Cours de : Probabilités
1ère année de la licence
Statistique Appliquée à l'Économie
Sidi Mohamed MAOULOUD
Institut Supérieur de Comptabilité et d'Administration des Entreprises
Table des matières
1 Espace de probabilité 5
1.1 Modèle probabiliste . . . 7
1.1.1 Espace fondamental . . . 7
1.1.2 Événements . . . 7
1.1.3 Probabilité . . . 8
1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage . . . 9
1.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance . . . 11
1.3.1 Probabilité conditionnelle . . . 11
1.3.2 Indépendance . . . 12
1.3.3 Diagramme en arbre . . . 13
1.4 Traveaux dirigés chpitre 1 . . . 14
2 Variables aléatoires 17 2.1 Variable aléatoire . . . 18
2.2 Distribution d'une variable aléatoire . . . 18
2.2.1 Fonction de répartition . . . 18
2.2.2 Fonction de masse et de densité . . . 19
2.3 Distribution conjointe . . . 20
2.3.1 Distribution marginale . . . 20
2.3.2 Distribution conditionnelle . . . 20
2.3.3 Indépendance des variables aléatoires . . . 20
2.4 Caractéristique de distribution . . . 20
2.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire . . . 20
2.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire . . . 21
2.4.3 Propriétés. . . 21
2.5 Travaux dirigés . . . 23
3 Lois usuelles 25 3.1 Lois discrète . . . 25
3.1.1 Loi de Bernoulli . . . 25
3.1.2 Loi binomiale . . . 25
3.1.3 Loi géométrique . . . 25
3.1.4 Loi binomiale négative . . . 26
3.1.5 Loi hypergéométrique . . . 26
3.1.6 Loi de poisson . . . 26
3.2 Lois continues . . . 27
3.2.1 Loi uniforme . . . 27
3.2.2 loi exponentielle. . . 27
3.2.3 loi normale et ses dérivées. . . 27
3.3 Traveaux dirigés du chapitre 3. . . 30
3
Chapitre 1
Espace de probabilité
Sommaire
1.1 Modèle probabiliste . . . . 7
1.1.1 Espace fondamental . . . . 7
1.1.2 Événements . . . . 7
1.1.3 Probabilité . . . . 8
1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage . . . . 9
1.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance . . . . 11
1.3.1 Probabilité conditionnelle . . . 11
1.3.2 Indépendance . . . 12
1.3.3 Diagramme en arbre . . . 13
1.4 Traveaux dirigés chpitre 1 . . . . 14
1.0 Rappel sur les ensembles
Dans tout ce qui suit les ensembles considérés sont tous supposés inclus dans un ensemble donné Ω. L'ensemble des parties deΩ, sera noté P(Ω) ={A:A⊂Ω}.
Inclusion : A est dit inclus dansB et on noteA⊆B si et seulement ∀x∈Ω (x∈A⇒x∈B). Égalité : A=B si et seulement siA⊂B etB⊂A
Réunion : de A et de B, noté A∪B, ( lire A unionB ), est l'ensemble des éléments appar- tenant à A ou àB.A∪B ={x∈Ω|(x∈A) ou (x∈B)}, c'est-à-dire que :
x∈A∪B si et seulement six∈Aou x∈B. La réunion d'une famille d'ensembles {(Ei)i∈I} est dénie par :
[
i∈I
Ei={x∈Ω|∃i∈I, x∈Ei}. Propriétés
associativité : (A∪B)∪C =A∪(B∪C) commutativité :A∪B =B∪A;
idempotence : A∪A=A; ∅ est neutre : A∪ ∅=A; Ω est absorbant :Ω∪A= Ω.
Intersection : de A et de B, noté A∩B, ( lire A inter B ), est l'ensemble des éléments appartenant à Aet à B.A∩B ={x∈Ω|(x∈A) et(x∈B)}, c'est-à-dire que :
x∈A∩B si et seulement six∈Aetx∈B. L'intersection d'une famille d'ensembles {(Ei)i∈I}est dénie par :
\
i∈I
Ei={x∈Ω|∀i∈I, x∈Ei}.
5
Propriétés associativité : (A∩B)∩C =A∩(B∩C) commutativité :A∩B =B∩A;
idempotence : A∩A=A; Ω est neutre :A∩Ω =A; ∅ est absorbant :∅ ∪A=∅.
Complémentaire de A est l'ensemble de élément de Ωqui n'appartiennenent pas àA; Il est notéAc,Ac={x∈Ω|x /∈A}c'est-à-dire que
x∈Ac si et seulement six∈Ωetx /∈A.
Le passage au complémentaire inverse la relation d'inclusion : A ⊂ B si et seulement si Bc⊂Ac
Cardinal : lorsqu'un ensemble A est ni, le nombre d'éléments est appelé cardinal de A et est noté#A, On a les propiétés suivantes
#∅= 0
#(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B) Si A∩B =∅ alors#(A∪B) = #A+ #B
On a les propriétés suivantes combinant la réunion, l'intersection et le complémentaire distributivité de l'intersection par rapport à la réunion
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∩[
i∈I
Bi=[
i∈I
(A∩Bi) distributivité de la réunion par rapport à l'intersection :
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∪\
i∈I
Bi=\
i∈I
(A∪Bi) Lois de Morgan
(A∪B)c=Ac∪Bc [
i∈I
Ei
!c
=\
i∈I
Eic (A∩B)c=Ac∪Bc
\
i∈I
Ei
!c
=[
i∈I
Eic
1.1. MODÈLE PROBABILISTE 7
1.1 Modèle probabiliste
1.1.1 Espace fondamental
Dénition 1. Une expérience aléatoire est expérience qui peut être répétée théoriquement aussi souvent que l'on veut, dans des conditions xées, dont on connaît l'ensemble des résultats possibles mais dont on ne peut prédire avec certitude le résultat que l'on obtiendra.
Dénition 2. L'espace fondamental d'une expérience est l'ensemble de tout les résultats possibles de cette expérience.
Exemples.
1) Le lancer d'un dé à six face : Ω ={1,2, ...,6}.
2) Le lancer d'une piece de monnaie : Ω ={P ile, F ace}.
3) On lance une pièce de monnaie jusqu'à obtenir Face. Les résultats possibles de cette expérience sont les nombres de fois ou on a lancé la pièce : Ω =N∗.
4) La durée de vie d'un être vivant : Ω =R+.
