§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M

Chapitre 7. Diagonalisation

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ? Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d’un système etc.

Multiplication à droite par une matrice diagonale :

(~v1,· · · ,~v_n)







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

Exemple.





1 0 0

−1 2 1

3 1 0









3 0 0

0 −1 0

0 0 π



=

Chapitre 7. Diagonalisation

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ? Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d’un système etc.

Multiplication à droite par une matrice diagonale :

(~v1,· · · ,~v_n)







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

Exemple.





1 0 0

−1 2 1

3 1 0









3 0 0

0 −1 0

0 0 π



=





3 0 0

−3 −2 π

9 −1 0



.

§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M

On dit que Aest semblableàM si As’écrit

A=PMP⁻¹, ou bienP⁻¹AP =M , avec P une matrice inversible.

Exemple. A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avec P =

1 2 1 3

.

Une fois avoir exprimé Asous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculer A²,A³,Aⁿ, etc, il suffit de remplacera paraⁿ et b par bⁿ!

Preuve.

§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M

On dit que Aest semblableàM si As’écrit

A=PMP⁻¹, ou bienP⁻¹AP =M , avec P une matrice inversible.

Exemple. A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avec P =

1 2 1 3

.

Une fois avoir exprimé Asous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculer A²,A³,Aⁿ, etc, il suffit de remplacera paraⁿ et b par bⁿ!

Preuve.

A² = (PMP⁻¹)² = (PMP⁻¹)(PMP⁻¹) =PM(P⁻¹P)MP⁻¹= PM²P⁻¹ =P

a² 0 0 b²

P⁻¹=

3a²−2b² −2a²+2b² 3a²−3b² −2a²+3b²

· · · .

§3 Diagonalisation

Diagonaliser une matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P = (~v1,· · · ,~v_n)et une matrice diagonale M =







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





 telles que A=PMP⁻¹, ou bien, AP =PM. Comment trouverP et M? Rappelons que

PM = (~v1,· · ·,~v_n)







λ¹ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

et AP = (A~v1,· · · ,A~v_n).

§3 Diagonalisation

Diagonaliser une matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P = (~v1,· · · ,~v_n)et une matrice diagonale M =







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





 telles que A=PMP⁻¹, ou bien, AP =PM. Comment trouverP et M? Rappelons que

PM = (~v1,· · ·,~v_n)







λ¹ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

et AP = (A~v1,· · · ,A~v_n).

Donc AP =PM⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~v_n=λ_n~v_n

§3 Diagonalisation

Diagonaliser une matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P = (~v1,· · · ,~v_n)et une matrice diagonale M =







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





 telles que A=PMP⁻¹, ou bien, AP =PM. Comment trouverP et M? Rappelons que

PM = (~v1,· · ·,~v_n)







λ¹ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

et AP = (A~v1,· · · ,A~v_n).

Donc AP =PM⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~v_n=λ_n~v_n

⇐⇒(A−λ1Id)~v1 =~0,(A−λ2Id)~v2 =~0,· · ·

§3 Diagonalisation

Diagonaliser une matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P = (~v1,· · · ,~v_n)et une matrice diagonale M =







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





 telles que A=PMP⁻¹, ou bien, AP =PM. Comment trouverP et M? Rappelons que

PM = (~v1,· · ·,~v_n)







λ¹ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

et AP = (A~v1,· · · ,A~v_n).

Donc AP =PM⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~v_n=λ_n~v_n

⇐⇒(A−λ1Id)~v1 =~0,(A−λ2Id)~v2 =~0,· · ·

⇐⇒ ~v¹ ∈Ker(A−λ¹Id),~v² ∈Ker(A−λ²Id),· · · .

§3 Diagonalisation

Diagonaliser une matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P = (~v1,· · · ,~v_n)et une matrice diagonale M =







λ1 · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





 telles que A=PMP⁻¹, ou bien, AP =PM. Comment trouverP et M? Rappelons que

PM = (~v1,· · ·,~v_n)







λ¹ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λ_n





=

λ1~v1,· · ·,λ_n~v_n

et AP = (A~v1,· · · ,A~v_n).

