La structure différentielle de l'anneau des formes quasi-modulaires pour ${\bf SL}_2({\Bbb Z})$

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La structure différentielle de l’anneau des formes quasi-modulaires pour SL_2(Z )

Federico Pellarin

To cite this version:

Federico Pellarin. La structure différentielle de l’anneau des formes quasi-modulaires pour SL_2(Z).

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Société Arithmétique de Bordeaux, 2006, 18 (1), pp.241-

264. �hal-00005554�

ccsd-00005554, version 1 - 23 Jun 2005

La structure diff´erentielle de l’anneau des formes quasi-modulaires pour SL 2 ( Z ).

Federico Pellarin

R´ esum´ e. Dans ce texte, nous d´eterminons explicitement les id´eaux premiers dif- f´erentiellement stables dans l’anneau des formes quasi-modulaires pour SL

(Z).

Les techniques introduites permettent de raffiner et g´en´eraliser des r´esultats de Nesterenko dans [5] et [6].

1 Introduction

Soient E

(z), E

(z), E

(z) les d´eveloppements en s´eries de Fourier complexes des s´eries d’Eisenstein classiques de poids 2, 4, 6, convergentes pour | z | < 1 :

E

(z) = 1 − 24

∞

X

n=1

σ

(n)z

, E

(z) = 1 + 240

∞

X

n=1

σ

(n)z

, (1) E

(z) = 1 − 504

∞

X

n=1

σ

(n)z

.

Nesterenko a demontr´e que pour tout nombre complexe q tel que 0 <

| q | < 1, le corps ^Q (q, E

(q), E

(q), E

(q)) a degr´e de transcendance au moins 3 (voir [4], [5] et [6]). L’ingredient cl´ef de sa preuve est l’estimation de multiplicit´e qui suit (th´eor`eme 2.3 p. 33 de [5]).

Th´ eor` eme 1.1 (Nesterenko). Il existe une constante c

> 0 avec la propri´et´e suivante. Soit M un polynˆ ome non nul de ^C [X

, X

, X

, X

], de degr´e total au plus N. Alors, la fonction F (z) = M(z, E

(z), E

(z), E

(z)) s’annule en z = 0 avec une multiplicit´e au plus c

N

.

Le th´eor`eme 1.1 s’obtient en utilisant en profondeur certaines propri´et´es diff´erentielles de l’anneau

R

= C [z, E

(z), E

(z), E

(z)],

d’interˆet ind´ependant : d´ecrivons ci-apr`es ces propri´et´es. On voit facilement

que R

, muni de la d´erivation z(d/dz), est un anneau diff´erentiel. On a d’une

part z(d/dz)z = z, et d’autre part, les s´eries E

(z), E

(z), E

(z) satisfont au syst`eme diff´erentiel non lin´eaire (cf. th´eor`eme 5.3 de [2]) :

z d

dz E

= 1

12 (E

− E

), z d

dz E

= 1

3 (E

E

− E

), (2)

z d

dz E

= 1

2 (E

E

− E

).

Un id´eal P d’un anneau diff´erentiel ( A , D) est dit D-stable si pour tout x ∈ P on a Dx ∈ P . Nesterenko d´emontre le r´esultat qui suit (cf. proposition 5.1 p. 161 de [6]), indispensable dans la preuve du th´eor`eme 1.1.

Proposition 1.1. Soit P un id´eal premier non nul et z d

dz -stable de R

, tel que pour tout F ∈ P on ait F (0) = 0. Alors z∆ ∈ P , o` u ∆ = E

− E

.

Nesterenko a d´ej`a d´emontr´e des r´esultats de mˆeme nature, tout ` a fait g´en´eraux, mais valides seulement en pr´esence d’un syst`eme diff´erentiel lin´e- aire (cf. th´eor`eme 3 de [3]). Le syst`eme diff´erentiel (2) n’etant pas lin´eaire, la th´eorie de [3] ne s’applique pas ; Nesterenko donne alors une d´emonstration ad hoc de la proposition 1.1 qui est ´el´ementaire, mais difficile ` a adapter ` a d’autres situations int´eressantes du point de vue arithm´etique.

La m´ethode de Nesterenko est, en citant l’auteur (p. 162 de [6]) “une g´en´eralisation d’une id´ee utilis´ee par Siegel vis´ee ` a classifier les solutions alg´ebriques des ´equations diff´erentielles de Riccati” (cf. paragraphe 1 pp.

214-222 de [10], voir aussi le lemme 3 p. 211 of [9]).

La proposition 1.1 suscite la question naturelle de connaˆıtre et cara- ct´eriser compl`etement tous les id´eaux premiers z(d/dz)-stables de R , mais la m´ethode de Nesterenko que nous avons mentionn´e ci-dessus ne semble pas s’y prˆeter.

Dans ce texte nous donnons une r´eponse compl`ete ` a cette question tout en introduisant une approche nouvelle, essentiellement alg´ebrique.

Soit K un corps alg´ebriquement clos contenant Q , soient P, Q, R des ind´etermin´ees ind´ependantes sur K , notons Y

= K [P, Q, R]. Consid´erons l’anneau diff´erentiel ( Y

, D), o` u la d´erivation D est d´etermin´ee par les rela- tions

DP = 1

12 (P

− Q), DQ = 1

3 (P Q − R), (3)

DR = 1

2 (P R − Q

),

et par l’´egalit´e D( K ) = (0). Nous nous proposons de caract´eriser tous les

id´eaux premiers D-stables de Y

.

Notons que l’anneau Y

, diff´erentiellement isomorphe ` a R (et que nous noterons plus simplement Y ), est aussi isomorphe (diff´erentiellement) ` a l’anneau des formes quasi-modulaires pour SL

( Z ) d´efinies dans [1]. Nos r´esultats en d´eterminent la structure diff´erentielle : ` a travers la classification de tous les id´eaux premiers D-stables de cet anneau, nous caract´erisons en fait (par passage au quotient) tous les anneaux diff´erentiels int`egres ( A , D

) tels qu’il existe un morphisme diff´erentiel surjectif :

( Y , D) → ( A , D

).

Avant de pr´esenter nos r´esultats, nous donnons des exemples d’id´eaux pre- miers D-stables de Y

. Posons Θ := Q

− R

; on v´erifie la r´elation :

DΘ = P Θ, (4)

qui implique que l’id´eal principal (Θ) est premier et D-stable.

Notons aussi P

:= (P

− Q, P

− R) et P

:= (Q, R). Ce sont deux id´eaux premiers de codimension 2.

