1 G ROUPES SYMÉTRIQUES 1 1) On pose : σ =

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI D ÉTERMINANTS

1 G ROUPES SYMÉTRIQUES 1 1) On pose : σ =

_{1 2 3 4 5 6 7}

2 4 7 1 3 5 6

et θ = _{1 2 3 4 5 6 7}

1 4 2 7 6 5 3

. Écrire σθ et σ ⁻¹ comme des produits de cycles disjoints.

2) Écrire la permutation :

(1 2) (2 4 6 5) (1 3 7) (2 5 4) (3 5 6 1) (2 5) (1 4 6) comme un produit de cycles disjoints.

3) Calculer la signature des permutations : _{1 2 3 4 5 6 7}

5 7 2 1 6 4 3

et (1 3 4) (2 4 3 1) (2 3).

————————————–

2 1) Simplifier : σ (a ₁ a ₂ . . . a _p ) σ ⁻¹ pour tous σ ∈ S _n et a ₁ , . . . , a _p ∈ ¹ 1, n º distincts avec : p ¾ 2.

2) Montrer que toute permutation de ¹ 1, n º est un produit de transpositions (1 i), i décrivant

¹ 2, n º .

3) Montrer que pour tout n ¾ 3, Id est la seule permutation de ¹ 1, n º qui commute à tout élément de S _n .

4)

a) Montrer que toute permutation de ¹ 1, n º est un produit de transpositions (i i + 1), i décri- vant ¹ 1, n − 1 º .

b) En déduire que toute permutation de ¹ 1, n º est un produit des permutations (1 2) et (1 2 . . . n).

————————————–

2 C ALCULS DE DÉTERMINANTS 3 Soient a, b, c, d ∈ C . Factoriser :

1) a)

a − b − c 2a 2a

2b b − c − a 2b

2c 2c c − a − b

. b)

1 1 1

a b c

b + c c + a a + b

. c)

a c c b

c a b c

c b a c

b c c a

.

d)

b + c c + a a + b b

²

+ c

²

c

²

+ a

²

a

²

+ b

²

b

³

+ c

³

c

³

+ a

³

a

³

+ b

³

. 2)

a)

1 1 1

sin a sin b sin c cos a cos b cos c

. b)

1 a a

²

a

⁴

1 b b

²

b

⁴

1 c c

²

c

⁴

1 d d

²

d

⁴

.

c)

(b + c)

²

b

²

c

²

a

²

(c + a)

²

c

²

a

²

b

²

(a + b)

²

.

————————————–

4 Soit M ∈ M _n ( R ) à coefficients dans

− 1, 1 . Montrer que det(M) est un entier divisible par 2 ⁿ⁻¹ .

————————————–

5 Soient a ₁ , . . . , a _n , x ∈ C . Factoriser : 1)

a

_n

.. . a

₁

. 2)

a

₁

a

₁

· · · a

₁

a

₁

a

₂

· · · a

₂

bbb bbb

a

₁

a

₂

a

_n

.

3)

1 + x 1 · · · 1

1 1 + x

^{bbb bbb}

bbb b

b

b b

b

b

1

1 · · · 1 1 + x

[n]

. 4)

1 1 1 · · · 1

1 1 0 · · · 0

1 0 1

^{bbb bbb}

bbb bbb b

b

b b

b

b

0

1 0 · · · 0 1

[n]

.

5)

0 1 · · · 1

−1 0

^bbb bbb

bbb b

b

b b

b

b

1

−1 · · · −1 0

[n]

.

————————————–

6 Montrer que pour tous a ₁ , . . . , a _n ∈ C :

1 + a

1

1 · · · 1

1 1 + a

₂ ^{bbb bbb}

bbb b

b

b b

b

b

1

1 · · · 1 1 + a

_n

= a ₁ . . . a _n + X n k=1

Y

1 ¶ i ¶ n i6=k

a _i .

————————————–

7 Retrouver l’expression explicite des déterminants de Vandermonde vue en cours en utilisant seulement des opérations élémentaires.

————————————–

8 Soient a, b, c ∈ C avec : a 6= b. Pour tout x ∈ C , on pose : D(x) =

c + x a + x · · · a + x

b + x c + x

^{bbb bbb}

bbb b

b

b b

b

b

a + x

b + x · · · b + x c + x

[n]

. 1) Montrer que D est une fonction affine.

2) En déduire une expression explicite de D(x) pour tout x ∈ C .

————————————–

9 Soient x ∈ C et θ ∈ R . Dans les deux situations suivantes, montrer que la suite ( ∆ n ) _n∈ N

∗

est récurrente linéaire d’ordre 2, puis déterminer une expression ex- plicite de ∆ n en fonction de n pour tout n ∈ N ^∗ .

