2010-2011

(1)

ISA BTP, 2◦_ann´_ee _{ANN ´}_{EE UNIVERSITAIRE 2010-2011}

CONTR ˆOLE CONTINU

Coniques, formes quadratiques.

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 _{On se place dans le plan muni d’un repère R}₁ _{= (O ;}−→_{i ,}−→_j _{) orthonormé et on} note C la conique dont l’équation dans R1 est

x2 _{− 2xy + y}2_{+ 2x − 6y = 2}√_{2 − 1}

On note de plus q la partie quadratique de cette ´equation : q(x, y) = x2

− 2xy + y2

. 1. Calculer le discriminant de q et en d´eduire la nature de la conique C.

2. D´eterminer un changement de variables

x′ _{= αx + βy}

y′ _{= γx + δy}

tel que

(a) la forme réduite de q dans ce nouveau système de coordonnées est ˜

q(x′, y′) = κy′2 _{(pour κ ∈ R à déterminer)} (b) le repère R2 associé aux coordonnées

x′

y′

soit orthonorm´e. 3. Montrer que l’´equation de C dans R2 est

y′2₊√_2y′_{± 2}√_2x′ ₌√_{2 −} 1

2. (Le signe de x′ _{dépend du repère choisi à la question précédente.)}

4. D´eterminer le changement de variables

x′ _{= X + A}

y′ _{= Y + B}

tel que l’´equation de C soit de la forme Y2

= 2pX. On note R3 le repère associé aux coordonnées

X Y

.

5. Donner les coordonn´ees du foyer F ainsi que l’´equation de la directrice D et de l’axe focal ∆ de C dans R3 puis dans R2 et R1.

(2)

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆

Exercice 2 _{On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé R = (O ;} −→_{i ,}−→_{j ,}−→_k_{). On} note S la surface d’équation

x2

4 − y

2

− z2 = 1

1. Donner le rang et la signature de la forme quadratique associ´ee `a S.

2. D´eterminer la nature des courbe Sx, Sy et Sz respectivement obtenue en coupant S par

les plans d’´equations x = 0, y = 0 et z = 0. 3. En d´eduire la nature de la surface S.

4. On considère ici l’intersection de S avec les plans d’équations x = α, α ∈ R. (a) Pour quelles valeurs de α ∈ R cette intersection est-elle non vide ? (Justifier). (b) Déterminer les courbes Sα obtenues dans ces cas.

5. On consid`ere ici l’intersection de S avec les plans d’´equations y = β, β ∈ R. (a) Donner la nature des courbes Sβ obtenues.

(b) Donner, en fonction de β les param`etres a et b tels que l’´equation de Sβ soit de la

forme

x2

a2 −

z2

b2 = 1

(c) On admettra ici que pour une hyperbole d’´equation x2

a2 −

z2

b2 = 1, les coordonn´ees des

foyers F et F′ _{sont (−c, 0) et (c, 0) o`u}

c2 = a2

+ b2

.

i. D´eterminer, pour chaque valeur de β, les coordonn´ees des foyers de Sβ dans

l’espace.

ii. Que dire des courbes d´efinies par l’ensembles de ces foyers ?

⋆ ⋆ ⋆

(3)

CORRECTION

(Devoir coniques & formes quadratiques, ISA 2) Exercice 1 _:

1. ∆ = b2

− 4ac = 4 − 4 = 0. Donc C est une parabole. 2. q(x, y) = x2

− 2xy + y2

= (x − y)2

. Donc q(x, y) = y′2 _{si y}′ _{= x − y.}

On pose donc γ = δ = 1. Mais cette seule condition n’impose rien sur α et β. On détermine donc dans un premier temps α et β tel que le repère associé à ce changement de variable soit orthogonal.

Pour cela, on commence par déterminer la matrice de passage associée au changement de variables x′ _{= αx + βy} y′ ₌ _x_{− y} ⇔ X′ = AX où X′ = x′ y′ , X = x y , A= α β 1 −1

La matrice de passage cherch´ee est donc

A−1 ₌ 1

α+ β

1 β

1 −α

Le nouveau rep`ere est donc constitu´e des vecteurs − →_u ₌ 1 α+ β 1 1 R1 et −→v = 1 α+ β β −α

Pour que ce rep`ere soit orthogonal, il faut donc que β

(α + β)2 −

α

(α + β)2 = 0 ⇔ α = β.

