• Trouver les rapports de températures (compresseur et turbine) qui maximisent le travail produit par un cycle idéal

2

• Revoir le cycle idéal de Brayton dans les TG

• Trouver les rapports de températures (compresseur et turbine) qui maximisent le travail produit par un cycle idéal

• Présenter une formule simple pour le calcul du η d’un cycle réel

• Regarder des modifications du cycle de réel pour accroitre le η

• Présenter des agencements d’arbres concentriques et séparés)

T

S P₁

P₂

❶ ❹

❷ ❸

❶

❷

❸

❹

T

S P₁ P₂

❶

❷

❸

❹

❷

❸ ❹

❶

❷

❸

❹

❶

Q₁

1

3 3

4 . 4

T P

T P

γ γ

    −

= = ∆

   

   

1

2 2

1 . 1

T P

T P

γ γ

    −

= = ∆

   

   

S 2

1

4 3

P₁ P₂

Q₁

4 1

4 1

1 1 1

.

T T

T T

 − 

= −   ∆ − ∆   = − ∆ η

2 1 .

T T

 

∆ =  

 

3 4 .

T T

 

∆ =  

 

❸

❹

❶

❷

4 1

3 2 .

1 T T

T T η = − ⁻

−

3 4 2 1

3 2

( ) ( )

( )

p p

p

c T T c T T c T T

η = ^{− − −}

−

    −

= = ∆

   

   

1

3 3

4 . 4

T P

T P

γ γ

    −

= = ∆

   

   

1

2 2

1 . 1

T P

T P

γ γ

3 4 2 1

3 2

( ) ( )

( )

p p

p

c T T c T T

c T T

η = ^{− − −}

−

4 1

3 2

1

T T

T T η = − ⁻

−

1 1 η = −

∆

4 1

4 1

1

T T

T T

= − −

∆ − ∆

❶

❸

❷ ❹

(

)

1 1

s

p s p

T T

Q c T T c T T

T T

     

= − =    −   

   

  Q = c T

( Φ − ∆ )

3 4 3 3 1

1 1

1 1 1 3 4

s

Ts p p

s

T T T T / T

W c T c T

T T T T / T

 

 

=  −  =  − 

   

1

Ts p p

W = c T    Φ − Φ ∆    = c T Φ    ∆ − ∆   

( )

2

1 1

1

1 1

s

Cs p p

W c T T c T

T

 

=  − =  ∆ −

  W

= c T

( ∆ − 1 )

( )

1

1 1

es p

W = c T    Φ    ∆ − ∆    − ∆ − ∆  ∆  

( ⁻ )( ⁻ )

=

1

es p

W c T ∆ Φ ∆

∆

Travail utile idéal (isentropique)

1

3 3

4s . 4

T P

T P

    −

=  = 

 

 

γ

∆ γ

1

2 2

1 1

s .

T P

T P

    −

=  = 

   

γ

∆ γ _



 



= Φ

1 3

. T

T

T

S 1

2 4

3

P₁

P₂ T₂ = T₄

T

S 1

2 4

3

P₁

P₂ T₂ = T₄

P₁ P₂

W_C=c_p(T₂ –T₁)

W_T=c_p(T₃ –T₄)

T

S 2

1

4 3

P₁ P₂

3 4 2

1 1 1 1

e

1

p

W T T T

c T T T T

   

=  −   − − 

   

(

) (

)

e p p

W = c T − T − c T − T

3 3 1 2

1 1 3 4 1

e

1

p .

W T T / T T

c T T T / T T

   

=  −   − − 

 

 

( )

1 e

1

p .

W c T

 Φ 

= Φ −   ∆   − ∆ −

.

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

    .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

( )

1 e

1

p .

W c T

 Φ 

= Φ −   ∆   − ∆ −

1 0

p .

d W

d c T

  =  Φ  − =

   

 

∆    ∆  ∆ = Φ

2 3 3

1 4 1

s . s

T T T

T T T

 

   

=   =

   

     

2s 1 3

T = T T

4s 1 3

T = T T T

= T

.

