Les Formes modulaires Beraud Jordan

Les Formes modulaires

Beraud J ordan

encadré parGuéré Jérémy

Table des matières

1 Notation 2

2 Introduction 3

3 Introduction aux formes modulaires 3

3.1 Action deGL+(R)sur le demi-plan de Poincaré . . . 3

3.2 Forme modulaire associée à un caractère . . . 4

4 Etude de Mk(Γ)et applications 5 4.1 Etude deMk(SL2(Z)) . . . 5

4.2 Développement des séries d’Eisenstein en série de Fourier . . . 10

4.3 Étude deMk(J)et fonction thêta . . . 11

4.4 Identité de Ramanujan . . . 14

5 Les fonction modulaires 14 5.1 La fonction modulairej . . . 14

5.2 Une preuve du théorème de Picard . . . 15

6 Opérateur de Hecke 15 6.1 Pour une fonction modulaire . . . 15

6.2 Pour une forme modulaire . . . 16

7 Forme quasi-modulaire 17 7.1 Définition et étude deE2 . . . 17

7.2 Le théorème de structure des formes quasi-modulaires . . . 19

7.3 Expression de∆ . . . 19

8 Étude du lien entre équations WDVV et forme modulaire 19 8.1 Introduction aux équations WDVV . . . 19

8.2 L’ensembleX2 . . . 21

8.3 Equation WDVV et forme modulaire . . . 21

9 Annexe 26

1 Notation

On va introduire les notations qui seront utilisées par la suite.

Pourz∈C, on note <(z), sa partie réelle et=(z), sa partie imaginaire.

Le demi-plan de Poincaré sera notéH={z∈C,=(z)>0}.

GL⁺₂(R) ={M ∈GL2(R), det(M)>0}.

SO₂(R) ={M ∈GL₂(R), det(M) = 1}.

ρdésignera le nombre complexee^iπ/3.

On notera F(H,C)l’ensemble des fonctions deHdansC. ζ(k)designera la fonction zéta évaluée enk.

C[[q]] désignera les séries formelles enqà coefficients complexes.

S(R)désignera l’espace de Schwartz.

2 Introduction

Les formes modulaires sont des fonctions holomorphes sur le demi-plan de Poincaré qui se transforment de manière particulière sous l’action du groupe modulaireSL₂(Z). Elles interviennent de façon plus ou moins naturelle dans plusieurs domaines assez différents des mathématiques : théorie des fonctions elliptiques, théorie des formes quadratiques à coefficients entiers, théorie des représentations unitaires du groupe de LieSL2(R), fonctions L et représentations du groupe de Galois absolu deQ. Elles ont aussi été l’objet de plusieurs conjectures célèbres, comme la conjecture de Ramanujan ou la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. En particulier, la preuve de cette dernière conjecture a été faite par Andre Wiles, et a pour corollaire la preuve du grand théorème de Fermat.

Ce TER peut se décomposer en deux grandes parties. Dans la première partie, nous montrons que l’espace des formes modulaires est de dimension finie, ce qui nous permettra de montrer des relations arithmétiques comme le nombre de façon de décomposer un nombre en somme de 8 carrées (Chapitre 3 à 6). La seconde partie a pour objectif d’étudier un article de recherche récent [1] qui exhibe un lien entre une certaine classe d’équation nommée équation WDVV et les formes modulaires (Chapitre 7 à 8).

3 Introduction aux formes modulaires

On utilisera tout au long de ce rapport les résultats qui se trouve dans l’Annexe.

3.1 Action de GL

( R ) sur le demi-plan de Poincaré

On définit une action à gauche deGL⁺₂(R)surHpar :

∀γ= a b c d

!

∈GL⁺₂(R), ∀z∈H, γ(z) =az+b cz+d.

Remarque. De manière générale, pour un corpsK, on peut définir une action deGL2(K)surKb =K∪ {∞}

par :γ(z) =^az+b_cz+d oùγ= a b c d

!

,γ(∞) =a/csic6= 0 ,γ(∞) =∞sic= 0. Nous l’utiliserons dans la suite.

Lemme 3.1. i)∀z∈H,∀γ= a b c d

!

∈GL⁺₂(R), =(γ(z)) = ^det(γ)=(z)_|cz+d|2 donc l’action est bien définie.

ii) ∀z, z⁰∈H,∃γ∈GL⁺₂(R) tel que γ(z) =z⁰ donc l’action est transitive.

iii) GL⁺₂(R)/Z(SO2(R))'H¹. Démonstration. i) ^az+b_cz+d = (az+b)(cz+d)

|cz+d|² donc=(γ(z))=ad=(z)−bc=(z)

|cz+d|² =^det(γ)=(z)_|cz+d|2 . ii)Pourγ= a b

c d

!

, on a γ(i) = _d2+c¹ ₂(bd+ac+i(ad−cb))et la preuve de la transitivité en découle.

iii) Stab(i) ={γ∈GL⁺₂(R), γ(i) =i}={ a b

−b a

!

, a, b∈R}=Z(SO2(R)), d’où la bijection car l’action est transitive.

A partir de cette action à gauche, on peut définir une action à droite deGL⁺₂(R)surF(H,C)par :

∀γ∈GL⁺₂(R), ∀f ∈ F(H,C), ∀z∈H, (f ◦γ)(z) =f(γ(z))

Lemme 3.2. Pour tout entier naturelk, on définit une nouvelle action à droite deGL⁺₂(R)sur F(H,C)par :

∀γ∈GL⁺₂(R),∀f ∈ F(H,C),∀z∈H, (f|kγ)(z) =j(γ, z)^k(f◦γ)(z) avec j(γ, z) =det(γ)¹² cz+d

1. Z(SO2(R))est interpreté ici comme l’ensemble des matrices qui commutent avecSO2(R)

Démonstration. Soitγ, γ⁰∈GL⁺₂(R) On remarque que ^d(γ(z))_dz =j(γ, z)² D’où ^d(γγ

0(z))

dz =j(γγ⁰, z)²= ^d(γγ_dγ0⁰(z)^(z)) dγ⁰(z)

dz =j(γ, γ⁰(z))²j(γ⁰, z)²

Et on peut simplifier les carrés carj est à valeur dansH. Finalement on obtient :

(f|kγ|kγ⁰)(z) =j(γ⁰, z)^k(f|kγ◦γ⁰)(z) =j(γ, γ⁰(z))^kj(γ⁰, z)^kf(γγ⁰(z)) = (f|kγγ⁰)(z)

Remarque. On remarque que l’action pourk= 0correspond à l’action définie précédemment.

De plus, pour tout sous groupeGdeGL⁺₂(R), ces actions se restreignent à des actions de GsurH.

Définition. Soient Γ un sous-groupe d’indice fini de SL₂(Z) et k un entier. On appelle ensemble des formes modulaires de poids k relativement au groupeΓ les éléments deF(H,C)possédant les propriétés suivantes : i)f est holomorphe sur H,

ii) f est invariante par l’opération de Γassociée a l’entier k induite par le Lemme,

iii) Pour toutσ∈SL2(Z), il existe un entierN(σ)tel que f admette un developpement de la forme(f|kσ)(z) = P

n≥0a(n, σ)q^n/N(σ)oùq=exp(2iπz)eta(n, σ)∈C.

