ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2014-2015
CONTR ˆOLE CONTINU
Fonctions de plusieurs variables
Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.
Tous les exercices sont ind´ependants.
Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.
Exercice 1 Soit
f : R2 −→
R
(x, y) 7−→ x4+ y4− 4xy
1. Montrer que les points critiques de f sont
P0 = (0, 0), P1 = (1, 1), P2 = (−1, −1)
2. Donner sans calcul le d´eveloppement limit´e de f `a l’ordre 2 en P0.
3. En d´eduire la matrice hessienne Hf(P0) de f en P0 et la nature de ce point critique.
4. `A l’aide des d´eriv´ees partielles secondes de f , calculer Hf(P1) et Hf(P2) et montrer que
les points P1 et P2 sont des minima.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 2 Soit f la fonction de trois variables d´efinie par
∀(x, y, z) ∈ R3, f (x, y, z) = (x2+ y2− z)e1−z
1. Montrer que le point P = (0, 0, 1) est l’unique point critique de f .
2. `A l’aide du d´eveloppement limit´e de la fonction [u 7→ eu] en 0, montrer que
f (X, Y, 1 + Z) = −1 + X2+ Y2+ 1
2Z
2+ o(X2+ Y2+ Z2)
(on rappelle que eu = 1 + u +u22 + o(u2)).
3. En d´eduire la matrice hessienne de f en P et la nature du point P .
4. Parmi les repr´esentations ci-dessous, laquelle donne les isoclines de f autour du point P ?
-1 -0.5 0 0.5 1 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -1 -0.5 0 0.5 1 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 (1) (2) (3) (4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 3 Soit F le champ de vecteurs de R2 d´efini par
F (x, y) = (3x2+ y − 1, x + 2y)
1. Montrer que F d´erive d’un potentiel P `a d´eterminer.
2. On consid`ere la fonction (python) ligne de champ ci dessous prenant pour arguments un
champ de vecteurs F et un couple P0 :
1. def ligne de champ(F,P0):
2. L=[P0] 3. xP=P0[0] 4. yP=P0[1] 5. while max(abs(xP),abs(yP))<=1: 6. xP=xP+0.01*F(xP,yP)[0] 7. yP=yP+0.01*F(xP,yP)[1] 8. L.append((xP,yP)) 9. return line(L)
(a) D´ecrire les initialisations faites aux lignes 2 `a 4.
(b) D´ecrire les transformations effectu´ees aux lignes 6 et 7.
(c) Quelle action est effectu´ee `a la ligne 8 ?
(d) Que renvoie la fonction ligne de champ ?
(e) Quel est le rˆole de la condition d’arrˆet impos´ee `a la ligne 5 ?
(f) ´Ecrire une boucle for permettant de superposer sur un mˆeme graphe
• le champ de vecteurs F sur le carr´e [−1, 1]2,
• les lignes de champs passant par les points de coordonn´ees (x, x) pour x allant de
−1 `a 1 par pas de 0.1,
• les lignes de niveaux h de P pour h allant de −1 `a 1 par pas de 0.1.
(On supposera connus le champ F , le potentiel P et la fonction ligne de champ ci-dessus).
? ? ?
CORRECTION
Exercice 1 :
1. Les points critiques de f sont les couples (x, y) solutions du syst`eme
(S) : ∂f ∂x(x, y) = 0 ∂f ∂y(x, y) = 0 Or ∂f ∂x(x, y) = 4x 3− 4y et ∂f ∂y(x, y) = 4y 3− 4x Ainsi, (S) ⇔ 4x 3− 4y = 0 4y3− 4x = 0 ⇔ y = x3 x9− x = 0 ⇔ y = x3 x(x − 1)(x + 1)(x2+ 1)(x4+ 1) = 0 ⇔ x = 0 y = 0 ou x = 1 y = 1 ou x = −1 y = −1
On retrouve ainsi les trois points critiques propos´es par l’´enonc´e.