On v´erifie sans aucune difficult´e en utilisant (3) que l’id´eal P

est l’id´eal engendr´e par l’image de l’application D : Y

→ Y

; il est donc D-stable.

En ce qui concerne P

, on voit facilement que c’est l’id´eal engendr´e par les polynˆomes nuls sur le lieu singulier de la surface affine d’´equation Θ = 0.

En utilisant l’hypoth`ese D(Θ) ⊂ (Θ) et en combinant les th´eor`emes 2, 5 de [8], on v´erifie que P

est D-stable (

).

On v´erifie par un calcul direct que si c ∈ ^K , alors l’id´eal maximal (P − c, Q − c

, R − c

) est D-stable.

Mais les id´eaux ci-dessus ne couvrent pas le “spectre diff´erentiel”, l’en- semble de tous les id´eaux premiers D-stables de Y

. Pour d 6 = 0, soit P

l’id´eal engendr´e par Θ et les trois polynˆomes : F

= P

Q + Q

− 2P R + dR, G

= 2P Q

− P

R − QR − dQ

, H

= P

− 2P

Q + Q

+ 4dP Q − d

Q.

Pour tout d 6 = 0 l’id´eal P

est premier (cf. lemme 3.2 lorsque d 6 = 0), contient strictement Θ et est contenu strictement dans l’id´eal (P, Q, R) ; il a donc codimension 2 (

). De plus il est D-stable ; en effet, en utilisant les relations (3), on v´erifie les ´egalit´es :

DF

= P

2 F

+ 1

2 G

, (5)

DG

= − 1 2 Θ + 2

3 QF

+ 2 3 P G

DH

= − 1

3 (2P − d)F

+ 2

3 G

+ P 3 H

.

1

On peut v´erifier ces propri´et´es aussi par un calcul direct.

2

La notation P

sugg`ere que, lorsque d = 0, un lien existe avec P

; on v´erifie que

l’id´eal P

avec d = 0, qui n’est pas premier, est P

-primaire d’exposant 2.

La liste d’id´eaux premiers D-stables de Y

est d´ecrite par les diagrammes suivants, param´etr´es par c ∈ ^K et d ∈ ^K

; ceci est le r´esultat principal de cet article.

(P − c, Q − c

, R − c

) ← P

տ P

← (∆)

ւ ւ

(P, Q, R) ← P

Th´ eor` eme 1.2. Soit P un id´eal premier non nul D-stable de ( Y

, D) ; on a les faits suivants.

• Si P a codimension 3 alors il existe un ´el´ement c ∈ ^K tel que P = (P − c, Q − c

, R − c

).

• Si P a codimension 2 alors il existe d ∈ ^K ∪ {∞} tel que P = P

.

• Si P est principal, alors P = (Θ).

Ce th´eor`eme permet de classifier tous les id´eaux radicaux D-stables de ( Y

, D) car d’apr`es le th´eor`eme 1 de [8], ils sont tous intersection d’id´eaux premiers D-stables.

L’anneau

R

:= R

[log(z)] = C [z, log(z), E

(z), E

(z), E

(z)],

muni de la d´erivation z(d/dz) (et pour un choix quelconque d’une d´etermi- nation de log), est un anneau diff´erentiel, car

z d

dz log(z) = 1

sur un ouvert de C ; de plus les fonctions log(z), z, P (z), Q(z), R(z) sont alg´ebriquement ind´ependantes sur C . On a le r´esultat suivant :

Th´ eor` eme 1.3. Soit P un id´eal premier non nul et z d

dz -stable de R

. Alors z∆ ∈ P .

On en d´eduit un raffinement de la proposition 1.1.

Th´ eor` eme 1.4. Soit P un id´eal premier non nul et z d

dz -stable de R

. Alors z∆ ∈ P .

Voici le plan de cet article. Dans les paragraphes 2 et 3 nous d´emontrons

le th´eor`eme 1.2. La structure de la preuve est en gros la suivante. Une

application des propri´et´es des crochets de Rankin permet de d´emontrer que

tout id´eal premier non nul D-stable P de Y

contient Θ.

Consid´erons ensuite le quotient Y

/(Θ) ; c’est un anneau diff´erentiel d’apr`es la premi`ere formule (5). Le point crucial est que Y

/(Θ) est es- sentiellement un anneau de fonctions alg´ebriques sur un corps de fonctions rationnelles ^K (U ). Ceci permet de d´ecrire avec pr´ecision l’image de P dans Y

/(Θ), et le th´eor`eme 1.2 s’obtient ensuite en “relevant” les informations obtenues. Pour pouvoir utiliser facilement ces propri´et´es, nous allons tra- vailler d’abord dans un sur-anneau diff´erentiel auxiliaire A ⊃ Y

(´etude d´evelopp´ee au paragraphe 2). La d´emonstration des th´eor`emes 1.3 et 1.4 sera trait´ee dans le paragraphe 4.

Ces deux derniers th´eor`emes peuvent ˆetre utilis´es pour d´emontrer une g´en´eralisation du th´eor`eme 1.1. On peut d´emontrer qu’il existe une con- stante c

> 0 avec la propri´et´e suivante. Soit log la d´etermination principale du logarithme. Pour tout polynˆome F ∈ R

non nul, de degr´e au plus N en log(z), z, E

(z), E

(z), E

(z), et pour tout ξ ∈ B \ ^R

, o` u B d´esigne la boule ouverte complexe de centre 0 et rayon 1, l’ordre d’annulation de F en ξ satisfait :

ord

(F ) ≤ c

N

.

Si de plus F ∈ R

, alors pour tout ξ ∈ B , l’ordre d’annulation de F en ξ satisfait :

ord

(F ) ≤ c

N

.

La d´emonstration de cette propri´et´e apparaˆıtra ailleurs. Ce sont exactement la suppression de l’hypoth`ese d’annullation dans la proposition 1.1, et le fait que ∆ ne s’annule pas dans B \{ 0 } , qui impliquent les majorations uniformes de cette estimation de multiplicit´e.

Nous pouvons aussi ´etendre le th´eor`eme 1.1 au cadre de fonctions li´ees

`

a des groupes fuchsiens triangulaires co-compacts ; ce sujet sera d´evelopp´e

dans [7].

2 Etude diff´ erentielle d’un anneau auxiliaire.

Il convient de travailler dans un anneau auxiliaire A un peu plus grand que Y

. D’apr`es (3) on a les ´egalit´es suivantes :

D R

Q

= − Q 2 + P R

6Q + R

3Q

= 1

6 R Q

P − R

Q

+ 1 2

R

Q

− Q

, DQ = 1

3 (P Q − R)

= 1

3 Q

P − R Q

, D

P − R

Q

= P

12 + 5Q

12 − P R 6Q − R

3Q

= 1

12

P − R Q

− 5 12

R

Q

− Q

. En d’autres termes, si l’on pose :

X

= R

Q , X

= Q, X

= P − R Q , alors :

DX

= 1

6 X

X

+ 1

2 (X

− X

), DX

= 1

3 X

X

, (6)

DX

= 1

12 X

− 5

12 (X

− X

).

