsch-Gordan coefficients and these polynomials is also provided.
The monic dual -1 Hahn polynomials, which involve two real parameters η, ξ and a positive integer N , will be denoted by R(−1)
n (x; η, ξ, N ). They satisfy the
recurrence relation R(−1)n+1(x; η, ξ, N ) + bnR(−1)n (x; η, ξ, N ) + unR (−1) n−1(x; η, ξ, N ) = xR (−1) n (x; η, ξ, N ),
where the coefficients are given by
un = 4[n]ξ[N − n + 1]η, bn= 2([n]ξ+ [N − n]η) − 2η − 2ξ − 2N − 1,
with [n]µthe µ-numbers as defined in (3.1.4). The dual −1 Hahn polynomials obey
the orthogonality relation
N
X
j=0
wj R(−1)n (yj) Rm(−1)(yj) = κ0 u1u2...unδnm, (3.2.1)
where the normalization κ0, the grid points ys and the weights w2s+q for s =
0, 1, . . . , N and q ∈ {0, 1} have the expressions
κ0(η, ξ, N ) = (−η − ξ − N )N/2 (1/2 − ξ − N/2)N/2 , N even, (η + ξ + 1)(N +1)/2 (η + 1/2)(N +1)/2 , N odd,
ys(η, ξ, N ) = (−1)s(−2η − 2ξ − 2N + 2s − 1), N even, (−1)s(2η + 2ξ + 2s + 1), N odd, w2s+q(η, ξ, N ) = (−N/2)s+q s! (−1)s(1/2 − η − N/2) s(−η − ξ − N )s (1/2 − ξ − N/2)s(−η − ξ − N/2)s+q , N even, (−(N − 1)/2)s s! (−1)s(ξ + 1/2) s+q(η + ξ + 1)s (η + 1/2)s+q(η + ξ + N/2 + 3/2)s , N odd,
with (a)n= (a)(a + 1) . . . (a + n − 1).
The dual −1 Hahn polynomials can be expressed explicitly in terms of hyper-geometric functions (see [25] for the definition). When N is even,
R(−1)2k (x − 1) = γn(0) 3F2 −n, δ + x4, δ − x4 −N 2, − 2η+N −1 2 ; 1 , R(−1)2k+1(x − 1) = γn(1)(x − 2η − 2ξ)3F2 −n, δ + x4, δ − x4 1 − N2, −2η+N −12 ; 1 , with δ = (η + ξ + N )/2 and γn(0) = 16n −N 2 n 1 − 2η − N 2 n , γn(1) = 16n 1 − N 2 n 1 − 2η − N 2 n ,
while for N odd,
R(−1)2k (x − 1) = γn 3(0) F2 −n, δ + x4, δ − x4 −N −1 2 , η + 1 + N 2 ; 1 , R(−1)2k+1(x − 1) = γn(1)(x + 2η − 2ξ)3F2 −n, δ +x4, δ − x4 −N −1 2 , η + 1 + N +1 2 ; 1 , where δ = (η + ξ + 1)/2 and γn(0) = 16n 1 − N 2 n 2η + 1 2 n , γn(1) = 16n 1 − N 2 n 2η + 3 2 n .
by hn1, µ1, 1, n2, µ2, 2|n12, µ12, 12i, which form a unitary matrix by definition, are
expressed as follows in terms of the dual -1 polynomials :
hn1, µ1, 1, n2, µ2, 2|n12, µ12, 12i = 2−n1 v u u t wj[n2]µ2! κ0[n1]µ1![n1+ n2]µ2! R(−1)n1 (yj; µ2, µ1, n1+ n2),
where the µ-factorials [n]µ! are defined as [n]µ! = [n]µ[n − 1]µ[n − 2]µ. . . [1]µ and
where wj = wj(µ2, µ1, n1+ n2), κ0 = κ0(µ2, µ1, n1+ n2) and yj = yj(µ2, µ1, n1+ n2).
The relation n1+ n2 = n12+ j between the basis vector labels (3.3.21) is assumed
and will be explained in section 3.3.5.
3.3 Algebraic approach
We shall call algebraic the first approach to obtain the generating functions for the osp(1|2) CGC. It builds on the method introduced in [6]. In order to present it clearly, we shall start by illustrating how it applies in the case of su(1, 1) before treating the osp(1|2) case in details.
3.3.1 The case of su(1, 1)
The su(1, 1) algebra is given by the generators A± and A0 with the relations
[A0, A±] = ±A±, [A+, A−] = −2A0
and conditions
A†0 = A0, A †
±= A∓.
The Casimir operator Q of this algebra is
The positive-discrete series representations are labeled by one positive real number
l. The orthonormal basis vectors of a given representation (l) will be noted |m, li
with the actions of the generators and of the Casimir operator given by
A0|m, li = (l + m)|m, li, A+|m, li = q (m + 1)(2l + m)|m + 1, li, A−|m, li = q m(2l + m − 1)|m − 1, li, Q|m, li = l(l + 1)|m, li.
The su(1, 1) algebra can be endowed with a coproduct ∆ : su(1, 1) → su(1, 1) ⊗ su(1, 1) given by
∆(Ai) = Ai⊗ 1 + 1 ⊗ Ai,
which defines the tensor product of the positive discrete series representations. The decomposition of the tensor product of two irreducible representations in a direct sum of irreducible representations is known to be
(l1) ⊗ (l2) = ∞
M
k=0
(l1+ l2+ k).
There are two natural bases for the (l1) ⊗ (l2) representation space. The uncoupled
one, comprises the direct product of the basis vectors of (l1) and (l2), written
|m1, l1, m2, l2i = |m1, l1i ⊗ |m2, l2i, and diagonalizes the operators A0 ⊗ 1 and
∆(A0) :
A0⊗ 1|m1, l1, m2, l2i = (m1+ l1)|m1, l1, m2, l2i, (3.3.1)
∆(A0)|m1, l1, m2, l2i = (m1+ m2+ l1+ l2)|m1, l1, m2, l2i. (3.3.2)
The coupled basis is the union of the standard bases of the representations (l1+l2+