Remarque. D’après la proposition9.1, si f vérifie i)et ii) alorsf est périodique de périoden et pour tout σ∈SL2(Z)f ◦σl’est aussi donc grâce à la proposition9.2on peut remplacer le iii)dans la définition d’une forme modulaire surΓ par : Pour toutσ∈SL₂(Z), f|kσpossède une limite finie quand=(τ)tend vers+∞

En particulier siΓ =SL2(Z)alorsa(n, .) =a(n)carf|kσ=f.

On notera dans la suiteM_k(Γ)l’ensemble des formes modulairesΓ-invariante de poidsk.

Remarque. Mk(Γ)est unC-espace vectoriel

Définition. Un élément de Mk(Γ) dont le premier terme du développement en série de q est nul est appelé une forme parabolique de poids k relativement à Γ. Le sous-espace vectoriel des formes paraboliques de poids k relativement àΓ est notéSk(Γ).

On définit l’espaceM(Γ)des formes modulaires relativement àΓ et son sous-espace des formes paraboliques S(Γ)par :

M(Γ) =M

k∈N

Mk(Γ) et S(Γ) =M

k∈N

Sk(Γ)

On vérifie queM(Γ)est une algèbre graduée.

3.2 Forme modulaire associée à un caractère

Définition. Soit Γ un sous groupe d’indice fini de SL₂(Z) et soit un caractère χ du groupe Γ. Une forme modulaire associé au caractèreχ du groupeΓ est une fonction holomorphe surHà valeur dansCvérifiant : i)f|_kγ=χ(γ)f pour toutγ∈Γ,

ii)Pour tout γ∈SL2(Z), la fonctionf|kγ(τ) admet une limite quand=(τ)tend vers +∞.

L’ensemble des formes modulaires associés à un caractèreχ du groupeΓsera notéMk(Γ, χ).

On définit aussi 2 types de sous-groupe deSL₂(Z).

Définition.

Γ₀(N) =n a b c d

!

, c= 0 mod No

Γ(N) =n a b c d

!

, a b c d

!

= 1 0 0 1

!

mod(N)o Γ₀(N)est appelé sous-groupe de Hecke deSL₂(Z),

Γ(N)est appelé sous groupe modulaire principal de niveau N.

Remarque. On remarque que le caractère trivial correspond à l’action modulaire, on a encore une fois étendu l’action précédente.

On dit qu’un groupe est de congruence s’il contientΓ(N)pour un certain N .

On donnera par la suite des résultats sur l’ensemble des formes modulaires associé au groupeΓ0(N)pour divers N.

Proposition 3.1. Un groupe de congruence est d’indice fini dansSL2(Z). En particulier,Γ0(N)et Γ(N) le sont.

Démonstration. SoitJ un groupe de congruence et N tel queΓ(N)⊂J.

D’après la proposition9.4,Γ(N)correspond au noyau du morphisme pourk= 2et en particulier

SL2(Z)/Γ(N) =SL2(Z/NZ) donc par théorème de factorisation SL2(Z)/J s’injecte dans SL2(Z/NZ)et est donc fini.

4 Etude de M

(Γ) et applications

4.1 Etude de M

(SL

( Z ))

Ce paragraphe constitue l’étude de l’ensemble des formes modulaires associé àΓ =SL2(Z). Commençons par en donner un exemple.

Dans la suite nous noteronsM_k l’ensembleM_k(SL₂(Z))etS_k l’ensembleS_k(SL₂(Z)) On noteT = 1 1

0 1

!

et S= 0 −1 1 0

!

Remarque. On considérera kpair car les relationsS²=I2 etf|k−I2= (−1)^kf montrent queMk = 0 pour kimpair.

La relationf(i) =f|kS(i) =i^−kf(i)donnef(i) = 0sik6= 0mod4. Et si on remplaceiparρ, on af(ρ) = 0si k6= mod3

Lemme 4.1. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) ∀τ∈Hf(τ+ 1) =f(τ) et f(−1/τ) =τ^kf(τ)

ii) ∀γ∈SL(2,Z), ∀τ ∈Hf|kγ(τ) =j(γ, τ)^kf(γ(τ))

Démonstration. On aS(τ) =τ+ 1etT(τ) =−1/τ donc la preuve du lemme est directe carSet T engendrent SL₂(Z)d’après la proposition9.5et |_k est une action à droite.

Proposition 4.1 (Les séries d’Eisenstein). Soitk≥4un entier pair. La série X

(n,m)∈Z²−{0}

( 1 mτ+n)^k

est absolument convergente sur H et définit donc une fonction Gk : H → C. De plus, on a Gk ∈ Mk et G_k(∞) = 2ζ(k)

Démonstration. On noteDA,B={τ∈H, Im τ > A et|Re τ|< B} pourA, B >0.

Soit τ ∈ DA,B, On a que |τ−λ| > A pour tout λ∈ R. Si on regarde le cône{λx, x ∈ DA,B λ ∈ R}, il est délimité par les droites vectorielles engendrées parB+iAet−B+iA. Donc, il existeδ >0tq|λτ+ 1|> δ pour toutλ∈Rcar la distance de0au cône translate de 1 est atteinte en 2 points. Ainsi, si on poseC=M in(A, δ), on obtient que pour tout(µ, ν)∈R²− {0},

|µτ+ν|> Csup(|µ|,|ν|) .

Sis≥1, on a exactement 8s couples(m, n)∈Z² tel quesup(|m|,|n|) =s, donc P

(n,m)∈Z²−{0}

1

|mτ+n|^k ≤_C¹_kP

s≥1 8s

s^k <+∞surD_A,B sik≥4.

Donc les Gk sont normalement convergentes surHet d’après le théorème de Weierstrass, on a que lesGk sont holomorphes surH. Par convergence absolue desGk surH, les bijections(m, n)7→(m, n+m)et

(m, n)7→(n,−m)donnent les relationsG_k(τ+ 1) =G_k(τ)et G_k(−1/τ) =τ^kG_k(τ)pour toutτ ∈H. Par convergence uniforme surD1,1, on obtient par inversion limite-intégrale queGk(τ)→ζ(k)quand Im(τ)→+∞etτ∈D_1,1. Par 1-périodicité desG_k, on conclut queG_k(τ)→ζ(k)quandIm(τ)→ ∞et τ∈H. Enfin, on obtientGk ∈ Mk d’après le Lemme précédent.

On noteE_k =G_k/G_k(∞)de facon a avoirE_k(∞)=1. Cette définition a un sens carζ(k)6= 0et on remarque queSk=ker(Φ)avecΦ :Mk→C,f →f(∞), d’oùMk =SkL

CEk pourk≥4.

Remarque. A l’aide des séries d’Einsenstein, on peut fabriquer d’autres formes modulaires car si f ∈ M_k et g∈ Mlalorsf g∈ Mk+l

Un exemple important est la forme modulaire parabolique de poids 12 :

∆ = 1

1728(E₄³−E²₆)

appelé forme modulaire de Jacobi. Le coefficient 1728 est tel que le coefficient devantqsoit égal a 1.

La proposition suivante nous permettra de prouver queM_k est un espace vectoriel de dimension finie.