3) La trajectoire d'une feuille morte sur une surface d'eau plane D pendant un temps T : Ω =C([0, T], D)
1.1.2 Événements
Dénition 3. Un ensemble de parties A de Ω est appelé tribu (ou σ-algèbre) sur Ω s'il vérie les axiomes suivants :
i) Ω∈ A.
ii) Si A∈ Aalors Ac∈ A (Stabilité par passage au complémentaire)
iii) Si (An)n≥1 est une suite d'éléments de A,alors ∪n≥1An ∈ A (stabilité par réunion dénom- brable).
Le couple (Ω,A) est appelé espace probabilisable.
Propriétés SiA est une tribu surΩ, alors : l'ensemble vide ∅ ∈ A
Si(An)n≥1 est une suite d'éléments deA, alors∩n≥1An∈ A(stabilité par intersection dénom- brable)
Exemples élémentaires de tribus :
P(Ω)est une tribu, appelée tribu triviale. Dans le cas discret (c-à-dΩest ni ou dénombrable), on la prendra comme tribu.
A={∅,Ω} est une tribu, appelée tribu grossière.
Pour toutA⊂Ω,σ(A) ={∅, A, Ac,Ω}est une tribu, appelée tribu engendrée par A.
Vocabulaire
Si Aest un événement, pour chaque résultat ω de l'expérience aléatoire, ou bienω∈A: Dans ce cas on dit que A est réalisé.
ou bienω6∈A: on dit queA n'est pas réalisé.
La non-réalisation deA est appelé la réalisation de l'événement contraire deA.
La réalisation simultanée de deux événements AetB (A etB) est l'événementA∩B. La réalisation d'au moins un des deux événements AetB (A ou B) est l'événementA∪B.
Si A et B sont deux événements tels que A ⊂B, on dit que l'événement A entraîne (ou im- plique) l'événementB.
Le singleton{ω}est appelé événement élémentaire.
Ωest l'événement certain.
∅est l'événement impossible.
Deux événements A et B dont la réalisation simultanée est impossible (A∩B = ∅) sont dits incompatibles. Dans ce casA etB sont dits mutuellement exclusifs.
des événements dont l'union donne l'espace fondamental sot dits collictivement exhaustifs
1.1.3 Probabilité
Dénition 4. : Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilité une application P: A −→Rayant les propriétés suivantes :
i) Pour tout A∈ A, P(A)≥0 ii) P(Ω) = 1
iii) Pour toute suite (An)n≥1 d'événements deux à deux incompatibles, P(∪n≥1An) =X
n≥1
P(An) (σ-addidivité).
Le triplet(Ω,A,P)est appelé espace de probabilité, ou espace probabilisé. Modéliser une expérience aléatoire, c'est se donner le triplet (Ω,A,P).
Exemple. Probabilité uniforme.
SiΩ est ni la probabilité uniforme est dénie par P(A) = #A
#Ω = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
Propriétés : 1. P(∅) = 0.
2. Pour tout événement A on aP(A)≤1.
3. Additivité de P : siA1, A2, ..., An sont névénements deux à deux incompatibles, alors P(A1∪A2∪...∩An) =P(A1) +P(A2) +...+P(An).
4. P(Ac) = 1−P(A).
5.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
6.
P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C).
7. Si A⊂B, alorsP(A)≤P(B). 8. P(A∩Bc) =P(A)−P(A∩B)
1.2. MODÈLES D'URNE : DIFFÉRENTS MODES DE TIRAGE 9
1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage
Dans de nombreuses situations une expérience aléatoire s'eectue en plusieurs étapes. Pour l'étude de tels cas il est souvent avantageux de faire appel aux modèles d'urne qui jouent un rôle important dans la modélisation probabiliste.
Considérons une urne qui contient N boules discernables par exemple numérotés de 1 à N.
L'expérience aléatoire à modéliser est le tirage de n boules dans cette urne. On note par E l'ensemble des boules dans l'urne, E={1,2, ..., N}. Le tirage peut s'eectuer de trois manières diérentes :
Tirage successif avec remise. Dans ce mode de tirage on tire une boule et on la remet dans l'urne puis on tire la suivante et on la remet jusqu'à tirernboules. Donc ici l'ordre dans le quel les boules sont tiré est important et les boules tirées peuvent se répétées. L'espace fondamental associé à ce mode de tirage est
Ω1 ={(x1, x2, ..., xn) :xi ∈E,∀1≤i≤n}=En.
On munitΩ1 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω1. Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. PourA∈ P(Ω2),
P(A) = #A
#Ω1 et on a#Ω1 = #(En) = (#(E))n=Nn
Tirage successif sans remise. Dans ce mode de tirage on tire lesnboules une à une sans les remettre dans l'urne. Donc icin≤N. L'ordre dans le quel les boules sont tiré est important mais les boules tirées ne peuvent pas se répétées. L'espace fondamental associé à ce mode de tirage est
Ω2 ={(x1, x2, ..., xn) :xi ∈E, xi6=xj∀i6=j}
n munit Ω1 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω2. Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. PourA∈ P(Ω2),
P(A) = #(A)
#(Ω2) et on a
#Ω2 =N(N −1)...(N−(n−1)) = N!
(N−n)! :=AnN. En eet, cela peut se montrer par recurrence surn:
Sin= 1 alorsΩ2={x:x∈E}=E. Donc#(Ω2) = #(E) =N.
Supposons le résultat vrai pour net montrons le pour n+ 1. Ceci est vrai car le nombre des tirages possibles de n+1 boules est égal au nombre des tirages possibles den boules multiplié par le nombre de tirage d' 1 boule de l'urne contenant à présent queN −n boules (carn ont déjà été tirés).
Remarque Le nombre AnN est le nombre des arrangements denparmi N. Sin=N c'est le nombre des permutations de l'ensemble E qu'on note σ(E), et#(E) =N!.
Tirage simultané (ou exhaustif) Dans ce mode les n boules sont tirées en une fois. Ici n ≤N, l'ordre n'importe pas et les boules ne peuvent pas se répéter. L'espace fondamental associé à ce mode de tirage
Ω3 ={A⊂E: #(A) =n}:=Pn(E) est l'ensemble de toute les parties deE den éléments.
On munitΩ3 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω3. Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. PourA∈ P(Ω3),
P(A) = #(A)
#(Ω3)
et on a
#Ω3 = N!
(N −n)!n! =CNn
En eet, posonsK = #(Ω3). Ainsi, en posantΩ3 ={A1, ..., AK}(lesAi sont distincts), il en résulte queΩ2 =σ(A1)∪, , ,∪σ(AK) et par consequent,
#(Ω2) =
K
X
i=1
#(σ(Ai)) Comme pour touti,#(Ai) =nalors#(σ(Ai)) =n!. Ainsi, on AnN =Kn!et par conséquent#(Ω3) =K =AnN/n! =CNn.