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

    .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

3 4

3 4

T

s

T T T T

= − η −

2 1

2 1

s C

T T T T

= − η −

2s 4s

1

3

4 2

T

S

s .

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

1

1

Ts p

W = c T Φ   ∆ − ∆   

( )

1

1

Cs p

W = c T ∆ −

1

1

T T p

W = η c T Φ ^  ^{∆ −} ∆ ^  

( )

1

1

C p

C

W c T

η

= ∆ −

2 1

2 1

s C

T T T T η = ⁻

−

C

T T T T

η

= + −

2 1

1 1

C

T T

η

 ∆ − 

=  + 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

3 4

3 4

T

s

T T T T η = ⁻

− T

= − T

η

( T

− T

)

3

4 3 T 3

T = − T η ^   T − T ∆ ^  

3 3 1 3 1

4 1 1

1

/ /

T

T T T T T

T T T

T η

   ∆ − 

=     −   ∆  

4 1

1

1

T = Φ T ^   − η ^{∆ −} ∆ ^  

s .

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

4 1

1

1

T = Φ T ^   − η ^{∆ −} ∆ ^  

1 1

C

T T

η

 ∆ − 

=  + 

 

( )

1

1

C p

C

W c T

η

= ∆ −

1

T T p

W ⁼ η c T _Φ ^{ ∆ − } _

 ∆ 

( )

2 3 3 2 1 1

1

1 1

p p

C

Q c T T c T T T

T η

−

    ∆ −  

= − =        −   +     

2 3 1

1 1

p

C

Q c T

−

η

 ∆ − 

=  Φ − − 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

( )

1 1

1

1 1

1

e T C p T p

C

p T

C

W W W c T c T

c T

η η

η η

∆ − ∆ − ∆

 

= − = Φ   ∆   − ∆

 

∆ − ∆

 

=   ∆    Φ −  

1

2 3

1

1

1 1

p T

T C C

p

C

W W c T

Q c T

η η

η

η

−

 

∆ − ∆

   Φ − 

 ∆ 

−   

= =

 Φ − − ∆ − 

 

  Φ − 1) − ∆ − 1)

∆

− Φ

∆ 1

−

= ∆

(

(

η

η η η

Rendement thermique du cycle

s .

T P

T P

γ γ

1

3 3

4 4

    −

= = ∆

   

 

 

s .

T P

T P

γ γ

1

2 2

1 1

    −

= = ∆

   

    ^.

T T

3 1

  Φ =  

 

Travail spécifique vs. rendement à deux températures TET (Température à l’Entrée de la Turbine) avec η_c=0.85, η_t=0.85 utilisant la formule précédente. Le rapport de compression évolue sur les lignes en partant de la gauche

À TET = 1300⁰C, il est possible de trouver une efficience maximale (42.3%) pour un rapport de compression de 38. Par contre, le travail spécifique maximal s’obtient pour un rapport de compression de 14 à la même température [ ].

La turbine Rolls-Royce Trent 60, avec TET =1288 ^OC et β = 35 (rapport de compression), affiche un rendement de 41.3%

Pour un cycle réel, si l’on néglige le débit massique de carburant par rapport au débit massique d’air et pour une capacité calorifique constante, le travail spécifique utile est donné par:𝑾𝑾_𝒆𝒆 = 𝜼𝜼_𝒕𝒕𝒄𝒄_𝒑𝒑 𝑻𝑻_𝟑𝟑 − 𝑻𝑻_{𝟒𝟒𝟒𝟒} − 𝒄𝒄_𝒑𝒑(𝑻𝑻_{𝟐𝟐𝟒𝟒} − 𝑻𝑻_𝟏𝟏)/𝜼𝜼_𝒄𝒄.

