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Universit´e de Tours Agr´egation de Math´ematiques Ann´ee 2014-2015

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Academic year: 2022

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Universit´e de Tours Agr´egation de Math´ematiques Ann´ee 2014-2015 Probl`eme d’´et´e : Analyse et Probabilit´es

Le probl`eme est consitu´e de deux parties autour du Th´eor`eme de Weiestrass. La premi`ere reprend deux preuves analytiques classiques via les polynˆomes de Bernstein. La seconde est constitu´ee du probl`eme d’analyse pos´e `a l’agr´egation interne session 2014. La preuve y fait appel aux probabilit´es.

Premi`ere partie A : Weierstrass via Bernstein, version analytique

Soit f : [0,1] → C une application continue. On d´efinit , pour tout n ∈ N les fonctions polynˆomes

Bn(f) : [0,1]→C, x→

n k=0

Cnkf(k

n)xk(1−x)n−k=

n k=0

f(k

n)Rn,k(x)

1. Etablir, par exemple en utilisant la fonction d´efinie surR2 parF(a, b) = (a+ (1−b))n, que si f0(x) = 1, f1(x) =x, f2(x) =x2 ,

Bn(f0) = 1, Bn(f1) =x, Bn(f2) =x2+x(1−x)/n.

2. D´emontrer que pour toutη >0, �

k,|kn−x|>η

Rn,k(x)≤ 1 nη2.

3. En d´eduire que la suite de fonctionsBn(f) converge uniform´ement versf sur [0,1] . B : Th´eor`eme de Korovkine

On se place dans E = C[a, b], espace des fonctions continues sur le compact [a, b] muni de la norme de la convergence uniforme||f|| = max

t[a,b]|f(t)|et on va ´etudier les propri´et´es des endomorphismesu de E,positif ie tel queu(f)≥0 d`es que l’´element f ≥0.

1. Etablir que E est un espace complet. On pourra, pour montrer que la limite uniforme de fonctions continues est continue, utiliser le th´eor`eme de la double limite .

2. Montrer qu’un endomorphisme u positif est n´ecessairement continu ; on utilisera les fonctions f +||f|| etf− ||f||.

3. Etablir que pour tout fonctionf ∈E etε >0, il existe une constante C >0 telle que

|f(x)−f(y)| ≤ε+C|x−y|2.

4. Soit (un) une suite d’endomorphismes positifs deE. On consid`ere les fonctions (fj)j=1,2,3 f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2 . On suppose que les suites de fonctions (un(fj))n converge uniform´ement vers fj pour tout j = 1,2,3. Montrer qu’alors, pour tout f de E, la suite de fonctions (un(f))nconverge uniform´ement vers f th´eor`eme de Korovkine.

On pourra ´etablir l’existence de trois constantes K0, K1, K2 strictement positives telles que :

||un(f)−f||≤ε+K0||un(f0)−f0||+K1||un(f1)−f1||+K2||un(f2)−f2||. 5. D´emontrer grˆace aux questions pr´ecedentes, que la suite des polˆomes de BernsteinBn(f)

converge uniform´ement vers f sur [0,1].

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