Commande par actions frontières d un système à paramètres distribués

(1)

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Commande par actions frontières d’un système à paramètres distribués

Pascal Dufour

To cite this version:

Pascal Dufour. Commande par actions frontières d’un système à paramètres distribués. Automatique / Robotique. 1995. �dumas-00354306�

(2)

This document must be cited according to its final version which is the Master of Science thesis:

Pascal Dufour¹,

« Commande par actions frontières d’un système à paramètres distribués »,

rapport de stage de fin d’études de DEA Automatique et Informatique Industrielle,

UCBL1, 1994-1995

Advisors : Laurence Gery-Josserand¹, Youssoufi Touré¹

All open archive documents of Pascal Dufour are available at:

http://hal.archives-ouvertes.fr/DUFOUR-PASCAL-C-3926-2008

The professional web page (Fr/En) of Pascal Dufour is:

http://www.lagep.univ-lyon1.fr/signatures/dufour.pascal

1

Université de Lyon, Lyon, F-69003, France; Université Lyon 1;

CNRS UMR 5007 LAGEP (Laboratoire d’Automatique et de GEnie des Procédés), 43 bd du 11 novembre, 69100 Villeurbanne, France

Tel +33 (0) 4 72 43 18 45 - Fax +33 (0) 4 72 43 16 99

http://www-lagep.univ-lyon1.fr/ http://www.univ-lyon1.fr http://www.cnrs.fr

(3)

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1

INSTITUT DES SCIENCES DE L'INGENIERIE

ET DEVELOPPEMENT TECHNOLOGIQUE

RAPPORT DE STAGE EN LABORATOIRE DE

DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES

D'AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

Presente par

Pascal DUFOUR

Sujet:

Commande par actions frontieres d'un systeme a parametres distribues

Directeur de stage: Youssou TOUR

E

Chercheur associe: Laurence GERY-JOSSERAND

LABORATOIRE D'AUTOMATIQUE ET DE GENIE DES PROCEDES

URA CNRS 1328

B^at 721, 43 bd du 11 Novembre 1918, 69622 VILLEURBANNE

(4)

Table des mati` eres

1 Introduction. 3

2 Présentation du procédé et du problème de commande. 4

2.1 Le syst`eme et son mod`ele physique. . . 4

2.2 Formulation sous forme d’op´erateurs. . . 6

3 Formulation généralisée de la commande frontière. 8 3.1 Le système d’état sous forme classique. . . 8

3.2 La structure de commande. . . 8

3.2.1 Les diff´erents mod`eles. . . 9

3.2.2 Le mod`ele ´etendu en boucle ouverte. . . 10

3.3 Le mod`ele en boucle ferm´ee. . . 11

3.3.1 La commande. . . 11

3.3.2 Stabilit´e et r´egulation : conditions. . . 12

4 Détermination de l’opérateur de distribution D et des conditions de faisabilité. 14 4.1 L’opérateur D de distribution des actions frontières. . . 14

4.2 Condition de stabilit´e. . . 15

4.3 Condition suffisante de faisabilit´e. . . 15

4.3.1 Expression de kimax. . . 15

4.3.2 Calcul des normes. . . 17

5 Simulation. 19 5.1 D´etermination de la condition suffisante de faisabilit´e. . . 19

5.2 R´eponses pour diverses configurations de fonctionnement. . . 19

5.2.1 R´eponses en r´egulation et en poursuite. . . 21

5.2.2 Cas bruit´e. . . 22

5.2.3 Erreur de mod´elisation. . . 23

6 Conclusions. 24

Bibliographie. 24

A Rappels d’analyse fonctionnelle. 25

(5)

B Détermination des termes de l’opérateur D. 27 B.1 Détermination de w₁ et w₄. . . 27 B.2 Détermination de w₂. . . 29 B.3 Détermination de w₃ et w₅. . . 29

(6)

Chapitre 1 Introduction.

Ce travail se place dans le domaine de la commande des systèmes à paramètres répartis régis par des équations aux dérivées partielles.

Il s’agit de complèter une approche étudiée au sein du Laboratoire [?] et de l’illustrer sur un exemple de commande concret : un échangeur de chaleur composé de deux tron¸cons d’échange dont on veut contrôler les sorties.

Dans la première partie de ce rapport, la description de l’exemple et la problématique de commande posée sont présentées. Au niveau de la théorie de la commande dans ce domaine, cette commande est dite frontière et une structure de commande par modèle interne est associée à son traitement. La seconde partie est dédiée à la présentation des outils théoriques nécessaires et aux résultats de commande dans un cas plus général.

Dans la troisième partie sont présentées les conditions de faisabilité et de stabilité (régulation) pour l’exemple de l’échangeur, notamment la détermination d’un opérateur de répartition des actions frontières au sein de l’ensemble du procédé.

La dernière partie concerne la simulation effective des résultats par la commande de l’échangeur pour diverses configurations de fonctionnement.