Proposition 4.2. (Formule duk/12) Soitk∈Zet f ∈ Mk non identiquement nulle. On a la formule : v_∞(f) + X

P∈SL2(Z)\H

vP(f) eP

=k/12

où vP(f) est l’ordre d’annulation de f au point P, eP le cardinal du stabilisateur de P dans SL2(Z)/{±I2}, v_∞(f)est l’ordre d’annulation en 0 def˜.

Remarque. SL2(Z)\Hcorrespond au quotient fourni par l’action à gauche deSL2(Z)surH.

vP(f) et eP(f) dépendent uniquement de la SL2(Z)-orbite de P. En effet, pour eP(f) cela vient du fait que les stabilisateurs de deux points dans la même orbite sont conjuguées et pourvP(f)de la non annulation des j(γ, τ)pourτ ∈Het γ∈SL2(Z).

Avant de pouvoir démontrer cette formule nous avons besoin de savoir comment se comporte l’action deΓ sur H.

On poseF={τ ∈H, |<(τ)| ≤1/2et |τ| ≥1}.

Proposition 4.3. i) Pour toutτ ∈H, l’orbite deΓτ rencontreF.

ii) Siτ et τ⁰ sont deux points distincts deF tels queΓτ=τ⁰ alors : - soit<(τ) =±1/2 etτ⁰=τ±1,

- soit|τ|= 1et τ⁰=−1/τ.

iii) Si τ ∈ F alors le stabilisateur deτ dans Γest {±I₂}, sauf si τ =i (resp τ =ρ,−ρ²), auquel cas c’est le sous groupe engendré par S (resp ST).

Démonstration. i)Soitτ ∈H, l’applicationR²→R, (c,d)→ |cτ+d|²admet un minimum surZ²− {0}carZest discret et l’application tend vers+∞quandk(c, d)k tend vers+∞. D’après la proposition3.1il y a un sens à considérer l’ensembleE⊂Γτ des élémentsτ⁰tel que=(τ⁰)soit maximal. Il est invariant parτ→τ+ 1donc on a unτ⁰ ∈E avec|<(τ⁰)| ≤1/2. Mais−1/τ⁰∈Γτ et=(−1/τ⁰) ==(τ⁰)/|τ⁰|², donc|τ⁰| ≥1. Ainsi,τ⁰∈Γτ∩ F.

On remarque que cette démonstration reste valable pour n’importe quelle sous groupeG⊂Γtel queS, T ∈G.

ii)Prenonsτ, τ⁰∈ F avec=(τ⁰)≥ =(τ)et tel queτ⁰=γ(τ)oùγ= a b c d

!

∈SL(2,Z).

On a alors par le lemme 3.1 que|cτ +d| ≥ 1. En particulier,|c=(τ)| ≥ 1 d’où c ∈ {−1,0,1}. Si c = 0alors d=a=±1 et donc±γ est une puissance de T, on obtient directement le premier cas de ii). Quitte a prendre

−γ, supposons c= 1, on remarque que|τ+d| ≤1 implique|τ|= 1et d∈ {−1,0,1}et qu’on est dans l’un des 3 cas suivants :

1) τ 6=ρ,−ρ² et d=0. Dans ce casb =−1 et τ⁰ =a−1/τ puis a= 0 car |<(−1/τ)| <1/2. Donc γ = S et τ⁰ =τ =i.

2) τ =ρ et d= 0,−1. Sid= 0, on a encoreb =−1 et τ⁰ =a−1/ρ =a−ρ². Donc soitτ⁰ =−ρ²,a = 0et γ=±S, soit τ⁰=τ,a=−1et γ= (ST)².

3) τ =−ρ² et d= 0,1. Si d= 0, on ab =−1 et τ⁰ =a+ρ. Donc soitτ⁰ =ρ, a= 0et γ =±S soit τ⁰ =τ⁰, a= 1et γ= (ST)².

iii)Ça découle de l’analyse des cas 1.2.3).

On est maintenant capable de démontrer la proposition4.4.

Démonstration. Soitf ∈ Mk non nulle. On sait que que l’orbite de tout zéro rencontreF, pour r >0, on note Ω_r={τ∈H,=(τ)> r}. La fonctionf˜étant holomorphe en 0, il exister >0tel quef n’admet pas de zéro dans Ωr. La partieF −Ωrest compact donc ne contient qu’un nombre fini de zéro de f. Cela montre en particulier que le nombre deΓ-orbite de zéros def est fini. (donc la somme intervenant dans la proposition4.4est finie) Considérons le chemin de limité par le contour de la figure 2 qu’on noteraC. On choisit les points A et E de façon à n’avoir aucun zéro de partie imaginaire supérieure à celle de A et E. Les zéros de f se situant sur la frontière de F (qui sont en nombre fini) sont évité par le chemin comme sur la figure 2. Ceci étant fait le contour contient un seul zéro def de chaqueΓ-orbite car d’après la proposition4.3, deux zéros def se situant à l’intérieur du contour n’appartiennent pas à la même orbite, les zéros de f sur la bande {z ∈ F, <(z) =

−1/2} sont ceux de la bande {z ∈ F, <(z) = 1/2} translatés par T et ceux qui sont dans l’arc de cercle {z ∈ F,|z| = 1, arg(z) ∈]π/2,2π/3[} sont ceux de {z ∈ F,|z| = 1, arg(z) ∈]π/3, π/2[} translatés par S.

Le théorème des résidus appliqué a la fonction méromorphef⁰/f donne : 1

2iπ Z

C

f⁰(τ)

f(τ)dτ =X

P

vP.

La somme porte sur toutes lesΓ-orbites ne contenant ni ini ρ. Les fonctions f et f⁰ sont T-invariantes donc par changement de variable on a :

Z

γ_AB

f⁰(τ) f(τ)dτ =

Z

T γ_AB

f⁰(τ) f(τ)dτ =−

Z

γ_D0E

f⁰(τ) f(τ)dτ.

Le cheminω(t) =e^2iπγEA(t) est un cercle de centre 0 dans D faisant un tour dans le sens direct, on a donc par changement de variable et théorème des residus applique àf˜⁰/f˜:

1 2iπ

Z

γ_EA

f⁰(τ) f(τ)dτ =

Z

ω

f˜⁰(τ)

f˜(τ)dτ =−v∞. Par modularité def on a que :

f⁰ f =−k

τ +(f◦S)⁰ f◦S ,

d’où 1

2iπ Z

γ_B0C

f⁰(τ)

f(τ)dτ =− 1 2iπ

Z

γ_B0C

k

τdτ+ 1 2iπ

Z

Sγ_B0C

f⁰(τ) f(τ)dτ, avecSγ_B⁰_C=−γC⁰D.

LorsqueB⁰ tend versρ,C tend versi et les portions de cercles autour des zéros sont de rayons tendant vers 0, on a :

1 i

Z

γ_B0C

1

τdτ −→(ρ,\0, i) = π 6. De même, lorsqueB etB⁰ tendent vers ρ,

1 i

Z

γ_BB0

f⁰(τ)

f(τ)dτ −→ −π 3v_ρ. Enfin, lorsqueC et C⁰ tendent vers i,

1 i

Z

γ_CC0

f⁰(τ)

f(τ)dτ −→ −πvi. On a donc

X

P

vP = 1 2iπ

Z

C

f⁰(τ)

f(τ)dτ = 1 2iπ(ikπ

6 −iπvi−i2π

3 vρ−2πiv_∞), d’où la formule careP = 1siP /∈ {i, ρ}, ei= 2eteρ= 3 d’après la proposition4.3.

