5 Produit tensoriel

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5 Produit tensoriel

5.1 D´ efinitions et exemples

Soient f(x), x ∈ R^d, et g(y), y ∈ R^k, deux fonctions localement int´egrables.

Alorsf(x)g(y) est localement int´egrable surR^d+k, et l’on peut d´efinir une dis- tribution surR^d+k:

(f(x)g(y), ϕ) = Z

R^d+k

f(x)g(y)ϕ(x, y)dxdy

= Z

R^d

f(x) Z

R^k

g(y)ϕ(x, y)dy

dx.

D´efinition 5.1. Soitf ∈ D^′(R^d) etg∈ D^′(R^k). On d´efinit le produit tensoriel def etg comme une distributionh∈ D^′(R^d+k) telle que

(h, ϕ) = f(x),(g(y), ϕ(x, y))

pour toutϕ∈ D(R^d+k).

On noteh=f(x)⊗g(y).

Il faut v´erifier que le produit est bien d´efini. Pour simplifier, on suppose dans la suite qued=k= 1.

Lemme 5.2. Soit g∈ D^′(R)etϕ∈ D(R²). Alors la fonction ψ(x) := g(y), ϕ(x, y)

appartient `a l’espaceD(R), et pour tout entier j≥0 on a ψ^(j)(x) = g(y), ∂_x^jϕ(x, y)

De plus, siϕk ∈ D(R²)et ϕk →ϕdansD(R²), alors la suite ψk(x) := g(y), ϕk(x, y)

converge versψdansD(R).

D´emonstration. La fonction ψ(x) est bien d´efinie pour tout x ∈ R. Comme ϕ(x, y) = 0 pour|x| ≥R≫1, le support de ψest inclut dans la bouleBR⊂R de centre z´ero et de rayon R. Montrons que ψ est continu. En effet, soit {xn} ⊂ R une suite convergeant vers x ∈ R. Alors ϕ(xn,·) → ϕ(x,·) dans D(R). Il s’ensuit queψ(xn)→ψ(x).

Montrons queψ∈C^∞(R) et

ψ^(j)(x) = g(y), ∂_x^jϕ(x, y)

pour toutj≥1. (5.1) Soithn→0. Alors

ϕ(x+hn, y)−ϕ(x, y) hn

→∂xϕ(x, y) dans l’espaceD(Ry),

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d’o`u on voit que

h⁻n¹(ψ(x+hn)−ψ(x)) = g(y), h⁻n¹(ϕ(x+hn, y)−ϕ(x, y))

→(g(y), ∂xϕ(x, y)).

On a montr´e la relation (5.1) pourj = 1. Par r´ecurrence, on peut ´etablir (5.1) pourj≥2.

Soit maintenantϕk∈ D(R²) une suite telle queϕk →ϕdansD(R²). Alors les supports des fonctions ψk ∈ D(R) sont born´es uniform´ement par rapport

`

ak. Montrons que pour toutj≥0

ψ_k^(j)(x)→ψ^(j)(x) quandk→ ∞uniform´ement en x∈R.

Si ce n’est pas le cas, alors il existe un entierj≥0, une constanteε >0 et des suites{xl} ⊂Retkl→ ∞tels que

|ψ^(j)_kl (xl)−ψ^(j)(xl)| ≥ε pour toutl≥1, (5.2) {xl} converge vers un point ˆxquandl→ ∞. (5.3) D’autre part, la convergence (5.3) entraˆıne queϕkl(xl,·)→ϕ(ˆx,·) dans D(R).

Commeg∈ D^′(R), on obtient

ψ_k^(j)_l (xl) = g(y), ∂_x^jϕkl(xl,·)

→ g(y), ∂_x^jϕ(ˆx,·)

=ψ^(j)(ˆx).

C’est une contradiction avec l’in´egalit´e (5.2).

Le lemme 5.2 permet de justifier la d´efinition du produit tensoriel. Siϕ∈ D(R²), alors la fonction ψ(x) = (g(y), ϕ(x, y)) appartient `aD(R), et l’on peut consid´erer (f, ψ). Evidemment, la fonctionnelle

ϕ7→(f, ψ) = f(x),(g(y), ϕ(x, y))

(5.4) est lin´eaire. Siϕk →ϕdansD(R²), alorsψk= (g(y), ϕk(x, y)) converge versψ dansD(R). Par cons´equent,

(f, ψk)→(f, ψ) quandk→ ∞, et donc la fonctionnelle (5.4) est continue.