(7)

Chapitre 2

Pr´ esentation du proc´ ed´ e et du probl` eme de commande.

2.1 Le syst` eme et son mod` ele physique.

L’exemple physique, support de ce travail, est un syst`eme d’´echangeurs thermiques en cascade :

– l’un fonctionnant en courant parallèle dont la température interne T_i est notée T_i¹(t, z), l’externe est notéeT_ep(t, z);

– le second fonctionnant en contre-courant dont la température interneT_i est notée T_i³(t, z), l’externe est notéeT_ec(t, z).

Entre ces deux échangeurs, la température Ti est notée T_i²(t, z).

-bb-error = =

(8)

Le but est d’obtenir une poursuite de trajectoire en temp´erature sur la sortie res- pective de chaque ´echangeur : ys₁ enz =L−ε etys₂ en z = 2L.

On a donc un fluide, de masse volumique %, de capacité calorifique C_p, qui circule à vitesse constante v_i dans le tube interne de diamètre d_i.

De même, un autre fluide circule à vitesse constante v_e dans les deux tubes externes de diamètre d_e. On note h le coefficient d’échange. On note a_i la surface d’échange par unité de longueur entre le tube interne et les tubes externes. Par la suite, on fait l’hypothèse que%, h,λ sont constants, que le système est isolé thermiquement de l’ex- térieur (pas de pertes) et que l’inertie thermique de la paroi des tubes qui séparent les deux fluides est négligeable. On pose S_e et S_i les sections traversées par les fluides.

Comme on a trois tron¸cons où les échanges énergétiques sont différents, on a trois bilans d’énergie à écrire .

– Pour 0< z ≤L−ε:





∂T_i¹

∂t =−v_i.^∂T_∂zⁱ¹ + _%.C^λ

p.^∂_∂z²^T2ⁱ¹ + _%.C^h.aⁱ

p.Si.(T_ep−T_i¹)

∂Tep

∂t =−ve.^∂T_∂z^ep − _%.C^h.a_p_.Sⁱ_e.(Tep−T_i¹) – Pour L−ε < z ≤L+ε:

n _∂T₂

i

∂t =−v_i.^∂T_∂zⁱ² +_%.C^λ_p.^∂_∂z²^T2ⁱ²

– Pour L+ε < z ≤2L:





∂T_i³

∂t =−v_i.^∂T_∂zⁱ³ +_%.C^λ_p.^∂_∂z²^T2ⁱ³ +_%.C^h.a_p_.Sⁱ_i.(T_ec−T_i³)

∂Tec

∂t =v_e.^∂T_∂z^ec − _%.C^h.a_p_.Sⁱ_e.(T_ec−T_i³) Les conditions initiales sont les suivantes :

– T_i^j(0, z) =T_i^j0 pour j ∈ {1,2,3}

– T_ep(0, z) =T_ep0 – T_ec(0, z) =T_ec0

L’objectif est de commander en asservissement la sortie de chaque échangeur. Ceci est réalisé grâce à la commande frontière exprimée dans les conditions aux limites

suivantes : ₍

u₁(t) =T_ep(t,0) u₂(t) =T_ec(t,2L)

Ces conditions sont associées à la condition d’entrée du fluide interne T_i¹(t,0) =T₀. Les sorties à commander sont les suivantes :

( ys1(t) = T_i¹(t, L−ε) ys₂(t) = T_i³(t,2L)

(9)

2.2 Formulation sous forme d’op´ erateurs.

En pratique, le fluide chauffant arrive par un tuyau de section non négligeable. En outre, l’impulsion de Dirac étant d’amplitude infinie, on a alors un opérateur frontière non borné. Pour avoir un opérateur borné, on écrit que les entrées s’appliquent sur de petites surfaces. On définit alors l’opérateur frontière F_b:

F_b = 1 δ

Ã 0 0 0 ^R₀^δ.dz 0 0 0 0 0 ^R_2L−δ^2L .dz

!

avec δ un petit r´eel positif, qui, avec la matrice Bb de commande :

B_b =

Ã 1 0 0 1

!

permet d’écrire l’équation suivante définie sur la frontière du système : F_bT(t, z) =B_bu(t)

o`u

T(t, z) est le vecteur d’´etat not´e (T_i¹ T_i² T_i³ T_ep T_ec)^t.

Pour les mêmes raisons que précédemment pour les entrées, on écrit l’opérateur de mesure C de la fa¸con suivante :

C= 1 δ

Ã R_L−ε

L−ε−δ.dz 0 0 0 0

0 0 ^R_2L−δ^2L .dz 0 0

!

avecδ un petit r´eel positif, on obtient alors l’´equation de sortie :

Y(t) =CT(t, z).