En prenant α = β = 1, le rep`ere R′ _{constitu´e des vecteurs}

− →_u ₌ 1 2 1 1 R et −→v = 1 2 1 −1

est donc orthogonal.

Pour le rendre orthonormé, il suffit alors de normer les vecteurs −→u et −→v . Or ||−→u_{|| = ||−}→v_{|| =}r 1 4+ 1 4 = √ 2 2 . Le repère R2 cherché est donc donné par les vecteurs

− →_e₁ ₌ √2 2 1 1 et √ 2 2 1 −1 . La matrice de passage de R1 `a R2 est donc

P = √ 2 2 1 1 1 −1

(4)

3. D’après la question précédente, on a x y = P x′ y′ = √ 2 2 1 1 1 −1 x′ y′ ⇔ ( x= √2 2 x′+ √ 2 2 y′ y= √2 2 x′− √ 2 2 y′

En injectant ces égalités dans l’équation de C, on obtient (E) ⇔ x2 − 2xy + y2 + 2x − 6y = 2√2 − 1 ⇔ 2y′2₊√_2(x′ _{+ y}′_{) − 3}√_2(x′_{− y}′_{) = 2}√_{2 − 1} ⇔ 2y′2_{− 2}√_2x′_{+ 4}√_2y′ _{= 2}√_{2 − 1} ⇔ y′2−√2x′+ 2√2y′ =√_{2 −} 1 2 4. On modifie encore l’équation précédente :

(E) ⇔ (y′₊√₂₎2 − 2 = √2x′ ₊√_{2 −} 1 2 ⇔ (y′₊√₂₎2 =√2 x′+ 4 + 3 √ 2 4 ! En notant X = x′₊4+3√2 4 Y = y′₊√₂ on a donc (E) ⇔ Y = 2pX avec p = √2 2 .

5. Dans R3, les coordonn´ees du foyer F sont

_d 2 0 et l’´equation de D est X = −d 2. Or d= p = √2 2 . Donc F = √₂ 4 0 R3 et _{D : X = −} √ 2 4 . Dans R2, on a F = − 2+√2 2 −√2 R2 et _{D : x}′ _{= −1 −}√_2.

On peut alors passer du repère R2 à R1 via la matrice de passage P déterminée plus

haut. ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆ Exercice 2 _: 1. q(x, y, z) = x2 4 − y 2 − z2 . Donc rg(q) = 3 et σ(q) = (1, 2). 2. (a) x = 0 ⇒ −y2 − z2

= 1. Aucune valeur de (y, z) ne peut vérifier cette égalité. L’intersection Sx est donc vide.

(5)

(b) y = 0 ⇒ x2

4 − z 2

= 1. On reconnait l’´equation r´eduite d’une hyperbole. (c) z = 0 ⇒ x42 − y

2

= 1. On reconnait encore l’équation réduite d’une hyperbole. 3. D’après les intersections ci-dessus, on peut supposer que la surface S est un hyperbolo¨ıde

`a deux nappes.

4. (a) L’intersection Sα est donn´ee par l’´equation

−y2

− z2

= 1 − α

2

4

Cette intersection est donc non vide si et seulement si 1 −α2

4 60 donc pour |α| > 2.

(b) Pour |α| > 2, Sα est donn´ee par l’´equation

y2+ z2

= α

2

4 − 1. On reconnaˆıt l’´equation d’un cercle (de rayon 1

2 √ α2 − 4). 5. (a) Sβ : x 2 4 − z 2 = 1 + β2

. On reconnaˆıt l’équation d’une hyperbole. (b) En divisant l’équation précédente par 1 + β2

, on obtient l’´equation x2

4(1 + β2₎ −

z2

1 + β2 = 1

Elle est donc de la forme voulue pour

a = 2p1 + β2 _et _b₌p1 + β2_.

(c) i. D’après l’égalité donnée, on a

c=√a2_{+ b}2 ₌p5 + 5β2_.

Dans l’espace, les foyers des intersections Sβ sont donc les points

F =   −p5 + 5β2 β 0   et F′ =   p5 + 5β2 β 0  .

ii. On constate que tous ces foyers sont sur la courbe de l’espace donn´ee par

z = 0

x2

− 5y2

= 5 On reconnait l’´equation d’une hyperbole.