2.5 Travaux dirigés
Exercice 1. Une personne possède 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle les essaie au hasard en éliminant celles qui ne marchent pas. On pose X le nombre d'essais pour ouvrir la porte.
1. Calculer la fonction de masse de X
2. Calculer la probabilité qu'il faut au moins deux essais pour ouvrir la porte 3. Calculer le nombre d'essais moyen.
Exercice 2. On considère le jeu suivant : le joueur lance d'abord un dé non truqué. S'il obtient 1, 2 ou 3, il gagne l'équivalent en unités moanitaire (c'est-à-dire 1 unité s'il obtient 1, par exemple).
Sinon, il perd 2 unités. On noteX la variable aléatoire correspondant au gain du joueur (négatif en cas de perte).
1. Donnez la loi de X et sa fonction de répartition FX 2. Calculez l'espérance de X.
3. Calculez la variance de X.
4. On modie le jeu de la façon suivante : les gains restent les mêmes pour les résultats 1, 2 ou 3, mais si le joueur obtient autre chose, il relance le dé. S'il obtient 3 ou moins, il gagne 3 unité, sinon il perd 5 unité.
(a) Donnez la loi deY (qui désigne de nouveau le gain du joueur) et calculez son espérance (b) Quelle variante du jeu est la plus avantageuse pour le joueur
Exercice 3.
Le temps d'attente (en mn) d'un client devant un guichet est une v.a. continue dont la fonction de densité est donnée par
0 six <0
1
2 si 0≤x <1
3
2x4 six≥1 1. Vérier que c'est une fonction de densité
2. Déterminer la fonction de répartition en en déduire la probabilité que le client attends plus de 3 mn
3. Si le client a attendu 1 mn, quelle est la probabilité qu'il attends encore 2 mn ? 4. Calculer la durée d'attente moyenne
5. Calculer le durée d'attente médiane Exercice. 4
Dans une petite ville la production électrique X et la demande en électricité Y quotidiennes en (Mwatt) sont deux v.a. dont la fonction de densité conjointe est donnée par
fX,Y(x, y) = 3
728(2 +x2−y) si 0≤x≤7, 0≤y≤2
0 sinon
1. Calculer les fonction de densité marginales de X et de Y.
2. Calculer la probabilité que la production ne dépasse pas 5 Mwatt 3. Calculer la probabilité que la demande ne soit pas satisfaite
4. Si la demande est maximale, quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas satisfaite
Chapitre 3
Lois usuelles
3.1 Lois discrète
Soit p∈]0,1[ etλ >0 3.1.1 Loi de Bernoulli
On appelle une épreuve de Bernoulli une experience aléatoire admettant deux résultats possible un échec ou un succès telle que la probabilité du succès est égale à p∈]0,1[. Soit X la variable aléatoire égale à 1 si le résultat de l'épreuve est un succès et 0 sinon. On a donc
X(Ω) ={0,1} et on apX(0) =P(X= 1) =petpX(1) =P(X= 0) = 1−p. On dit queX suit une loi de Bernoulli de paramètrep et on note X Ber(p). Pour une variable X qui suit une loi Bernoulli de paramètrep, on a
E(X) =p etσX2 =p(1−p) 3.1.2 Loi binomiale
Soit n∈N∗ et on considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer népreuve de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus à l'issu de cet expérience. L'ensembles des valeurs possibles pour X est alors
X(Ω) ={0,1, ..., n} et on apX(k) =P(X =k) =Cnkpk(1−p)n−k pourk∈ {0,1, ..., n}. On dit alorsX suit une loi binomiale de paramètre n etp et on note X B(n, p). Pour une variable X qui suit une loi binomiale de paramètrenetp, on a
E(X) =np etσX2 =np(1−p)
A retenir ! Le nombre de succès lors den épreuves indépendantes suit une une loi binomiale.
Remarque. Une loi de bernoulli est une loi binomiale avec n= 1 3.1.3 Loi géométrique
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une suite d'épreuve de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du premier succès obtenu (ou nombre d'epreuve pour avoir un succès). L'ensemble des valeurs possibles pour la variable X est
X(Ω) =N∗ et on aP(X =n) =p(1−p)n−1 pour toutn∈N∗.
On dit queX suit une loi géométrique de paramètre p et on note X Geo(p). Pour une variable X qui suit une loi géométrique de paramètre p, on a
E(X) = 1/p etσ2X = (1−p)/p2
A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier succès suit une une loi géométrique.
25
3.1.4 Loi binomiale négative
Soit r ∈ N∗. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une innité d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du r-ème succès obtenu.
L'ensemble des valeurs possibles pour la variableX est donc
X(Ω) ={r, r+ 1, ...}et on a P(X=n) =Cn−1r−1pr(1−p)n−r pour tout n≥r.
On dit queX suit une loi Binomiale négative de paramètrer et p et on note X Bn(r, p). Pour une variable X qui suit une loi binomiale négative de paramètrer etp, on a
E(X) =r/p etσX2 =r(1−p)/p2
A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier r succès suit une une loi binomiale négative.
3.1.5 Loi hypergéométrique
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer un tirage simultané de nboules dans une urne qui contientN1 boules blanche etN2 boule noire. SoitX la variable aléatoire égale au nombre des boules blanches tirées. L'ensembles des valeurs possibles pour X est
X(Ω) ={n, ..., n} et on aP(X =k) = C
k N1Cn−kN
2
CNn
1+N2
.
On dit queX suit une loi hypergéométrique de paramètresN1, N2, n et on note X H(N1, N2, n).
Pour une variable X qui suit une loi hypergéométrique de paramètreN1, N2 etn, on a
E(X) =n N1
N1+N2 etσ2X =n N1 N1+N2
1− N1 N1+N2
N1+N2−n N1+N2−1
3.1.6 Loi de poisson
Soit Xn une variable aléatoire de loi B(n, pn) tel que npn → λ. Alors la variable limite X des Xn, quand n→+∞est telle que
P(X=k) = λk!kexp(−λ),k∈N
Ainsi, le nombre d'occurrence d'un événement pendant un temps donné est modélisé par une loi de poisson de paramètre λouλest le nombre moyen d'apparition de cet événement pendant ce temps
On dit queX suit une loi de poisson de paramètre λet on note X P(λ).
Pour une variable X qui suit une loi de poisson de paramètreλ, on a E(X) =λetσ2X =λ
A retenir ! La loi de poisson modèlise le nombre d'occurrence d'un événement rare dans une période donnée.