Remarque. Cette formule admet des généralisations lorsqueΓest quelconque et est alors connue sous le nom de théorème de Riemman-Roch.

Corollaire. i) Sik <0,k= 2 oukimpair alorsMk = 0.

ii) M0=Cet si k= 4,6,8,10alorsMk =CEk. iii)∆ ne s’annule pas sur Hetv_∞(∆) = 1.

iv) Sik∈ZalorsSk= ∆M_k−12. En particulier, S12=C∆.

v) Pour k≥0 pair, la dimension de S_k vaut [k/12]sik6= 2mod 12et[k/12]−1sinon.

Démonstration. Une conséquence directe de la proposition précédente estMk = 0sik <0 etSk = 0sik <12

(carv∞≥1pourf ∈ Sk). En explicitant 2 termes de la somme on a : v_∞(f) +1

2v_i(f) +1

3v_ρ(f) +X

P

v_P(f) =k/12,

où la somme porte sur les autresSL(2,Z)-orbite de P différentes de celle de i et ρ.

Donc en particulierM2= 0car le terme de gauche est soit nulle ou bien>1/6. On a donci), ii)

Maintenant, appliquons la formule pourk= 4et f =E₄. Dans ce cask/12 = 1/3, mais on sait que E₄(ρ) = 0 entrainevρ(f)≥1d’oùE4(i)6= 0et ainsi∆(i) = ₁₇₂₈¹ E₄³(i)6= 0. En appliquant la formulek= 12etf = ∆, on en déduit que∆ne s’annule pas carv_∞(∆)≥1, et la formule nous dit de plus quev_∞(∆) = 1, ce qui prouveiii).

Comme ∆ est non nulle sur H, on peut considérer _∆^f pour f ∈ Sk qui est une forme modulaire de poids k−12. Ainsiiv)etv)se déduisent par récurrence deii)et iv).

Proposition 4.4. Soitk∈Z.Mk admet pour base lesE₄^sE₆^ravec(r, s)∈N² vérifiant4r+ 6s=k

Démonstration. On procède par récurrence sur kpour le caractère générateur de notre famille. D’après le co- rollaire, on peut supposer k≥4 pair. On a alors existence d’entier ret s tel que 4r+ 6s=k. Maintenant, il suffit de remarquer que pourf ∈ Mk,f−f(∞)E₄^rE₆^s∈ Sk et en utilisant queSk = ∆Mk−12 avec l’hypothèse de récurrence on conclut que la famille donnée est bien génératrice.

Montrons par récurrence sur k que cette famille est libre, on peut supposer encore que k ≥ 4. Supposons qu’on ait :

X

4r+6s=k

λr,sE₄^rE₆^s= 0

Si kest multiple de 4, l’évaluation en inous donne que λ_k/4,0= 0(E₄(i)6= 0). Doncλ_r,s 6= 0impliques >0.

D’où, soit tous lesλr,s sont nuls ou bienk≥6et les lambda qui sont a fortiori non nuls sont devant des termes avec s ≥ 1, on conclut en simplifiant par E₆ et l’hypothèse de récurrence. Notons qu’on peut simplifier car l’anneau des fonctions holomorphes est intègre.

On va voir que le formulek/12permet aussi de montrer queMk(Γ, χ)est un espace vectoriel de dimension finie pourΓun sous groupe d’indice fini deSL2(Z)et χun caractère d’image finie.

Proposition 4.5. SupposonsΓd’indice fini dansSL₂(Z)et le caractèreχd’image finie. On a : dim(Mk(Γ, χ))≤ km

12 + 1

Commencons par quelques remarque, on a

f|kγ×g|k⁰γ= (f g)|k+k⁰γ

donc sif ∈ Mk(Γ, χ)et g∈ Mk⁰(Γ, χ⁰)alorsf g∈ Mk+k⁰(Γ, χχ⁰). Or, vu que le caractère χest d’image finie, il existe un entieretel queχ^e= 1donc sif ∈ Mk(Γ, χ)alorsf^e∈ Mke(Γ). De plus, sif ∈ Mk(Γ),f|kγne dépend que de la classe deγdansΓ/SL(2,Z)donc on peut définir :

N(f) = Y

x∈Γ/SL(2,Z)

f|kx.

Lemme 4.2. Supposons Γ d’indice fini m dans SL(2,Z) et f ∈ Mk(Γ). Alors N(f) ∈ Mkm et N(f) = 0 impliquef = 0

Démonstration. (Lemme 4.2) Le premier point se fait en remarquant que la multiplication parγ∈SL(2,Z)sur Γ/SL(2,Z)est bijective et le second point, de l’intégrité de l’ensemble des fonctions holomorphes sur le connexe H

Démonstration. (Proposition 4.5) Soit N>^mk₁₂ et P une partie arbitraire de l’intérieur deF avec |P| =N. Il suffit de démontrer que l’application linéaire :Mk(Γ, χ)→C^P,f →(f(p))_p∈P est injective. Pour cela, on prend f dans son noyau dont on suppose qu’elle est non identiquement nulle. On applique la formule du k/12 à la fonctionN(f^e)qui est dansMekm d’après le lemme précédant. Cette fonction s’annule en lesN points avec un ordre≥epar définition, donc cela nous donne que ^ekm₁₂ ≥^{N e}₁₂, ce qui est absurde par définition deN.

Remarque. La proposition4.5montre en particulier que l’ensemble des formes modulaires associées à un sous groupe de congruence est de dimension finie en prenant le caractère trivial.

Le théorème de Riemman-Roch permet d’obtenir une formule exacte de la dimension en fonction de certains invariants.

4.2 Développement des séries d’Eisenstein en série de Fourier

On sait d’après la proposition9.2que les séries d’Einsenstein admettent un développement en séries de Fourier. L’objectif de cette partie est de déterminer ce développement et d’en voir les conséquences.

Proposition 4.6. Soitkun entier pair≥4, on poseσk(n) =P

d|nd^k alors on a la relation suivante : Ek= 1− 2k

Bk

X

n≥0

σk−1(n)qⁿ

où les nombres de Bernoulli sont définies de la manière suivante : _et^t₋₁ =P

n≥0 B_n

n!tⁿ Etqdésigne la fonction :q:τ→e^2iπτ

Démonstration. Euler a démontré que pour toutz∈C−Z: π

tan(πz) =1

z + X

n∈Z−{0}

1 z−n Pourτ ∈H, on a :

π

tan(πτ) =iπq(τ) + 1

q(τ)−1 =iπ−2iπX

n≥0

q(τ)ⁿ,

et en dérivantk−1 fois l’identité d’Euler par rapport àτ, ce qui est justifié par le théorème de Weirstrass, on trouve :

X

n∈Z

1

(τ+n)^k =(−2iπ)^k (k−1)!

X

n≥0

n^k−1q(τ)ⁿ,

On applique cette relation amτ pour toutm≥1entier et on en fait la somme surm(possible par convergence absolue du terme de droite²) pour obtenir :

1

2G_k(τ)−ζ(k) = (2iπ)^k (k−1)!