Donc AP =PM⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~v_n=λ_n~v_n

⇐⇒(A−λ1Id)~v1 =~0,(A−λ2Id)~v2 =~0,· · ·

⇐⇒ ~v¹ ∈Ker(A−λ¹Id),~v² ∈Ker(A−λ²Id),· · · .Déterminer des noyaux on sait faire !

Exo. Pour diagonaliser A=

5 −3 6 −4

, on fabrique d’abord deux nouvelles matrices A−2Id et A−(−1)Id et on détermine pour chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId) =0) :

diagonaliserA

5 −3 6 −4

det(A−λId) =0 λ= 2ւ ց₋1

A−λId

3 −3 6 −6

6 −3 6 −3

base du noyau

1 1

1 2

assembler P =

1 1 1 2

et M =

2 0 0 −1

vérifier que AP =PM Conclure que A=PMP⁻¹.Aest diagonalisée.

Diagonaliser de même la matrice 2 1

1 2

.

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition. On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre de AsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.

Reprenons notre exemple : A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avecP = 1 2

1 3

. Donc AP =P

a 0 0 b

, et A 1

1

=a 1

1

,A 2

3

=b 2

3

. 1

1

est un vecteur propre, de valeur propre associée

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition. On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre de AsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.

Reprenons notre exemple : A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avecP = 1 2

1 3

. Donc AP =P

a 0 0 b

, et A 1

1

=a 1

1

,A 2

3

=b 2

3

. 1

1

est un vecteur propre, de valeur propre associée a; 2

3

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition. On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre de AsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.

Reprenons notre exemple : A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avecP = 1 2

1 3

. Donc AP =P

a 0 0 b

, et A 1

1

=a 1

1

,A 2

3

=b 2

3

. 1

1

est un vecteur propre, de valeur propre associée a; 2

3

est un vecteur propre, de valeur propre associée b.

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition. On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre de AsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.

Reprenons notre exemple : A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avecP = 1 2

1 3

. Donc AP =P

a 0 0 b

, et A 1

1

=a 1

1

,A 2

3

=b 2

3

. 1

1

est un vecteur propre, de valeur propre associée a; 2

3

est un vecteur propre, de valeur propre associée b.

Nous venons de démontrer :

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition. On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre de AsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.

Reprenons notre exemple : A=

3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b

=P a 0

0 b

P⁻¹ avecP = 1 2

1 3

. Donc AP =P

a 0 0 b

, et A 1

1

=a 1

1

,A 2

3

=b 2

3

. 1

1

est un vecteur propre, de valeur propre associée a; 2

3

est un vecteur propre, de valeur propre associée b.

Nous venons de démontrer :

Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base.

Un autre exemple : Aest une matrice 2×2 telle que A

1 1

= 2

2

etA 1

−1

= 1

−1

. Alors Aest diagonalisable : A

1 1 1 −1

=

2 1

1

,1 1

−1

=

1 1 1 −1

2 0 0 1

, avec P =??,M =?? etA=?? .

Un autre exemple : Aest une matrice 2×2 telle que A

1 1

= 2

2

etA 1

−1

= 1

−1

. Alors Aest diagonalisable : A

1 1 1 −1

=

2 1

1

,1 1

−1

=

1 1 1 −1

2 0 0 1

, avec P =??,M =?? etA=?? . Réponse : A= 1

2 3 1

1 3

.

Comment trouver les valeurs propres ?

On cherche d’abord les λ_i (valeurs propres).

Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λ_i d’une matrice Asont les solutions de l’équation

det(A−λId) =0 .

Comment trouver les valeurs propres ?

On cherche d’abord les λ_i (valeurs propres).

Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λ_i d’une matrice Asont les solutions de l’équation

det(A−λId) =0 .

Exo. Trouver les valeurs propres de

1 −2

0 3

et

5 −3 6 −4

.

Polynôme caractéristique

Définition Pour toute matrice carrée A, on appelle det(A−λId)

le polynôme caractéristiquedeA. Ainsi les valeurs propres deA sont précisément les racines du polynôme caractéristique.

Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de





1 2 3

0 −1 2

0 0 1/2



,





5 −3 0 6 −4 0

0 1 1



,









1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 ¹₄ 0

0 0 0 π









Puis déterminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.

§4. Critères de diagonalisabilité

Théorème 0 (déjà vu)Une matriceAest diagonalisable ssi elle possède une famille de vecteurs propres formant une base.

Théorème 1 (facile) Sitoutes les racines du polynôme

caractéristique deA sont simples, alors Aest diagonalisable. (sinon, A peut être ou ne pas être diagonalisable).

Théorème 2 (difficile) SiAest une matriceréelle et symétrique, alors toutes les valeurs propres de Asont réelles etAest

diagonalisable.

Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible :

1 1 1 1

,

1 1 0 1

,

5 −1

1 3





5 0 0 0 5 0 0 0 0





Rappel. Le polynôme caractéristique d’une matrice carréeAest det(A−λId) (c’est un polynôme enλ).

Exemple : Le polynôme caractéristique de a b

c d

est

a−λ b c d −λ

= (a−λ)(d−λ)−cd =λ²−(a+d)λ+ad−bc .

§5 Trace, déterminant et valeurs propres

Rappel. Les valeurs propre d’une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.

Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.

Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.

Exemples. tr a b

c d

=a+d,tr

0 1

−1 −1

=??

tr





1 2 3

2 −1 0

0 2 4



=??

Théorème. La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deA et le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.

Preuve. Supposons A= a b

c d

,det(A) =ad−bc,tr(A) =a+d.

Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.

Exemples. tr a b

c d

=a+d,tr

0 1

−1 −1

=??

tr





1 2 3

2 −1 0

0 2 4



=??

Théorème. La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deA et le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.

Preuve. Supposons A= a b

c d

,det(A) =ad−bc,tr(A) =a+d. On a det(A−λI) =λ²−(a+d)λ+ad−bc.

Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.

Exemples. tr a b

c d

=a+d,tr

0 1

−1 −1

=??

tr





1 2 3

2 −1 0

0 2 4



=??

Théorème. La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deA et le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.

Preuve. Supposons A= a b

c d

,det(A) =ad−bc,tr(A) =a+d. On a det(A−λI) =λ²−(a+d)λ+ad−bc.

Soient s,t les deux racines. Alors on peut factoriser

det(A−λI) = (λ−s)(λ−t) =λ²−sλ−tλ+st =λ²−(s+t)λ+st. En comparant les coefficients on obtient :

Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.

Exemples. tr a b

c d

=a+d,tr

0 1

−1 −1

=??

tr





1 2 3

2 −1 0

0 2 4



=??

Théorème. La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deA et le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.

Preuve. Supposons A= a b

c d

,det(A) =ad−bc,tr(A) =a+d. On a det(A−λI) =λ²−(a+d)λ+ad−bc.

Soient s,t les deux racines. Alors on peut factoriser

det(A−λI) = (λ−s)(λ−t) =λ²−sλ−tλ+st =λ²−(s+t)λ+st. En comparant les coefficients on obtient :

s +t =a+d =tr(A) etst =ad−bc =det(A).

Le cas général se démontre de manière similaire.

§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A

.

Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matriceA, si l’on fait une substitution

λ (terme-constant)

↓ ↓

A (terme-constant)·Id

, on obtient une matrice qui vaut la matrice zéro.

§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A

.

Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matriceA, si l’on fait une substitution

λ (terme-constant)

↓ ↓

A (terme-constant)·Id

, on obtient une matrice qui vaut la matrice zéro.

Exemple. Soit A= 1 2

3 4

. Son polynôme caractéristique est det(A−λId) =λ²−tr(A)λ+det(A) = λ²−5λ−2

substitution ↓ A²−5A−2Id

. Le théorème prétend alors que A²−5A−2Id vaut la matrice zéro.

Vérifier-le !

§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A

.

Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matriceA, si l’on fait une substitution

λ (terme-constant)

↓ ↓

A (terme-constant)·Id

, on obtient une matrice qui vaut la matrice zéro.