Remarque. L'ensembleΩ3 est notéPn(E) pour l'ensemble de parties deE de cardinal n. Le nombreCNn s'appelle le nombre des combinaison de nparmiN.
Le cardinal de l'ensembles des parties deE est égale à la somme des cardinaux des ensembles de cardinalnpourn= 1 àN. Il en résulte du binôme de Newton que
#(P(E)) =
N
X
n=0
CNn = 2N
Dans plusieurs cas une expérience aléatoire peut être regardé globalement ou partiellement comme un ou plusieurs tirages d'urne.
Exemples.
1) Le lancer d'un dé à six faces peut être vu comme un tirage d'une boule dans une urne contenant 6 boules. Donc #(Ω) = 6
2) Le lancer de 2 dés discernable peut être vu comme un tirage successif avec remise de 2 boules dans une urne contenant 6 boules. Donc #(Ω) = 62 = 36
3) La combinaison d'une serrure à 3 chires peut être regardée comme un tirage avec remise de 3 boules d'une urnes contenant 10 numérotes de 0 à 9. Donc #(Ω) = 103 = 1000.
4) Le tirage simultané de n d'une urne contenant N1 boules blanches et N2 boules noires peut être regardée de la manière suivante : pour k= 0à non eectue deux tirages simultanés : le premier de k boules dans urne contenant lesN1 boules blanches
le second de n−kboules dans une urne contenant les N2 boules noires Il en decoule que
CNn1+N2 =
n
X
k=0
CNk1CNn−k
2 . Le terme CNk
1CNn−k
2 correspond au nombre des possibilité de tirer k boules blanches et n−k boules noires. Il s'en suit que si, B est l'événement Parmi le nboules tirées, il y exactement k boules blanches, alors
P(B) = CNk
1CNn−k
2
CNn
1+N2
.
5) Dans un jeu de 32 cartes, une main de 8 cartes un tirage simultané de 8 parmi 32. Supposons que l'on cherche a calculer la probabilité de l'événement B = la main contient exactement 2 as et
P(B) = C42C286 C328 .
1.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE 11
1.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance
1.3.1 Probabilité conditionnelle
Dénition 5. Soient (Ω,A,P) une espace de probabilité et B un événement tel que P(B)6= 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel
P(A|B) = P(A∩B) P(B)
Proposition 1. (Formule des probabilités composées)
Soit B un événement tel que P(B)6= 0 alors, pour tout A∈ A, on a P(A∩B) =P(B)P(A|B).
Plus généralement, soit A1, ..., An tel que P(A1∩...∩An−1)6= 0, alors P(A1∩...∩An) =P(A1).P(A2|A1)...P(An|A1∩...∩An−1).
Dénition 6. On appelle système d'événements complet toute famille (Bn)n∈I, où I ⊂ N ni ou dénombrable, tel que
pour tout n, P(Bn)6= 0.
les événements Bn sont deux à deux incompatibles (mutuellement exclusifs) ∪n∈IBn= Ω (collectivement exhaustifs)
Proposition 2. Formule des probabilités totales (FPT)
Soit (Bn)n∈I un système d'événements complet alors pour toutA∈ A,
P(A) =X
n∈I
P(A∩Bn) (FPT 1ère forme)
=X
n∈I
P(A|Bn)P(Bn) (FPT 2ème forme) Exemple
- Soit B∈ Atel que 0<P(B)<1. Alors pour tout A∈ A, on a P(A) =P(A|B)P(B) +P(A|Bc)P(Bc)
- On considèrenurnes telles que l'urne numéroicontientiboules blanche etn−iboule noire. On choisit au hasard une urne et on en tire 1 boule. Qu'elle est la probabilité qu'elle soit blanche ? On poseBil'événement l'urne numéroiest choisie etAl'événement on tire une boule blanche.
La famille (Bi)ni=1 constitue une système d'événements complet. On a alors P(A) =
n
X
i=1
P(A|Bi)P(Bi)
Le choix de l'urne étant au hasard les événementsBi sont équiprobables etP(Bi) = 1/n. Sachant qu'on a choisit l'urne numéro ila probabilité de tirer une boule blanche est alorsP(A|Bi) =i/n.
D'ou
P(A) =
n
X
i=1
i n
1
n = n(n+ 1) 2n2 = 1
2 + 1 2n
Proposition 3. Formule de Bayes Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.
Alors
P(A|B) =P(B|A)P(A) P(B).
Soit (Bn)n∈I un système d'événements complet. Alors pour tout événementA∈ A on a P(Bj|A) = P(A|Bj)P(Bj)
P
n∈IP(A|Bn)P(Bn)
Exemple Reprenons l'exemple précédent. Sachant qu'on a tiré une boule blanche, quelle est la probabilité d'avoir choisis l'urne numéro i? On a
P(Bi|A) =P(A|Bi)P(Bi) P(A) = i
n
1 n n(n+1)
2n2
= 2i
n(n+ 1). A retenir :
- La notion de probabilité conditionnelle s'introduit naturellement chaque fois qu'on acquiert une information partielle sur le résultat d'une expérience aléatoire.
- Elle s'utilise aussi lorsqu'on se livre à deux expériences aléatoires successives telles que les conditions de la seconde sont fonction du résultat de la première.
1.3.2 Indépendance
Dénition 7. Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité.
Deux événements A et B sont dits indépendants siP(A∩B) =P(A)P(B).
Soit (An)n∈I, I ⊂N ni ou non. On dit que la famille {An} est mutuellement indépendante si pour tout J ⊂I
P
\
i∈J
Ai
!
=Y
i∈J
P(Ai)
Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les événements A= c'est un pique et B ="c'est un numéro" sont indépendants.
En eet, l'ensemble fondamentalΩ est l'ensemble des 32 cartes : 8 cartes (as-roi-dame-valet-10- 9-8-7) pour chacune des 4 couleurs (♠-pique, ♥-c÷ur, ♦-carreau, ♣-trèe). On munit Ω de la probabilité uniforme puisque le tirage se fait au hasard, d'où
P(A) = 8 23 = 1
4 Il y a 16 numéro (10- 9 -8-7 de chaque couleur), donc
P(B) = 16 32 = 1
2 Enn il y a 4 numéro de pique, donc
P(A∩B) = 1 8 = 1
2 1
8 =P(A)P(B).
Propriétés. Soient A etB deux événements de probabilité non nulle. Les trois conditions sont équivalentes :
i) AetB sont indépendants ii)P(A|B) =P(A)
iii) P(B|A) =P(B)
1.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE 13 Remarque. Les propriétés ii) et iii) justient le terme indépendants. En eet la probabilité d'un événement n'est pas modiée par le fait que l'on sache un événement indépendant réalisé.
