Chapitre n°5 : « La multiplication »

Chapitre n°5 : « La multiplication »

I. Vocabulaire

Définition

Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs.

Exemple

Dans 1,5×12=18, 18 est le produit et les facteurs sont 1,5 et 12. Remarque

Multiplier un nombre par 1,5, c'est ajouter à ce nombre sa moitié.

Par exemple : 9×1,5=94,5=13,5. Dictée

1/ 12×2=24 2/ 12–2=10 3/ 122=14 4/ 78=15 5/ 7×8=56

6/ 98=17 7/ 12–5=7 8/ 7×11=77 9/ 99=18 10/ 14×1,5=21

S'exprimer

• 12–5 se traduit ainsi : « Faire la différence entre 12 et 5 »

• 125 se traduit ainsi : « Faire la somme de 12 et 5 »

• 12×5 se traduit ainsi : « Faire le produit de 12 par 5 »

Propriété fondamentale des multiplications

Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat.

Exemple 2×3×4=24 3×2×4=24 4×3×2=24 etc.

1 a pplication de la propriété fondamentale (voir le site pour le tableau)

Autres tables

• Table de 11 : 11×2=22, 11×3=33, … , 11×9=99, 11×10=110, 11×11=121

• Table de 12 : 12×2=24, 12×3=36, 12×4=48, 12×5=60.

• Table de 15 : 2×15=30 , 3×15=45 , 4×15=60 … (pensez aux quarts d'heure).

• Table de 25 : 25×2=50, 25×3=75, 25×4=100, 25×5=125, 25×6=150, 25×7=175, 25×8=200, etc.

• Tables de 20 , 30 , 40 , …, 90 : il suffit d'ajouter un zéro aux résultats que l'on connaît !

2 application de la propriété fondamentale^ème A=12×15×5×8

A=12×5×15×8

A=60×120 A=6×12×100 A=7200

De même que pour les additions, on regroupe des facteurs pour rendre les calculs plus faciles.

B=5×11×8×2 B=2×5×8×11

B=10×88 B=880

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

II. Poser une multiplication

1/ Rappel : avec des entiers

Posons la multiplication de 683 par 79 .

Exemples

Pose pour calculer 8463×75 et 4396×9753 .

2/ Avec des nombres décimaux

L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5 .

• 1 ^ère étape : on calcule sans les virgules ⁷₄ ⁴₂ 7 8 5

× 9 5

3 9 2 5 7 0 6 5 ☻ 7 4 5 7 5

5 2

7 2

6 8 3

× 7 9 6 1 4 7 + 4 7 8 1 ^☻ 5 3 9 5 7

Conseils

• On aligne correctement les chiffres.

• A chaque nouvelle ligne de calcul, on se décale.

On peut ajouter un zéro pour ne pas se tromper.

• On positionne correctement les retenues. On peut les barrer au fur et à mesure.

3 4 2

2 3 1

8 4 6 3

× 7 5

4 2 3 1 5 + 5 9 2 4 1 ^☻

6 3 4 7 2 5

3 8 5

2 6 4

1 4 3

1 2 1

4 3 9 6

× 9 7 5 3 1 3 1 8 8 + 2 1 9 8 0 ^☻ + 3 7 7 2 ☻ ☻

+ 3 9 5 6 4 ^{☻ ☻ ☻} 4 2 8 7 4 1 8 8

• 2 ^ème étape : on place la virgule

Dans 7,85, il y a deux chiffres dans la partie décimale. Dans 9,5, il y a un chiffre dans la partie décimale. En tout, cela fait trois chiffres dans les parties décimales.

Il faudra donc trois chiffres dans la partie décimale du résultat.

Donc : 7,85×9,5=74,575

Autre exemple

Pose le calcul suivant : 17,46×7,42.

Méthode

• 1 ^ère étape : on pose la multiplication sans se préoccuper de la virgule.

• 2 ^ème étape : il faut qu'il y ait autant de chiffres dans la partie décimale du résultat que dans les parties décimales des nombres que l'on multiplie.

• 3 ^ème étape : on vérifie que le résultat obtenue est cohérent par rapport aux nombres que l'on multiplie (est-ce qu'on ne raconte pas de bêtise !)

Application

Place correctement la virgule pour que l'égalité soit correcte : 12,8×5,3 =67,84

28,7×1,04 =29,848 0,15×6,3 =0,945 0,008×543,9 =4,3512 0,235×0,132 =0,003102

Point de calcul mental

Il est bon de connaître par cœur certains résultats...

125×8=1000

Cela permet de faire d'autres calculs...

1,25×8=10 ; 0,125×8=1 ; 8×12,5=100

On sait que 12×5=60. On en déduit que : 1,2×5=6 ; 120×5=600 ; 0,12×5=0,6 …

5 3 4 2 1 2 1 1 1

1 7 , 4 6

× 7 , 4 2 3 4 9 2

+ 6 9 8 4 ^☻

+ 1 2 2 2 2 ^{☻ ☻} 1 2 9 , 5 5 3 2

III. Multiplication par 10, 100, 1000 ...

Activité

L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 13,574×10 . Dans ce nombre :

• 1 chiffre des dizaines, devient le chiffre des centaines,

• 3 chiffre des unités, devient le chiffres des dizaines,

• 5 chiffre des dixièmes, devient le chiffre des unités,

• etc.

Donc, lorsqu'on multiplie un nombre décimale par 10, tous les chiffres se décalent vers la gauche d'une position. Ou inversement, c'est la virgule qui se décale d'un chiffre vers la droite.