La relation isentropique entre le rapport de pression et le rapport de température ainsi que la mise à l’échelle par rapport C_pT₁permet d’écrire

D’une manière similaire à celle illustrée pour le cycle idéal, il est possible de trouver le rapport de pression r^* qui maximise le travail, notamment:

* / 2( 1)

3 1

(

/ )

r = n η T T

∆ = n

η

Φ

1

1

e p T

C

W / c T η

η

 

∆ − ∆

 

=  ∆  Φ − 

Une règle du pouce établie que pour chaque 55°C d’augmentation de température dans le bruleur, on obtient un accroissement de 1-3% de puissance et un gain de 2-4% de rendement

Améliorer un cycle thermodynamique implique :

• Augmenter le travail utile

• Augmenter le rendement

Dans une turbine à gaz on utilise

• Regénération: préchauffement de l’air à l’entrée de la chambre de combustion.

• Refroidissement intermédiaire(réduction du travail demandé au compresseur)

• ^Surchauffe (postcombustion)

C₁

1 2

T₁

3 4

6 5

B

Récupération de

l’énergie d’échappement

Pour mesurer l’efficacité de l’échangeur de chaleur, on introduit un coefficient défini comme le rapport entre l’enthalpie réelle transmise et celle théoriquement récupérable.

On ajoute un échangeur de chaleur afin de préchauffer le gaz

sortant du compresseur utilisant le gaz chaud sortant de la turbine

( ⁻ )( ⁻ )

=

1

e p

W c T ∆ Φ ∆

∆

Travail utile sans régénération

W_C

W_T T

S 2

1

4 3

A

T_A=T₂ +σ(T₄ –T₂)

2 1

s .

T T

 

=  

 

∆

2

4 2

A s

s s

T T

T T

σ = ⁻

−



 



= Φ

1 3

. T

T

(

)

Q = c

^   Φ − ∆ − T T σ ^   ^Φ ∆ T − ∆ T ^   ^  

(

) ( (

) (

) )

p A p s s s

Q = c T − T = c T − T − σ T − T

( )

1

Q = c T

^   Φ − ∆ − σ ^   ^Φ ∆ − ∆ ^   ^  

( )( )

( )

1

1

1

e p

p

W c T

Q c T η

σ

∆ − Φ − ∆

= = ∆

 Φ − ∆ −   Φ − ∆   

  ∆  

  ∆

∆

− −

∆

− Φ

∆

− Φ

∆ 1

−

= ∆

σ φ η

2 1

s .

T T

 

=  

 

∆



 



= Φ

1 3

. T

T

2

4 2

A s

s s

T T

T T

σ = ⁻

−

T_A=T₂ +σ(T₄ –T₂)

❶

❷

❸

❹ A

❸ ❶

❷

❹ A

2

4 2

T

T T T σ = ⁻

− T

= T

+ σ ( T

− T

)

1

1 1 1

1 1 1

A T

C C

T T σ η

η η

  ∆ −   ∆ −  ∆ −   

   

=      +   +   Φ −   ∆   − +         

3 1

1 1 1

( ) 1 1 1

p A p T

C C

Q c T T c T σ η

η η

    ∆ −    ∆ −   ∆ −     

 

= − =   Φ −      +   +   Φ −   ∆   − +           

❸ ❶

❷

❹ A

4 1

1

1

T = Φ T ^   − η ^{∆ −} ∆ ^  

1 1

C

T T

η

 ∆ − 

=  + 

 

1

1 1 1

1 1 1

p T

C C

Q c T σ η

η η

    ∆ −    ∆ −   ∆ −     

 

=   Φ −      +   +   Φ −   ∆   − +           

1

1

e p T

C

W c T η

η

 

∆ − ∆

 

=   ∆    Φ −  

1

1

1

1 1 1

1 1 1

p T

e C

p T

C C

W c T

Q

c T

η η

η

σ η

η η

 

∆ − ∆

   Φ − 

 ∆ 

  

= =

 Φ −    + ∆ −  +  Φ −  ∆ −  − +  ∆ −     

           

       ∆       

 

( ) ( )

− −

= − + −   − − −  

 

1

1 1

1 1

T

c

T

C

Φ ∆

∆

∆ Φ Φ ∆ ∆

∆

η η

η

σ η σ

η

= 0

σ ∆

1

−

∆

−

∆

− 1)

− Φ

∆

−

= Φ

) 1 (

(

c

η

η η η

= 1 σ

C

η

η η

Φ

− ∆

= 1

1

3 3

4s . 4

T P

T P

    −

=  = 

 

 

γ

∆ γ

1

2 2

1 1

s .