1) ∆ n =

1 + x

²

x 0 · · · 0

x 1 + x

²

x

^bbb bbb

0

^{bbb bbb bbb}

0

bbb b

b

b

x 1 + x

²

x

0 · · · 0 x 1 + x

²

[n]

.

2) ∆ n =

2 cosθ 1 0 · · · 0

1 2 cos θ 1

^{bbb bbb}

0

^{bbb bbb bbb}

0

bbb b

b

b

1 2 cosθ 1

0 · · · 0 1 2 cosθ

[n]

.

————————————–

10 Soit P = X ⁿ + a _n−1 X ⁿ⁻¹ + . . .+ a ₁ X + a ₀ ∈ C [X ].

On appelle matrice compagnon de P la matrice :

C =



 



0 −a

₀

1 0 −a

₁

1

^{bbb bbb}

b

b

b

0 −a

n−2

1 −a

n−1



 

 . Montrer que : χ _C = P.

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI D ÉTERMINANTS

————————————–

11 1) Que peut-on dire de l’inversibilité d’une ma- trice antisymétrique ?

2) Soient A ∈ M _2n ( C ) antisymétrique et x ∈ C . On note J la matrice carrée de taille 2n dont tous les coefficients valent 1.

a) Calculer :

0 1 · · · 1

−1

bbb

−1 A

.

b) En déduire que :

1 1 · · · 1

−x

bbb

−x A

= det(A).

c) En déduire que : det(A+ x J ) = det(A).

————————————–

12 Soient A, B ∈ M _n ( C ). Montrer l’égalité :

A B B A

= det(A + B) det(A − B).

————————————–

13 1) Soient A, B, C, D ∈ M _n ( C ). Quel produit matriciel pour transformer

 A C B D

‹ en

 A + 2B C + 2D

B D

‹

? Comparer leurs déterminants.

2) Montrer que pour tous A, B ∈ M _n ( C ) :

I _n B A I _n

= det(I _n − AB) = det(I _n − BA).

————————————–

14 1) Soient A ∈ M _p,q ( C ) et B ∈ M _q,p ( C ). Complé- ter le calcul par blocs suivant :

 X I _p − AB · · · 0 X I _q

‹  I _p 0

· · · I _q

‹

=

 I _p 0

· · · I _q

‹  X I _p · · · 0 X I _q − BA

‹ , où X est simplement l’indéterminée de C [X ].

2) En déduire que : χ _AB = χ _BA pour tous A, B ∈ M _n ( C ).

————————————–

15 Pour tout M ∈ M _n ( C ), on pose : M = m _{i j}

1 ¶ i,j ¶ n , Re(M ) = Re(m _{i j} )

1 ¶ i,j ¶ n et Im(M) = Im(m _{i j} )

1 ¶ i,j ¶ n . 1) Montrer que pour tout M ∈ M _n ( C ) :

det M

= det(M ).

2) Soient A, B ∈ M _n ( R ) deux matrices qui com- mutent. Montrer que : det A ² + B ²

¾ 0.

3) Soit P ∈ R [X ] unitaire sans racine réelle et A ∈ M _n ( R ). Montrer que : det P(A)

¾ 0.

4) Soit M ∈ GL _n ( C ).

a) Montrer que : Re M ⁻¹

= M ⁻¹ Re(M )M ⁻¹ . Une impression de déjà vu ?

b) En déduire que det Re(M)

et det Re M ⁻¹ ont même signe. Comparer de même les signes de det Im(M )

et det Im M ⁻¹ .

————————————–

16 Soit A ∈ M _n ( C ). On pose : B = €

(−1) ^{i+ j} a _{i j} Š

1 ¶ i,j ¶ n . En revenant à la définition du déterminant, montrer l’égalité : det(B) = det(A).

————————————–

17 Soient y, z, t ∈ R . Pour tout x ∈ R , on pose : A(x) =





x − y −z −t

y x −t z

z t x − y

t −z y x



.

1) a) Montrer que la fonction x 7−→ det A(x) est polynomiale unitaire de degré 4.

b) Calculer : A(x) ^⊤ A(x) pour tout x ∈ R . À quelle condition nécessaire et suffisante A(x ) est-elle inversible ?

c) En déduire det A(x)

pour tout x ∈ R . 2) Ces résultats sont-ils conservés si x, y, z, t ∈ C ?

————————————–

18 1) Soient a, b, c ∈ C . On pose : M =

_{a b c}

c a b

b c a

et J =

‚ _{1 1 1}

1 j j

²

1 j

²

j

Π. a) Montrer que : det(J) 6= 0.

b) Calculer M J et en déduire det(M ).

