Résumé de cours : Électrostatique

Résumé de cours : Électrostatique

Champ et potentiel

Définition 1. Champ électrique

La force électrostatique qui s’exerce sur une charge q(ponctuelle) en un point M est F^Q_/q=q E^Q(M)

Définition 2. Ligne de champ électrique

Ligne courbe de l’espace qui est tangente en chacun de ses points M au champ électrique E^Q(M).

équation d’une ligne de champ (si toutes les fractions sont définies) dx

Ex(x, y , z)= dy

Ey(x, y, z)= dz Ez(x, y, z)

Convention 3. On oriente les lignes de champ depuis les charges positives vers les charges négatives.

Définition 4. Potentiel électrostatique

Champ scalaire tel qu’en tout point M de l’espace : E^Q(M) =−gradV(M) Définition 5. Équipotentielle

Surface sur lequel le potentiel électrostatique garde une valeur constante :V(M) =V0

Définition 6. Énergie électrostatique

L’énergie électrostatique est égale au travail de constitution de la distribution de charges, c’est-à-dire le travail à fournir pour apporter successivement chacune des charges depuis l’infini jusqu’à sa position finale.

Propriété : en électrostatique, rotE^Q = 0^Q

Charges ponctuelles

Note 7.

Charge élémentaire : e= +1,602.10⁻¹⁹C Charge de l’électron : qe=−e

Permittivité du vide : ε₀= 8,854.10⁻¹²m⁻³kg⁻¹s⁴A² et1/(4π ε₀) =9.10⁹USI Loi de Coulomb :

La force électrostatique qui s’exerce sur une charge ponctuelle q₂ de position P₂ en présence d’une charge ponctuelleq₁de positionP₁(toutes les deux immobiles) s’écrit

F^Qq₁→q₂= q1q2

4π ε0

P1P2

P₁P₂ ³

= q1q2

4π ε0

1 P₁P₂

² u

QP₁→P₂

avec u^QP₁→P₂ : vecteur unitaire qui dirige la droite (P1P2)orienté de P1 versP2

Champ électrique créé par une charge ponctuelle :

Une charge ponctuelle q₁ de position P₁ crée en un point M un champ électrique :

E^Qq₁(M) = q1

4π ε0

P1M P₁M

³

= q1

4π ε0

1 P₁M

² u

QP₁→M

avec u^QP₁→M : vecteur unitaire qui dirige la droite (P1M)orienté de P1 vers M Remarque 8.

En coordonnées sphériques avec la charge q₁ à l’origine O

E^Qq₁(M) =Er(rM)u^Qr(M) avec rM=OM et Er(r) = q1

4π ε0r²

Potentiel créé par une charge ponctuelle :

Une charge ponctuelle q1de positionP1crée en un point M un potentiel électrique : V(M) = q1

4π ε₀ × 1

P₁M+V∞ où V∞ est une constante arbitraire

Remarque 9.

En coordonnées sphériques avec la charge q₁ à l’origine O V(M) = q1

4π ε0rM

+V∞ avec rM=OM

Remarque 10.

On choisit d’ordinaire : V∞= 0

Équipotentielles pour une charge ponctuelle :

Ce sont des sphères concentriques centrées sur la position de la charge ponctuelle.

Travail de la force électrostatique :

Sur le trajet entre un point A jusqu’à un pointB d’une charge q dans un potentiel électrique extérieur V(M) :

WA→B F^Q_/q

=q[V(A)−V(B)]

Énergie électrostatique dans un potentiel extérieur :

EP(M) =q V(M)

Énergie électrostatique d’un système de deux charges ponctuelles : Soient q1 une charge ponctuelle de position P1 qui crée un potentiel électrique V1

dans tout l’espace, et q₂ une autre charge ponctuelle de position P₂ (P1 P₂) qui crée un potentiel électrique V2. Le potentiel électrique est pris nul à l’infini.

U= q1q2

4π ε0r¹²=1

2q₂V₁(P2) +1

2 q₁V₂(P1) où r12=P₁P₂

Distributions discrètes

Principe de superposition (pour les forces) :

La force exercée sur une charge ponctuelle qpar un ensemble de charges ponctuelles {qi, i= 1, , n} est la somme vectorielle des forces exercées sur q par chacune des charges qi prises indépendamment :

F^Q/q=F^Qq₁→q+F^Qq₂→q+ .+F^Qq_i→q+ +F^Qq_n→q

Chacune des forces F^Qq_i→q est calculée en supposant q et qi seules dans l’espace.