X

n≥0

σ_k−1(n)q(τ)ⁿ

On conclut en utilisant une autre relation due a Euler :ζ(k) =−^(2iπ)_2k!^kBk

On remarque que tous les coefficients du développement deE_k sont dansQet que ceux deE₄et E₆ sont à coefficients entiers. Ainsi,Mk possède uneC-base de formes modulaires à coefficients entiers. Ce phénomène entraîne des relations inattendues comme :

2. P

n∈N

P

d|nd^l|q|ⁿ=P+∞

n=1

P+∞

m=1m^l|q|^mn<∞

σ7(n) =σ3(n) + 120

n−1

X

m=1

σ3(m)σ3(n−m), ∀n≥1.

En effet, il suffit de considérer E₄² ∈ M8, or M8 =CE₈. CommeE₄(∞) = E₈(∞) = 1, on aE₄² =E₈ et en égalisant les coefficients on obtient la relation ci-dessus.

La formule∆ = ₁₇₂₈¹ (E₄³−E₆²)combinée auxq-développements deE₄et E₆permet d’exprimer les coefficients de Fourier de∆. Len-ième coefficient est généralement notéτ(n)et la fonctionτ est appelée fonction de Ramanujan. Ramanujan a conjecturé que|τ(p)| ≤2p^11/2pour ppremier, ce qui fut démontré par Pierre Deligne en 1973.

On donne ci-dessous une table exprimant les premiers coefficients de∆.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

τ(n) 1 -24 252 -1472 4830 -6048 -16744 84480 -113643 -115920 534612 -370944 On remarque que pour de petites valeursτ(nm) =τ(n)τ(m)pourmet npremier entre eux. C’est un fait général que nous démontrerons par la suite.

4.3 Étude de M

(J) et fonction thêta

On noteJ le sous-groupe deSL₂(Z)engendré parT²et S définie dans la section 4.1.

On appellehle morphisme associé à l’action deSL(Z/2Z)sur\Z/2Zdéfinie dans la remarque de la partie3.1.

Ce morphisme est injectif car la seule homothétie deSL(Z/2Z)estI2. On note aussiπ:SL2(Z)→SL(Z/2Z)et on ah(π(S)) =

0 ∞

, h(π(T)) = 0 1

.³ Proposition 4.7. i)J = Γ(2)∪SΓ(2), en particulier J est de congruence.

ii)Les éléments1,T et T S forment un système de représentant de J\SL2(Z).

iii)Pour toutτ∈H, il existe g∈J tel que g(τ)∈ F ∪SF ∪T SF.

Démonstration. Le point iii) se montre de la même manière que la proposition 4.3 . En effet, l’ensemble F ∪SF ∪T SF correspond à{τ∈H,−1/2≥ <(τ)≤3/2,|τ| ≥1}. Comme les éléments S et ST² sont dans J, d’homographies associéesτ → −1/τ etτ→ −1/(τ−2), l’argument de maximalité fonctionne pareil.

Maintenant, le ii) découle deiii). En effet, soit γ ∈SL2(Z) et τ dans l’intérieur de F. D’après iii), il existe g ∈ J tq g(γ(τ)) ∈ F ∪SF ∪T SF ainsi la proposition 4.3 entraîne que ±g(γ(τ)) = I2, T ou T S, comme

−I2=S²∈J d’où :

SL2(Z) =J∪J S∪J T S

Cette réunion est disjointe car si g ∈ J(resp,J T, J T S) alors π(g⁻¹)(1) = 1(resp,0, ∞). Cela montre aussi que J est l’ensemble des éléments qui fixent 1 dans l’action surSL(Z/2Z)(il suffit d’écrire le système nécessaire pour fixer 1 dans l’action) doncJ = Γ(2)∪SΓ(2).

Remarque. Leii)de la définition def ∈ Mk(J)est alors équivalent grâce à la proposition4.7à : ii)f(τ)et(f|_kT S)(τ) =τ^−kf(1−1/τ)admettent tout deux des limites en =(τ)→+∞.

On notera ces limitesf(∞)et f(1).

Les propositions qui viennent vont nous permettre de définir des séries de Eisenstein pour le groupe de congruence J. Il est possible de définir ces séries pour des groupes de congruence quelconque, ce que nous ne ferons pas ici.

Proposition 4.8. Soitk≥4un entier pair. La série X

(m,n)∈Z²−{0}

m=n mod2

1 (mτ+n)^k

3. Notation pour les transpositions

est absolument convergente surHet définit donc une fonctionG^∗_k:H→C. De plus, G^∗_k ∈ Mk(J), G^∗_k(∞) = 2^1−kζ(k) et G^∗_k(1) = 2ζ(k).

Enfin

2^k−1

ζ(k)G^∗_k(τ) = 1− 2k B_k

X

n≥1

(−1)ⁿσ_k−1(n)e^iπnτ

Démonstration. La convergence absolue est évidente d’après celle de Gk. L’invariance par l’action de poids k associé àJ l’est aussi. En passant à la limite on obtientG^∗_k(∞) = 2^1−kζ(k). Pour l’autre limite, on utilise

τ^−kG^∗_k(1−1/τ) = X

(m,n)∈Z²−{0}

m=n mod2

1

((m+n)τ−m)^k = X

(m,n)∈Z²−{0}

1 (2mτ+n)^k,

ce qui donne en passant à la limite, l’égalitéG^∗_k(1) =ζ(k). La dernière relation s’obtient grâce à celle sur Gk

en remarquant queG^∗_k(τ) = 2^−kGk(^τ+1₂ ).

On définitEk = ²_ζ(k)^k−1G^∗_k.

Proposition 4.9. Si k= 0mod4, alorsMk(J)est de dimensionk/4 + 1de base (E₄^rE₄^∗s)_r+s=k/4

Démonstration. D’après la proposition4.5, on sait que sa dimension est plus petit quek/4 + 1. La preuve de la liberté de la famille est semblable à celle qu’on a faite pour la proposition4.4.

On va à présent construire une forme modulaire associée à J pour un certain caractère qui, couplé avec le fait queMk(J)est un espace vectoriel de dimension finie dont on connaît une base, va nous donner une relation sur le nombre de façons de décomposer un entier en somme de 8 carrés. On va retrouver l’idée que nous avons utilisé plus haut surE₄²pour obtenir une relation non triviale surσ₇(n)

On définit pourt >0,θ(t) =P

n∈Ze^−tπn2 Proposition 4.10. Pour toutt >0,θ(1/t) =√

tθ(t)

Démonstration. On poseft(x) =e^−πtx2. On remarque queft∈ S(R). Un changement de variable montre que fbt(y) = ^√1_tfb1(y/√

t)et on sait quefb1 =f1 doncfbt(y) = ^√1_tfd1/t(y). Puis, on applique la formule de Poisson⁴à ft en 0, ce qui donne le résultat souhaité.

Jacobi a introduit une fonction qui à un intérêt important dans l’étude des formes modulaire, c’est la fonction thêta de Jacobi définit par :

Θ(z, τ) =X

n∈Z

e^{iπτ n2+2iπnz}

Proposition 4.11. La fonction de Jacobi est absolument convergente, holomorphe en les deux variables et vérifieΘ(z+ 1, τ) = Θ(z, τ)et Θ(z+τ, τ) =e^{−iπτ−2iπz}Θ(z, τ)

Démonstration. Cette série est normalement convergente sur toute partie deC×Hde la forme {(z, τ), =z > A,=τ > B}

où A ∈R et B ∈R>0. Par le théorème de Weirstrass, on en déduit l’holomorphie en les deux variables. Les deux relations sont immédiates.

