Mathématiques – Séries S – ES/L – ST2S – STMG PROBABILITÉS DISCRETES
FICHE DE RÉVISION DU BAC
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
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Note liminaire Programme selon les sections :
- probabilités d’événements indépendants : toutes sections - probabilités conditionnelles : STMG, ST2S, ES/L, S
- Epreuve de Bernouilli, loi binomiale, espérance, variance, écart-type : STMG, ES/L, S Prérequis
calcul de puissances
Plan du cours 1. Vocabulaire
2. Probabilités d’événements indépendants 3. Probabilités conditionnelles
1. Vocabulaire
On nomme cette section « probabilités discrètes » car les issues possibles des expériences aléatoires traitées sont en nombre fini. (« discret » s’oppose à « continu »)
Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut connaître le résultat a priori. Les résultats possibles sont appelées issues ou éventualités.
Ex : un lancer de dé est une expérience aléatoire. Il y a 6 issues possibles.
Univers :
L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble de ses issues possibles. On le note . Ex : pour le lancer de dé,
Evénement :
Un événement est un sous-ensemble de l’univers.
Ex : pour le lancer de dé, et sont des événements. Ils peuvent se formuler
« faire un nombre strictement inférieur à 3 » et « faire un nombre pair ».
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Evénement élémentaire :
Un événement élémentaire est un sous-ensemble de l’univers composé d’une seule issue.
Ex : est un événement élémentaire.
Cardinal :
Le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments dans cet ensemble.
Ex :
Evénement certain :
L’événement certains est l’événement constitué de toutes les issues possibles. C’est l’univers tout entier.
Ex : Il est certain en lançant un dé de faire soit 1, soit 2, soit 3, soit 4, soit 5, soit 6.
Evénement impossible :
L’événement impossible est l’ensemble vide .
Ex : Il est impossible en lançant un dé de ne faire aucun nombre.
Intersection d’événements :
L’intersection de deux événements A et B (notée ) est l’ensemble des issues qui sont à la fois dans A et à la fois dans B.
Ex : pour l’exemple précédent, . Union d’événements :
L’union de deux événements A et B (notée ) est l’ensemble des issues qui sont soit dans A soit dans B.
Ex : pour l’exemple précédent, .
Evénement contraire :
L’événement contraire d’un événement A (noté ) est l’ensemble des issues de l’univers qui n’appartiennent pas à A. On appelle aussi le complémentaire de l’événement A.
On a donc : et Ex : pour l’exemple précédent,
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Evénements incompatibles :
Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser simultanément (s’ils n’ont aucune issue en commun).
On a donc : (Deux événements contraires sont donc incompatibles.) Ex : pour l’exemple précédents, et sont incompatibles.
2. Probabilités d’événements indépendants
Loi de probabilité :
Soit une expérience aléatoire avec un univers . On dit qu’elle suit une loi de probabilité P si à chaque éventualité (avec ) on peut associer un nombre tel que :
-
- la somme des est égale à 1 ( )
- à chaque événement on peut associer le nombre
Le nombre est la probabilité de l’éventualité , le nombre est la probabilité de l’événement
Propriétés : -
- (probabilité de l’événement certain) - (probabilité de l’événement impossible) -
- si A et B sont incompatibles alors
-
d’où : si A et B sont incompatibles alors
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Définition :
On dit que n événements forment une partition de l’ensemble s’ils sont incompatibles entre eux (pour tout et pour tout ) et si
= .
On a alors pour tout k
et 1
Equiprobabilité :
On dit qu’il y a équiprobabilité quand toutes les éventualités (ou les événements élémentaires) ont la même probabilité.
Ex : Dans un lancer de dé, toutes les faces ont une probabilité de .
Dans le cas d’une équiprobabilité, on a :
Ex : La probabilité de l’événement (« faire un nombre strictement inférieur à 3 ») est .
La probabilité de l’événement (« faire un nombre pair ») est . Répétition d’expériences identiques et indépendantes :
Des expériences identiques sont des expériences qui ont les mêmes issues et probabilités associées.
Des expériences indépendantes sont des expériences dont les résultats ne s’influent pas mutuellement.
Ex : quand on lance un dé 3 fois successivement, il s’agit d’une répétition de 3 expériences identiques et indépendantes. Si on a fait un 6 au premier lancer, puis encore un 6 au deuxième lancer, la
probabilité de faire un 6 au troisième lancer sera toujours de .
Soit l’univers d’une expérience. Si on répète n fois cette expérience de manière indépendante alors le cardinal (l’ensemble des possibilités) de cette série d’expériences est
Ex : si on lance un dé 3 fois successivement, il y aura combinaisons possibles.
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Propriété :
Si A et B sont deux événements indépendants alors Arbre pondéré :
On peut représenter les événements d’une série d’expériences identiques et indépendantes répétées successivement par un arbre pondéré.