T P

T P

    −

=  = 

   

γ

∆ γ



 



= Φ

1 3

. T

T

2

4 2

TA T T T

σ = ⁻

−

Compresseur BP

de l’échangeur vers l’échangeur

Compresseur HP Turbines HP et BP

3

A

C₁ C₂ T₂

1 2 2a 2b 3 4

B

T₁

5 3

T1=cnste.

2 1

1 CRF

W RT ln p p

 

=  

 

2 1

1

1

CRF p

W c T ln p p γ

γ

 

= −  

 

3

pv = RT = cnste.

T1=cnste.

dv / v = − dp / p pdv = RTdv / v

p1

p2

A

WCRF

2

1

1 p CRF

p

W = RT ∫ dp / p

1 A 3 4

B

p1

p2

= ₁ T T

Théorie

3

T1=cnste.

p1

p2

A

WCRF

2 1

1

1

CRF p

W c T ln p p γ

γ

 

= −  

 

1 2 1

1

CFR p

W c T ln p p

γ γ

 

=  

 

1

CRF p

W = c T ln ∆

1 A 3 4

B

p1

p2

= ₁ T T

Théorie

1

CRF p

W = c T ln ∆

1

1

e p

W = c T    Φ    ∆ − ∆    − ∆ ln   

e T CRF

W = W − W

1

1

T p

W = c T Φ   ∆ − ∆   

3

p2

p1

A T1=cnste.

WCRF

T₂

1 A 3 4

B

p1

p2

= ₁ T T

( )

1 1

Cs p

W =c T ∆ −

Travail W_1-A/c_pT₁=lnΔ< W_1-2/c_pT₁=Δ-1

Théorie

( )

1 e 1

p

W c T

 Φ

= Φ − ∆− ∆ −

1

1

e p

W = c T    Φ    ∆ − ∆    − ∆ ln   

3

3 3 1 1

( ) ( ) ( 1)

p A p p

Q = c T − T = c T − T = c T Φ −

( ) ( )

1

1

1 / 1 /

( 1) 1

e p

p

c T ln ln

W

Q c T

η

Φ − Φ −

p2

p1

A T1=cnste.

WCRF

T₂

1 A 3 4

B

p1

p2

= ₁ T T

Théorie

Théorique sans refroidissement

1

( 1) ( 1) η = ^{∆ −}∆ ^ Φ − − ∆ −^{Φ − ∆ }

1

2

2a 2b

3

4

2 1p p p_x =

p

1

2 2

2 . 1

bs a

T p

T p

γ γ

    −

  = 

 

 

2bs 2s

1 1

2

2 2

1 . 1 1

s x

T p p

T p p

γ γ

γ γ

− −

     

= =

     

     

T

p

Pratique

S

1

2 2

1 . 1

T p

T p

γ γ

    −

∆ =   = 

   



 



= Φ

1 3

. T

T

2’

3

1

4

4’

2

A

1*

2

*

P₁ P₂

( )

( )

− − −

= −  − 

+ −  − − 

 

1 2 1

1 1

1 1

T

c

T

C

∆ Φ ∆

∆

∆ ∆

Φ Φ

∆

η η

η

σ η σ

η

Pratique

Remarque: Certains modèles de turbines utilisées pour la génération de puissance sont issues de l’industrie aéronautique.

On les appelle ainsi aéro-dérivées.

Cependant, l’ajout d’un refroidisseur intermédiaire n’est pas une

tache immédiate, puisque la morphologie des moteurs d’avion ne

se prête pas facilement à cette modification.