Proposition 4.12. Pour toutz∈Cet toutτ∈H, on a :

Θ(z, τ+ 2) = Θ(z, τ) et Θ(z,−1/τ) =√

−iτ e^{iπτ z2}Θ(τ z, τ) Où√

. désigne l’unique racine de partie réel positif.

4. Voir9.3

Démonstration. La première identité est immédiate. On pose gτ(x) = e^{iπτ x2}. La transformée de Fourier de x7→ gτ(x)e^2iπzx est y 7→gbt(y−z). Montrons que gbτ(y) = ^√1

−iτg_−1/τ(y). Lorsque τ =itavec t >0, c’est la démonstration de la proposition4.10. Ayfixé, il suffit de montrer que les deux fonctions sont holomorphes et on aura l’égalité pour toutτ ∈Hpar le principe des zéros isolés. La membre de droite est holomorphe car√

−iτ ne s’annule pas surH. L’holomorphie du membre de gauche se déduit de la majoration|e^{iπτ x2}| ≤e^{−πImτ x2} et du théorème sur l’holomorphie des intégrales à paramètres. Pour conclure, il suffit d’appliquer la formule de poisson ày7→gt(y−z)en utilisant l’identité que l’on vient de montrer.

La fonction qui va nous intéresser par la suite estν(τ) = Θ(0, τ).

Elle est non nulle carν(it) =θ(t)>0 sit >0

Corollaire. Il existe un unique morphisme de groupeχ:J → {±1,±i} tel que χ(S) =−i etχ(T²) = 1et on a pour toutγ∈J, on aν²|1γ=χ(γ)ν²

Démonstration. Le point qui est a priori délicat est qu’une telle application est un morphisme. Le théorème précédent nous dit queν²|1S =−iν² et ν²|1T²=ν². CommeT² et S engendre J, les propriétés d’une action montrent que l’application évidente est un morphisme.

Remarque. ν(2τ) =P

n∈Zqⁿ² etν^k(2τ) =P

(n1,·,nk)∈Z^kq^n21+·+n2k=P

n≥0r_k(n)qⁿ oùr_k(n)est le nombre de façons de décomposernen somme dekcarrés.

On définit aussiν(τ) =e P

n∈Z(−1)ⁿe^{iπτ n2} et bν(τ) =e^{iπτ /4}P

n∈Zq^n(n+1)/2. Par définition,eν(τ) = Θ(1/2, τ)et bν(τ) =e^iπ/4Θ(τ /2, τ).

Elles sont relié àν par les relations suivantes :νe(τ) =ν(τ+ 1)et bν(τ) = ^√1

−iτν(1−1/τ)

Corollaire. La fonctionν²est modulaire de poids 1 et caractèreχpour J. De plus, on aν²(∞) = 1,ν²(1) = 0 etν²|1T S(τ) =−iνb(τ)²

Corollaire. i)Pour toutk >0, on aν^2k ∈ Mk(J, χ) ii)On a (ν νebν)⁸= 2⁸∆

Démonstration. Le i)a déjà été traité plus haut. Pour leii), on remarque que le terme de gauche correspond à N(ν⁸) . C’est un élément non nul de S₁₂ donc est proportionnel à ∆. Pour avoir le coefficient, il suffit de remarquer quebν(τ) = 2e^{iπτ /4}+O(e^{iπτ /2})et que le développement de∆ enqcommence parq−24q².

Remarque. Le corollaire nous dit en particulier queν ne s’annule pas surH. Proposition 4.13. On aν⁸= ₁₅¹(16E₄−E₄^∗)etr₈(n) = 16P

d|n(−1)^n−dd³

Démonstration. La proposition 4.9 appliqué àk = 4 nous dit qu’il existe a, b tel que ν⁸ =aE4+bE₄^∗ et en regardant les limites en 1 et∞, on obtient que(1,0) = (a+b, a+ 16b). On a donc

X

n≥0

r₈(n)qⁿ =ν⁸(2τ) = 1 + 16X

n≥1

σ₃(n)(16q²ⁿ−(−1)ⁿqⁿ)

Si n est impair, le coefficient de qⁿ vaut 16σ3(n). Si n est pair, il s’agit de 16(−σ3(n) + 16σ3(n/2)). Mais par un simple changement de variable, 16σ₃(n/2) = 2P

2|d|nd³ donc on a la relation −σ3(n) + 16σ₃(n/2) = P

d|n(−1)^dd³ d’où le résultat.

En particulier sipest premier impair, on ar8(p) = 16(p³+ 1). On peut obtenir d’autres relations en étudiant ν^2k etM4k(J)de façon général.

4.4 Identité de Ramanujan

Nous allons énoncer un résultat qui lie les dérivées de certaines formes modulaires mais sans démonstration . On définitη = ∆^1/24, A4(τ) =_η(τ)^η(2τ)4η(4τ)^{10 4},B4(τ) =_η(2τ)^η(τ)42,C4(τ) = 2^2η(4τ)_η(2τ)⁴2,D4(τ) = ^{E2(τ)−2E2(2τ)+4E}₃ ^2(4τ) E₂ est définie dans la partie suivante, c’est la série de Eisenstein de poids 2.

Theoreme 4.1. On a les identités suivantes :

1

2iπ∂_τA₄=¹₄A₄(D₄+^C42_A^−B2 ⁴² 4

A²₄) et A₄(q) = 1 +O(q)

1

2iπ∂τB4=¹₄B4(D4−A²₄) et B4(q) = 1 +O(q)

1

2iπ∂τC4= ¹₄C4(D4+A²₄) et C4(q) = 4q^1/2(1 +O(q))

1

2iπ∂_τD₄=¹₄(D₄²−A⁴₄) et D₄(q) = 1 +O(q) A4(τ)²=B4(τ)²+C4(τ)²

Remarque. Dans la partie 8, nous verrons que ces identités ont un lien avec des équations nommées WDVV.

Les équations différentielles obtenues précédemment sont appelées identités de Ramanujan.

5 Les fonction modulaires

5.1 La fonction modulaire j

Définition. Une fonction modulaire est une fonction méromorphef :H→Cvérifiant :

∀γ= a b c d

!

∈SL2(Z), z∈H, f(γ.z) =f(z)

On peut voir une fonction méromorphe comme une forme modulaire de poids 0 sans sa condition

d’holomorphie sur toutH. On peut toujours développer un telle fonction en série de Fourier sauf que des puissances négatives deqpeuvent apparaitre dû à la non holomorphie eni∞. On sait d’après la partie précédente que la seule forme modulaire surSL₂(Z)de poids 0 est la fonction nulle donc si on se donne une fonction modulaire qui est holomorphe surHet eni∞alors c’est la fonction nulle. Cette remarque nous sera utile dans la suite.

En pratique il est facile de construire de telles fonctions. Si on prendf, g∈ Mk alorsf /gest une fonction modulaire.