On inscrit les probabilités associées à chaque événement sur la branche correspondante de l’arbre.
Ex : Appelons « faire un nombre strictement inférieur à 3 au premier lancer », « faire un nombre strictement inférieur à 3 au deuxième lancer », « faire un nombre strictement inférieur à 3 au troisième lancer ».
On a par conséquent :
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Par exemple, la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 3 la première fois, puis des nombres supérieurs ou égaux à 3 ensuite est :
Variable aléatoire :
On dit qu’on définit une variable aléatoire X lorsqu’à chaque éventualité on associe un nombre.
Ex : Si dans un jeu de dé on perd 2 euros en faisant 1, on gagne 5 euros en faisant 6, et rien en faisant 2,3,4, 5, on définit une variable aléatoire.
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est l’ensemble des valeurs que peut prendre X ainsi que les probabilités associées.
Ex : pour le jeu de dé, l’ensemble des valeurs prises par X est et
Espérance :
Espérance associée à la variable aléatoire X ( et probabilités associées ) :
Dans le cadre d’un jeu d’argent, l’espérance est le gain moyen que l’on peut espérer toucher.
Ex : pour l’exemple précédent, . On peut espérer gagner en
moyenne 0,5 euros par lancer de dé.
Variance :
(« la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ») Ex : pour le jeu de dé,
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Ecart-type :
L’écart-type est l’écart moyen entre ce que l’on va réellement obtenir et l’espérance.
Ex : pour le jeu de dé, . Il y aura en moyenne 2,1 euros d’écart entre ce que l’on va réellement gagner ou perdre et le gain moyen de 0,5 euros.
Epreuve de Bernouilli :
Une épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire pour laquelle il n’y a que deux issues possibles. On appelle l’une « succès » et l’autre « échec ».
Si le succès a une probabilité , l’échec a donc une probabilité .
Ex : le lancer de dé peut être vu comme une épreuve de Bernouilli si l’on considère par exemple que
« faire un 6 » est un succès et « ne pas faire un 6 » est un échec.
La variable de Bernouilli est la variable aléatoire X qui au succès associe 1 et à l’échec associe 0. On appelle la loi de probabilité de X loi de Bernouilli.
Ex : pour l’exemple précédent, et .
Loi binomiale :
La loi binomiale s’applique à une série d’épreuves de Bernouilli répétées n fois à l’identique, pour lesquelles le succès a une probabilité p.
La variable aléatoire X correspond alors au nombre de succès obtenus lors de cette série de n épreuves de Bernouilli identiques.
On appelle la loi de probabilité de X loi binomiale de paramètres n et p. On la note . On a la formule suivante pour k entier tel que (k correspondant au nombre de succès) :
Propriétés :
Si X suit une loi binomiale , alors :
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Coefficient binomial :
On appelle le nombre coefficient binomial. Il se lit « k parmi n ». Il correspond au nombre de façons possibles de faire k succès parmi la série de n expériences.
Ex : pour 3 lancers de dés répétés, il y a 3 façons possibles de faire 2 fois un 6 (2 fois un « succès ») : un 6 au premier lancer et un 6 au deuxième, un 6 au premier et un 6 au troisième, un 6 au deuxième et un 6 au troisième.
(il y a environ 7% de chances de faire 2 fois un 6 en lançant 3 fois un dé)
Le coefficient binomial se calcule à la calculatrice, son expression n’est pas au programme. La voici néanmoins pour information :
Propriétés :
- et - pour k entier tel que - pour k entier tel que 3. Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles concernent des expériences aléatoires qui ne sont pas forcément indépendantes les unes des autres.
Définition :
Soient A et B deux événements tels que .
La probabilité que B advienne sachant que A est advenu est : Elle se lit « P de B sachant A ».
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Corollaire : On a donc :
Ex : Soit une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules blanches. On effectue deux tirages successifs sans remise (il y a donc 10 boules dans l’urne au premier tirage, puis 9 au deuxième tirage). Soit A « tirer une boule blanche au premier tirage » et B « tirer une boule blanche au deuxième tirage ».
Arbre pondéré :
- On inscrit sur chaque branche la probabilité conditionnelle associée.
- Pour obtenir les probabilités d’intersections d’événements on multiplie les probabilités associées sur chaque branche correspondante.
Ex : arbre pondéré de l’exemple précédent
- probabilité de tirer deux boules rouges :
- probabilité de tirer une boule rouge puis une boule blanche :
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Propriétés : -
- si A et B sont incompatibles alors et -
Formule des probabilités totales :
Soient n événements formant une partition de . Soit un événement B.
On a donc : Indépendance :
Si deux événements A et B sont indépendants alors et .
Si A et B sont indépendants, alors A et sont indépendants, et B sont indépendants, et sont indépendants.