Propriétés SiA etB sont deux événements indépendants, alors - A etBc sont indépendants
- Ac etB sont indépendants - Ac etBc sont indépendants
Propriétés Soit {Ai}i∈I une famille mutuellement indépendante et soit Bi tel que Bi =Ai ou Bi=Aci. Alors la famille{Bi}i∈I est mutuellement indépendante.
1.3.3 Diagramme en arbre
Il est souvent pratique de représenter les probabilités conditionnelles sous la forme d'un arbre.
À chaque branche est associé un événement. On indique sur la branche la probabilité d'observer l'événement conditionnellement à tous les événements rencontrés depuis le tronc. Les probabilités conjointes aux noeuds s'obtiennent alors par simples multiplications des probabilités condition- nelles en partant du tronc jusqu'au noeud considéré.
Exemple.
Exemple. On forme une équipe de 2 personnes par tirage au sort dans un groupe de 9 personnes dont 3 sont des lles. Quelle est la probabilité que l'équipe soit mixte ? Soit : F : lle, G : garçon.
1.4 Traveaux dirigés chpitre 1
Événement, probabilité.
Exercice 1. Soient AetB deux événements tels queP(A) = 0,2 etP(B) = 0,4. 1. Choisir pour P(A∩B) une des deux valeurs 0.15 ou 0.5. En déduireP(A∪B) 2. Choisir pour P(A∪B) une des deux valeurs 0.2 ou 0.5. En déduire P(A∩B) Exercice 1.
Trois boules sont tirées d'une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. Soient les événements
A : la première boule est blanche B : la deuxième boule est blanch C : la troisième boule est blanche
Exprimer les événements suivants en fonction de A, B et C D : la premiere boule est rouge
E : toutes les boules sont blanches
F : les deux premières boules sont blanches G : au moins une boule est blanche
H : seulement la troisième boule est blanche I : exactement une boule est blanche
J : au moins deux boules sont blanches K : aucune boule n'est blanche
Dénombrement.
Exercice 2. On suppose qu'il y 4 boules blanches et 2 boules rouges dans l'urne de l'exercice précèdent. Calculer les probabilités des événements A,B,...,K dans les cas suivants
1. le tirage est avec remise 2. le tirage est sans remise Exercice 3.
On place dans un sac 5 billets de 500MRO, 7 billets de 1000MRO et 10 billets de 2000MRO. On choisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d'être attrapé.
1. Quelle est la probabilité de n'avoir choisi aucun billet de 500 ?
1.4. TRAVEAUX DIRIGÉS CHPITRE 1 15 2. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu uniquement des billets de 2000 ?
3. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu au moins un billet de chaque valeur ?
4. On recommence l'expérience en tirant les billets un par un et en remettant le billet dans le sac après son tirage. Calculer les probabilités des trois événements ci-dessus dans cette nouvelle expérience.
Exercice 4.
Aurélie et Nicolas jouent aux dés. Ils lancent tour à tour 2 des et observent les chires sortis.
Quand la somme est 7 ou le produit 6, Aurélie marque un point ; quand la somme est 6 ou le produit 4, Nicolas en marque 1. Pour qui parieriez-vous ?
Conditionnement Exercice 5.
On jette 2 des équilibrés.
1. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux montre 6, sachant que les 2 résultats sont diérents ?
2. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux montre 6, sachant que leur somme vaut i ? Calculer le résultat pour toutes les valeurs possibles de i
Exercice 6.
Un certain système a 5 composantes. Une panne du système est causée 35%, 30 %, 20 %, 10 % et 5 % des fois par une panne dans les composantes A,B,C,D et E, respectivement. On suppose que les pannes simultanées dans plus d'une composante a la fois sont si rares qu'on peut les négliger.
1. Si une panne du système n'est pas causée par A, quelle est la probabilité qu'elle soit causée par B ?
2. Si une panne du système n'est causée ni par A, ni par B, quelle est la probabilité qu'elle soit causée par C ou D ?
Exercice 7.
Une compagnie d'assurance repartit les assures en 3 classes : personnes à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité qu'une personne soit impliquée dans un accident sur une période d'un an est respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30. On estime que 20
% de la population est à bas risque, 50 % à risque moyen et 30 % à haut risque.
1. Quelle est la proportion d'assurés qui ont eu un accident ou plus au cours d'une année donnée ?
2. Si un certain assuré n'a pas eu d'accidents l'année passée, quelle est la probabilité qu'il fasse partie de la classe à bas risque ?
Diagramme en arbre Exercice 8.
A Londres il pleut en moyenne 1 jour sur 2e t donc la météo prévoit de la pluie la moitié des jours. Les prévisions sont correctes 2 fois sur 3, c'est-à-dire les probabilités qu'il pleuve quand on a prévu de la pluie et qu'il ne pleuve pas quand on a prévu du temps sec sont égales à 2/3.
Quand la météo prévoit de la pluie, Mr. Pickwick prend toujours son parapluie. Quand la météo prévoit du temps sec il le prend avec probabilité 1/3. Calculer :
1. la probabilité que Mr. Pickwick prenne son parapluie un jour quelconque ; 2. la probabilité qu'il n'ait pas pris son parapluie un jour pluvieux ;
3. la probabilité qu'il ne pleuve pas sachant quil porte son parapluie.
Chapitre 2
Variables aléatoires
Sommaire
2.1 Variable aléatoire . . . . 18
2.2 Distribution d'une variable aléatoire . . . . 18
2.2.1 Fonction de répartition . . . 18
2.2.2 Fonction de masse et de densité . . . 19
2.3 Distribution conjointe . . . . 20
2.3.1 Distribution marginale . . . 20
2.3.2 Distribution conditionnelle . . . 20
2.3.3 Indépendance des variables aléatoires . . . 20
2.4 Caractéristique de distribution . . . . 20
2.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire . . . 20
2.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire . . . 21
2.4.3 Propriétés. . . 21
2.5 Travaux dirigés . . . . 23 Tout au long de chapitre des lettres majuscules commeX,Y,Z,.. seront utilisées pour désigner de variables aléatoires et des lettres minuscules comme x, y, z,.. seront utilisées pour désigner valeurs que peut prendre les variables aléatoires
2.0 Quelques rappels
2.0.1 Intégrales
Primitives usuelles. Ci-dessous quelques primitives de fonctions particulières
f(x) Domaine F(x)
a R ax+C
xa R∗ si a∈Z sinonR∗+ xa+1 a+1 +C
1
x R∗ ln|x|+C
ln(x) R∗+ x(ln(x)−1) +C
eax,a6= 0 R e
ax
Intégrale. Durant cette section nous désignons para F une primitive de la fonctionf. Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle[a, b],Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a); Exemple. Z 1
0
x2dx= x3
3 1
0
= 1
3 −0 = 1 3 Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle[a, b[,
Z b a
f(x)dx= lim
x→bF(x)−F(a); Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle]a, b],
Z b a
f(x)dx=F(b)− lim
x→aF(x); Exemple. Z 1
0
√1
xdx= 2√
x1
0= 2−0 = 2 17
Lorsque la fonctionf est continue sur l'intervalle[a,+∞[,Z +∞
a
f(x)dx= lim
x→+∞F(x)−F(a); Exemple.