Notons :

A = ^K [X

, X

, X

].

D’apr`es les formules (6) c’est un anneau diff´erentiel pour la d´erivation D.

Cet anneau contient Y

: en effet, R = Q(R/Q), P = P − (R/Q) + (R/Q) ∈ Y

d’o` u Y

⊂ A .

L’anneau ( A , D) poss`ede deux id´eaux principaux premiers non nuls D- stables car :

DX

= 1 3 X

X

, D(X

− X

) = 1

3 (3X

+ X

)(X

− X

).

L’objectif de ce paragraphe est de d´emontrer la proposition suivante.

Proposition 2.1. Soit P un id´eal premier D-stable non nul de A ne con- tenant pas X

. Alors P est l’un des id´eaux premiers suivants :

(X

− X

)

(X

− c, X

− c

, X

) (X

, X

− X

)

(X

− X

, X

+ dX

), pour c, d ∈ ^K

.

Le lecteur peut v´erifier que tous ces ideaux sont premiers et D-stables en utilisant (6). La proposition 2.1 s’obtient en combinant les propositions 2.2, 2.3 et 2.4 qui suivent, et qui classifient les id´eaux premiers D-stables de codimension respectivement 1, 2, 3.

L’anneau A est gradu´e en assignant ` a X

, X

le poids 2 et ` a X

le poids 4. Un ´el´ement M de A est dit isobare de poids p(M ) ∈ 2 N s’il est homog`ene de degr´e p(M) par rapport ` a cette graduation. Cette graduation provient des poids des formes quasi-modulaires ; les poids de E

, E

, E

sont respectivement 2, 4, 6. Si on assigne ` a P, Q, R les poids 2, 4, 6, alors p(X

) = p(R) − p(Q) = 2, p(X

) = p(Q) = 4 et p(X

) = 2.

Un id´eal I de A est dit isobare s’il admet un syst`eme de g´en´erateurs isobares (de poids non n´ecessairement ´egaux). La d´erivation D est isobare (ou p-homog`ene) de poids 2 ; si X ∈ A est un ´el´ement isobare de poids p(X), alors DX est isobare de poids p(X) + 2.

Sur A il existe une autre graduation q, qui est d´etermin´ee en assignant

`

a X

, X

, X

les degr´es q(X

) = 2, q(X

) = 4, q(X

) = 1 ; la d´erivation D n’est pas q-isobare mais on v´erifie, en utilisant (6), que pour tout ´el´ement q-homog`ene X ∈ A , il existe un unique ´el´ement Y ∈ ^C [X

, X

] qui est q-homog`ene tel que q(Y ) = q(X) + 1, et tel que Y ≡ DX mod (X

− X

).

La proposition 2.1 implique que si P est un id´eal premier D-stable de A de codimension 2, alors ou bien il est engendr´e par deux ´el´ements p- homog`enes non nuls, ou bien il est engendr´e par un ´el´ement p-homog`ene non nul et un ´el´ement q-homog`ene non nul, d’o` u l’interˆet d’introduire la graduation q.

2.1 Id´ eaux principaux D -stables.

Ici nous d´emontrons la proposition suivante.

Proposition 2.2. Soit H un polynˆ ome non constant, irr´eductible de A =

K [X

, X

, X

] qui ne soit pas de la forme c(X

− X

) avec c ∈ ^K

et tel que

DH = V H avec V ∈ ^K [X

, X

, X

]. Alors V = (1/3)X

et (H) = (X

).

Avant de d´emontrer la proposition 2.2, nous introduisons un anneau diff´erentiel quotient de A (de type “parabolique”) muni de deux graduations compatibles avec la structure diff´erentielle, et nous d´emontrons un lemme qui caract`erise le corps des constantes de son corps diff´erentiel de fractions et ses id´eaux principaux diff´erentiellement stables.

On consid`ere l’anneau A /(X

− X

) et la projection π : A → A /(X

− X

).

Posons

Y

:= π(X

), Y

:= π(X

), de telle sorte que Y

= π(X

) ; alors

A /(X

− X

) = K [Y

, Y

].

Puisque (X

− X

) est D-stable, l’anneau ( K [Y

, Y

], δ) est un anneau dif- f´erentiel, avec la d´erivation induite δ = D+(X

− X

). De plus, δ ◦ π = π ◦ D et on a les r´elations :

δY

:= 1

6 Y

Y

(7)

δY

:= 1 12 Y

.

Sur K [Y

, Y

] nous consid´erons deux graduations. La premi`ere graduation F est induite par la graduation p sur A , de telle sorte que les degr´es de Y

et Y

soient ´egaux ` a 2. La deuxi`eme graduation G est induite par la graduation q en assignant ` a Y

le degr´e 2 et ` a Y

le degr´e 1 (noter que X

− X

est q-homog`ene de degr´e 4).

Les ´el´ements non nuls de ^K [Y

, Y

] de F -degr´e 0, tout aussi comme les

´el´ements non nuls de G -degr´e 0, sont tous et seulement les ´el´ements de K

. La d´erivation δ a la propri´et´e d’envoyer un ´el´ement F -homog`ene de degr´e m sur un ´el´ement F -homog`ene de degr´e m + 2, et un ´el´ement G -homog`ene de degr´e n sur un ´el´ement G -homog`ene de degr´e n + 1 ; en d’autres termes δ est ` a la fois F -homog`ene de degr´e 2 et G -homog`ene de degr´e 1.

Lemme 2.1. Le corps des fractions diff´erentiel ( K (Y

, Y

), δ) (

) a pour sous-corps des constantes C le corps K (Y

/Y

). On a C ∩ ^K [Y

, Y

] = K . Soit L ∈ ^K [Y

, Y

] \ ^K : on a que L divise δL dans ^K [Y

, Y

] si et seulement si L est un polynˆ ome de K [Y

, Y

] homog`ene par rapport ` a G . Dans ce cas, δL/L = µY

avec µ ∈ (1/12) Z .

3

On consid`ere l’extension naturelle de δ fournie par la r`egle de d´erivation des fractions :

δ(a/b) = (b(δa) − a(δb))/b

.