On définit également l’opérateur différentiel Ad qui s’applique à l’état T(t, z) :

A_d=







λ

%Cp

∂²

∂z² −v_i_∂z^∂ −_%C^ha_p_Sⁱ

i 0 0 _%C^ha_p_Sⁱ

i 0

0 _%C^λ_p_∂z^∂²2 −vi ∂

∂z 0 0 0

0 0 _%C^λ_p_∂z^∂²2 −v_i_∂z^∂ − _%C^ha_p_Sⁱ

i 0 _%C^ha_p_Sⁱ

hai i

%CpSe 0 0 −v_e_∂z^∂ −_%C^ha_p_Sⁱ_e 0

0 0 _%C^ha_p_Sⁱ_e 0 v_e_∂z^∂ − _%C^ha_p_Sⁱ_e







Le modèle du système s’écrit alors : (Ms)







T˙(t, z) =AdT(t, z) dans le domaine Ω F_bT(t, z) = B_bu(t) sur la fronti`ere ∂Ω Y(t) = CT(t, z)

(10)

o`u :

Ω = {z /0≤z ≤2L}

∂Ω ={0} ∪ {2L}

L’état T ∈ X, un espace de Hilbert. L’opérateur A_d est supposé être un opérateur li- néaire fermé à domaineD(A_d) dense dansX, générateur d’unC₀-semigroupe borné exponentiellement stable. L’opérateur frontièreF_b est linéaire à domaineD(F_b)⊃D(A_d).

Le vecteur de commande u(t) ∈ IR², l’op´erateur B_b ∈ L(IR²,X). Le vecteur de sortie y(t)∈IR² etC ∈ L(X,IR²).

(11)

Chapitre 3

Formulation g´ en´ eralis´ ee de la commande fronti` ere.

3.1 Le syst` eme d’´ etat sous forme classique.

On va maintenant utiliser un changement de variable pour écrire le système sous une forme plus classique pour un système dynamique linéaire. Pour cela, on définit :

– un opérateur A linéaire fermé à domaineD(A) dense dans X et générateur d’un C₀-semigroupe borné tel que :

Aζ(t) = A_dζ(t) ∀ ζ ∈D(A_d) avec D(A) = {ζ(t)∈D(A_d) / F_bζ(t) = 0}.

– l’op´erateur D∈ L(IR²,X) tel que R(D)⊂N(A_d), le noyau deA_d et tel que F_b(Du(t)) = B_bu(t).

On pose alors le changement de variable T(t) = ζ(t) +Du(t), qui permet d’´ecrire le syst`eme sous la forme suivante :

ζ(t) =˙ Aζ(t)−Du(t)˙ avec ζ(0) =T(0)−Du(0).

3.2 La structure de commande.

Le but, avec cette structure de commande, est de d´eterminer une loi de commande u(t) telle que :

– on ait une poursuite asymptotique de trajectoire, – le syst`eme boucl´e soit stable.

On utilise alors la structure de commande par modèle interne suivante : c’est une structure robuste dans la mesure où les erreurs de modélisation ainsi que les perturbations et les bruits de sortie sont filtrés et compensés grâce aux dynamiques de poursuite et

(12)

de r´egulation des syst`emes M_r etM_p, tout en permettant l’application d’une consigne variable v(t) :

-bb-error = =

3.2.1 Les diff´ erents mod` eles.

– Le mod`ele de ref`erence (M_r), stable, permet de fixer une dynamique de poursuite entre les sorties et leur consigne.

(M_r)

( x˙r(t) = Arxr(t) +Brv(t) y_r(t) =C_rx_r(t)

Avect ≥0; x_r(0) = 0; A_r, B_r, C_r ∈ IR^2×2 . Pour ce mod`ele, on fera l’hypoth`ese suivante :

– (H₁) : Les matricesC_r, A_r et B_r peuvent ˆetre choisies telles que :

−C_rA⁻¹_r B_r =I c’est-`a-dire,

t→∞lim[y_r(t)−v(t)] = 0

Ceci traduit le fait que la sortie de ce modèle suit asymptotiquement la consigne de référence.

On fait une hypoth`ese sur le vecteur de consigne : – (H₂) :v(t) est continu, born´e sur [ 0, +∞[

Ceci repr´esente une contrainte physiquement r´ealisable pour les consignes en

´echelon et en porte adoucie utilis´ees ici.

– Le filtre (M_p), stable, permet de rejeter les bruits de mesures parasites, les erreurs de modèle et les perturbations non mesurées en sortie du procédé.

(13)

(M_p)

( x˙_p(t) =A_px_p(t) +B_pe(t) y_p(t) = C_px_p(t)

Avect ≥0; x_p(0) = 0; A_p, B_p, C_p ∈ IR^2×2 . Pour ce mod`ele, on fera l’hypoth`ese suivante :

– (H₃) : Les matricesC_p, A_p etB_p peuvent ˆetre choisies telles que :

−C_pA⁻¹_p B_p =I c’est-`a-dire,

t→∞lim[y_p(t)−v(t)] = 0 On fait une hypoth`ese sur le vecteur erreur :

– (H₄) :e(t) est continue, born´ee sur [ 0 , +∞ [, et est telle que : pourε >0,∃ t₀ tel que :

ke(t)−e(s)kIR² ≤ε ∀ t, s ∈[t₀ , +∞ [

Ce qui signifie qu’`a partir d’un certain temps, l’erreur varie peu et est compens´ee par l’action de la commande.