Z +∞
1
1 x2dx=
−1 x
+∞
1
=−0 + 1 = 1 Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle]− ∞, b],Z b
−∞
f(x)dx=F(b)− lim
x→+∞F(x); Si H est une primitive deh alorsH(f(x))est une primitive de f0(x)h(f(x))
Exemple.
Z +∞
0
xe−x2dx=−1 2
Z +∞
0
−2xe−x2dx=−1 2
h e−x2
i+∞
0 =−0 + 2 = 2 Intégration par parties : est une technique utile dans le calcul d'intégarale. Soitf etgdeux
fonctions de primitives respectivesF etGalors on a Z b
a
f(x)G(x)dx= [F(x)G(x)]ba− Z b
a
F(x)g(x)dx.
Exemple.
Z +∞
0
xe−xdx= x2
2 e−x +∞
0
− Z +∞
0
−e−xdx= 0−0 + Z +∞
0
e−xdx=
−e−x+∞
0 = 0 + 1 = 1 2.0.2 Sommation
Binôme de Newton :(a+b)n=
n
X
k=0
Cnkakbn−k Suite géométrique :
n
X
k=0
qk= 1−qn+1 1−q
+∞
X
k=0
qk= 1 1−q
+∞
X
k=n
qk= qn 1−q
Exponentielle : ∀x∈R, ex=
+∞
X
k=0
xk k!
2.1 Variable aléatoire
Dénition 8. Une variable aléatoire est une fonction X qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel
Exemples.
On lance une piece de monnaie 3 fois de suite. L'espace fondamental associé à cette expérience est{P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P, F F F}. SiXdésigne le nombre de Pile obtenu alorsX(P P P) = 3,X(P P F) = 2,X(P F P) = 2,X(P F F) = 1,x(F P P) = 2,X(F P F) = 1, X(F F P) = 1 et X(F F F) = 0 Ici l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable X est {0,1,2,3}.
On lance une piece de monnaie jusqu'à obtenir Pile. Soit Xest le nombre de lancers eectués.
X est une variable aléatoire. L'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre estN∗.
On prélève une ampoule au hasard parmi une grande quantité et on désigne par X la durée de vie de cette ampoule.X est une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle positive. Donc l'ensemble des valeurs possible estR+
Dénition 9. Soit X une variable aléatoire. On note par X(Ω) l'ensemble des valeurs prises par X.
Si X(Ω)est de la forme {xi|i∈I} ou I est une partie de N, alors on dit que X est discrète
2.2. DISTRIBUTION D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE 19 Si X(Ω)est un intervalle ou une union d'intervalle de R, Alors X est dite continue.
Remarque. Dans l'exemple précédent les deux premières variables sont discrète et la dernière est continue.
2.2 Distribution d'une variable aléatoire
2.2.1 Fonction de répartition
Dénition 10. Soit X une v.a.. On appelle fonction de répartition de X, noté FX, la fonction dénie sur Rà valeurs dans [0,1]tel que FX(x) =P(X ≤x). Ici (X ≤x) ={ω∈Ω|X(ω)≤x}
Propriétés.
1. La fonction de répartition FX est croissante et à valeurs dans[0,1]. 2. On a limx→−∞FX(x) = 0 etlimx→+∞FX(x) = 1.
3. Pour tout x∈R P(X > x) = 1−FX(x)
4. Pour tout x, y∈R,P(x < X ≤y) =FX(y)−FX(x).
5. Si X est continue alors FX est continue et si X est discrète alorsFX est en escalier.
6. Pour tout x∈R,P(X =x) =FX(x)−limy→x−FX(y)
Exemple. On suppose que la productionX d'une centrale électrique a pour fonction de répar- tition la fonction
FX(x) =
0 six≤0
3
364(x+x33) si 0≤x≤7
1 six≥1
La probabilité que la production soit supérieur à 5 estP(X >5) = 1−P(X ≤5) = 1−FX(5) = 1−3364(5 + 533) = 1−0.38 = 0.62
2.2.2 Fonction de masse et de densité Dénition 11. Soit X une v.a.
Cas discret : pX(x) =P(X=x) est la fonction de masse de la v.a. discrèteX. Cas continu : fX(x) =FX0 (x) est la fonction de densité de la v.a. continueX.
Propriétés.
Cas discret 0≤pX(x)≤1 P(a≤X≤b) = X
a≤x≤b
pX(x)
X
x∈X(Ω)
pX(x) = 1 Cas continue
fX(x)≥0 P(a≤X≤b) =
Z b a
fX(x)dx=FX(b)−FX(a)
Z +∞
−∞
fX(x)dx= 1
Exemple. On considère une v.a. dont la fonction de densité est donnée par fX(x) =
c(1 +x2) si 0≤x≤7
0 sinon
Calculerc.
Pour que fX soit une densité il faut que 1 = R+∞
−∞ f(x)dx
= R0
−∞f(x)dx+R7
0 f(x)dx+R+∞
7 f(x)dx
= 0 +R7
0 c(1 +x2)dx+ 0
= c
[x]70+ hx3
3
i7 0
=c3643 D'où c= 3643
2.3 Distribution conjointe
Dénition 12. Soient X etX deux variables aléatoires
La fonction de repartition conjointe de X etY est FX,Y(x, y) =P(X ≤x, Y ≤y)
Si X et Y sont discrètes, la fonction de masse conjointe estpX,Y(x, y) =P(X=x, Y =y) Si X et Y sont continues, la fonction de densité conjointe estfX,Y(x, y) = ∂2
∂x∂yFX,Y(x, y)
2.3.1 Distribution marginale
Dénition 13. Soient X etX deux variables aléatoires
La fonction de repartition marginale de X est FX(x) = lim
y→+∞FX,Y(x, y) et celle de Y est FY(y) = lim
x→+∞FX,Y(x, y)
Si X et Y sont discrètes, la fonction de masse marginale de X estpX(x) = X
y∈Y(Ω)
pX,Y(x, y).