D´ emonstration. Noter que δ(Y

/Y

) = 0, donc δF = 0 pour tout F ∈ C d’apr`es (7). Posons U = Y

/Y

, V = Y

: on a K (Y

, Y

) = K (U, V ) et δU = 0, δV = (1/12)V

. Soit R ∈ ^K (U, V ) ; on a

δR = ∂R

∂U (δU) + ∂R

∂V (δV )

= ∂R

∂V V

12 .

Donc δR = 0 si et seulement si ∂R/∂V = 0, d’o` u C = K (Y

/Y

) ; on en d´eduit que C ∩ ^K [Y

, Y

] = ^K .

Soit L ∈ ^K [Y

, Y

] homog`ene de degr´e n par rapport ` a la graduation G ; on peut ´ecrire (c

∈ ^K ) :

L = X

2a+b=n

c

Y

Y

. On a :

δL = ∂L

∂Y

(δY

) + ∂L

∂Y

(δY

)

= 1

6 Y

Y

∂L

∂Y

+ Y

2

∂L

∂Y

= 1

6 Y

X

2a+b=n

c

(a + b/2)Y

Y

= n

12 Y

L. (8)

Soit maintenant L ∈ ^K [Y

, Y

] tel que δL = M L avec M ∈ ^K [Y

, Y

]. Si L 6∈ ^K , alors M 6 = 0, car C ∩ ^K [Y

, Y

] = K . On peut ´ecrire :

L = L

+ L

+ · · · + L

, M = M

+ M

+ · · · + M

(9) avec L

, L

, M

, M

non nuls, L

F -homog`ene de degr´e i et M

F -homog`ene de degr´e j. On a :

δL = δL

+ · · · + δL

= (M

+ M

+ · · · + M

)(L

+ L

+ · · · + L

), d’o` u δL

= M

L

et δL

= M

L

. Comme δ est homog`ene de degr´e 2 par rapport ` a F , on en d´eduit que L

6∈ ^K et s = t = 2. Donc δL = (λY

+µY

)L, avec λ, µ ∈ ^K . Ecrivons L = Y

L

avec L

∈ ^K [Y

, Y

] non divisible par Y

. On a aussi :

λY

Y

L

+ µY

L

= δL = δ(Y

L

)

= (l/12)Y

L

+ Y

δL

.

La d´efinition de δ implique que Y

divise δL

(d’apr`es (7) l’image de δ est contenue dans l’id´eal engendr´e par Y

). Donc Y

divise λY

, ce qui implique λ = 0 et

δL = µY

L. (10)

Ecrivons L = L

+ · · · + L

avec L

non nul et homog`ene de degr´e i

par rapport ` a la graduation G , les i

distincts et r ≥ 1. En appliquant (8) on obtient :

δL = δL

+ · · · + δL

= Y

i

12 L

+ · · · + i

12 L

. En combinant cette ´egalit´e avec (10) on trouve :

i

12 L

+ · · · + i

12 L

= µ(L

+ · · · + L

).

Si r > 1 on trouve une contradiction ; si r = 1 alors µ = i

/12 et L est homog`ene par rapport ` a G .

D´ emonstration de la proposition 2.2.

Supposons que la relation DH = V H soit satisfaite et montrons l’homo- g´eneit´e de V pour la graduation p. Ecrivons :

H = H

+ H

+ · · · + H

, V = V

+ V

+ · · · + V

avec H

, H

, V

, V

non nuls et pour tout i, j, H

isobare de poids i et V

isobare de poids j. On a :

DH = DH

+ · · · + DH

= (V

+ V

+ · · · + V

)(H

+ H

+ · · · + H

),

d’o` u DH

= V

H

et DH

= V

H

. On en d´eduit que s = t = 2. Donc V = V

= λX

+ µX

(non nul car H n’est pas constant) avec λ, µ ∈ ^K .

Montrons ensuite que V = µX

avec µ ∈ ^Q

. On a que π(DH) = δ(π(H)) = π(V )π(H) dans K [Y

, Y

]. Posons L = π(H) et M = π(V ) : on a δL = M L. D’apr`es le lemme 2.1, L est G homog`ene de degr´e n et V = λX

+ µX

est congru ` a µX

modulo (X

− X

) avec µ = n/12 ; comme il est de poids 2, V = µX

. En particulier, µ ∈ ^Q

. Ainsi :

DH/H = µX

, DX

/X

= (1/3)X

sont Z -lin´eairement d´ependants, ce qui implique l’existence d’entiers α, β,

non tous nuls, avec H

X

∈ ^K

. Comme H est un polynˆome irr´eductible

en X

, X

, X

, ceci implique (H) = (X

) et µ = 4/12 = 1/3.

2.2 Id´ eaux D -stables de codimension 2 .

Dans cette partie, nous d´emontrons la proposition suivante.

Proposition 2.3. Soit Q un id´eal premier de A de codimension 2, D-stable, ne contenant pas X

. Alors, soit Q = (X

, X

− X

), soit il existe un ´el´ement d ∈ ^K

tel que

Q = (X

− X

, X

+ dX

).

Pour d´emontrer cette proposition, nous allons distinguer deux cas, selon que Q est isobare ou non. Si Q est isobare, alors le lemme 2.3 ci-dessous implique que X

− X

∈ Q . Si Q n’est pas isobare, alors le lemme 5.2 de l’appendice implique que Q contient un id´eal non nul, isobare principal et D-stable, ´egal ` a (X

− X

) d’apr`es la proposition 2.2. Dans tous les cas donc, Q contient l’id´eal (X

− X

) et l’image de Q par π est un id´eal principal δ-stable non nul de K [Y

, Y

] que nous ´etudions ensuite, en appliquant les r´esultats du paragraphe 2.1.

Nous d´emontrons le lemme qui suit, o` u nous utilisons les crochets de Rankin, qui sont d´efinis uniquement sur des polynˆomes isobares de A , mais pas sur des polynˆomes quelconque. Le crochet de Rankin [U, V ] de deux polynˆomes isobares U, V est d´efini par

[U, V ] = p(U )U (DV ) − p(V )V (DU ).

Voici les propri´et´es principales du crochet.

Lemme 2.2. Soient X, Y, M des ´el´ements isobares de A .

• Si X ∈ A est de poids x et Y est de poids y, alors [X, Y ] = − [Y, X]

est isobare de poids x + y + 2.

• Si X, Y ont mˆeme poids, alors l’application d

(X) := [X, M ] satisfait d

(X + Y ) = d

(X) + d

(Y ).

• On a d

(XY ) = d

(X)Y + Xd

(Y ).

