Sous-groupes additifs de R
Th´eor`eme : Les sous-groupes de (R,+) sont de la formeaZ,a´etant un r´eel, ou denses dansR.
Preuve : SoitGun sous-groupe de (R,+) tel queG6={0}.Gcontient au moins un ´el´ement strictement positif.
En effet, soit x ∈G, x6= 0. Si x ∈R∗−, alors −x ∈G et −x∈ R∗+. G∩R∗+ est alors une partie non vide et minor´ee deRdonc admet une borne inf´erieure, not´ee a. 0 ´etant un minorant deG∩R∗+, on a a>0.
Si a > 0. Montrons que a∈ G. Supposons le contraire. 2a > a donc 2a n’est pas un minorant de G∩R∗+. Il existe b ∈ G tel que a < b < 2a. b n’est pas non plus un minorant de G∩R∗+ donc il existe c ∈ G tel que a < c < b.b−c∈G∩R∗+ etb−c < a, ce qui contredit la d´efinition dea. Par cons´equenta∈G. (G,+) ´etant un sous-groupe de (R,+), on aaZ⊂G. Il reste `a montrer queG⊂aZ.
Soitg∈G. Soitn=E ga
,Ed´esignant la partie enti`ere. On a, par d´efinition de la partie enti`ere,n6 ga < n+1, ou encorena6g <(n+ 1)a. Alors 06g−na < a.a∈Gdoncna∈Get donc g−na∈G. Sig6=na, alors 0 < g−na < adoncg−na∈G∩R∗+ et g−na < a, ce qui est impossible donc g=na∈aZ. On en d´eduit G⊂aZet doncG=aZ.
Examinons le cas o`u a= 0. Montrons dans ce cas queGest dense dansR. Soientx, y∈R, avecx < y.a= 0 donc il existe g∈Gtel que 0< g < y−x. Soitn=E
x g
+ 1. On a n−16 xg < ndonc (n−1)g6x < ng.
On a alors :
x < ng= (n−1)g+g6x+g < x+ (y−x) =y On a montr´e :
∀x, y∈R2avecx < y,∃g0∈G, x < g < y Gest donc dense dansR.
