ECE1 Année 2016-2017
Fiche d’exercices : Intégrale généralisée
Exercice 1 : (∗)
Dans les cas suivants, dire si l’intégrale est convergente et si oui, la calculer.
1.
Z 0
−∞
e2tdt 2.
Z +∞
e
1
xln(x)dx 3.
Z +∞
0
1 (1 +x2)dx
4.
Z +∞
0
x
(1 +x2)2dx 5.
Z +∞
−∞
te−t2dt 6.
Z +∞
−∞
e−|t|dt
Exercice 2 : (∗) 1. Vérifier que 1
t2−1 = 1 2
Å 1
t−1− 1 t+ 1
ã . 2. Montrer que l’intégrale
Z +∞
e
1
t2−1dtest convergente et la calculer.
3. Montrer la convergence et calculer l’intégrale Z +∞
1
1
ex−e−xdxen faisant le changement de variables x= ln(t).
Exercice 3 : (∗)
1. Déterminer deux réelsaetb tels que : 1
t(1 +t2) =a t + bt
1 +t2
2. Montrer la convergence de Z +∞
1
1
t(1 +t2)dtet la calculer.
3. Etablir la convergence et calculer Z +∞
1
2tln(t) (1 +t2)2dt
Exercice 4 : (∗∗)
1. Etudier la parité de la fonctionhdéfinie surRparh(x) = ex (1 +ex)2. 2. Montrer la convergence de l’intégrale
Z +∞
0
ex
(1 +ex)2dx et la calculer.
3. En déduire la convergence et la valeur de Z +∞
−∞
xex
(1 +ex)2dxconverge et est égal àln(2).
4. Déterminer sans calcul la convergence et la valeur de Z +∞
−∞
xex (1 +ex)2dx
Exercice 5 : (∗∗)
On pose pour tout réelxet tout entiern,In(x) = Z x
0
tne−tdt.
1. CalculerI0(x).
2. Montrer que pour tout entiern,In+1(x) = (n+ 1)In(x)−xn+1e−x. 3. Montrer par récurrence que pour tout entier n, l’intégraleIn =
Z +∞
0
tne−tdtconverge et déterminer une relation entreIn+1 etIn.
4. Conjecturer l’expression deIn en fonction denpour tout entiern.
1
Exercice 6 : Gaussienne
Dans cet exercice, on admet la valeur de l’intégrale (qu’on sait être convergente) Z +∞
−∞
e−t2dt=√ π
1. Calculer les intégrales :
(i) Z +∞
−∞
te−t2dt, (ii) Z +∞
−∞
t2e−t2dt
2. Soientµetσdeux paramètres réels fixés. Calculer, via un changement de variable affine, les intégrales Z +∞
−∞
tf(t)dt et
Z +∞
−∞
t2f(t)dt oùf(x) = 1 σ√
2πe−12(x−µσ )2
Exercice 7 : (∗∗)
Pour n>1entier, ondéfinit sur[0; +∞[la fonction :
fn(x) = xln(x) (1 +x2)n 1. Montrer quefn se prolonge par continuité à[0; +∞[.
2. Etudier la convergence des intégrales Z +∞
0
f1(t)dt et Z +∞
0
f2(t)dt
3. Que peut-on dire pourn>2? Exercice 8 : Ecricome 2010
On considère l’application ϕdéfinie sur R∗+ par :
∀x∈R∗+, ϕ(x) = ln (x)−ln (x+ 1) + 1 x 1. Déterminer la limite deϕ(x)lorsquextend vers0par valeurs positives.
Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite deϕ(x)lorsquextend vers+∞.
Interpréter graphiquement cette limite.
3. Montrer que l’équationϕ(x) = 1possède une unique solution notéeαet que : 1
3 < α < 1 2
4. Proposer un programme en Scilab permettant d’encadrerαdans un intervalle d’amplitude 10−2. 5. Soitαle réel défini à précédemment. On considère la fonctionf donnée par :
f(x) = 1
x2(x+ 1) six > α f(x) = 0 six≤α Montrer que l’intégrale def sur]− ∞; +∞[est convergente et que
Z +∞
−∞
f(t)dt= 1
2
Exercice 9 : EDHEC 2004
Le but de cet exercice est de calculer lim
n→+∞
Z +∞
0
1 1 +t+tndt.
Pour toutndeN, on poseun= Z 1
0
1
1 +t+tndtet on a, en particulier,u0= Z 1
0
1 2 +tdt 1. Pour toutndeN, justifier lexistence deun.
2. Calculeru0et u1.
3. (a) Montrer que la suite(un)est croissante.
(b) Montrer que :∀n∈N, un 6ln (2)
(c) En déduire que la suite(un)est convergente.
4. (a) Pour toutndeN, écrireln (2)−un sous la forme d’une intégrale.
(b) En déduire que :∀n∈N, ln (2)−un 6 1 n+ 1 (c) Donner la limite de la suite(un)
5. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on pose vn= Z +∞
1
1 1 +t+tndt.
(a) Justifier la convergence de l’intégrale définissantvn. (b) Montrer que :∀n>2, 06vn6 1
n−1 (c) En déduire lim
n→+∞vn, puis donner la valeur de lim
n→+∞
Z +∞
0
1 1 +t+tndt.
Exercice 10 :
On considère l’application f :R→Rdéfinie, pour touttdeR, par :f(t) = e−t (1 +e−t)2. 1. Vérifier que la fonctionf est paire.
2. Montrer quef est continue et positive surR. 3. Montrer la convergence puis calculer l’intégrale
Z +∞
−∞
f(t)dt
4. Montrer la convergence de
Z +∞
0
tf(t)dt
3
Exercice 11 :
On considère, pour nentier naturel non nul, la fonction fn définie sur R∗+ par : fn(x) = nlnx
n+ 1 +nx2 pour tout réelxstrictement positif.
On définit également surR∗+ la fonctionhpar : h(x) = lnx
1 +x2 pour toutxstrictement positif.
1. Montrer que les fonctionsfn ethsont continues surR∗+ et étudier leur signe.
2. (a) Montrer que l’intégrale impropre Z +∞
1
lnx
x2 dx est convergente et déterminer sa valeur.
(b) Montrer que l’intégrale impropre Z +∞
1
h(x)dxest convergente.
Dans toute la suite de l’exercice on note alorsKl’intégrale impropre : K= Z +∞
1
h(x)dx.
3. (a) Montrer, grâce au changement de variableu= 1
x queK=− Z 1
0
h(u)du.
(b) En déduire que l’intégrale impropre Z +∞
0
|h(x)| dxconverge et est égale à2K.
(c) En déduire également que l’intégrale impropre Z +∞
0
h(x)dx converge et vaut0.
4. (a) Montrer que pour tout réelxstrictement positif, |fn(x)|6|h(x)|.
En déduire la convergence de l’intégrale Z +∞
0
fn(x)dx.
(b) Montrer que pour tout réelxstrictement positif, h(x)−fn(x) = h(x) n+ 1 +nx2. (c) En déduire successivement :
06 Z +∞
1
(h(x)−fn(x))dx6 K n+ 1
− K n+ 1 6
Z 1 0
(h(x)−fn(x))dx60 (d) Montrer que lim
n→+∞
Z +∞
0
fn(x)dx= 0.
4