Un exemple important de fonction modulaire est la fonctionj=E₄³/∆. On sait d’après la partie précédente que∆est une forme modulaire de poids 12 ne s’annulant pas surHdoncj est holomorphe surH. D’après la remarque précédentej n’est pas holomorphe eni∞car elle est non identiquement nulle. On pouvait s’en douter car on a montré que∆ possède un zéro d’ordre 1 eni∞. Plus précisément on a le développement dej suivant :

q⁻¹+ 744 + 196884q+· · ·

De plus, comme les seul zéro deE4sont d’ordre 1 enρet ses conjugués par l’action,j possède un unique zéro d’ordre 3 enρet ses conjugués. On a aussi quej−1728 =E₄³/∆−1728 = 1728_E3^E62

4−E²₆ doncj−1728possède un unique zéro d’ordre 2 eniet ses conjugués. (provenant du zéro d’ordre 1 enideE6). Ces données vont nous permettre de connaître toutes les fonctions modulaires et de démontrer le théorème suivant.

Theoreme 5.1. Toute fonction modulaire est un polynôme rationnel enj

Démonstration. Soitf une fonction modulaire.

On peut appliquer le même début de démonstration que pour la formule k/12 pour avoir que f possède un nombre fini de points dansF où elle n’est pas dérivable. Maintenant on applique l’algorithme suivant àf : 1) Sif a un zéro enτ0∈ F, on l’élimine en multipliantf parj(τ)−j(τ0).

2) Sif s’écrit :a_−nq⁻ⁿ+· · ·, on élimine le pôle d’ordreneni∞en regardantf−a_−nj(τ)ⁿ . On peut éliminer toutes les puissances négatives jusqu’à se ramener à une fonctionf holomorphe en i∞.

Après avoir fini l’étape 1) on obtient une fonction holomorphe surHcar elle n’a qu’un nombre fini de pôles sur F, du fait de l’invariance def et j parSL2(Z), on les élimine tous. Après l’étape 2), on obtient une fonction holomorphe surHet eni∞de poids 0. On en déduit le théorème.

Remarque. En quelque sortej est la fonction modulaire la plus simple que nous connaissons. Ses coefficients jouent un rôle clé dans l’étude d’un groupe appelé groupe Monstre.

Proposition 5.1. j est une application surjective.

Démonstration. Soitz∈C, il suffit de montrer quef = 1728E₂³−z∆s’annule surH. Ceci se déduit directement de la formule k/12. La formule nous dit mieux, on a que f s’annule qu’une seule fois siz 6= 0. Le cas z = 0 correspond aux zéros deE₂.

Un corollaire surprenant de ce qui précède est le théorème de Picard.

5.2 Une preuve du théorème de Picard

Theoreme 5.2. Soit f : C→ C une fonction holomorphe non constante alors l’image de f est au moins C privé d’un point.

Démonstration. Tout d’abord, on remarque quej⁰est une forme modulaire de poids2qui n’est pas holomorphe eni∞. En adaptant la preuve de la formule duk/12, le pôle eni∞remplace le termev_∞en−koùkest l’ordre du pôle. On en tire que les seuls zéros de j⁰ sont ρ, iet ses conjugués par l’action. Maintenant, on considère j⁻¹:C→Hqui n’est pas forcément bien définie de partout mais on peut la définir surC− {j(i), j(ρ)}⁵et elle est alors holomorphe carj⁰6= 0surC− {i, ρ}⁶. Maintenant, soitf :C→Cholomorphe tel quef(z)6=j(i), j(ρ) alors l’applicationj⁻¹◦f :C→Hest holomorphe et bien définie. En prenant l’exponentielle, d’après le théorème de Liouville on en déduit quef est constante d’où le théorème.

6 Opérateur de Hecke

6.1 Pour une fonction modulaire

Définition. Soitf une fonction modulaire et n∈N.

On noteA_n les matrices entières de déterminantnet on définit T(n)(f) =P

γ∈SL2(Z)/Anf(γ.τ).

Remarque. T(n)est bien défini carf est invariante parSL2(Z)et est appelé opérateur de Hecke.

T(n)(f)est une fonction modulaire.

Par des opérations sur les lignes et les colonnes, on voit facilement qu’un système de représentants possible de SL2(Z)/An est constitué des matrices de la forme n/d d

i d

!

pouri∈[0, d−1]et d|n

Theoreme 6.1. On notecn les coefficients dej ( pourn <1cn= 0) ainsi on a l’expression suivante : j(σ)−j(τ) =p⁻¹ Y

m>0 n∈Z

(1−p^mqⁿ)^cnm

5. j(i) = 1728etj(ρ) = 0, on peut la définir sur cette ensemble d’après la proposition précédente. On enlèvej(i)par s’assurer de son holormorphie.

6. On enlève aussi les conjugués deietρ.

oùp=e^2iπσ,q=e^2iπτ.

6.2 Pour une forme modulaire

Définition. Soitf ∈ Mk(SL2(Z))etn∈N

On définit un autre opérateur de Hecke par Tn(f) =n^k−1P

γ∈SL2(Z)/An(cτ+d)^−kf(γ.τ)oùγ= a b c d

! . Remarque. Tn est bien défini carf est une forme modulaire de poidsk.

Tn(f)est aussi une forme modulaire de poidsk.

Proposition 6.1. i)T_n(f) =n^k−1P

a,d>0,ad=n 1 d^k

Pd−1

b=0f(^az+b_d ) ii)Tn(f) =P

m∈Nbmq^mavecbm=P

mq^mP

r>0,r|(m,n)r^k−1c_mn/r2 oùci7est lei-ème coefficient def iii)T_nT_m=T_nmsinet msont premier entre eux.

Démonstration. i)est direct en prenant le même système de représentant qu’en 6.1.ii)On a :

Tn(f)) =n^k−1 X

a,d>0,ad=n

1 d^k

d−1

X

b=0

X

m∈Z

cme2iπm(aτ+b)/d =n^k−1 X

a,d>0,ad=n

1 d^k−1

X

m⁰∈Z

cm⁰dq^am0

En faisant un simple changement de variable on aii). Etiii)découle du fait que l’application(b, c)→ab+dc est injective pourb < dsiaetdsont premier entre eux et une manipulation lourde sur les indices.

Proposition 6.2. ∆ est un vecteur propre deTn associé à la valeur propreτ(n).

Démonstration. CommeTn∆est une forme modulaire de poids 12, elle est proportionnel à∆. En prenantm= 1 dansii)on voit que le 1er coefficient de T_n∆ vautc_n =τ(n)tandis que celui de∆ est égale à 1, on en déduit le résultat.

Corollaire. i)τ(nm) =τ(n)τ(m)sinetm premier entre eux.

ii)τ(p)τ(pⁿ) =τ(pⁿ⁺¹) +p¹¹τ(pⁿ⁻¹) avecppremier.