3.2.2 Le mod` ele ´ etendu en boucle ouverte.

On peut regrouper tous ces systèmes dans un seul modèle étendu en boucle ouverte :





ζ(t)˙

˙ xr(t)

˙ x_p(t)



=





A 0 0

0 A_r 0 0 0 Ap









ζ(t) x_r(t) xp(t)



−





D 0 0



u(t) +˙





0 0

B_r 0 0 Bp





Ã v(t) e(t)

!

Avec : _



ζ(0) xr(0) x_p(0)



=





T(0)−Du(0) xr(0) x_p(0)





Alors, en posant :

˜ x(t) =





ζ(t) xr(t) x_p(t)



 , A˜ =





A 0 0

0 Ar 0 0 0 A_p



 , D˜ =





D 0 0



 , E˜_r =





0 Br

0



 , E˜_p =





0 0 B_p





On écrit le modèle étendu en boucle ouverte :

˙˜

x(t) = ˜A˜x(t)−D˜u(t) +˙ ^³ E˜_r E˜_p ^´

Ã v(t) e(t)

!

o`u

˜

x∈X˜ =X⊕IR²⊕IR², D˜ ∈L(IR²,X),˜ E˜_r ∈L(IR²,X),˜ E˜_p ∈L(IR²,X).˜ De plus, Ã engendre unC0-semigroupe borné exponentiellement stable dans L( ˜X), du fait de la stabilité de chaque sous-modèle :

kTA˜(t)k≤Me˜ ⁻^wt^˜ avec ˜M ≥1, w >˜ 0, t≥0.

(14)

3.3 Le mod` ele en boucle ferm´ ee.

3.3.1 La commande.

Afin de réaliser l’objectif de poursuite de référence, on réalise le bouclage par une commande intégrale :

u(t) = k_iK_iξ(t),

avecξ(t) une variable définie sur l’écart entre la sortie du modèley(t) et la sortie désirée y_ε(t) :

ξ(t) =

Z _t

0 [y(τ)−y_ε(τ)]dτ =

Z _t

0 [y(τ)−y_r(τ) +y_p(τ)]dτ,

que l’on remplace dans l’expression de la commande. On obtient alors l’expression de la d´eriv´ee de u(t) :

Du(t) =˙ k_iDK_iCζ(t)−k_iDK_iC_rx_r(t) +k_iDK_iC_px_p(t) +k_i²DK_iCDK_iξ(t), qui nous permet d’écrire le système en boucle fermée, en augmentant le vecteur d’état avec la nouvelle variable ξ(t) :

Ã x(t)˙˜

ξ(t)˙

!

=

Ã A˜−k_iDK˜ _iC˜ −k_i²G˜ C˜ k_iCDK_i

! Ã x(t)˜ ξ(t)

!

+

Ã E˜r E˜p

0 0

! Ã e(t) v(t)

!

o`u

C˜ =^³ C −C_r C_p ^´ , G˜ =





DK_iCDK_i 0 0



.

On écrit finalement le système en boucle fermée sous une forme classique :

˙

x_a(t) = A(k_i)x_a(t) +Bf(t) où l’opérateur de la boucle fermée s’écrit :

A(k_i) =

Ã A˜−k_iDK˜ _iC˜ −k²_iG˜ C˜ k_iCDK_i

!

avec :

x_a ∈X_a = ˜X⊕IR², D(A(k_i))⊂X_a, B ∈L(IR²⊕IR², X_a), C˜ ∈ L( ˜X,IR²), G˜ ∈ L(IR²,X) et f(t) =˜

Ã e(t) v(t)

!

qui représente la nouvelle entrée du système.

On peut alors réécrire l’opérateur en boucle fermée sous la forme suivante : A(k_i) = A_e+k_iA⁽¹⁾_e +k_i²A⁽²⁾_e

(15)

o`u :

Ae =

Ã A˜ 0 C˜ 0

!

repr´esente la boucle ouverte (ki = 0) et o`u A⁽¹⁾_e =

Ã −DK˜ _iC˜ 0

0 CDKi

!

, A⁽²⁾_e =

Ã 0 −G˜

0 0

!

sont des op´erateurs born´es dans L(X_a).

De plus, A_e est un générateur infinitésimal d’un C₀-semigroupe borné car il peut être vu comme une perturbation bornée de :

Ã A˜ 0 0 0

!

AlorsA(k_i) est également générateur d’un C₀-semigroupe borné.

3.3.2 Stabilit´ e et r´ egulation : conditions.

Tout d’abord, il vient de la forme de A_e que son spectre s’´ecritσ(A_e) =σ( ˜A)∪ {0}.