Exemple. Soit A= 1 2

3 4

. Son polynôme caractéristique est det(A−λId) =λ²−tr(A)λ+det(A) = λ²−5λ−2

substitution ↓ A²−5A−2Id

. Le théorème prétend alors que A²−5A−2Id vaut la matrice zéro.

Vérifier-le ! La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable. Faisons-la en taille 2 : A=P

s 0 0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t).

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t).

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t). Après substitution on obtient (A−sId)(A−tId) =P(

s 0 0 t

-sId)(

s 0 0 t

-tId)P⁻¹=P0P⁻¹ =0.

Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taillen.

A quoi ça sert ?

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t). Après substitution on obtient (A−sId)(A−tId) =P(

s 0 0 t

-sId)(

s 0 0 t

-tId)P⁻¹=P0P⁻¹ =0.

Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taillen.

A quoi ça sert ? Ça aide à calculer

1. à calculer la matrice inverse: Dans notre exemple A= 1 2

3 4

, on aA²−5A−2Id =0. DoncA²−5A=2Id, etA(A−5Id) =2Id, par suite A·1

2(A−5Id) =Id. Donc A⁻¹ = 1

2(A−5Id).

2. calculer les puissances:

A³ =A²·A= (5A+2Id)A=5A²+2A=

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t). Après substitution on obtient (A−sId)(A−tId) =P(

s 0 0 t

-sId)(

s 0 0 t

-tId)P⁻¹=P0P⁻¹ =0.

Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taillen.

A quoi ça sert ? Ça aide à calculer

1. à calculer la matrice inverse: Dans notre exemple A= 1 2

3 4

, on aA²−5A−2Id =0. DoncA²−5A=2Id, etA(A−5Id) =2Id, par suite A·1

2(A−5Id) =Id. Donc A⁻¹ = 1

2(A−5Id).

2. calculer les puissances:

A³ =A²·A= (5A+2Id)A=5A²+2A=

=5(5A+2Id) +2A=27A+10Id, et

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t). Après substitution on obtient (A−sId)(A−tId) =P(

s 0 0 t

-sId)(

s 0 0 t

-tId)P⁻¹=P0P⁻¹ =0.

Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taillen.

A quoi ça sert ? Ça aide à calculer

1. à calculer la matrice inverse: Dans notre exemple A= 1 2

3 4

, on aA²−5A−2Id =0. DoncA²−5A=2Id, etA(A−5Id) =2Id, par suite A·1

2(A−5Id) =Id. Donc A⁻¹ = 1

2(A−5Id).

2. calculer les puissances:

A³ =A²·A= (5A+2Id)A=5A²+2A=

=5(5A+2Id) +2A=27A+10Id, etA⁴ =· · ·

La preuve est plus facile dans le cas où Aest diagonalisable.

Faisons-la en taille 2 : A=P s 0

0 t

P⁻¹ et det(A−λId) se factorise en (λ−s)(λ−t). Après substitution on obtient (A−sId)(A−tId) =P(

s 0 0 t

-sId)(

s 0 0 t

-tId)P⁻¹=P0P⁻¹ =0.

Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taillen.

A quoi ça sert ? Ça aide à calculer

1. à calculer la matrice inverse: Dans notre exemple A= 1 2

3 4

, on aA²−5A−2Id =0. DoncA²−5A=2Id, etA(A−5Id) =2Id, par suite A·1

2(A−5Id) =Id. Donc A⁻¹ = 1

2(A−5Id).

2. calculer les puissances:

A³ =A²·A= (5A+2Id)A=5A²+2A=

=5(5A+2Id) +2A=27A+10Id, etA⁴ =· · · =145A+52Id.

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ? Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ? Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :

Avec 3%d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ?

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ? Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :

Avec 3%d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 =100, et u_n le capital au bout de n ans, alors

u_n= (1+0,03)u_n−1 = (1,03)ⁿ100.

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ? Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :

Avec 3%d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 =100, et u_n le capital au bout de n ans, alors

u_n= (1+0,03)u_n−1 = (1,03)ⁿ100.

Avec x euros d’action A et y euros d’action B, les valeurs après un an sont x +0,03y et 0,04x +y respectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans ?

§7. Retour à la diagonalisation

A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimer A sous la formePMP⁻¹ avec M diagonale ?

Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de la matrice, par exemple A³ =PM³P⁻¹.

A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ? Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :

Avec 3%d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 =100, et u_n le capital au bout de n ans, alors

u_n= (1+0,03)u_n−1 = (1,03)ⁿ100.

Avec x euros d’action A et y euros d’action B, les valeurs après un an sont x +0,03y et 0,04x +y respectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans ? On pose

x_n+1 =x_n+0,03y_n

y_n+1 =0,04x_n+y_n ou bien x_n+1

y_n+1

=

? x_n y_n

§8. Sens géométrique des vecteurs propres

Cas de valeurs propres multiples

Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible :

1 1 1 1

,

1 1 0 1

,

5 −1

1 3





5 0 0 0 5 0 0 0 0





On va rencontrer des valeurs propres multiples.

Pour 1 1

1 1

, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique

1−λ 1

1 1−λ

=λ(λ−2). De là on voit qu’il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...

Pour 1 1

1 1

, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique

1−λ 1

1 1−λ

=λ(λ−2). De là on voit qu’il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...

Pour 1 1

0 1

, on n’a qu’une seule valeur propre λ=1. Calculer une base de son sous espace propre : A−Id =

0 1 0 0

. On trouve Ker(A−Id) =h~e¹i. Donc P = ~e¹

n’est pas une matrice carrée.

A n’est pas diagonalisable.

Pour 1 1

1 1

, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique

1−λ 1

1 1−λ

=λ(λ−2). De là on voit qu’il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...

Pour 1 1

0 1

, on n’a qu’une seule valeur propre λ=1. Calculer une base de son sous espace propre : A−Id =

0 1 0 0

. On trouve Ker(A−Id) =h~e¹i. Donc P = ~e¹

n’est pas une matrice carrée.

A n’est pas diagonalisable.

Pour

5 −1

1 3

, le polynôme caractéristique est

Pour 1 1

1 1

, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique

1−λ 1

1 1−λ

=λ(λ−2). De là on voit qu’il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...

Pour 1 1

0 1

, on n’a qu’une seule valeur propre λ=1. Calculer une base de son sous espace propre : A−Id =

0 1 0 0

. On trouve Ker(A−Id) =h~e¹i. Donc P = ~e¹

n’est pas une matrice carrée.

A n’est pas diagonalisable.

Pour

5 −1

1 3

, le polynôme caractéristique est(λ−4)². Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un. An’est pas diagonalisable.

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8 .

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sont

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sontλ1 =5,λ2 =2 et λ3 =−1.

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sontλ1 =5,λ2 =2 et λ3 =−1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sontλ1 =5,λ2 =2 et λ3 =−1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient

















1 0 0

0 1 0

−2 −4 0

1

3 0 0

0 0 1

−¹3 −1 2















 ,

















0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−¹₉ −¹₉ −¹₃

−⁸9 1 9 −²3















 ,

















1 0 0

0 1 0

0 2 0

−¹₃ 0 0

0 0 1

1

3 −1 −4

















Donc

A=PMP⁻¹, avec P =

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sontλ1 =5,λ2 =2 et λ3 =−1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient

















1 0 0

0 1 0

−2 −4 0

1

3 0 0

0 0 1

−¹3 −1 2















 ,

















0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−¹₉ −¹₉ −¹₃

−⁸9 1 9 −²3















 ,

















1 0 0

0 1 0

0 2 0

−¹₃ 0 0

0 0 1

1

3 −1 −4

















Donc

A=PMP⁻¹, avec P =





0 3 0

1 −3 1

2 −2 −4



 etM =

Pour





2 0 0 1 3 1 2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(2−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. Il faut surtoutgarder le facteur (2−λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3−λ)(1−λ)−8. Donc les valeurs propres sontλ1 =5,λ2 =2 et λ3 =−1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient

















1 0 0

0 1 0

−2 −4 0

1

3 0 0

0 0 1

−¹3 −1 2















 ,

















0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−¹₉ −¹₉ −¹₃

−⁸9 1 9 −²3















 ,

















1 0 0

0 1 0

0 2 0

−¹₃ 0 0

0 0 1

1

3 −1 −4

















Donc

A=PMP⁻¹, avec P =





0 3 0

1 −3 1

2 −2 −4



 etM =





5 0 0

0 2 0

0 0 −1



.

