[ Baccalauréat TL Métropole juin 1999 \
E
XERCICE1 4 points
Dans cet exercice, on donnera chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Une urne contient quatre boules blanches et cinq boules noires. Ces boules étant indiscernables au toucher, on conviendra que tous les tirages possibles d’une boule sont équiprobables.
1. On tire simultanément deux boules de cette urne. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur ?
2. On tire une boule et on la remet dans l’urne, puis on effectue un second tirage d’une boule.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir d’abord une noire, puis une blanche ? b. Quelle est la probabilité d’obtenir successivement une boule de chaque
couleur ?
3. On tire une boule et on note sa couleur. Si elle est noire on la remet dans l’urne, sinon on ne la remet pas. Dans les deux cas, on effectue un second tirage d’une boule.
Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ?
E
XERCICE2 5 points
1. SoitPla fonction définie surRpar
P(x)=x2+9x−4140.
a. CalculerP(60).
b. RésoudreP(x)=0 et en déduire le signe deP(x) en fonction dex.
c. Dresser le tableau de variations deP.
2. On dispose d’une subvention de 414 000 F pour atteindre dans un désert une nappe d’eau souterraine. Le coût du forage est fixé à 1 000 F pour le premier mètre creusé, 1 200 F pour le deuxième, 1 400 F pour le troisième et ainsi de suite en augmentant de 200 F par mètre creusé.
On désigne parunle coût en francs du dun-ième mètre creusé (n∈N∗).
a. Détermineru5. Préciser la nature de la suite (un) et exprimerun en fonc- tion den.
b. Pour tout entier non nuln, on désigne parSnle coût total en francs d’un puits denmètres (par exemple, le coût total d’un puits de 3 mètres est 1000+1200+1400=3600).
Montrer que le coût total d’un puits denmètres est 100n2+900n.
c. À l’aide de la question 1., indiquer la profondeur maximale du forage que l’on peut réaliser.
Baccalauréat TL A. P. M. E. P.
P
ROBLÈME11 points
On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal³ O,−→
ı ,→−
´, la courbeC tracée ci- dessous représente la fonctionf définie surRpar
f(x)=x+1 ex −x.
Le but du problème est d’étudier la fonctionf puis d’encadrer une intégrale.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaireg
Soitgla fonction définie surRparg(x)=x+ex.
1. Calculer la dérivée deget étudier les variations deg. Déterminer les limites degen+∞et en−∞.
2. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdansRet jus- tifier l’encadrement−0,57<α< −0,56.
3. En déduire le signe deg(x).
Partie B - Étude de la fonctionf et de la courbeC 1. Sachant que lim
x→+∞
ex
x = +∞, déterminer la limite def en+∞. On admettra que la limite def lorsquextend vers−∞est égale à−∞.
2. Montrer quef′(x)= −g(x)
ex . Déduire de lapartie Ale sens de variation def. 3. En utilisant la question 2. de lapartie A, montrer quef(α)= −1−1
α
−α.
4. Montrer que la droiteD d’équationy = −xest asymptote à la courbeC en +∞. Étudier la position deC par rapport à D et préciser les coordonnées de leur point d’intersection.
5. Montrer qu’il existe un point A deC tel que la tangente en ce point soit pa- rallèle àD.
Déterminer l’équation de cette tangente que l’on appellera T.
6. Construire sur le graphique ci-dessous les droitesDet T.
7. En observant la représentation graphique, indiquer quelles semblent être les valeurs dempour lesquelles l’équationf(x)= −x+m, d’inconnuex, admet une solution unique.
Partie C - Étude d’une intégrale On pose J =
Z0
−1f(x) dx.
1. À l’aide d’une interprétation graphique, justifier l’encadrement 1<J<2.
2. a. Calculer la dérivée de la fonctionFdéfinie surRparF(x)=(x+2)e−x. b. En déduire une primitive def surR.
c. Calculer la valeur exacte de J.
Métropole 2 juin 1999