• Si I est un id´eal de A qui est D-stable, et X ∈ I , alors d

(X) ∈ I . Les premi`eres deux propri´et´es sont triviales. D´emontrons la troisi`eme propri´et´e. On a :

d

(XY ) = [XY, M ] = p(XY )XY DM − p(M)M D(XY )

= (p(X) + p(Y ))XY DM − p(M )M ((DX)Y + XDY )

= (p(X)XDM − p(M)M DX)Y + X(p(Y )Y DM − p(M )M DY )

= d

(X)Y + Xd

(Y ).

D´emontrons la quatri`eme propri´et´e. Si X ∈ I et M est isobare, alors DX ∈ I car I est D-stable. Donc XDM, M DX ∈ I , et d

(X) = p(X)XDM − p(M )M DX ∈ I .

Lemme 2.3. Tout id´eal premier isobare Q de A , D-stable et de codimension 2, ne contenant pas X

, contient l’id´eal principal (X

− X

).

D´ emonstration. Nous pouvons supposer que Q ∩ ^K [X

] = (0). En effet, si Q ∩ ^K [X

] 6 = (0) alors X

− a ∈ Q avec a ∈ ^K car Q est premier. Mais a = 0 car Q est isobare, d’o` u X

∈ Q et d

(X

) ∈ Q grˆ ace au lemme 2.2, car Q est D-stable. Or :

d

(X

) = 4X

DX

− 2X

DX

= 2(X

− X

)X

d’o` u le lemme dans ce cas car comme Q est premier, il contient un des facteurs de (X

− X

)X

.

Nous pouvons supposer, sans perte de g´en´eralit´e, qu’il existe un poly- nˆ ome isobare et non nul M ∈ Q ∩ ^K [X

, X

]. En effet, si Q ∩ ^K [X

, X

] = (0), alors Q serait principal. Donc Q contient un ´el´ement non nul F de K [X

, X

] ; ´ecrivons F = P

i

F

avec F

∈ ^K [X

, X

] isobare de poids i.

Comme Q est isobare, F

∈ Q pour tout i (voir le lemme 5.2 de l’appendice), d’o` u l’existence de M.

Remarquons que M d´epend de X

car Q ∩ ^K [X

] = (0) : choisissons M de degr´e minimal par rapport ` a X

.

A nouveau, grˆ ace au lemme 2.2, on a d

(M) ∈ Q . On a : d

(M) = ∂M

∂X

d

(X

) + ∂M

∂X

d

(X

) + ∂M

∂X

d

(X

)

= ∂M

∂X

d

(X

)

= − ∂M

∂X

d

(X

)

= − 2 ∂M

∂X

(X

− X

)X

,

car ∂M/∂X

= 0 et d

(X

) = 0. Comme Q est premier, on a soit

∂M/∂X

∈ Q , soit X

− X

∈ Q car X

6∈ Q . Si X

− X

∈ Q nous

avons termin´e. Sinon, on a M

= ∂M/∂X

∈ Q : comme M est de degr´e

minimal par rapport ` a X

, il faut que M

= 0. Dans ce cas, M ∈ ^K [X

] \{ 0 } ,

mais ceci est impossible car nous avons suppos´e que Q ∩ ^K [X

] = (0).

D´ emonstration de la proposition 2.3.

Soit I un id´eal de A ; on note ˜ I l’id´eal engendr´e par les polynˆomes isobares de I . D’apr`es le lemme 5.2 de l’appendice, ˜ Q est non nul, premier et D- stable. Si Q n’est pas isobare, alors ˜ Q est de codimension 1 donc principal non nul et ˜ Q = (X

− X

) d’apr`es la proposition 2.2. Si Q est isobare alors le lemme 2.3 implique que Q contient X

− X

. Dans les deux cas, Q contient X

− X

et donc π( Q ) est un id´eal principal non nul et δ-stable de ( ^K [Y

, Y

], δ). Soit L un de ses g´en´erateurs ; d’apr`es le lemme 2.1, L est G - homog`ene. La projection π induit un isomorphisme K [X

, X

] ∼ = ^K [Y

, Y

], et puisque Q contient X

− X

, on a que Q contient aussi un ´el´ement non nul W ∈ ^K [X

, X

], q-homog`ene, tel que π(W ) = L.

La q-homog´eneit´e de W implique : W = X

t

Y

i=1

(α

X

− β

X

),

avec s ∈ { 0, 1 } et α

, β

∈ ^K pour tout i = 1, . . . , t. Mais Q est premier, et contient un facteur irr´eductible de W . Ainsi, il existe α, β ∈ ^K (non tous nuls) tels que αX

− βX

∈ Q . On en d´eduit dans ce cas que :

Q = (X

− X

, X

), ou Q = (X

− X

, X

+ dX

) avec d ∈ ^K

.

2.3 Id´ eaux D -stables de codimension 3 .

La proposition suivante compl`ete la description des id´eaux premiers D- stables de A ne contenant pas X

, et permet de terminer la preuve de la proposition 2.1.

Proposition 2.4. Soit Q un id´eal premier de codimension 3, D-stable de A . Alors Q est ´egal ` a l’un des id´eaux suivants :

Q = (X

− c, X

− c

, X

).

avec c ∈ ^K .

D´ emonstration. Ici, Q est un id´eal maximal Q = (X

− u, X

− v, X

− w), pour quelques u, v, w ∈ ^K . Pour que D(X

− u), D(X

− v), D(X

− w) ∈ Q , il faut que ces polynˆomes s’annulent tous en (u, v, w). On doit r´esoudre les

´equations :

uw + u

− v = 0

vw = 0

w

− 2(u

− v) = 0,

pour obtenir les n´ecessaires conditions de compatibilit´e sur u, v, w. On trouve : u = c, v = c

, w = 0 avec c ∈ ^K . Mais pour ce choix, Q est D-stable :

D(X

− c) = 1

6 ((c + X

+ X

)(X

− c) − (X

− c

) + cX

) D(X

− c

) = 1

3 (X

(X

− c

) + c

X

) DX

= 1

12 ( − 2(c + X

)(X

− c) + 2(X

− c

) + X

.

3 D´ emonstration du th´ eor` eme 1.2.

Nous commen¸cons avec deux lemmes pr´eliminaires.

Lemme 3.1. Soit P un id´eal premier de Y

ne contenant pas Q : on a que AP ∩ Y

= P .

D´ emonstration. Posons T = AP ; on a clairement P ⊂ T ∩ Y

. Soit q ∈ T ∩ Y

; on a

q = a

p

+ · · · + a

p

(11) avec a

∈ A et p

∈ P pour tout i. Il existe un entier l ≥ 0 tel que r

:= Q

a

∈ Y

pour tout i. Donc

Q

q = X

i

r

p

∈ P .