Démonstration. i)découle de 6.1 et 6.2. Pourii)il suffit de prendrem=pdans l’expression debm. Proposition 6.3. On a les estimations suivantes :

i)Pourf =Gk,an =O(n^2k−1) ii)Pourf ∈ S_k,a_n=O(n^k) iii)Pour f ∈ Mk,an=O(n^2k−1)

Démonstration. i)vient du fait queσ_2k−1(n) =O(n^2k−1).ii)demande plus de travaille. Commef ∈Sk,a0= 0 donc|f(z)|=O(q) =O(e^−2πy), avecy=Im(z). On en tire queφ(z) =|f(x+iy)|y^k est borné sur le domaine fondamentalF mais de l’invariance def parSL2(Z), on en déduit celle deφpour l’action deSL2(Z)surH, ce qui permet d’en déduire qu’il existeM tel que∀z∈H,|f(z)| ≤M y^−k. Maintenant ày fixé,xvariant de 0 à 1, qdécrit un cercle de centre0 et de rayone^−2πy. En appliquant la formules de cauchy à ce cercle, on obtient la majoration :

|an| ≤M y^−ke^2πny

En prenanty= 1/n, on obtient le résultat voulut. iii)se déduit deii)eti).

Theoreme 6.2. On poseΦ_∆(s) =P

n∈N^∗τ(n)/n^s. On a alors la relation suivante : Φ∆(s) =Y

p∈P

1

1−τ(p)p^−s+p^11−2s

7. Sii <0alorsci= 0.

Démonstration. D’après la proposition précédente, Φ∆ converge absolument pour Re(s)>2k = 12. Donc on va se placer dans ce cas. Commeτ est multiplicative, la formule du produit eulérien est valide et on obtient :

Φ∆(s) = Y

p∈P

X

n∈N

τ(pⁿ)p^−ns

On poseT =p^−s, on doit donc montrer : X

n∈N

τ(pⁿ)Tⁿ= 1

1−τ(p)T+p¹¹T² En développant :

X

n∈N

τ(pⁿ)Tⁿ(1−τ(p)T+p¹¹T²)

Le coefficient deT est τ(p)−τ(p) = 0, celui deTⁿ⁺¹ est

τ(pⁿ⁺¹)−τ(p)τ(pⁿ) +p¹¹τ(pⁿ⁻¹) qui est nul d’après le corollaire.

Remarque. Hecke a démontré queΦ∆se prolonge analytiquement sur le plan complexe, ce qui peut se faire de façon assez direct avec la transformée de Mellin. Ce qui précède reste valable en remplaçant∆ par un vecteur propre de l’opérateurTn qui est normalisé i.ea0= 1et on remplace le termep¹¹parp^2k−1oùkest le poids du vecteur propre.

On remarque que la conjecture de Ramanujan revient à montrer que P(T) = 1−τ(p)T +p¹¹T² possède 2 racines complexes car la majoration deτ(p)correspond à un discriminant négatif deP.

De façon analogue, la même conjecture existe en remplaçant∆ avec un vecteur propre normalisé deTn. Cette conjecture a aussi été résolue par Pierre Deligne.

7 Forme quasi-modulaire

Dans la partie précédente, nous avons dérivé des formes modulaires, il est donc légitime de se demander si la dérivée d’une forme modulaire est encore une forme modulaire, en général la réponse est non. L’ensemble M_k(Γ)n’est pas stable par l’opérateur dérivé. Un moyen de rendre stable cet espace est d’affaiblir les conditions de modularité d’une telle fonction.

7.1 Définition et étude de E

Définition. On dit qu’une fonctionf :H→Cest quasi-modulaire de poids kpour le groupe Γsi elle vérifie : i)f est une fonction holomorphe

ii)il existe fi, i= 0,1,· · · , k−1 :H→Cholomorphe tel que :

f(γ(τ)) =j(γ, τ)^kf(τ) +

k−1

X

i=0

c^k−ij(γ, τ)ⁱfi(τ)∀γ= a b c d

!

∈Γ

iii) ∀γ∈SL₂(Z), f|kγ est développable en série de Fourier

On noteraMf_∗(Γ)l’ensemble des formes quasi-modulaire sur Γ. La conditionii)nous donne queMf_∗(Γ)est stable par l’opérateur de dérivation. Nous allons maintenant définir la série d’Eisenstein de poids 2 qui va nous permettre de connaître la structure deMf∗(Γ).

Proposition 7.1. La série définie par :

G₂(τ) =X

n∈Z

X

m∈Z m6=0si n=0

1 (m+nτ)²

est bien définie, holomorphe surHet est quasi-modulaire de poids 2 pourSL2(Z)vérifiant :

∀γ= a b c d

!

∈SL2(Z), G2(γ(τ)) =j(γ, τ)²G2(τ)−2iπcj(γ, τ).

Pour démontrer la 1ère partie de la proposition, on va établir un lemme préliminaire. La 2nd partie de la proposition est très technique et on l’admettra. Tout le problème réside sur le fait que la famille

(_(m+nτ)¹ 2)_(m,n)∈N^∗2 n’est pas sommable Lemme 7.1. Soitf ∈ L¹(R),

On suppose quef admet un prolongementfesurH, holomorphe surH−Aavec A une partie finie deHvérifiant lim_|z|→+∞|fe(z)|= 0 AlorsR+∞

−∞ f(t)e^2iπxtdt= 2iπP

a∈ARes(z→fe(z)e^2iπxz, a) pour toutx≥0

Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème des résidus sur le lacetΓ_R={Re^iθ, θ∈[0, π]} ∪[−R, R]et de faire tendreR vers+∞

Démonstration. Soitz=x+iy ∈H

On noteφy:R→C, x→ _(x+iy)¹ 2,φey :H→C, z→ _(z+iy)¹ 2,

φey et z→φey(−z)prolongeφy etx→φy(−x)surHetH− {iy}etlim_|z|→+∞|fφy(z)|= 0 D’après le lemme on obtientcφ_y(x)=0 six >0 etφc_y(x) =−4π²xe^−2πxy six <0

De plus, pour x=0φcy(0) =R+∞

−∞

1

(t+iy)²dt= 0, etφyvérifie les hypothèses de la proposition9.3(bφyest sommable et on peut prendreα= 3/2).

De la formule de Poisson, on en tire :

X

n∈Z

1

(n+z)² =X

n∈Z

φ_y(x+n) =X

n∈Z

φb_y(n)e^2inπx=−4π²

+∞

X

n=1

ne^2iπz,

donc

∀τ∈H

+∞

X

n=1

X

m∈Z

1

(m+nτ)² =−4π²

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

me^2iπmnτ =−4π²

+∞

X

p=1

σ₁(p)e^2ipπτ.

La dernière égalité est justifiée par le théorème de sommation par paquets car pour tout q∈ {z∈C,|z|<1},

X

n∈N

σ1(n)|q|ⁿ=X

n∈N

X

d∈N d|n

d|q|ⁿ=

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

m|q|^mn=

+∞

X

m=1

m|q|^m

1− |q|^m <+∞

Comme(me^{2iπτ mn})_(m,n)∈N^∗2 est une famille sommable, le changement de variable(m, n) = (−m,−n)donne

−1

X

n=−∞

X

m∈Z

1

=−4π²

+∞

X

p=1

σ1(p)e^2ipπτ,

d’où

G2(τ) =X

n∈Z

X

m∈Z m6=0si n=0

1 (m+nτ)² =

+∞

X

n=1

X

m∈Z

1 (m+nτ)²+

−1

X

n=−∞

X

m∈Z

1

(m+nτ)²+2ζ(2) = 2ζ(2)−8π²

+∞

X

p=1

σ1(p)e^2ipπτ

Maintenant qu’on a une expression "utilisable" deG2, l’holomorphie est simple à prouver.