95 2 7 Variables aléatoires discrètes

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BCPST2

95 2 7 Variables aléatoires discrètes

I Compléments sur les variables aléatoires discrètes

A) Dénition

Dénition : Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire réelle discrète est une variable aléatoire réelleXtelle queX(Ω)est un ensemble réel discret, c'est-à-dire ni ou dénombrable.

Six∈R etA⊂R, on notera :

[X=x] =X⁻¹(x) ={ω∈Ω;X(ω) =x}

et

[X ∈A] =X⁻¹(A) ={ω∈Ω;X(ω)∈A}

([X=x])_x∈X(Ω) est un système complet d'évènements.

Exemple :

©

On va reprendre pour ce cours les deux exemples du cours précédent :

G On lance deux dés et on noteX la somme des deux résultats.Ω =J1,6K

2 etX(Ω) = J2,12K

G On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on noteX le nombre tirs eectués.

Ω ={P, F P, F F P, . . .} ∪ {F F F F F . . .}

| {z }

ω0

X n'est pas déni siω=ω0.

Cependant,P(ω0) = 0doncXest presque partout déni et on considére queX(Ω) = N.

Proposition :

SoientX etY sont des variables aléatoires discrètes dénies sur un même espace de probabilitéΩet α un réel.

AlorsX+αY etXY sont aussi des variables aléatoires discrètes.

B) Lois Dénition : Loi

Soit X une variable aléatoire discrète.

La loi deX est l'application :

P_X : X(Ω) → R+

x 7→ P([X=x])

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Exemple :

©

On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.

Ω =J1,6K

2 etX(Ω) =J2,12K.

Déterminer la loi deX. Exemple :

©

On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs eectués.

Déterminer la loi deX.

C) Fonction de répartition

Proposition : Loi et fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N. On a :

∀k≥1,P(X =k) =P([X≤k])−P([X ≤k−1])

Proposition :

Soit X une variable aléatoire discrète etF sa fonction de répartion.

F est constante par morceaux, les discontinuités correspondant aux valeurs de X.

D) Espérance Dénition : Espérance

On dit que X admet une espérance si la série X

x∈X(Ω)

xP([X=x])est absolument convergente.

Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note :E(X) la somme de la série : E(X) = X

x∈X(Ω)

xP([X=x])

Remarque: Cas des variables aléatoires nies

Si la variable aléatoire admet un nombre ni de valeurs, alors elle admet une espérance.

Remarque: Cas d'une variable aléatoire à valeurs dans N Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N.

X admet une espérance si la série X

k≥0

kP([X =k])est convergente.

Dans ce cas,

E(X) =

+∞

X

k=0

kP([X =k])

Exemple :

©

On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.

Calculer l'espérance de X.

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Exemple :

©

On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs eectués.

Calculer l'espérance de X.

E) Formule de transfert Dénition :

Soit φ:R→Rune fonction dénie au moins surX(Ω). Alors la fonctionφ◦X : Ω → R

ω 7→ φ(X(ω))

est une variable aléatoire discrète.

On note en généralφ◦X sous la formeφ(X). Proposition :

Soit φ:R→Rune fonction dénie au moins surX(Ω). φ(X) admet une espérance si et seulement si X

x∈Ω(X)

φ(x)P([X=x])est absolument convergente.

Dans ce cas,E(φ(X))est donnée par :

E(φ(X)) = X

x∈Ω(X)

φ(x)P([X =x])

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II Loi uniforme

A) Loi Dénition :

Soit nun entier non nul.

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur J1, nKsi :X(Ω) =J1, nKet

∀k∈J1, nK, P([X=k]) = 1 n On note :X ,→ U(J1, nK).

Plus généralement : soita, b deux entiers aveca < b.

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur Ja, bKsi : X(Ω) =Ja, bKet

∀k∈Ja, bK, P([X=k]) = 1 b−a+ 1 On note :X ,→ U(Ja, bK).

Exemple :

©

G Un dé parfaitement équilibé est lancé. La variable aléatoire X égale au numéro qui sort suit la loi uniforme sur J1,6K.