Principe de superposition (pour les champs) :

Le champ électrique créé par un ensemble de charges ponctuelles {qi, i = 1, , n} est la somme vectorielle des champs créés par chacune des charges qi prises indépendamment :

E^Q(M) =E^Qq₁(M) +E^Qq₂(M) + .+E^Qq_i(M) + +E^Qq_n(M)

Chacun des champsE^Qq_i(M)est calculé en supposant la chargeqiseule dans l’espace.

Principe de superposition (pour les potentiels) :

Le potentiel électrique créé par un ensemble de charges ponctuelles {qi, i = 1, , n} est la somme scalaire des potentiels créés par chacune des charges qi prises indépendamment :

V(M) =Vq₁(M) +Vq₂(M) + +Vq_i(M) + +Vq_n(M)

Chacun des potentiels Vq_i(M) est calculé en supposant la charge qi seule dans l’espace.

Énergie électrostatique :

Pour un ensemble de charges ponctuelles {qi, i= 1, , n}et en notantVile potentiel électrique créé par la charge qi supposée seule dans l’espace :

U=1 2

X

i=1 n

X

j=1, ji n

qiVj(Pi)

Définition 11. Dipôle électrostatique

Un dipôle électrostatique est un système de deux charges ponctuelles opposées +qet

−q, observé à une distance grande devant la distance entre les deux charges.

Définition 12. moment dipolaire électrique

En notant +q et −q les deux charges ponctuelles,ℓ la distance entre leurs positions et u^Q un vecteur unitaire dirigé de la charge négative vers la charge positive

D^Q =q ℓ u^Q

Potentiel créé par le dipôle électrique :

On prend l’origine O des coordonnées sphériques au milieu du segment dont les extrémités sont les positions des deux charges,^Quz=u^Q et le potentiel nul à l’infini. θ est l’angle entre D^Q et le vecteur-position^Qr =OM.

V(M) = 1

4π ε₀×D^Q.r^Q

r_M³ = Dcosθ 4π ε0r_M² Champ créé par le dipôle électrique :

E^Q(M) = 1 4π ε0

"

3D^Q.r^Q r⁵

! r

Q −D^Q r³

#

Action du champ électrique sur un dipôle électrique rigide :

Dans un champ électrique extérieur Ea, il s’exerce sur le dipôle un moment M=D^Q ∧E^Qa

Distributions continues

Notation 13. Densité volumique de charge

Pour la charge dq dans un élément de volume dV au voisinage d’un point P dq=ρ(P) dV

Champ électrique créé par une distribution volumique de charges :

E^Q(M) =y

(V)

dV ρ(P) 4π ε₀

PM PM

³

=y

(V)

dV ρ(P)

4π ε0PM²u^QP→M

Potentiel électrique créé par une distribution volumique de charges :

V(M) =y

(V)

dV ρ(P) 4π ε0

× 1 PM

Principe de Curie :

Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits.

Principe de symétrie (en électrostatique) :

Le champ électrique vérifie les mêmes propriétés de symétrie et d’invariance que la distribution de charges qui en est la source.

Symétries électriques :

• en tout point d’un plan de symétrie de la distribution de charges, le champ électrique est dans ce plan.

• en tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de charges, le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Énergie électrostatique : pour une distribution volumique de charge de densitéρ

U=1 2

y

V

ρ(P)V(P) dV

Théorème de Gauss

Théorème 14. Théorème de Gauss

Le flux sortant du champ électrique au travers d’une surface fermée égale la charge intérieure divisée par la constante ε0.

Φ⋆ E^Q

={

(S)

E^Q(P).n^Q(P) dS=Q^int ε₀ avec :

. (S) : surface (fermée) de Gauss

. (V) : volume de Gauss (à l’intérieur de (S)) . P : point courant sur la surface de Gauss (S)

. n^Q(P) : vecteur unitaire sortant en P à la surface de Gauss (S) . dS : élément de surface

. Q^int : charge intérieure à la surface de Gauss (S) Q^int=t

V ρ(P^′) dV . P^′ : point courant dans le volume de Gauss (V)

. dV : élément de volume

Équation de Maxwell-Poisson : (également nommée équation de Max- well-Gauss)

divE^Q = ρ ε0

Relation de passage :

Le champ électrique tangentiel à une surface chargée est continu à la traversée de la surface ; le champ électrique normal présente lui une discontinuité σ/ε0, où σ est la densité surfacique locale de charge.

