Programme colle math Semaine 13 du 06/01/20 au 11/01/20 MPSI B Hoche
Exercices sur le calcul local.
Développements limités et asymptotiques.
Structures algébriques usuelles
Le programme, strictement limité au vocabulaire décrit ci-dessous, a pour objectif de permettre une présentation unifiée des exemples usuels. En particulier, l’étude de lois artificielles est exclue.
La notion de sous-groupe figure dans ce chapitre par commodité. Le professeur a la liberté de l’introduire plus tard.
a) Lois de composition internes
Loi de composition interne.
Associativité, commutativité, élément neutre, inversibi- Inversibilité et inverse du produit de deux éléments in-
lité, distributivité. versibles.
Partie stable.
b) Structure de groupe
Groupe. Notationxn dans un groupe multiplicatif, nx dans un
groupe additif.
Exemples usuels : groupes additifsZ, Q,R, C, groupes multiplicatifsQ∗,Q∗+, R∗,R∗+,C∗,U,Un.
Groupe des permutations d’un ensemble. NotationSX. Sous-groupe : définition, caractérisation.
c) Structures d’anneau et de corps
Anneau, corps. Tout anneau est unitaire, tout corps est commutatif.
Exemples usuels :Z,Q,R,C.
Calcul dans un anneau. Relation an−bn et formule du binôme si a et b com- mutent.
Groupe des inversibles d’un anneau.
Polynômes et fractions rationnelles (1)
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de base de ces objets formels et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques. Le programme se limite au cas où le corps de baseK estRouC.
a) Anneau des polynômes à une indéterminée
AnneauK[X]. La contruction deK[X] n’est pas exigible.
Notations
d
X
i=0
aiXi,
+∞
X
i=0
aiXi. Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire. Le degré du polynôme nul est−∞.
EnsembleKn[X] des polynômes de degré au plusn.
Degré d’une somme, d’un produit. Le produit de deux polynômes non nuls est non nul.
Composition. I : représentation informatique d’un polynôme ; somme,
produit.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S13
Programme colle math Semaine 13 du 06/01/20 au 11/01/20 MPSI B Hoche
Questions de cours Algèbre générale: Unicité de l’élément neutre dans un groupe.
Polynômes:
Pratique de la division euclidienne. Racine et divisibilité.
Prochain programme Arithmétique dansZ. Polynômes (2).
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2 Rémy Nicolai S13