Mais Q

6∈ P et P est premier. Donc q ∈ P , d’o` u T ∩ Y

⊂ P .

Lemme 3.2. Si d ∈ ^K

, alors l’id´eal P

est premier de codimension 2, et son lieu de z´eros est la sextique affine lisse image de la param´etrisation t 7→ ( √

− dt + t

, t

, t

).

D´ emonstration. On commence par d´eterminer le lieu des z´eros de P

dans l’espace affine A

( K ). Puisque Θ ∈ P

et K est alg´ebriquement clos, on se ram`ene ` a d´eterminer les z´eros de la forme (s, t

, t

) avec s, t ∈ ^K . Observons que :

F

(s, t

, t

) = t

U, G

(s, t

, t

) = − t

U, H

(s, t

, t

) = U V, avec

U = s

+ t

− t

(2s − d)

V = s

+ t

+ t

(2s − d).

Comme t ne divise pas V , on a F

(s, t

, t

) = G

(s, t

, t

) = H

(s, t

, t

) = 0 si et seulement si U = 0, c’est-` a-dire :

s = ± √

− dt + t

. Puisque √

− dt + t

= − √

− d( − t) + ( − t)

, le lieu des z´eros de P

est ´egal ` a la sextique affine lisse C

image de la param´etrisation :

t 7→ ( √

− dt + t

, t

, t

)

(isomorphe ` a la droite affine). Comme C

est irr´eductible, P

est primaire.

Montrons que P

est r´eduit ; il suffit de montrer que la matrice jacobienne J des polynˆomes Θ, F

, G

, H

par rapport aux inconnues P, Q, R a rang 2 partout dans C

. Tout d’abord, on a :

det











∂Θ

∂P

∂Θ

∂Q

∂F

∂P

∂F

∂Q











= 4R(P Q − R),

det











∂Θ

∂P

∂Θ

∂R

∂F

∂P

∂F

∂R











= − 6Q

(Q

− P R).

Si (P, Q, R) 6 = (0, 0, 0), ces deux mineurs de J ne peuvent pas ˆetre tous les deux nuls sur C

car cela reviendrait ` a dire que P = c, Q = c

, R = c

pour quelques c ∈ ^K

et C

ne contient aucun point de cette forme si d 6 = 0.

D’autre part, si (P, Q, R) = (0, 0, 0), le mineur de J :

det











∂F

∂Q

∂F

∂R

∂H

∂Q

∂H

∂R











= − (2P − d)(2P

− 2Q − 4P d + d

)

vaut d

6 = 0, donc P

est r´eduit.

Comme P

est primaire et r´eduit, il est premier.

Nous pouvons compl´eter la d´emonstration du th´eor`eme 1.2. Supposons que P soit un id´eal premier D-stable de Y

. Supposons d’abord que Q ∈ P ; l’´egalit´e DQ = (1/3)(P Q − R) implique que R ∈ P , et P a codimension ≥ 2.

Si la codimension de P est 2 alors P = (Q, R). Si la codimension de P est 3

alors P est un id´eal maximal qui contient Q, R, donc il contient P − c pour

une constante c ∈ ^K . On v´erifie facilement que c = 0 est le seul ´el´ement de

K tel que (P − c, Q, R) soit D-stable.

Les seuls id´eaux premiers non nuls D-stables de Y

qui contiennent Q sont donc :

(Q, R), (P, Q, R).

Supposons maintenant que Q 6∈ P . D’apr`es le lemme 3.1, l’id´eal T = AP satisfait T ∩ Y

= P ; il est de plus D-stable. Le lemme 5.3 de l’appendice implique qu’il existe un id´eal premier Q de A , D-stable, tel que Q ∩ Y

= P et donc Q est l’un des id´eaux d´ecrits dans la proposition 2.1 pour quelque c ou d.

Pour terminer la preuve du th´eor`eme 1.2 il faut calculer, pour chaque Q id´eal premier de A d´ecrit dans la proposition 2.1, l’id´eal premier Q ∩ Y

qui est for¸cement D-stable ; nous consid´erons quatre cas.

(1). Comme Θ = X

(X

− X

), on voit tout de suite l’´egalit´e (X

− X

) ∩ Y

= (Θ).

(2). En utilisant les ´egalit´es P = X

+ X

, Q = X

, R = X

X

on v´erifie facilement que l’id´eal (X

− c, X

− c

, X

) ∩ Y

, qui est premier, contient P − c, Q − c

et R − c

. Comme l’id´eal (P − c, Q − c

, R − c

) est maximal, on trouve :

A (X

− c, X

− c

, X

) ∩ Y

= (P − c, Q − c

, R − c

).

(3). En faisant comme au point (2), on v´erifie aussi que l’id´eal premier (X

− X

, X

) ∩Y

contient P

− Q et P

− R. Comme A (X

− X

, X

) ∩Y

est de codimension 2 et comme l’id´eal (P

− Q, P

− R) est premier de codimension 2, on a :

A (X

− X

, X

) ∩ Y

= (P

− Q, P

− R).

(4). Pour terminer la d´emonstration du th´eor`eme 1.2 nous devons encore d´emontrer que, pour d un ´el´ement non nul de K , si l’on pose

Q

:= (X

− X

, X

+ dX

) ⊂ A alors Q

∩ Y

= P

. On a les ´egalit´es :

Θ = X

(X

− X

),

F

= X

( − (X

− X

) + (X

+ dX

)),

G

= X

((d − X

− 2X

)(X

− X

) − X

(X

+ dX

)), H

= (X

+ 4X

X

+ 6X

− X

− 4dX

+ d

)(X

− X

) +

(4X

X

+ X

+ 4X

− dX

)(X

+ dX

),

ce qui implique P

⊂ Q

∩Y

. Comme l’id´eal premier Q

∩Y

a codimension

2, le lemme 3.2 implique l’´egalit´e P

= Q

∩ Y

. La preuve du th´eor`eme 1.2

est termin´ee.

4 D´ emonstration des th´ eor` emes 1.3 et 1.4.

Nous d´emontrons d’abord le th´eor`eme 1.3. On consid`ere l’anneau de poly- nˆ omes en cinq ind´etermin´ees

N := C [L, Z, P, Q, R], et ses sous-anneaux

Y = ^C [P, Q, R], L := ^C [L, Z].