2) Mêmes questions avec la matrice circu- lante :

M =





a

₁

a

₂

· · · a

_n

a

_n

a

₁

· · · a

_n−1

bbb bbb b

b

b bbb

a

2

a

3

· · · a

1



 et J = €

ω ^{(i−1)(j−1)} Š

1 ¶ i,j ¶ n

pour tous a ₁ , . . . , a _n ∈ C en posant : ω = e ^{2iπ n} .

————————————–

19 On pose : P ₀ = 1 et pour tout n ∈ N ^∗ : P _n = X (X − 1). . . (X − n + 1)

n! .

1) Simplifier : det €

P _j−1 (a _i ) Š

1 ¶ i,j ¶ n pour tous n ∈ N ^∗ et a ₁ , . . . , a _n ∈ C .

2) Montrer que pour tout n ∈ N : P _n ( Z ) ⊂ Z . 3) En déduire que pour tous a ₁ , . . . , a _n ∈ Z , le pro-

duit : Y

1 ¶ i<j ¶ n

(a _j − a _i ) est divisible par Y n−1 k=1

k!.

————————————–

20 Soient a ₁ , . . . , a _n , b ₁ , . . . , b _n ∈ C . On note M la matrice €

(a _i + b _j ) ⁿ⁻¹ Š

1 ¶ i,j ¶ n . Écrire M comme le pro- duit de deux matrices et en déduire det(M ).

————————————–

3 D ÉTERMINANT D ’ UN ENDOMORPHISME

21

1) On pose : A =

_{1 3 0}

3 −2 −1

0 −1 1

.

a) Déterminer le polynôme caractéristique, les va- leurs propres et les sous-espaces propres de A.

2

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b) En déduire que A est diagonalisable.

2) Mêmes questions avec

_{2 −1 1}

1 0 −1

2 −2 1

.

————————————–

22 1) Soient E 6=

0 _E un K -espace vectoriel de dimen- sion finie et F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On note s la symétrie par rapport à F de direction G. Calculer det(s) en fonc- tion de dim G.

2) Calculer en fonction de n le déterminant de l’en- domorphisme M 7−→ M ^⊤ de M _n ( R ).

————————————–

23 1) Soient E un R -espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E). Que peut-on dire de dim E si :

f ² = −Id _E ? 2)

a) Proposer un exemple d’endomorphisme f de R ² pour lequel : f ² = −Id R

2

.

b) Même question avec R ²ⁿ à la place de R ² . 3) Proposer un exemple d’endomorphisme f

de C ⁿ pour lequel : f ² = −Id C

n

.

————————————–

24 Soient E 6=

0 _E un K -espace vectoriel de di- mension finie, ϕ une forme linéaire de E et a ∈ E. On note f l’endomorphisme x 7−→ x + ϕ(x) a de E. Mon- trer que : det(f ) = 1 + ϕ(a) en écrivant la matrice de f dans une base de E adaptée à Ker ϕ.

————————————–

25 Soient E un K -espace vectoriel de dimension finie n ¾ 1 et u, v ∈ L (E). On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent.

1) Montrer que Im v est stable par u.

2) En déduire la forme des matrices de u et v dans une base de E adaptée à Im v.

3) Montrer par récurrence sur n l’égalité : det(u + v) = det(u).

————————————–

26 Soient E 6=

0 _E un K -espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L (E). Soit en outre x ∈ E non nul fixé. On note d le plus grand entier k ∈ N ^∗ pour lequel la famille €

x, u(x ), u ² (x), . . . , u ^k−1 (x) Š

est libre.

On pose enfin : F = Vect €

x, u(x), u ² (x), . . . , u ^d−1 (x ) Š . 1) Justifier la bonne définition de d et l’existence

de scalaires a ₀ , . . . , a _d−1 ∈ K pour lesquels : u ^d (x ) =

X d−1

k=0

a _k u ^k (x), puis montrer que F est stable par u.

2) Montrer que χ _u

F

divise χ _u . On pourra s’intéresser à la matrice de u dans une base bien choisie.

3) Montrer que : χ _u

F

= X ^d −

d−1 X

k=0

a _k X ^k .

4) Montrer que u annule χ _u , i.e. que : χ _u (u) = 0 _{L (E)} (théorème de Cayley-Hamilton).

————————————–

4 U TILISATIONS DIVERSES DES DÉTERMINANTS

27 Soient A ∈ GL _n ( K ), B ∈ K ⁿ et j ∈ ¹ 1, n º . On note X l’unique solution du système : AX = B et A _j la matrice obtenue en remplaçant la j ^ème colonne de A par B. Montrer que : x _j = det(A _j )

det(A ) . Une impression de déjà vu ?