Puisque Ã est un générateur d’un semigroupe exponentiellement stable : sup{<(λ);λ∈σ( Ã)}=σo <0,

et une ligne verticale peut séparerσ( Ã) et le point isolé{0}. On dit alors que le système augmenté en boucle ouverte vérifie l’hypothèse de décomposition spectrale. Josserand- -Touré, Pohjolainen ont démontré [?] [?], que cette séparation reste alors valable pour le système en boucle fermée pour des valeurs suffisament petites de k_i, en particulier, s’il est inférieur à une certaine limite donnée par l’expression suivante :

0≤k_i < k_i_max avec

k_i_max = min

λ∈Γ(akR(λ, A_e)k+ 1)⁻¹ Γ∈%(A_e) et

a=max(kA⁽¹⁾_e k,kA⁽²⁾_e )k.

Nous allons ensuite donner les conditions sur la matrice de réglage K_i garantissant la stabilité du système en boucle fermée. Pour cela, nous utilisons des résultats de stabilité donnés par [?] [?] basés sur la théorie des opérateurs et de la perturbation des semigroupes [?] avec une approche spectrale. Rappelons pour cela quelques résultats connus dans ce domaine.

Soient ρ(A_F) etσ(A_F), l’ensemble résolvant et le spectre d’un opérateur A_F qui est un générateur infinitésimal d’un C₀-semigroupe borné T_AF(t) dans un espace de Hilbert.

”L’ordre” deA_F not´eω_o(A_F) = lim_t→+∞ (LnkT_AF(t)k/t) existe et est born´e, ([?] [?]).

A_F est dit satisfaire l’hypoth`ese de croissance spectrale si [?] :

ω_o(A_F) =sup { <[σ(A_F)]}. (3.1)

(16)

Alors, il est connu que si A_F satisfait (3.1) et sup{<[σ(A_F)]} < 0 alors T_AF(t) est exponentiellement stable :kT_AF(t)k ≤Mβe^−βt β >0 Mβ ≥1 [?]. Ce qui implique que sous l’hypothèse de croissance spectrale, la stabilité interne découle de l’appartenance du spectre au demi plan gauche ouvert du plan complexe. Par ailleurs, la condition (3.1) est remplie entre autre si AF est borné ou si T_AF(t) est un semigroupe compact ou analytique (holomorphe).

Il s’en suit alors le théorème sur la stabilité [?] qui nous donne la condition sur K_i: Théorème 1 : On suppose que :

rang[CD] =p, si Ki ∈L(IR^p , IR^m) est choisie telle que

<[σ(CDK_i)]<0

alors le syst`eme en boucle ferm´ee est stable pour tout0≤k_i < k_i_max.

Nous avons posé la stabilité du système, la commande étant un intégrateur, la régula- tion de la sortie du système à la consigne de référence doit être effective. Nous donnons alors le résultat de régulation suivant garantisssant le bon comportement asymptotique du système :

Théorème 2 : On fait l’hypothèse que les opérateurs bornés de dimension finie dans les modèles(M_r)et (M_p) vérifient(H₁) (H₂) (H₃) et(H₄), on suppose aussi que l’opé- rateur en boucle fermée A(k_i)est un générateur d’un C₀-semigroupe borné exponentiel- lement stable, alors le système commandé a le comportement asymptotique suivant :

t→∞lim[y_s(t)−v(t)] = 0.

La preuve de ce r´esultat est donn´ee dans [?], [?].

(17)

Chapitre 4

D´ etermination de l’op´ erateur de distribution D et des conditions de faisabilit´ e.

4.1 L’op´ erateur D de distribution des actions fron- ti` eres.

Le but ici est d’expliciter l’expression de l’opérateur borné de ”distribution de la commande” D défini au 3.1 pour notre système d’échangeurs de chaleur. Il est alors déterminé par la relation :

R(D)⊂N(A_d), associ´ee aux conditions aux limites :

F_b(Du(t)) =B_bu(t).

Posons Du = w(t, z),avecw^t = (w1 w2 w3 w4 w5). On obtient alors les relations

suivantes : ₍

A_dw= 0 F_bw=B_bu,

et le problème revient à résoudre un système d’équations différentielles avec les conditions aux limites du modèle.

