Fonction caractéristique et moments

3.7 Fonction caractéristique et moments

Référence :J.Y. Ouvrard, Probabilités 2, Cassini, 2009. Leçons concernées : 218, 228, 239, 260, 216.

Théorème 1. Soit X une variable aléatoire réelle et 'X sa fonction caractéristique. Alors,

(i) si X admet un moment d’ordre n, 'X est de classe Cn, et pour tout k P r|1, n|s, @t P R,

'pkq_{X ptq “ i}k ª ⌦ Xkexp_pitXqdP. En particulier, 'pkq_X p0q “ ikErXks.

(ii) Réciproquement, si 'X est n (n • 2) fois dérivable en 0, alors X admet des moments

d’ordre 1 § k § 2rn

2s vérifiant

'pkq_X p0q “ ikErXks.

Démonstration. (i) Le premier point résulte d’une simple application du théorème de dérivation sous l’intégrale : soit 1 § k § n, X admet un moment d’ordre k puisqu’il en admet un d’ordre n par hypothèse. D’autre part, on a

dk

dtkexppitXq “ i

k_Xk_exppitXq

qui est majoré en module par |X|k _{qui est intégrable. On peut alors appliquer le}

théorème de dérivation sous l’intégrale itéré k fois pour obtenir 'X de classe Ck et la

formule

'pkq_{X ptq “ i}k ª

⌦

Xkexp_pitXqdP. (ii) On montre le résultat par récurrence sur 1 § k § rn

2s : pour le cas k “ 1, on cherche

à montrer que X admet un moment d’ordre 2k “ 2, et on écrit pour cela la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en 0 de 'X pour t et ´t :

'Xptq “ 'Xp0q ` t'1Xp0q ` t2 2' 2 Xp0q ` opt2q 'Xp´tq “ 'Xp0q ´ t'1Xp0q ` t2 2' 2 Xp0q ` opt2q. Ainsi, 'Xptq ` 'Xp´tq ´ 2 “ t2'2Xp0q ` opt2q 74

avec 'Xp0q “ 1. c’est-à-dire que lim tÑ0 'Xptq ` 'Xp´tq ´ 2 t2 “ '2Xp0q. D’autre part, on sait que 'Xptq ` 'Xp´tq “ 2<p'Xptqq “ 2ErcosptXqs. Ainsi, lim tÑ02E „ 1´ cosptXq t2 ⇢ “ ´'2Xp0q.

Enfin, on sait que X2 _{“ 2 lim} tÑ0

1´ cosptXq

t2 , ainsi, par le lemme de Fatou, si tnÑ 0,

ª ⌦ X2 “ 2E „ lim inf n 1´ cosptnXq t2 n ⇢ § 2 lim inf_n E „ 1´ cosptnXq t2 n ⇢ “ ´'2Xp0q † `8. On fixe alors 1 § k § rn

2s et on suppose avoir montré l’existence des moments jusqu’à

l’ordre 2pk ´ 1q et on cherche à montrer que X admet un moment d’ordre 2k : on applique le même raisonnement que précédemment à 'p2k´2qX dérivable deux fois pour

obtenir : lim tÑ0 'p2k´2q_{X ptq ` '}p2k´2q_{X p´tq ´ 2'}p2k´2q_{X p0q} t2 “ ' p2kq X p0.q

D’autre part, par hypothèse de récurrence et par le point (i), 'p2k´2q_X ptq “ i2k´2ErX2k´2exppitXqs 'p2k´2q_X p´tq “ i2k´2ErX2k´2expp´itXqs d’où 'p2k´2q_X ptq ` 'p2k´2q_X p´tq “ p´1qk´12ErX2k´2cosptXqs et d’autre part 'p2k´2q_X p0q “ p´1qk´1ErX2k´2s. Ainsi, lim tÑ02E „ X2k´21´ cosptXq t2 ⇢ “ p´1qk_'p2kq X p0q

et on conclut avec le lemme de Fatou de la même manière que ci-dessus. Application 2. Si X „ N p0, 2_{q, alors pour k P N,}

E“X2k‰“ 2k_p2kq! 2k_k! et E “ X2k`1‰“ 0. 75

Démonstration. On sait que 'Xptq “ e´t

2 2_{2

, et donc d’après le théorème, X admet des moments de tout ordre. D’autre part, pour t P R,

'Xptq “ e´t 2 2_{2 “ ÿ k•0 p´1qk 2k 2k_k! t 2k_. Ainsi, pour k P N, 'p2kq_{p0q “} p´1q k 2k_p2kq! 2k_k! et 'p2k`1qp0q “ 0

d’où le résultat d’après le théorème.