Exemples 5.3. (a) δa⊗δb=δ(a,b)pour touta, b∈R.

(b) Sif ∈ D^′(R), alorsf⊗1∈ D^′(R²) et (f⊗1, ϕ) =

f(x), Z

R

ϕ(x, y)dy .

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5.2 Propri´ et´ es du produit tensoriel

Th´eor`eme 5.4. (a) Le produit tensoriel est commutative : si f, g ∈ D^′(R), alors

f(x)⊗g(y) =g(y)⊗f(x).

(b) Le produit tensoriel est continu : sifk→f dansD^′(R)etg∈ D^′(R), alors fk(x)⊗g(y)→f(x)⊗g(y) dansD^′(R²).

(c) Le produit tensoriel est associative : sif, g, h∈ D^′(R), alors f(x)⊗g(y)

⊗h(z) =f(x)⊗ g(y)⊗h(z) .

(d) D´erivation du produit tensoriel : si f, g∈ D^′(R), alors

∂x^j f(x)⊗g(y)

= (∂x^jf(x))⊗g(y).

(e) Multiplication par une fonction r´eguli`ere : sif, g∈ D^′(R)et a∈C^∞(R), alors

a(x) f(x)⊗g(y)

= (a(x)f(x))⊗g(y).

(f ) Translation du produit tensoriel : sif, g∈ D^′(R)et b∈R, alors (f ⊗g)(x+b, y) =f(x+b)⊗g(y).

Pour la d´emonstration de ce r´esultat, on aura besoin du lemme suivant.

Lemme 5.5. Soit ϕ∈ D(R²). Alors il existe une suite{ϕn} ⊂ D(R²)telle que

ϕn→ϕ dans D(R²), (5.5)

ϕn(x, y) =

Ln

X

k=1

unk(x)vnk(y), (5.6)

o`u unk, vnk∈ D(R).

D´emonstration. Supposons que suppϕ ⊂ BR. Soit {Pk(x, y)} une suite de polynˆomes telle que

kPk−ϕkC^k(B2R)<1/k.

Siχ∈ D(R),χ= 1 surBR etχ= 0 surB^c_2R, alors la suite ϕk(x, y) =χ(x)χ(y)Pk(x, y) v´erifie toutes les propri´et´es requises.

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D´emonstration du th´eor`eme 5.4. (a)Il faut montrer que

(f(x)⊗g(y), ϕ) = (g(y)⊗f(x), ϕ) pour toutϕ∈ D(R²).

Supposons d’abord que

ϕ(x, y) =

L

X

n=1

un(x)vn(y).

Alors

(f(x)⊗g(y), ϕ) =

L

X

n=1

(f(x)⊗g(y), un(x)vn(y)) =

L

X

n=1

(f, un) (g, vn),

=

L

X

n=1

(g(y)⊗f(x), un(x)vn(y)) = (g(y)⊗f(x), ϕ).

Dans le cas g´en´eral, on choist une suite {ϕn} ⊂ D(R²) v´erifiant (5.5), (5.6).

Alors

(f(x)⊗g(y), ϕ) = lim

n→∞(f(x)⊗g(y), ϕn) = lim

n→∞(g(y)⊗f(x), ϕn) = (g(y)⊗f(x), ϕ).

(b)Soitϕ∈ D(R²). Alors

(fk×g, ϕ) = (fk(x),(g(·), ϕ(x,·)))→(f(x),(g(·), ϕ(x,·))) = (fk×g, ϕ).

La d´emonstration des popri´et´es (c)–(f) est bas´ee sur des id´ees analogues.

Exemple 5.6. Soitf ∈ D^′(R). Alors (f⊗1, ϕ) =

f(x), Z

R

ϕ(x, y)dy , (1⊗f, ϕ) =

Z

R

f(x), ϕ(x, y) dy.

On conclut que f(x),

Z

R

ϕ(x, y)dy

= Z

R

f(x), ϕ(x, y)

dy pour toutϕ∈ D(R²). (5.7)