13,574×100=1357,4 car on décale deux fois de suite...

13,574×1000=13 574 car on décale trois fois de suite...

Exemples

12,5789×100=1 257,89 ; 0,0047×1000=0004,7=4,7 4,5×100=450 ; 1,78×1 000=1780

87,54×10=875,4 ; 0,1245×100=12,45 874×100=87 400 ; 1,24×1000=1240 0,7×1000=700

Méthode

Pour multiplier un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 … il suffit de décaler la virgule de un, deux, trois... chiffres vers la droite.

Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres pour décaler la virgule, on ajoute des zéros.

La méthode de primaire qui consiste à ajouter des zéros ne fonctionne que pour des nombres entiers.

Application de calcul mental A=25×3,789×4

A=25×4×3,789 A=100×3,789 A=378,9 B=25×48,4×8 B=25×8×48,4

B=200×48,4 « Multiplier par 200 revient à multiplier par 100 puis par 2 » B=100×96,8

B=9680

9045,42×100000 = 904542000 752,717×100 = 75271,7 36370,9×100 = 3637090

Encore des exemples C=0,5×19×4×3

Il faut savoir que multiplier par 0,5 un nombre, revient à le diviser par 2. C=0,5×4×19×3

C=2×57 C=114

D=7×0,25×20

D=7×0,25×10×2 « Multiplier par 20 revient à multiplier par 10 puis par 2 » D=7×2,5×2

D=7×5 D=35

E=8×9,4×125 E=8×125×9,4 E=1000×9,4 E=9400

IV. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

Rappel

• un dixième : 0,1= 1 10

• un centième : 0,01= 1 100

• etc.

Activité

Comment calculer 4,5×0,1 ?

Multiplier par 0,1 , c'est rendre le nombre dix fois plus petit :

• 4 unités devient 4 dixièmes,

• 5 dixièmes devient 5 centièmes.

Donc 4,5×0,1=0,45 .

De même : 156,7×0,01=1,567 Méthode

Pour multiplier un nombre décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … on décale la virgule de un, deux, trois... chiffres vers la gauche.

S'il manque des chiffres pour se décaler, on ajoute des 0 devant notre nombre.

V. Conversions

Rappels

Tableau des unités de mesure

km hm dam m dm cm mm

kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre 1000m 100m 10m 1m 0,1m

ou 1 10 m

0,01m ou

1 100 m

0,001m ou

1 1000 m

A savoir par cœur

• « kilo » : 1000

• « hecto » : 100

• « déca » : 10

• « déci » : 0,1= 1 10

• « centi » : 0,01= 1 100

• « milli » : 0,001= 1 1000

Exemples

12,5 hm=1250 m (on multiplie par 100) 45,8 cL=0,458 L (on multiplie par 0,01) 0,1235 kg=123,5 g (on multiplie par 1000) 45dam=450 m (on multiplie par 10) 12,89 hL=1289dL (on multiplie par 1000) 7,5 L=75 dL (on multiplie par 10)

Méthodes

• Il est possible, en s'imaginant dans sa tête un tableau, de convertir en utilisant la méthode de cycle 3 (primaire).

• Méthode de sixième : si je veux convertir 12,56 dag en cg, je me pose d'abord la question suivante « combien y a-t-il de cg dans 1dag ? » ; on trouve que

1 dag=1 000 cg (dg ; g ; dag) ; finalement, on multiplie 12,56 par 1000 et on obtient 12,56 dag=12,56×1000=12 560 cg.

Un autre exemple détaillé

Je veux convertir 1,4589 mL en hL. En partant de mL, on a cL, dL, L, daL et hL. Donc 1mL=0,00001 hL ; on va donc multiplier 1,4589 par un cent-millième :

1,4589 mL=1,4589×0,00001=0,000014589 hL.

Exemples

45,8 dam=0,458 km 0,125 dam=12,5 dm

VI. Ordre de grandeur

Explication

Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je veux acheter 15 stylos à 0,90 € alors que je n'ai qu'un billet de 10€, cela semble assez difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 15 € tout en étant supérieur à 10€.

L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On parle alors d'un résultat cohérent.

Exemple 1

Je suis au supermarché et j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 14,95 ; 3,98 ; 151,23. Je peux dépenser 170 euros. Aurai-je assez d'argent ?

• Calculons un ordre de grandeur :

14,95 est proche de 15 ; 3,98 est proche de 4 ; 151,23 est proche de 150 ; donc le total est proche de 170 euros.

Cet ordre de grandeur n'est pas assez précis pour se déterminer.

• Calculons le résultat exacte :

14,953,98151,23=170,16 euros Conclusion : il manque donc 16 centimes.

Exemple 2

Au supermarché, j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 12,45 € ; 7,29 € ; 49,18€. J'ai quatre billets de dix, un billet de vingt et deux de cinq. Est-ce que je pourrai payer tous mes achats ?

• En termes d'argent, je possède 4×10202×5=70€

• 12,457,29 est proche de 20 et inférieur à 20 ; 49,18 est proche de 50 mais inférieur à 50 .

Mes dépenses sont inférieures à 5020=70 .

• Conclusion : je pourrai payer tous mes achats ! (ouf) Quelle est la somme exacte de mes dépenses ?

• 12,457,2949,18=68,92 qui est inférieur à 70 !

Remarque

Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher !

Méthode pour trouver un ordre de grandeur

• On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier ou un multiple de 10 , 100 ou 1000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de faire des calculs de tête.

• On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.