– Pour 0< z ≤L−ε:





−v_i.^∂w_∂z¹ +_%.C^λ_p.^∂_∂z²^w2¹ + _%.C^h.a_p_.Sⁱ

i.(w₄−w₁) = 0

−v_e.^∂w_∂z⁴ −_%.C^h.a_p_.Sⁱ_e.(w₄−w₁) = 0 – Pour L−ε < z ≤L+ε:

n −v_i.^∂w_∂z² +_%.C^λ_p.^∂_∂z²^w2² = 0

(18)

– Pour L+ε < z ≤2L:





−v_i.^∂w_∂z³ +_%.C^λ

p.^∂_∂z²^w2³ + _%.C^h.aⁱ

p.Si.(w₅−w₃) = 0 v_e.^∂w_∂z⁵ −_%.C^h.aⁱ

p.Se.(w₅−w₃) = 0

La résolution des systèmes d’équations se fait alors par substitution ce qui permet d’aboutir à des équations du second degré classiques. Le développement des calculs

étant donné en annexeB, on aboutit à la forme suivante pour l’opérateur D:

D(z) =







a(z) 0 b(z) 0 c(z) d(z) e(z) 0 f(z) g(z)







(4.1)

Comme w est représentatif de T, il est donc normal de retrouver dans la forme de D l’influence des différentes commandes u1(t) et u2(t) sur les états du système : T_i¹, T_i² ,T_ep dépendant seulement de u₁;T_i³ ,T_ec dépendant des deux entrées.

4.2 Condition de stabilit´ e.

Cette condition se traduit par la relation <(CDK_i)≤ 0 donnée dans le théorème 1, ce qui nous amène à calculer l’opérateur :

CD= 1 δ

Ã R_L−ε

L−ε−δa(z)dz 0

R_2L

2L−δc(z)dz ^R_2L−δ^2L d(z)dz

!

4.3 Condition suffisante de faisabilit´ e.

4.3.1 Expression de k

_i_max

.

On a vu au 3.3.2 une condition suffisante surkipour que la décomposition spectrale reste valable en boucle fermée. On peut alors l’écrire sous la forme suivante :

1

k_i >max

λ∈Γ(akR(λ, A_e)k+1) avec :

a=max(kA⁽¹⁾_e k,kA⁽²⁾_e k)

Il faut donc maximiser aet kR(λ, Ae)k(des r´eels positifs), pour trouver une approxi- mation de k_i_max, tout en le minorant.

(19)

Tout d’abord, il faut d´eterminer a: – calcul de la norme de A⁽¹⁾_e avec :

A⁽¹⁾_e =

Ã −DK˜ _iC˜ 0

0 CDK_i

!

. Alors :

kA⁽¹⁾_e k≤kDK˜ _iC˜ k+kCDK_i k. Comme ˜D =





D 0 0



, que ˜C =^³ C −C_r C_p ^´et que dans notre application C_r =C_p =I, on obtient :

kA⁽¹⁾_e k ≤ kDK_iCk+2 kDK_i k+kCDK_i k

kA⁽¹⁾_e k ≤ 2kDkkKi k(kC k+1). (4.2)

– calcul de la norme de A⁽²⁾_e avec : A⁽²⁾_e =

Ã 0 −DK_iCDK_i

0 0

!

.

Alors :

kA⁽²⁾_e k ≤ kDK_iCDK_i k

kA⁽²⁾_e k ≤ kDk²kKi k²kC k. (4.3)

Il reste à déterminer la norme de la résolvante kR(λ, A_e)kavec : Ae =

Ã A˜ 0 C˜ 0

!

,

qui s’´ecrit sous la forme suivante : R(λ, A_e) =

Ã R(λ,A)˜ 0

CR(λ,˜ A)˜

λ −I

λ

!

.

Il s’en suit que :

kR(λ, A_e)k≤kR(λ,A)˜ k(1+ k C˜

λ k)+| 1 λ |

(20)

Du fait de la stabilité de chaque modèle, l’opérateur de boucle ouverte Ãengendre un C₀-semigroupe borné exponentiellement stable dans L( ˜X). Alors, d’après [?], on peut dire que kR(λ,A)˜ k≤ _{λ+ ˜}^M^˜_w.

On veut maximiser kR(λ, A_e)k en fonction de λ ∈Γ. Vu l’expression ci-dessus, kλk doit ˆetre le plus faible possible : on prend alors Im(λ) = 0. Comme 0 6∈ Γ, on prend λ= ˜w, valeur que l’on d´eterminera avec ˜M, en simulation. On peut ainsi calculer une majoration de la norme de kR(λ, A_e)k par l’expression suivante :

kR(λ, Ae)k≤ 1

˜

w[1 + M˜

2 (1 + kC k+2

˜

w )] (4.4)

Vu les expressions (4.2), (4.3), (4.4), on a besoin des normes de k Dk, kK_i k, et kC k.

4.3.2 Calcul des normes.

– calcul de la norme de D avec :

kDk=kDk_L(IR²,X)

qui s’écrit, d’après la définition donnée en annexe A : kDk= sup

u∈IR² u6= 0

kDuk_X kukIR²

avec kDukX=kDukX1 +kDukX2 +kDukX3 +kDukX4 +kDukX5

et o`u l’espace X =X₁⊕X₂⊕X₃⊕X₄⊕X₅. On peut alors ´ecrire : _









(Du)_X₁ =au₁ (Du)_X₂ =bu₁ (Du)X3 =cu1+du2

(Du)_X₄ =eu₁ (Du)_X₅ =f u₁+gu₂ Comme on a trois domaines spatiaux,







Ω₁ ={z / 0< z ≤L−ε}

Ω₂ ={z / L−ε < z ≤L+ε}

Ω3 ={z / L+ε < z < 2L}

étant donné que les expressionsa(z), e(z) sont définies sur Ω₁, les normes dans X₁ et X₄ sont celles données par la norme L²(Ω₁) définie en annexe A. De même, la norme dans X2 est donnée par la norme L²(Ω2) et la norme dans X3 et X5 par la norme L²(Ω₃).