Nous ´etudions la d´erivation E sur N d´efinie par : E S =

= 1

12 (P

− Q) ∂S

∂P + 1

3 (P Q − R) ∂S

∂Q + 1

2 (P R − Q

) ∂S

∂R + Z ∂S

∂Z + ∂S

∂L , pour S ∈ N . Les sous-anneaux Y , L , munis de la d´erivation E , sont des sous- anneaux diff´erentiels. Puisque log(z), z, E

(z), E

(z), E

(z) sont des fonc- tions alg´ebriquement ind´ependantes sur C , on a l’isomorphisme d’anneaux diff´erentiels

( N , E ) ∼ =

R

, z d dz

(12) d´efini en associant log(z) 7→ L, z 7→ Z, E

7→ P, E

7→ Q, E

7→ R. Soit K une clˆ oture alg´ebrique du corps des fractions de L . Sur

Y

:= ^K [P, Q, R] ⊃ N

nous avons la d´erivation D d´efinie par les relations (3) et par D( K ) = 0.

Sur N nous avons aussi la d´erivation D

d´efinie par D

( Y ) = 0 et par les relations D

Z = Z, D

L = 1. Clairement, pour S ∈ N , on a :

E S = DS + D

S.

Un ´el´ement de N est dit isobare de poids s s’il s’exprime comme une somme de monˆ omes

L

Z

P

Q

R

avec 2t

+ 4t

+ 6t

= s.

Si F ∈ N alors nous notons p(F ) le plus grand poids d’un monˆ ome de F ; on a p(DF ) ≤ p(F ) + 2. D’autre part, pour F ∈ N non nul, on a clairement deg

(DF ) ≤ deg

(F ) et deg

(DF ) ≤ deg

(F ). Nous d´emontrons le lemme qui suit, qui g´en´eralise le lemme 5.2 p. 161 de [6].

Lemme 4.1. Soit P un id´eal premier principal non nul de N qui est E -

stable. Alors P = (Θ) ou P = (Z ).

D´ emonstration. Soit M ∈ N un polynˆome non nul et irr´eductible tel que

E M = F M, (13)

avec F ∈ N ; nous devons d´emontrer que soit M = cΘ, soit M = cZ , avec c ∈ ^C

.

Comme p( E M ) = p(F )+p(M ), on a que p(F ) ≤ 2. Comme deg

( E M ) = deg

(F )+deg

(M ) et deg

( E M) = deg

(F )+deg

(M), on a que deg

(F ) = deg

(F ) = 0 et

F = λ

P + λ

(14)

avec λ

, λ

∈ ^C . On a aussi F 6 = 0 car M ´etant irr´eductible, il est non constant, et d’apr`es l’isomorphisme (12), le sous-corps des constantes du corps des fractions de N pour la d´erivation E est C .

Notre but est maintenant de montrer que λ

, λ

∈ ^Z dans (14). Nous commen¸cons par d´emontrer que λ

∈ ^Z .

Ecrivons

M = M

+ M

+ · · · + M

, (15) avec 0 ≤ h ≤ k, M

homog`ene de poids i et M

, M

non nuls.

Ecrivons ´egalement

M

=

t

X

j=1

c

V

,

avec V

, . . . , V

∈ Y isobares de poids k, et c

∈ L . On a E M

=

t

X

j=1

c

E V

+

t

X

j=1

( E c

)V

.

En comparant les poids des termes isobares dans (13), on v´erifie : E M

= λ

P M

+ λ

M

+ λ

P M

,

d’o` u :

DM

= λ

P M

. (16)

D’apr`es la troisi`eme affirmation du th´eor`eme 1.2, il existe un unique id´eal premier principal non nul et D-stable de Y

qui est l’id´eal (Θ). Donc tout id´eal principal non nul D-stable est de la forme (Θ

) et M

= cΘ

avec c ∈ ^K

, d’o` u l’´egalit´e λ

= m ∈ ^Z dans (14).

Montrons ensuite que λ

∈ ^Z dans (14). Nous pouvons supposer dans la suite que M

6∈ Y car si M

∈ Y , λ

= 0. Ecrivons maintenant

M

=

t

X

j=1

c

U

,

avec U

, . . . , U

∈ Y isobares de poids h, et c

, . . . , c

∈ L . Si h = 0, alors M

∈ L . Si h > 0, on a

E M

=

t

X

j=1

c

E U

+

t

X

j=1

( E c

)U

.

Donc si h ≥ 0 (apr`es comparaison des termes de mˆeme poids dans (13)) :

∂M

∂L + ∂M

∂Z = λ

M

, et

D

M

= λ

M

. (17) On voit tout de suite que si M

6∈ Y , alors M

d´epend de Z. Ecrivons :

M

= X

a,b≥0

c

L

Z

= X

a,b>0

c

L

Z

+ X

b>0

d

Z

+ X

a>0

e

L

+ f

, c

, d

, e

, f

∈ Y . On a :

D

M

= X

a,b>0

(bc

+ (a + 1)c

)L

Z

+ X

b>0

(bd

+ c

)Z

+ X

a>0

(a + 1)e

L

+ e

+ f

.

Soit a

maximal avec c

6 = 0 pour quelques b

≥ 0.

Si a

= 0, alors M

∈ Y [Z]. Donc M

= k

+ k

Z + · · · + k

Z

(k

∈ Y et k

6 = 0), et D

M

= k

Z + · · · + rk

Z

, d’o` u rk

= λ

k

et λ

= r ∈ ^Z .

Si a

> 0 alors b

> 0 et :

b

c

= b

c

+ (a

+ 1)c

= λ

c

,

puisque c

= 0. Donc λ

= b

et aussi dans ce cas, λ

∈ ^Z . Terminons la d´emonstration du lemme. Nous avons montr´e que

E M = (λ

P + λ

)M avec λ

, λ

∈ ^Z . De plus, E Θ = P Θ et E Z = Z . Donc

E M

M = λ

E Θ

Θ + λ

E Z Z .

On en d´eduit que E (M Θ

Z

) = 0, d’o` u M Θ

Z

∈ ^C

(le corps

des fractions de N a C comme sous-corps des constantes pour la d´erivation

E ). L’irr´eductibilit´e de M implique M = cΘ ou M = cZ , avec c ∈ ^C

.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.3. Soit J un id´eal premier de N . Si J ∩ Y [Z ] = (0), alors J est principal et ne peut pas ˆetre E -stable d’apr`es le lemme 4.1.

Donc, si J est E -stable, alors J

:= J ∩Y [Z] est un id´eal premier E -stable non nul de Y [Z].

Si J

∩ Y = (0) alors J

est principal, donc J

N est un id´eal premier principal E -stable de N , et le lemme 4.1 implique Z ∈ J .

Sinon, I = J

∩Y est un id´eal premier D-stable non nul de Y ; il contient Θ d’apr`es le th´eor`eme 1.2 (avec K = C ).