————————————–

28 Trouver un exemple de matrices NON semblables de même taille, même rang, même trace et même dé- terminant.

————————————–

29 Soient A, B ∈ M _n ( R ). On suppose que A et B sont semblables sur C .

1) Montrer qu’il existe deux matrices U, V ∈ M _n ( R ) pour lesquelles la matrice U + iV est inversible et pour lesquelles : AU = U B et AV = V B.

2) Montrer que la fonction z 7−→ det(U + zV ) de C dans C est polynomiale et non identiquement nulle.

3) En déduire que A et B sont semblables sur R .

————————————–

30 1) Soit A ∈ M _n ( C ) une matrice à diagonale stricte- ment dominante, i.e. que pour tout i ∈ ¹ 1, n º : X

j6=i

|a _{i j} | < |a _ii |. Montrer que la famille des co- lonnes de A est libre. Qu’en déduit-on sur A ? On appelle ce résultat le lemme d’Hadamard.

2) Soient A ∈ M _n ( C ) et λ ∈ C une valeur propre de A.

Montrer que pour un certain i ∈ ¹ 1, n º , λ appar- tient au disque de centre a _ii et de rayon X

j6=i

|a _{i j} | (théorème de Gershgorin).

3) Soit P = X ⁿ + a _n−1 X ⁿ⁻¹ + . . . + a ₁ X + a ₀ ∈ C [X ].

En étudiant la matrice compagnon de P, montrer que pour toute racine λ ∈ C de P :

|λ| ¶ max ¦

|a ₀ |, |a ₁ | + 1, . . . , |a _n−1 | + 1 © .

————————————–

31 On note M _n ( Z ) l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients entiers.

1) Montrer que det(M ) est un entier relatif pour tout M ∈ M _n ( Z ).

2)

a) Soient A, B ∈ M _n ( Z ) et p ∈ N ^∗ . On suppose que : a _{i j} ≡ b _{i j} [p] pour tous i, j ∈ ¹ 1, n º . Comparer det(A) et det(B).

b) La matrice





1 2 3 5

3 −1 1 2

0 6 2 1

3 −6 3 4



 est-elle inversible ? 3) Soit p ∈ P . On note M la matrice carrée

de taille p définie par : m _{i j} =

 p

| j − i|

‹ pour tous i, j ∈ ¹ 1, p º . Montrer que M est inversible en raisonnant modulo p.

3

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4) Soit M ∈ M _n ( Z ). On suppose que les coef- ficients diagonaux de M sont nuls et que ses autres coefficients valent tous ±1.

a) Calculer det(M) modulo 2.

b) En déduire que : dim KerM ¶ 1. On pourra commencer par traiter le cas où n est pair.

5) On se donne de 2n + 1 objets de masses inconnues x ₁ , . . . , x _2n+1 et on suppose que quand on met de côté l’un quelconque de ces objets, il est toujours possible de séparer les 2n objets restants en deux tas de n objets de masses totales iden- tiques. Que peut-on dire des masses x ₁ , . . . , x _2n+1 ?

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32 1) Soient M ₁ , M ₂ et M ₃ trois points du plan R ² avec : M _i = (x _i , y _i ) pour tout i ∈ ¹ 1, 3 º .

a) Quelle est l’équation générale d’une droite af- fine de R ² ?

b) Montrer que M ₁ , M ₂ et M ₃ sont alignés si et seulement si :

x

₁

y

₁

1 x

₂

y

₂

1 x

3

y

3

1

= 0.

2) Soient M ₁ , M ₂ , M ₃ et M ₄ quatre points du plan R ² avec : M _i = ( x _i , y _i ) pour tout i ∈ ¹ 1, 4 º . a) Montrer que tout cercle de R ² a une équation

de la forme : x ² + y ² + bx + c y + d = 0 avec b, c, d ∈ R . Réciproquement, à quelle condi- tion nécessaire et suffisante une telle équation décrit-elle un cercle ?

b) Montrer que M ₁ , M ₂ , M ₃ et M ₄ sont cocycliques ou alignés si et seulement si :

x

₁²

+ y

₁²

x

₁

y

₁

1 x

₂²

+ y

₂²

x

₂

y

₂

1 x

₃²

+ y

₃²

x

3

y

3

1 x

₄²

+ y

₄²

x

4

y

4

1

= 0.

————————————–

33 Soient E 6=

0 _E un K -espace vectoriel de di- mension finie n, f ∈ L (E) et B une base de E. Montrer que pour tous x ₁ , . . . , x _n ∈ E :

X n k=1

det _B €

. . . , x _k−1 , f (x _k ), x _k+1 , . . . Š

= tr( f )det _B (x ₁ , . . . , x _n ).

————————————–

4