E^Q2−E^Q1= σ ε₀ n^Q1→2

où la région d’un côté de la surface est notée 1 et l’autre 2, et n^Q₁→2 est le vecteur unitaire normal à la surface de la région 1 vers la région 2.

1 2

σ

~u₁→2

E~₁ E~2

Conducteurs et condensateurs

Champ électrique dans un conducteur en équilibre électrostatique : E^Q(M) = 0^Q ∀M dans l’intérieur du conducteur

Définition 15. Capacité d’un conducteur Q=C V0

avec :

• Q : charge totale portée par la surface du conducteur

• V₀: potentiel auquel est porté le conducteur (le potentiel est pris nul à l’infini)

• C : capacité du conducteur ; elle ne dépend que de sa géométrie La capacité C s’exprime en farad (noté F).

Énergie électrique d’un conducteur : U=1

2Q V₀=1

2C V₀²=1 2

Q² C Phénomène d’influence :

Les charges en surface d’un conducteur modifient la position des charges en surface d’un autre conducteur à proximité (et réciproquement).

Conducteurs en influence totale :

Toutes les lignes de champ issues d’un conducteur aboutissent sur la surface de l’autre.

Théorème 16. Théorème des éléments correspondants

Soit un tube de flux du champ électrique qui relie une portion de la surface d’un conducteur à celle d’un autre ; alors les charges portées par les deux portions de surface sont opposées.

Premier conducteur Second conducteur

E~

E~

+Q −Q

Définition 17. Condensateur

On appelle condensateur un ensemble de deux conducteurs en influence totale.

Définition 18. Capacité d’un condensateur Q=C∆V où :

• Q est la charge portée par une armature du condensateur (et la charge de l’autre est −Q)

• ∆V est la tension aux bornes du condensateur (différence de potentiel élec- trique entre les armatures)

• C est la capacité du condensateur Énergie électrique d’un condensateur :

U=1

2 Q∆V =1

2C(∆V)²=Q² 2C

Courants électriques stationnaires

Remarque 19.

Le courant électrique correspond à la circulation de charges électriques ; on n’est plus dans le cadre de l’électrostatique.

Courant dû à des charges mobiles : j

Q =n q v^Q où :

• j^Q est le vecteur densité volumique de courant électrique

• n est la densité volumique de porteurs de charges mobiles (nombre de por- teurs de charges mobiles par unité de volume)

• v^Q est la vitesse (moyenne) des porteurs de charges mobiles

Définition 20. Intensité du courant électrique

Au travers d’une surface (orientée) (S) de vecteur normal unitaire n^Q et avec P le point courant sur cette surface :

I(t) =x

(S)

j

Q(P , t).n^Q dS

L’intensité s’exprime en ampère (A).

Conservation de la charge électrique : I(t) =−dQ

dt Conservation locale de la charge électrique :

∂ρ

∂t +div j^Q

= 0

Loi des nœuds :

S’il y a n branches connectées au nœud et avec k∈ {1, , n}:

• Ik le courant (algébrique) dans la branche numérotée k

• εk= +1 si la branche numérotée k est orientée vers le nœud, εk=−1 sinon

0 =X

i=1 n

εkIk

I₁, ǫ₁ =−1

I₂, ǫ₂ = +1

I3, ǫ3 = +1

Loi d’Ohm :

Pour un élément de circuit résistif

∆V =R I où :

• ∆V est la tension aux bornes

• I est l’intensité du courant qui le traverse

• R est la résistance électrique ; elle s’exprime en ohm (Ω).

Loi d’Ohm locale :

En tout point P d’un milieu conducteur (qui n’est pas en équilibre électrostatique) j

Q(P) =γ E^Q(P) =E^Q(P)/̺

où :

• γ est la conductivité du milieu

• ̺= 1/γ est la résistivité du milieu

Résistance d’un tronçon de fil cylindrique homogène :

R=̺ L/S où :

• ̺ est la résistivité du milieu conducteur

• L est la longueur du tronçon

• S est l’aire de la section transverse du tronçon

Loi des mailles :

Pour une maille orientée composée de n branches :

0 =X

i=1 n

εkuk

où :

• ukest la tension aux bornes de la branche numérotée i

• εk= +1 si l’orientation de la maille et celle de la branche numérotée i coïn- cident, εk=−1 sinon

A

B C

D

L

u1(ǫ1=−1)

u₂(ǫ2 = +1)

u3(ǫ3=+1)

u4(ǫ4 =−1)