La preuve du th´eor`eme 1.3 se termine en considerant l’isomorphisme diff´erentiel (12).

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.4. Ce th´eor`eme est un corollaire du th´eor`eme 1.3. Soit P un id´eal premier non nul et z(d/dz)-stable de R

. L’id´eal T := N P est un id´eal z(d/dz)-stable de N tel que T ∩ R

= P . Le lemme 5.3 de l’appendice implique qu’il existe un id´eal premier z(d/dz)- stable Q de N tel que Q ∩ R

= P . Le th´eor`eme 1.3 implique que z∆ ∈ Q , donc z∆ ∈ P .

5 Appendice : lemmes auxiliaires.

Soient X

, . . . , X

des ind´etermin´ees. On consid`ere sur ^K [X

, X

, . . . , X

] une graduation p d´etermin´ee par p(k) = 0 pour tout k ∈ ^K

, et en assignant

`

a X

un degr´e p(X

) = p

∈ ^Z

. Supposons que p

soit ´egal au plus petit commun diviseur de p

, . . . , p

. Nous d´emontrons deux lemmes.

Lemme 5.1. Soient F, G ∈ ^K [X

, X

, . . . , X

] deux polynˆ omes p-homo- g`enes. Si le r´esultant R =R´es

(F, G) ∈ ^K [X

, . . . , X

] est non nul, alors il est p-homog`ene.

D´ emonstration. On ´ecrit :

F = F

+ F

X

+ · · · + F

X

, G = G

+ G

X

+ · · · + G

X

, avec F

, G

non nuls, et F

, G

∈ ^K [X

, . . . , X

] pour tout i, j. Il est bien connu que le r´esultant R est homog`ene par rapport ` a chaque groupe de variables (F

)

et (G

)

de degr´es respectifs n, m. De plus, d’apr`es [11], th´eor`eme 6.1, R est “ν -homog`ene de d´egr´e mn”, avec ν = (0, 1, . . . , n, 0, 1, . . . , m). Ceci veut dire que si le monˆ ome

M

= F

· · · F

G

· · · G

apparaˆıt avec un coefficient non nul dans l’expression de R, alors :

m

X

i=1

iα

+

n

X

j=1

jβ

= mn. (18)

La p-homog´eneit´e de F, G implique que tous les F

et G

sont p-homog`enes.

Il existe deux entiers k, h tels que p(F

) = m + k − i et p(G

) = n + h − j pour tout i, j (on applique l’hypoth`ese sur p

).

Donc si le monˆ ome M

apparait avec coefficient non nul dans l’´ecriture de R, alors il est p-homog`ene ; calculons son degr´e.

p(M

) =

m

X

i=0

α

p(F

) +

n

X

i=0

β

p(G

)

= (k + m)

m

X

i=0

α

+ (h + n)

n

X

j=0

β

−

m

X

i=1

iα

−

n

X

j=1

jβ

= (k + m)n + (h + n)m − mn

= kn + hm + mn,

en appliquant (18). Ainsi, tous les monˆ omes qui interviennent dans l’´ecriture de R avec un coefficient non nul ont mˆeme p-degr´e kn + hm + mn, ce qui implique que R est p-homog`ene de degr´e kn + hm + mn.

Soit I un id´eal de K [X

, . . . , X

] et notons ˜ I l’id´eal engendr´e par les

´el´ements p-homog`enes de I . Soit D une d´erivation p-homog`ene de poids d sur ^K [X

, . . . , X

].

Lemme 5.2. Nous avons les propri´et´es suivantes.

1. Si I est D-stable, alors I ˜ est D-stable.

2. Si I est premier, alors I ˜ est premier.

3. Si I est premier et n’est pas principal, alors I 6 ˜ = (0).

D´ emonstration. 1. Soit U ∈ I ˜ ; alors U = U

+ · · · + U

pour certains polynˆomes p-homog`enes U

, . . . , U

∈ I . Pour tout j on a DU

∈ I car I est D-stable. De plus DU

est p-homog`ene, donc DU = DU

+ · · · + DU

∈ I ˜ . 2. C’est bien connu : voir chapitre 7, paragraphe 2 de [12].

3. Notons, pour tout polynˆome non nul F ∈ ^K [X

, . . . , X

] :

h

F = X

F X

X

, . . . , X

X

∈ ^K [X

, X

, . . . , X

],

o` u p est le plus grand degr´e d’un monˆ ome non nul de F par rapport ` a la graduation p.

Il faut montrer que I contient un polynˆome p-homog`ene non nul. Par

hypoth`ese il existe U, V ∈ I premiers entre eux ; donc

U et

V sont premiers

entre eux. Donc T := R´es

(

U,

V ) ∈ A est non nul, et p-homog`ene d’apr`es

le lemme 5.1. De plus T ∈ I car il existe A, B ∈ ^K [X

, X

, . . . , X

] tels que

T = A

U + B

V d’o` u, en prenant X

= 1, T = aU + bV pour a, b ∈ A , on

obtient T ∈ I .

Lemme 5.3. Soient B ⊂ A deux anneau noeth´eriens, soit D une d´erivation de A telle que ( B , D) soit un anneau diff´erentiel. Soit T un id´eal D-stable de A tel que P := T ∩ B soit premier. Il existe alors un id´eal premier D-stable Q de A tel que Q ∩ B = P .

D´ emonstration. D’apr`es le th´eor`eme 1 p. 24 de [8], les id´eaux premiers Q

, . . . , Q

associ´es de T sont D-stables, et T admet une d´ecomposition primaire :

T =

t

\

j=1

T

avec T

qui est Q

-primaire, et D-stable, pour tout j. On a : P =





t

\

j=1

T



 ∩ B =

t

\

j=1

( T

∩ B ).

Donc il existe j tel que T

∩B = P (tous les id´eaux T

∩B sont primaires). Soit x ∈ B tel que x

∈ T

pour quelques n. Alors x ∈ P , d’o` u x ∈ Q

= p

T

. Ainsi l’id´eal Q = Q

, qui est premier et D-stable, satisfait Q ∩ B = P . R´ emerciements. L’auteur souhaite r´emercier S. David pour des commen- taires tr`es utiles, et F. Amoroso pour une relecture minutieuse du texte, et pour m’avoir sugg´er´e l’argument du r´esultant dans la preuve du lemme 5.2, ce qui a apport´e des simplifications par rapport ` a une version pr´ecedente.

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Federico Pellarin,

L.M.N.O., Universit´e de Caen,

Campus II - Boulevard Mar´echal Juin, BP 5186 - F14032 Caen Cedex.

E-mail : pellarin@math.unicaen.fr