De même pour Y
SiXetY sont continues, la fonction de densité marginale deX estfX(x) = Z ∞
−∞
fX,Y(x, y)dy
2.3.2 Distribution conditionnelle
Dénition 14. Soient X etX deux variables aléatoires.
Si X et Y sont discrètes, et si pY(y) >0, la fonction de masse conditionnelle de X sachant queY =y estpX|Y=y(x) = pX,Y(x, y)
pY(y) .
Si X et Y sont continue et si fY(y) > 0, la fonction de densité conditionnelle de X est fX|Y=y(x) = fX,Y(x, y)
fY(y)
2.4. CARACTÉRISTIQUE DE DISTRIBUTION 21 2.3.3 Indépendance des variables aléatoires
Dénition 15. SoientXetY deux v.a. Elles sont dites indépendantes siFX,Y(x, y) =FX(x)FY(y)
Proposition 4. Soient X et Y deux v.a. Les propositions suivantes sont équivalentes X et Y sont indépendantes
fX,Y(x, y) =fX(x)fY(y) fX|Y=y(x) =fX(x) fY|X=x(y) =fY(y)
Remarque. Dans la dénition précédente f joue le role, de la fonction de densité si les deux variables sont continues, et le rôle de la fonction de masse si les deux sont discrètes.
2.4 Caractéristique de distribution
2.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire
Il est intéressant de dénir des quantités permettant de décrire les caractéristiques principales d'une distribution. Ceci facilite la comparaison de distributions entre elles. Quand nous tra- vaillerons au niveau de l'échantillon, il arrivera que l'on ne connaisse pas nécessairement les distributions impliquées, pourtant les mesures caractéristiques pourront toujours être estimées à partir de l'échantillon.
Espérance mathématique
Dénition 16. Soient X un v.a. et φune fonction. l'espérance mathématique (ou moyenne) de φ(X) est donnée par
Cas discret :E[φ(X)] = X
x∈X(Ω)
xpX(x) Cas continu :E[φ(X)] =+∞inf
−∞xfX(x)dx
φ(X) Nom donné à E[φ(X)] Symbole courant Utilité
X Moyenne µ Mesure de la tendance
centrale
(X−µ)2 Variance σ2 Mesure de la dispersion
autour de la moyenne X−µ
σ
3
Coecient d'asymétrie γ1 >0 indique une asymé- trie vers la droite ;
<0 indique une asymé- trie vers la gauche X−µ
σ
4
coecient d'aplatissement β2 <3 plus aplatie que la normale ;
>3 moins aplatie que la normale
X−µ
σ
n
moment centré réduit d'ordre n
Notes.
La racine de la variance s'appelle l'écart-type
Pour le calcul de la variance on utilise souvent la formule σ2=E[X2]−(E[X])2
σ/µest appelée coecient de variation qui sert à décrire l'importance relative de variation de la variable aléatoire.
Autre caractéristiques courantes
Quantile d'ordre p:Q(p) =x avec p=FX(p) donc Q(p) =FX−1(p) Médiane : Q(0.5)
Les quartiles : Q(0.25), Q(0.5)etQ(0.75) Écart interquartile : Q(0.75)−Q(0.25) Mode : xtel que fX(x) est maximale
2.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire
Outre les caractéristiques décrites à la section précédente pour chaque variable considérée sépa- rément (i.e. obtenue avec la distribution marginale), on peut dénir les caractéristiques suivantes pour les couples de variables aléatoires
Covariance : σXY = E[(X−µX)(Y −µY)] = E[XY]−µXµY. Il mesure la force du lien linéaire unissant les variables X etY. Peut être positif ou négatif. On aσXX =σX2
Coecient de correlation linéaire : ρXY = σXY
σXσY . Ce coecient est compris entre 1 et 1. La valeur 1 indique un lien linéaire parfait avec pente négative, 1 indique un lien linéaire parfait de pente positive, 0 indique absence de lien linéaire (il peut y avoir toutefois des liens non-linéaires entre X et Y).
2.4.3 Propriétés.
1. E[aX] =aE[X]
2. E[aX+b] =aE[X] +b 3. E[aX+bY] =aE[X] +bE[Y] 4. E[XY] =E[X]E[Y] +cov(X, Y)
5. Si X etY sont indépendantes alors E[XY] =E[X]E[Y] 6. E
" n X
i=1
Xi
#
=
n
X
i=1
E[Xi]
7. Si X1, X2, ...Xn sont indépendantes alors V ar
" n X
i=1
Xi
#
=
n
X
i=1
V ar[Xi]
2.5. TRAVAUX DIRIGÉS 23
2.5 Travaux dirigés
Exercice 1. Une personne possède 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle les essaie au hasard en éliminant celles qui ne marchent pas. On pose X le nombre d'essais pour ouvrir la porte.
1. Calculer la fonction de masse de X
2. Calculer la probabilité qu'il faut au moins deux essais pour ouvrir la porte 3. Calculer le nombre d'essais moyen.
Exercice 2. On considère le jeu suivant : le joueur lance d'abord un dé non truqué. S'il obtient 1, 2 ou 3, il gagne l'équivalent en unités moanitaire (c'est-à-dire 1 unité s'il obtient 1, par exemple).
Sinon, il perd 2 unités. On noteX la variable aléatoire correspondant au gain du joueur (négatif en cas de perte).
1. Donnez la loi de X et sa fonction de répartition FX 2. Calculez l'espérance de X.
3. Calculez la variance de X.
4. On modie le jeu de la façon suivante : les gains restent les mêmes pour les résultats 1, 2 ou 3, mais si le joueur obtient autre chose, il relance le dé. S'il obtient 3 ou moins, il gagne 3 unité, sinon il perd 5 unité.
(a) Donnez la loi deY (qui désigne de nouveau le gain du joueur) et calculez son espérance (b) Quelle variante du jeu est la plus avantageuse pour le joueur
Exercice 3.