T

S 2

1

4 3

5

Remarque: D’un point de vue technologique, le cycle avec surchauffe, ou combustion séquentielle, est préféré au cycle avec refroidisseur intermédiaire. En effet, il est plus facile d’insérer une chambre de combustion qu’un refroidisseur dans une installation existante.

T

S 2s

1

4s 3

p1

p2

C T

1 2 3 5 6

B B

'

p2

T

S 2s

1

4s 3

4

p1

p2

3 5

T = =T cnste.

5

6 4

Théorie

T

S 2

1

4 3

5

W

= c T

( ∆ − 1 )

2

1

3 p TSC

p

W = RT ∫ dp / p

p1

p2

2 3

1 TSC

W RT ln p p

 

=  

  W

2 3

1

1

TSC p

W c T ln p p γ

γ

 

= −  

  W

Théorie

T

S 2

1

4 3

5

p1

p2

W

W

2 3

1

1

TSC p

W c T ln p p γ

γ

 

= −  

 

2 1

1

1

TSC p

W c T ln p

p γ

γ

 

= − Φ  

 

1 2 1

1

TSC p

W c T ln p p

γ γ

 

= Φ  

 

1

TSC p

W = c T Φ ∆ ln

Théorie

T

S 2

1

4 3

5

p1

p2

W

W

5

1

TSC p

W = c T Φ ∆ ln

( )

1

1

Cs p

W = c T ∆ −

1

( ( 1))

e p

W = c T Φ ∆ − ∆ − ln

e TSC C

W = W − W

( )

1

Q = c T

Φ − ∆

1

c T

ln

+ Φ ∆

2-3 3-5

Théorie

(

) ( )

1 1

( ( 1)) ( 1)

e p

p p

c T ln

W ln

Q c T c T ln ln

η

C T

1 2 3 5 6

B B

Théorie

Remarque: Dans cette expression on considère que le rendement des deux turbines est identique, soit 𝜂𝜂_Τ. Aussi, la pression intermédiaire 4-5 lors de la première détente est considérée optimale, c’est-à- dire 𝑝𝑝_4-5= 𝑝𝑝₁ 𝑝𝑝₂. Les températures à l’entrée de chaque turbine sont également supposées les mêmes T₃ = T₅ . On néglige la perte de pression dans les chambres de combustion.

2 ( 1) ( 1) /

(2 )

T c

η η

η

∆ Φ − ∆ − Φ

T

S

Pratique

' ' ' '

3 4 5 6 ; 3 5 ; 4 6

T −T = −T T T =T T =T

Φ

−

∆

∆

− Φ (

−

∆

− Φ

∆

−

∆

∆

−

−

∆

= Φ

) )

2 (

) 1 (

) 1 (

2 η σ

Rendement théorique( ηC , ηT=1) avec un étape de compression, régénération et deux étapes d’expansion (surchauffe)

( ^{2 (} )( ^{1) /} ) ( ⁽ ) ( ^{1) /} )

2 1 ( 1) / 1 1 1 ( 1) /

T C

C T

η η

η η σ σ η

Φ ∆ − ∆ − ∆ −

= Φ − + ∆ − − − + Φ − ∆ − ∆

Rendement réel avec un étape de compression, régénération et deux étapes d’expansion (surchauffe)

Pratique

T

S

Pratique

Pratique

( ) ( )

( ) ^{( )} ( )

1/ 1/

1/ 1/ 1/

1 1 / 1 /

1 ( 1) / 1 1 (1 1 / ) ( 1) (1 1 / )

− ∆ Φ − ∆ −

= Φ − + ∆ − − − Φ − − ∆ + − Φ − ∆

m n

T C

n m m

C T T

m n

m

η η

η η σ σ η η

Dans la chambre de combustion on injecte du carburant combiné avec une

quantité de vapeur d’eau. L’écoulement des gaz de combustion, augmenté

par la vapeur d’eau surchauffée, conduit à une augmentation de la

puissance livrée par la turbine. À ce phénomène on ajoute une variation de

la capacité calorifique du mélange.