2. Le D.L. de f au point P0 = (0, 0) s’obtient en n´egligeant, dans f (x, y) les termes de
degr´e > 2 en x et y. Ainsi :
f (x, y) = −4xy + o(||(x, y)||2)
3. Par identification, la matrice hessienne de f au point P0 est Hf(P0) =
0 −4
−4 0
. Son
d´eterminant est ∆0 = −(−4)2 < 0. P0 est donc un point selle.
4. Les d´eriv´ees partielles secondes de f sont
∂2f ∂x2(x, y) = 12x 2 , ∂ 2f ∂x∂y(x, y) = −4, ∂2f ∂y2(x, y) = 12y 2 Ainsi, Hf(P1) = Hf(P2) = 12 −4 −4 12
Dans les deux cas, le d´eterminant de la matrice jacobienne est ∆ = 122− (−4)2 > 0. P
1
et P2 sont donc des extrema. Comme de plus
∂2f ∂x2(P1) = ∂2f ∂x2(P2) = 12 > 0, P1 et P2 sont des minima. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :
1. Les points critiques de f sont les solutions du syst`eme (S) : ∂f ∂x(x, y, z) = 0 ∂f ∂y(x, y, z) = 0 ∂f ∂z(x, y, z) = 0 ⇔ 2xe1−z = 0 2ye1−z = 0 (x2+ y2)e1−z− e1−z(z − 1) = 0 ⇔ x = 0 y = 0 z = 1 2. f (X, Y, 1 + Z) = (X2+ Y2− 1 − Z)e−Z = (X2+ Y2− 1 − Z) 1 − Z +1 2Z 2+ o(Z2)
En d´eveloppant, les termes de degr´e 1 disparaissent. En ne conservant que les termes de
degr´e 6 2, on obtient le D.L. cherch´e.
3. Par identification, on a Hf(P ) = 2 0 0 0 2 0 0 0 1
. La matrice ´etant diagonale, ses valeurs
propres sont ses termes diagonaux. Celles-ci sont donc toutes trois positives et P est un minimum.
4. Puisque f est une fonction de trois variables, ses isoclines sont des surfaces. Ce qui ´elimine
les repr´esentations (1) et (3). Par ailleurs, l’´etude pr´ec´edente montrant que P est un
extremum, les isoclines, au voisinage de P sont des surfaces ferm´ees entourant P . Il s’agit
donc de la repr´esentation (2).
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : 1. Soient f1(x, y) = 3x2+ y − 1 et f2(x, y) = x + 2y On v´erifie que ∂f1 ∂y (x, y) = 1 = ∂f2 ∂x(x, y)
donc F d´erive d’un potentiel. En notant P ce potentiel, on doit avoir
f1(x, y) = − ∂P ∂x(x, y) (1) f2(x, y) = − ∂P ∂y(x, y) (2)
D’apr`es (1), P doit v´erifier
P (x, y) = −x3− xy + x + k(y)
et en identifiant, on a
k0(y) = −2y ⇐⇒ k(y) = −y2+ λ
Ainsi, F d´erive de tout potentiel P de la forme
P (x, y) = −x3− xy − y2+ x + λ, λ ∈ R
2. • La ligne 2 initialise la variable L `a une liste contenant le couple P0,
• les lignes 3 et 4 initialisent respectivement les variables xP et yP `a l’abscisse et `a
l’ordonn´ee du couple P0.
3. Les lignes 6 et 7 permettent de d´eplacer le point de coordonn´ees (xP,yP) le long du
vecteur F(xP,yP) d’un pas de 101.
4. La ligne 8 ajoute le nouveau point (xP,yP) `a la liste L.
5. La fonction ligne de champ renvoie une approximation de la ligne de champ de F passant par P0.
6. La condition d’arrˆet de la ligne 5 permet de ne calculer que la partie de la ligne de champ
cherch´ee situ´ee dans le carr´e [−1, 1]2.
7.
1. Dessin=plot vector field(F(x,y),(x,-1,1),(y,-1,1))
2. for h in srange(-1,1.1,0.1): 3. Dessin+=ligne de champ(F,(h,h)) 4. Dessin+=implicit plot(P(x,y)==h,(x,-1,1),(y,-1,1)) 5. Dessin ? ? ?