Pour





−1 0 0

1 3 1

2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(−1−λ)

(3−λ)(1−λ)−8 .

Pour





−1 0 0

1 3 1

2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(−1−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. On garde les facteurs, ici(−1−λ), on obtient que les valeurs propres sont 5, -1 et -1.

λ1 =5:

















1 0 0

0 1 0

−1 −4 0

1

6 0 0

0 0 1

−¹6 −1 2

















, λ2=−1:

















0 0 0

1 0 0

2 0 0

0 1 0

0 0 1

−1 −1 −4

















Par chance, la valeur λ2 qui compte double, a deux vecteurs propres libres dans Ker(A−λ²Id). On peut donc formerP et M telles que A=PMP⁻¹. Ici P =??,M =??

Pour





−1 0 0

1 3 1

2 8 1



, son polynôme caractéristique est

(−1−λ)

(3−λ)(1−λ)−8

. On garde les facteurs, ici(−1−λ), on obtient que les valeurs propres sont 5, -1 et -1.

λ1 =5:

















1 0 0

0 1 0

−1 −4 0

1

6 0 0

0 0 1

−¹6 −1 2

















, λ2=−1:

















0 0 0

1 0 0

2 0 0

0 1 0

0 0 1

−1 −1 −4

















Par chance, la valeur λ2 qui compte double, a deux vecteurs propres libres dans Ker(A−λ²Id). On peut donc formerP et M telles que A=PMP⁻¹. Ici P =??,M =??

Réponse : P =





0 1 0

1 0 1

2 −1 −4



,M =





5 0 0

0 −1 0

0 0 −1





D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

B a pour valeurs propres

D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B−2Id) est

D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B−2Id) est



 0 1

−1



, et une base de Ker(B−(−1)Id) est

D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B−2Id) est



 0 1

−1



, et une base de Ker(B−(−1)Id) est~e¹,~e². Donc B est diagonalisable.

La matrice C a pour valeurs propres

D’autres cas de valeurs propres multiples

A=





5 0 0 0 5 0 0 0 0



, B=





−1 0 0

0 −1 −3

0 0 2



, C =





2 3 −2

−1 4 −1

−1 5 −1





A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.

B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B−2Id) est



 0 1

−1



, et une base de Ker(B−(−1)Id) est~e¹,~e². Donc B est diagonalisable.

La matrice C a pour valeurs propres 2,2,1. Mais il nous manque de vecteurs propres libres pour former la matriceP. La matriceC n’est donc pas diagonalisable, voir Exo. 6 de TD 7.

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale :









1 2 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 0







 .

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale :









1 2 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 0







 .

• On remplace les0 sur la diagonale par−1et on extrait ces vecteurs colonnes :







 2

−1 0 0







 et









−2 0 2

−1







 .

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale :









1 2 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 0







 .

• On remplace les0 sur la diagonale par−1et on extrait ces vecteurs colonnes :







 2

−1 0 0







 et









−2 0 2

−1









. C’est la base recherchée !

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale :









1 2 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 0







 .

• On remplace les0 sur la diagonale par−1et on extrait ces vecteurs colonnes :







 2

−1 0 0







 et









−2 0 2

−1









. C’est la base recherchée !

Preuve : Ces vecteurs sont clairement libres et de bon nombre par le théorème du rang. Il reste plus qu’à vérifier manuellement qu’ils sont dans le noyau.

Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes

•









1 2 0 −2

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0









(les pivôts doivent être égales à 1).

• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale :









1 2 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 0







 .

• On remplace les0 sur la diagonale par−1et on extrait ces vecteurs colonnes :







 2

−1 0 0







 et









−2 0 2

−1









. C’est la base recherchée !

Preuve : Ces vecteurs sont clairement libres et de bon nombre par le théorème du rang. Il reste plus qu’à vérifier manuellement qu’ils sont dans le noyau. Tester sur un autre exemple !