– calcul de la norme de K_i avec :

(21)

kK_ik=kK_ik

(IR²,IR²)

On prend la norme d´efinie par kK_ik=^qλ_max(K_i^tK_i) avecλ_max la valeur propre maxi- male de la matrice.

– calcul de la norme de C avec :

kCk=kCk_L(X,IR²)

que l’on r´e´ecrit :

kCk= sup

T∈X T6= 0

kCTkIR² kTk_X o`u

kCTk= ([T_i¹(L−²)]²+ [T_i³(2L)]²)^1/2 et

kTk_X =kT_i¹k_X₁ +kT_i²k_X₂ +kT_i³k_X₃ +kT_i⁴k_X₄ +kT_i⁵k_X₅.

A partir des expressions que l’on vient de d´eterminer, on peut alors calculer la valeur de k_i_max pour unK_i donn´e.

(22)

Chapitre 5 Simulation.

5.1 D´ etermination de la condition suffisante de fai- sabilit´ e.

Tout d’abord, nous donnons les valeurs numériques des normes afin de déterminer le k_i_max pour un K_i donné. L’expression du k_i_max est alors :

k_i_max = (8.11a+ 1)⁻¹ a= max(8.171kKik,3.257kKik²).

Ce qui donne, compte tenu des Ki choisis dans les fonctionnements :

– en r´egulation : kimax = 2.940 10⁻⁵ alors que l’on a pris 1.6 10⁻² comme r´eglage, – en asservissement : k_i_max = 2.389 10⁻⁵ alors que l’on a pris 4.2 10⁻².

Ceci montre bien que la condition de faisabilit´e sur k_i_max n’est qu’une condition suffisante et qu’elle est perfectible.

En adoptant pour K_i:

K_i =β[CD]⁻¹ avec β <0, on a bien <(CDK_i)≤0 et il vient que :

k_i_max = (8.11a+ 1)⁻¹ a= max(7.529|β |,2.765β²) Le r´eglage du correcteur s’effectue alors par un bon choix de β.

5.2 R´ eponses pour diverses configurations de fonc- tionnement.

Les valeurs numériques des différents paramètres sont les suivants : d_i = 3cm

(23)

d_e= 5cm L= 1.01m ε= 1cm

Qi= 30 10⁻³m³/h Qe= 735 10⁻³m³/h

%= 1000kg/m³ C_p = 4183J/kgK h= 750W/m²K λ= 0.6W/mK

Trois types de simulations ont été effectuées avec le logiciel ACSL : – réponses en boucle fermée sans bruit, sans erreur,

– pour analyser les effets de bruits de mesures et de perturbations non mesurées, en considérant qu’il n’y a pas d’erreur de modélisation,

– pour voir l’effet de la variation de coefficients due `a la temp´erature.

En effet, pour la modélisation, nous avons fait l’hypothèse que h était constant. En fait, ce paramètre variant non-linéairement en fonction de T, on fait donc une erreur de modélisation.

(24)

5.2.1 R´ eponses en r´ egulation et en poursuite.

On impose une consigne en échelon. Sur la f igure 1, on voit alors que la sortie ys₂ suit asymptotiquement sa consigne. Cependant, la dynamique de poursuite est médiocre : en introduisant un correcteur proportionnel [?], on obtiendrait de meilleurs résultats. La f igure 2 montre que la commande est admissible.

-bb-error = = -bb-error = =

−f igure 1− −f igure 2−

On impose maintenant un profil de température représentant une phase de démarrage, un plateau et une phase d’arrêt. On voit que l’objectif de régulation est atteint, la dynamique de poursuite étant relativement rapide et meilleure que dans le cas précédent, la commande étant toujours admissible.

(25)

5.2.2 Cas bruit´ e.

On introduit ici un bruit de variance 1.5 sur la sortie du proc´ed´e. On obtient alors, selon le type de consigne :

Malgrè la relative importance des bruits vis-à-vis des amplitudes des températures de sortie, ils n’ont que peu d’effets sur les objectifs de régulation et d’asservissement si ce n’est de légères oscillations. La commande ne subit également que peu de perturbations.

Ceci est normal dans la mesure où le filtre M_p est ajusté en fonction du bruit. Le problème principal réside donc en une connaissance de la bande passante de ce bruit pour déterminer le filtre correspondant.

(26)

5.2.3 Erreur de mod´ elisation.

Pour ces simulations, on a introduit une erreur de simulation au niveau du coefficient d’´echange de 65 % par rapport `a sa valeur nominale.