Le temps d'attente (en mn) d'un client devant un guichet est une v.a. continue dont la fonction de densité est donnée par
0 six <0
1
2 si 0≤x <1
3
2x4 six≥1 1. Vérier que c'est une fonction de densité
2. Déterminer la fonction de répartition en en déduire la probabilité que le client attends plus de 3 mn
3. Si le client a attendu 1 mn, quelle est la probabilité qu'il attends encore 2 mn ? 4. Calculer la durée d'attente moyenne
5. Calculer le durée d'attente médiane Exercice. 4
Dans une petite ville la production électrique X et la demande en électricité Y quotidiennes en (Mwatt) sont deux v.a. dont la fonction de densité conjointe est donnée par
fX,Y(x, y) = 3
728(2 +x2−y) si 0≤x≤7, 0≤y≤2
0 sinon
1. Calculer les fonction de densité marginales de X et de Y.
2. Calculer la probabilité que la production ne dépasse pas 5 Mwatt 3. Calculer la probabilité que la demande ne soit pas satisfaite
4. Si la demande est maximale, quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas satisfaite
Chapitre 3
Lois usuelles
3.1 Lois discrète
Soit p∈]0,1[ etλ >0 3.1.1 Loi de Bernoulli
On appelle une épreuve de Bernoulli une experience aléatoire admettant deux résultats possible un échec ou un succès telle que la probabilité du succès est égale à p∈]0,1[. Soit X la variable aléatoire égale à 1 si le résultat de l'épreuve est un succès et 0 sinon. On a donc
X(Ω) ={0,1} et on apX(0) =P(X= 1) =petpX(1) =P(X= 0) = 1−p. On dit queX suit une loi de Bernoulli de paramètrep et on note X Ber(p). Pour une variable X qui suit une loi Bernoulli de paramètrep, on a
E(X) =p etσX2 =p(1−p) 3.1.2 Loi binomiale
Soit n∈N∗ et on considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer népreuve de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus à l'issu de cet expérience. L'ensembles des valeurs possibles pour X est alors
X(Ω) ={0,1, ..., n} et on apX(k) =P(X =k) =Cnkpk(1−p)n−k pourk∈ {0,1, ..., n}. On dit alorsX suit une loi binomiale de paramètre n etp et on note X B(n, p). Pour une variable X qui suit une loi binomiale de paramètrenetp, on a
E(X) =np etσX2 =np(1−p)
A retenir ! Le nombre de succès lors den épreuves indépendantes suit une une loi binomiale.
Remarque. Une loi de bernoulli est une loi binomiale avec n= 1 3.1.3 Loi géométrique
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une suite d'épreuve de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du premier succès obtenu (ou nombre d'epreuve pour avoir un succès). L'ensemble des valeurs possibles pour la variable X est
X(Ω) =N∗ et on aP(X =n) =p(1−p)n−1 pour toutn∈N∗.
On dit queX suit une loi géométrique de paramètre p et on note X Geo(p). Pour une variable X qui suit une loi géométrique de paramètre p, on a
E(X) = 1/p etσ2X = (1−p)/p2
A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier succès suit une une loi géométrique.
25
3.1.4 Loi binomiale négative
Soit r ∈ N∗. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une innité d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du r-ème succès obtenu.
L'ensemble des valeurs possibles pour la variableX est donc
X(Ω) ={r, r+ 1, ...}et on a P(X=n) =Cn−1r−1pr(1−p)n−r pour tout n≥r.
On dit queX suit une loi Binomiale négative de paramètrer et p et on note X Bn(r, p). Pour une variable X qui suit une loi binomiale négative de paramètrer etp, on a
E(X) =r/p etσX2 =r(1−p)/p2
A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier r succès suit une une loi binomiale négative.
3.1.5 Loi hypergéométrique
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer un tirage simultané de nboules dans une urne qui contientN1 boules blanche etN2 boule noire. SoitX la variable aléatoire égale au nombre des boules blanches tirées. L'ensembles des valeurs possibles pour X est
X(Ω) ={n, ..., n} et on aP(X =k) = C
k N1Cn−kN
2
CNn
1+N2
.
On dit queX suit une loi hypergéométrique de paramètresN1, N2, n et on note X H(N1, N2, n).
Pour une variable X qui suit une loi hypergéométrique de paramètreN1, N2 etn, on a
E(X) =n N1
N1+N2 etσ2X =n N1 N1+N2
1− N1 N1+N2
N1+N2−n N1+N2−1
3.1.6 Loi de poisson
Soit Xn une variable aléatoire de loi B(n, pn) tel que npn → λ. Alors la variable limite X des Xn, quand n→+∞est telle que
P(X=k) = λk!kexp(−λ),k∈N
Ainsi, le nombre d'occurrence d'un événement pendant un temps donné est modélisé par une loi de poisson de paramètre λouλest le nombre moyen d'apparition de cet événement pendant ce temps
On dit queX suit une loi de poisson de paramètre λet on note X P(λ).
Pour une variable X qui suit une loi de poisson de paramètreλ, on a E(X) =λetσ2X =λ
A retenir ! La loi de poisson modèlise le nombre d'occurrence d'un événement rare dans une période donnée.
3.2. LOIS CONTINUES 27
3.2 Lois continues
3.2.1 Loi uniforme
Dénition 17. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle[a, b]si sa fonction de densité est donnée par
fX(x) = 1
b−a si x∈[a, b]
0 sinom La fonction de répartition est donnée par
F(x) =
0 pourx < a x−a
b−a poura≤x < b 1 pourx≥b E(X) = a+b2 etσ2X = (b−a)12 2 3.2.2 loi exponentielle.
Dénition 18. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est donnée par
fX(x) =
λe−λx si x≥0
0 sinom
La fonction de répartition est donnée par F(x) =
(0 pour x <0 1−e−λx pour x≥0 E(X) =λ1 etσX2 = λ12
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillisse- ment, ou sans usure. Cette propriété se traduit mathématiquement par
∀(s, t)∈R+ 2, P(X > s+t|X > t) =P(X > s).
3.2.3 loi normale et ses dérivées.
Dénition 19. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètresm et σ2 si sa fonction de densité est donnée par
fX(x) = 1
√
2πσ2e−
(x−m)2 2σ2
E(X) =m etσX2 =σ2
Une loi normale est dite centrée lorsquem= 0 et réduite lorsque σ = 1.
Il n'existe pas d'expression analytique de la fonction de répartition, mais la fonction de réparti- tion, notée Φ, associée à la loi normale centrée et réduite est tabulée.
Propriétés.
∀x∈R,Φ(−x) = 1−Φ(x) Φ(0) = 1/2
SiX suit une loi normale de paramètres metσ2, alors X−m
σ suit une loi centrée et réduite.
Conséquence :∀x∈R,
P(X≤x) = Φ
x−m σ
Si deux variables aléatoiresX etY suivent des lois normales de paramètres respectifs(m1, σ21) et(m2, σ22 Z =X+Y suit une loi normale de paramètresm=m1+m2 etσ2 =σ21+σ22. Le rôle central de cette loi de probabilité vient du fait qu'elle est la limite d'un grand nombre de lois de probabilité, comme le montre le théorème central limite :
Soit X1, X2, ..., Xn une suite de résultats d'une même expérience aléatoire répétée de façon indépendante d'espérance m et de varianceσ2, alors
√n( ¯X−m)
σ →N(0,1)
En d'autre termesX¯ suit approximativement (lorsquenest grand) une loi normale de paramètres m etσ2/n et ceci quelque soit loi de départ de l'experience.