G Une urne contientnboules numérotées de1àn. On en tire une au hasard. La variable aléatoireX égale au numéro de la boule tirée suit la loi uniforme surJ1, nK.

B) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur Ja, bK.

AlorsX admet une espérance et une vairance donnée par : E(X) =a+b

2 , V(X) = (b−a)(b−a+ 2) 12

Proposition : Cas particulier

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur J1, nK.

AlorsX admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = n+ 1

2 , V(X) = n²−1 12

Démonstration :

C) Simuler une loi uniforme avec Python loi uniforme from random import ∗

randint ( a , b ) # C h o i s i t un e n t i e r entre a et b

# l e s ext r é mit é s sont i n c l u s e s des 2 cot é s

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III Loi de Bernouilli

A) Loi Dénition :

Soit p∈]0,1[.

On dit qu'une variable aléatoire réelleX suit la loi de Bernouilli de paramètrepsi :X(Ω) ={0,1}et P([X= 1]) =p, P([X = 0]) = 1−p

On note :X ,→ B(p) Exemple :

©

G Le jeu de pile ou face est suit une loi de Bernouilli de paramètre ¹₂, si la pièce est équilibrée.

G Toute épreuve à deux issues est représentée par une loi de Bernouilli, en notant les deux résultats possibles :1 (succès) et 0(échec).

G SiX suit une loi de Bernouilli de paramètrepalorsX² aussi.

G SiX etY suivent une loi de Bernouilli alors XY aussi (sauf si XY = 0)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètrep. AlorsX admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =p, V(X) =p(1−p)

Démonstration :

C) Simuler une loi de Bernouilli avec Python Loi de Bernouilli from random import ∗

def Bernoulli ( p ) : i f random ( )<p :

return 1 e l s e:

return 0

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IV Loi binomiale

A) Loi Dénition :

Soit p∈]0,1[etn∈N^∗.

On dit qu'une variable aléatoire réelleXsuit la loi de binomiale de paramètre(n, p)si :X(Ω) =J0, nK et

∀k∈J0, nK, P([X=k]) = n

k

p^k(1−p)^n−k

On note :X ,→ B(n, p) Exemple :

©

G On lancenfois une pièce équilibrée. La variable aléatoireXégale au nombre de face suit une loi binomiale de paramètre (n,¹₂).

G Une urne contient des boules, la proportion des boules blanches est p et celles des noires est 1−p. On eectuen tirages avec remise.

La variable aléatoireX égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale de paramètre (n, p).

G On considère une suite de n épreuves de Bernouilli de même paramétre p, indépen- dantes. La variable aléatoire X égale au nombre de succès dans ces népreuves suit une loi binomiale de paramètre (n, p).

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p). AlorsX admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =np, V(X) =np(1−p)

Démonstration :

C) Simuler une loi binomiale avec python Loi Binomiale from random import ∗

def Bernoulli ( p ) : i f random ( )<p :

return 1 e l s e:

return 0 def binomial ( n , p ) :

somme=0

f o r k in range( n ) :

somme += Bernoulli ( p ) return somme

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V Loi hypergéométrique

A) Loi Dénition :

Soit p∈]0,1[etn, N ∈N^∗.

On suppose :1≤n≤N etN p∈N. On note q= 1−p.

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) si : X(Ω) =Jmax(0, n−N q),min(n, N p)Ket

∀k∈Jmax(0, n−N q),min(n, N p)K, P([X=k]) =

N p k

_{N q}

n−k

N n

On note :X ,→ H(N, n, p) Exemple :

©

Une urne contient aboules blanches et bboules noires. Soitn≤a+b.

On tire simultanément (ou successivement mais sans remise) nboules dans l'urne.

La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi hypergéo- métrique de paramètre (a+b, n,_a+b^a ).