On vérifie une certaine robustesse de la structure de commande étant donné que l’objectif d’asservissement est atteint pour les sorties du procédé (f igure 9) bien que, comme on pouvait s’y attendre, ce ne soit pas le cas pour les sorties du modèle (f igure 10). En ce qui concerne la commande (f igure 11), elle reste encore admissible malgrè un premier dépassement qui a augmenté.

−f igure9− −f igure 10−

-bb-error = =

−f igure 11−

(27)

Chapitre 6 Conclusions.

Dans ce travail, nous avons considéré une approche physiquement réalisable quant

à la commande de l’échangeur. Cette approche a donc permis l’introduction de la commande frontière que l’on a associée à une structure de commande par modèle interne.

Pour écrire les équations physiques sous une forme plus classique de système d’état, on a alors introduit un opérateur de distributionD. Le problème principal réside alors dans le fait que l’on a pas une forme explicite de cet opérateur ce qui implique des calculs longs et fastidieux pour sa détermination.

Lors du calcul dek_i_max, nous avons vu que les valeurs théoriques obtenues (5.1) étaient très faibles. Avec ces valeurs, on revient alors à faire une commande en boucle ouverte.

Il serait donc intéressant de trouver une méthode permettant de déterminer une expression de k_i_max plus en rapport avec la limite réelle de la stabilité obtenue en simulation.

Lors de la simulation, le bouclage réalisé par commande intégrale s’est alors avéré robuste vis à vis des bruits, des perturbations et des erreurs de modélisation. Cependant, cette loi pourrait être améliorée en réalisant une commande de type proportionnel inté- gral [?], ce qui favoriserait de meilleurs performances en poursuite de trajectoire, alors qu’elles sont jusqu’ici assez moyennes.

Il serait également intéressant de prendre en compte la non-linéarité due au coefficient d’échange de chaleur. On pourrait alors introduire ce problème soit par l’étude d’opé- rateurs non-linéaires bornés, soit par une approche robuste étant donnée la plage de variation de ce coefficient dans la gamme de températures d’utilisation.

(28)

Annexe A

Rappels d’analyse fonctionnelle.

Nous donnons ici quelques rappels de d´efinitions de base.

– Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé complet dans lequel la norme est définie à partir du produit scalaire. On le noteraX.

– Un opérateur A sur X est une application linéaire définie de son domaine D(A) vers son image R(A) incluse dansX.

Un opérateur est à domaine dense dans X, s’il est défini presque partout dans X.

A est fermé si pour toute suite convergente (x_n) d’éléments de D(A) telle que (Ax_n) soit convergente, on a :

n→∞lim(xn) =x∈D(A) et lim

n→∞(Axn) =Ax.

– On définit l’espace L(V,Y) comme étant l’espace vectoriel des applications li- néaires bornées de V dans Y, une application bornée transformant toute partie bornée deV en un ensemble borné de Y.L(X,X) est notéL(X).

– On introduit également la notion de C₀-semigroupe qui est une application de IR⁺ dans L(X) telle que, pour l’opérateur A défini ci-dessus :







T(s+t) = T(s).T(t) 0 ≤s ≤t T(0) =I

kT(t)x₀−x₀ k→0 pour t →0⁺ Ax= 1

t[T(t)−I]x pour t→0⁺

AlorsAest générateur infinitésimal d’unC₀-semigroupeT_A(t) fortement continu.

En dimension finie, cela correspond à la matrice de transition d’état eÂt.

– On note R(λ, A) = (A−λI)⁻¹ la résolvante de l’opérateur A, σ(A) son spectre et%(A) son ensemble résolvant. σ(A) et %(A) sont complémentaires dans lC.

(29)

– Définition 1 On parle de décomposition spectrale si σ(A) contient une partie bornéeσ⁰ séparée du resteσ⁰⁰de telle sorte qu’une courbe régulièreΓ puisse conte- nir σ⁰ dans son intérieur et σ⁰⁰ dans son extérieur. Il s’en suit la décomposition de X =M⁰ +M⁰⁰ de manière à ce que le spectre de A sur M⁰, σ_A_M₀ soit égal à σ⁰ et celui de A sur M⁰⁰, σ_A_M00 soit égal à σ⁰⁰ avec A_M⁰ borné.

Enfin, on d´efinit la norme d’un op´erateur A:V →Y kAk=kA k_L(V,Y)= sup

v∈V v6= 0

kA(v)k_Y kv kV

Etant donn´e que nous utilisons des espaces IR² et X, on d´efinit une norme dans chaque espace :

– pour v ∈IR², kv k=kv kIR²= [< v, v >]^1/2

– pour x∈X, on prend la norme L²(Ω), kx k=kxk_X= [^R_Ω <x,x>]^1/2 Pour ´eviter les confusions dans la notation, chaque norme not´ee k . k est prise dans l’espace qui convient.