Application.
Les prix de certaines denrées sont données par une bourse, c'est le cas du cours du blé par exemple. Au temps t, le prix Z(t) évolue jusqu'au temps t+T. Les mathématiciens proposent un modèle en supposant que lnZ(t+T)−lnZ(t) suit une loi normale de moyenne nulle et de variance dépendant det et deT.
Dérivées de loi normale
Loi du Chi-deux. La loi du χ2 (prononcer khi-deux) est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).
SoientX1,...,Xk,k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennes respectives µi et d'écart-type σi; Yi=Xiσi−µi leurs variables centrées et réduites, alors par dénition la variable X , telle que
X : =Pk
i=1Yi2 =Pk i=1
Xi−µi
σi
2
suit une loi du χ2 àk degrés de liberté.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi du χ2 à kdegrés de liberté, on notera χ2(k) Alors la densité deX notéefX sera :
fX(t) =
1
2k2Γ(k2)tk2−1e−t2 si t≤0
0 sinon
où Γest la fonction Gamma d'Euler.
On a
E(X) =k etσX2 = 2k
La fonction de répartition de la loi deχ2 n'a pas de forme analytique connue mais on peut trouver ses valeurs dans des tables ou à l'aide de logiciels.
Cette loi est très utilisée en statistique, on l'utilise par exemple pour construire des intervalle de conance pour la variance lorsque la moyenne est connue.
Loi de Student. La loi de Student fait intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ2. Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du à k degrés de liberté. Par dénition la variableT = √Z
U/k suit une loi de Student àk degrés de liberté.
La densité de T, notéefT, est donnée par :
fT(t) = 1
√ kπ
Γ(k+12 ) Γ(k2)
1 +t2
k −k+12
où Γest la fonction Gamma d'Euler.
On a
3.2. LOIS CONTINUES 29 E(X) est indéterminée pour k= 1 et nulle pour k >1,
σX2 indéterminée pourk= 1, innie pourk= 2 et égale à k−2k pourk >2
La fonction de répartition de la loi deχ2 n'a pas de forme analytique connue mais on peut trouver ses valeurs dans des tables ou à l'aide de logiciels.
Cette loi est très utilisée en statistique, on l'utilise par exemple pour construire des inter- valles de conance pour moyenne lorsque la variance est inconnue.
Loi de Fisher. Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes,U1etU2, distribuées chacune selon une Loi duχ2 et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivementd1 etd2 :
F(d1, d2)∼ U1/d1
U2/d2.
3.3 Traveaux dirigés du chapitre 3.
Exercice 1.
Un épicier reçoit 100 pommes dont 10 % sont avariées. Il charge un employé de préparer des emballages de 5 pommes chacun. Celui-ci, négligeant, ne se donne pas la peine de jeter les fruits avaries. Chaque client qui trouve, dans l'emballage qu'il achète, 2 fruits ou plus qui sont avaries, revient au magasin se plaindre.
1. SoitX le nombre de pommes avariées dans un emballage. Determiner la loi de probabilité de X
2. Quelle est la probabilité pour qu'un client donne se plaigne auprès de son épicier ? Application numérique : C905 = 43949268,C904 = 2555190etC1005 = 75287520
Exercice 2.
Des etudes eectuées par les compagnies aériennes montrent qu'il y a une probabilité de 0,05 que chaque passager ayant fait une reservation n'eectue pas le vol. A la suite de ça, SA Airlines vend toujours 94 billets pour ses avions à 90 sieges, tandis que BA Airlines vend toujours 188 billets pour ses avions à 180 sieges.
1. On pose X le nombre de passagers ayant fait une reservation avec SA Airlines et qui n'eectuent pas le vol. Determiner la loi de X.
2. Determiner le nombre moyen de passagers des vols de SA Airlines
3. On pose Y le nombre de passagers ayant fait une reservation avec BA Airlines et qui n'eectuent pas le vol. Répondre aux questions précédentes pour Y.
4. Avec quelle compagnie un passager ayant reserve un siege risque-t-il le plus de ne pas pouvoir prendre place dans l'avion ?
Exercice 3.
Un étudiant appelle des entreprises pour décrocher un stage de n d'etude. On suppose qu'une entreprise répond favorablement 1 fois sur 10 et ceci indépendamment des réponses des autres entreprises. SoitX le nombre d'entreprises qu'il faut appeler pour décrocher le stage.
1. Quelle est la loi de la variable X.
2. Quelle est le nombre moyen d'appel qu'il faut eectuer
3. Calculer la fonction de reparation de X pour les valeurs entière.
4. Quel est le nombre minimum d'appel qu'il faut eectuer pour être sur a 90% de chance de décrocher le stage
Exercice 4.
Un commerçant estime que la demande d'un certain produit saisonnier est une variable aléatoire X de loi de poisson de paramètre 5.
1. Determiner la demande moyenne
2. Si le commercant d'un stock de 2 unites, calculer la probabilité de rupture de stock.
Exercice 5.
La durée de fonctionnement, en heures et sans panne, d'un appareil est une variable aléatoire X dont la fonction de densité est donnée par :
f(x) =
0.02e−0.02x si x≥0
0 sinon
1. Verier quefX est bien une fonction de densité.
2. Calculer la fonction de répartition de X
3. En déduire la probabilité des événements suivants : l'appareil tombe en panne avant 1000 h, l'appareil fonctionne après 2000 h et l'appareil tombe en panne entre 1000 et 2000h
3.3. TRAVEAUX DIRIGÉS DU CHAPITRE 3. 31 4. Si après 1000 h l'appareil fonctionne toujours, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne
avant 2000 h
5. Calculer la durée de vie moyenne de cet appareil Exercice 6.
D'après une étude récente, la taille X des femmes françaises est distribuée selon une loi normale de moyenne m = 1.58 et d'écart-typeσ= 0.06. Pour produire un stock de vêtements, un fabricant souhaite utiliser cette loi.
1. Calculer les trois quatiles : c.-à-d., les valeurs de q1, q2 et q3 tel que P(X ≤ q1) = 0.25, P(X≤q2) = 0.5etP(X≤q3) = 0.75
2. Il commence par déterminer un intervalle de la forme[m−a;m+a](donc symétrique autour de la moyenne) contenant en moyenne 90% (environ) des tailles des femmes françaises : calculer a.
3. Il en déduit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles[m−a;m−
a/3],[m−a/3;m+a/3]et[m+a/3;m+a]. Calculer le pourcentage de la production qui doit être aecté à chaque taille.