Soit X une variable aléatoire suivant une loi hypergéoétrique de paramètre(N, n, p). AlorsX admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =np, V(X) =npqN−n N −1

C) Simuler une loi hypergéométrique avec python Loi hypergéométrique from random import ∗

def bernouilli ( p ) : i f random ( )<p :

return 1 e l s e :

return 0

def hypergeo ( N , n , p ) :

""" simule l e t i r a g e sans remise de n boules parmi N boules dont l a proportion de blanches e s t p"""

res = 0

a , b = p∗N , N−p∗N # nombre de boules blanches et de n o i r e s f o r i in range( n ) :

x = bernouilli (f l o a t( a/N ) )

N += −1 #une boule de moins dans l ' urne i f x == 1 :

a += −1 # une blanche en moins e l s e :

b +=−1 # une n o i r e en moins res += x

return res

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VI Loi géométrique

A) Situation

On eectue une succession (éventuellement innie) d'épreuves indépendantes de Bernouilli de para- mètrep et on appelleX la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier succès.

On noteX = 0 si on a toujours un échec.

On dit que X est le temps d'attente du premier succès.

On a :

∀k∈N^∗,P(X =k) =q^k−1p

On remarque :

+∞

X

k=1

P(X=k) = 1. Ainsi, P([X = 0]) = 0.

On peut donc considérer que X(Ω) =N^∗.

B) Loi

Dénition : Temps d'attente du premier succès Soit p∈]0,1[. On note q= 1−p.

On dit qu'une variable aléatoire réelleX suit la loi géométrique de paramètrepà valeurs dans N^∗ si : X(Ω) =N^∗ et

∀k∈N^∗, P([X=k]) =q^k−1p On note :X ,→ G_N^∗(p)

C) Espérance et variance

Proposition : Temps d'attente du premier succès

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètrep et à valeurs dansN^∗. AlorsX admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) = 1

p, V(X) = q p²

Démonstration :

D) Simuler une loi géométrique avec Python loi géométrique def geometrique ( p ) :

res = 0 k = 0

while res == 0 :

res = bernouilli ( p ) k += 1

return k

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VII Loi de Poisson

A) Dénition Dénition :

Poisson 1781-1840

Soitλ∈R^∗+.

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si X(Ω) =Net

∀k∈N,P([X=k]) = λ^k k!e^−λ On note :X ,→P(λ)

Remarque:

Ceci dénit bien une loi de probabilité car

+∞

X

k=0

λ^k

k!e^−λ = 1. Exemple :

©

Une loi de Poisson permet de décrire le nombre d'évènements d'un certain type se pro- duisant dans une période de temps. On dit que la loi de poisson est la loi des évènements rares.

G Nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une périodeT. G Nombre d'appels reçus par un standard téléphonique pendant une période T λest le nombre moyen d'évènements pendant la périodeT.

0 1 2 3 4 5 6 7

0.5− λ= 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1− λ= 10

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Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ >0. AlorsX admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =λ, V(X) =λ

C) Simuler une loi de poisson avec Python Loi de Poisson from random import random

def poisson ( mu ) : x = random ( ) F = 0

i = 0 while F<x :

i += 1

F += exp(−mu )∗mu∗∗i/factorial ( i ) return ( i−1)

Cet algorithme présente un problème : pour de grande valeur dei, l'entier i!est grand et python doit le convertir en oat pour eectuer le calcul. Cela provoque une erreur. Il vaut mieux procéder de la façon suivante :

Loi de Poisson améliorée from random import random

def poisson2 ( mu ) : x = random ( ) F = 0

i = 0

S = exp(−mu ) while F<x :

i += 1 F += S

S ∗= f l o a t( mu ) /i return ( i−1)

Loi de Poisson toute faite import numpy as np

np . random . poisson ( mu ) # Fait un t i r a g e suivant l a l o i de poisson np . random . poisson ( mu , N ) # r e n v o i e une l i s t e de N t i r a g e s suivant

#l a l o i de poisson Remarque:

On a de même dans le module et avec la même syntaxe : import numpy as np

np . random . binomial ( n , p , N ) np . random . geometric ( p , N )

np . random . hypergeometric ( a , b , n , N ) # a=nombre de boules succ è s ,

# b=nombre de boules é chec

# n=nombre de t i r a g e s dans l ' urne

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BCPST2

95 2 7 ^Exercices

Poisson avait l'habitude de dire : La vie n'est bonne qu'à deux choses : à faire des mathématiques et à les professer

On considère un ivrogne marchant le long d'un trottoir. À chaque seconde, il avance avec probabilité un demi d'un pas, et recule d'un pas avec la même probabilité. On supposera que tous les pas sont de la même longueur. On se donne un repère le long du trottoir, gradué en pas. On noteXn la position de l'ivrogne au bout den secondes. Donner la loi deXn , son espérance et sa variance.

Indication : on pourra introduire la variable aléatoire de Bernouilli qui vaut1 si l'ivrogne avance et 0 sinon et exprimer Xn à partir de celle-ci.

On dispose d'une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité2/3. On noteX le nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux pile consécutifs.

Pour toutn∈N^∗ , on pose a_n=P[X=n]. 1^◦) Calculer a₁ ,a₂ ,a₃ eta₄ .

2^◦) Montrer que, pour toutn≥3,a_n= 1

3an−1+2 9an−2.

3^◦) En déduire une expression de an en fonction den. Vérier que X

n≥1

an= 1. Qu'en conclure ? 4^◦) La variable aléatoireX admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

On a une urne avec une boule noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de la boule tirée et on la remet dans l'urne, en ajoutant de plus une boule noire. On note Y la variable aléatoire donnant le rang de la première boule noire tirée.

1^◦) Calculer P[Y =k]pour tout k∈N^∗.

2^◦) Quelle est la probabilité de ne jamais tirer de boule noire ? 3^◦) Y admet-elle une espérance et, si oui, la calculer.

4^◦) Y admet-elle une variance et, si oui, la calculer.

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer la loi et l'espérance de la variableY = (−1)^X .

On répète indéniment, de manière indépendante, une expérience aléatoire au cours de laquelle un événementA peut, à chaque fois, se produire avec une probabilité p∈]0; 1[. On noteX le rang de la première réalisation de l'événementA etY le rang de sa deuxième réalisation.

1^◦) Donner la loi deX, puis celle de Y. 2^◦) ComparerE(X)etE(Y).

SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Montrer queP[X≤ ^λ₂]≤ 4 λ

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Soitλ >0. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ. Calculer l'espérance de la variable aléatoire 1

1 +X.

Une grenouille monte les2nmarches d'un escalier en sautant : ou bien une seule marche, avec la probabilitép.

ou bien deux marches, avec la probabilité1−p.

On note X_n le nombre de marches franchies après n sauts. On note Y_n le nombre de fois où la grenouille a sauté une seule marche.

1^◦) Déterminer la loi deY_n. ExprimerX_nen fonction deY_n. En déduire la loi deX_n, son espérance et sa variance.

2^◦) On noteZn le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser lan-ième marche. Expri- mer, pourn≥1etk≥1, la probabilitéP[Zn=k]en fonction des probabilités des événements [Zn−1=k−1]et[Zn−2 =k−1]. En déduire que :

E(Z_n) =pE(Zn−1) + (1−p)E(Zn−2) + 1.

3^◦) Comment déterminer a pour que la suite de terme général un = E(Zn)−na soit récurrente linéaire d'ordre2?

4^◦) Calculer alors l'espérance deZn. Donner un équivalent de E(Zn) quandntend vers l'inni, et interpréter.

On lancendés pipés, donnant le chire6avec la probabilitép∈]0; 1[. A chaque lancé, on met de côté ceux qui font6et on relance tous les autres ; on arrête une fois que tous les dés ont fait6. NotonsX₁ la variable aléatoire égale au nombre de6obtenus au premier lancer,X la variable aléatoire égale au nombre de lancers eectués etY celle égale au nombre de dés lancés au total.

1^◦) Déterminer la loi deX1 , son espérance et sa variance.

2^◦) Déterminer la loi deX.

3^◦) DéterminerE(Y), puis la loi de Y.

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