[ STI Métropole septembre 2001 \ Génie mécanique, civil, énergétique
EXERCICE1 6 points
1. Résoudre l’équation différentielle (E)y′′+1
4y=0 dans laquelle l’inconnuey est une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR.
2. Déterminer la solution particulièref de (E) vérifiant :f(0)=1 etf′¡π
2
¢=0.
3. Vérifier que, pour tout réelx, f(x)=p 2cos
µ1 2x−π
4
¶ .
4. étudier les variations def sur l’intervalleh
−π 2 ; π
2 i.
5. On munit le plan d’un repère orthonormal³ O,−→
ı ,−→
´(unité graphique : 4 cm).
Tracer la courbe représentant la fonctionf sur l’intervalleh
−π 2 ; π
2
i(sur pa- pier millimétré).
6. SoitFl’ensemble des pointsM(x;y) du plan tels que−π
2 6x6π 2et 06y6f(x).
Calculer, en cm3, le volumeV du solide de révolution engendré par la rota- tion de autour de l’axe (Ox).
(On rappelle qu’en cm3:V =64π Zπ2
−π2
[f(x)]2dx).
EXERCICE2 4 points
Une urne U1contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. Une urne U2contient trois boules numérotées 2, 3 et 4. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans chaque urne. Dans chaque urne, chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Si la boule tirée dans l’urne U1porte les numéros 1 ou 5, le joueur ne gagne rien.
Si les deux numéros tirés sont identiques, le joueur reçoit 50 euros. Dans tous les autres cas, le joueur gagne 20 euros.
1. Compléter le tableau ci-dessous indiquant, en fonction du tirage, le gain du joueur.
2. On noteXla variable aléatoire qui à chaque tirage des deux boules associe le gain du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité deX. b. Calculer l’espérance deX.
c. Avant de jouer, chaque participant doit payer 15 euros. Le joueur a-t-il alors intérêt à participer à ce jeu ?
d. Quelle somme faudrait-il attribuer au joueur dans le cas où les deux nu- méros seraient identiques, pour que le jeu soit équitable (gain de 0 euro et 20 euros ne changeant pas) ?
U1
U2 2 3 4
1
2 20
3 4
5 0
Baccalauréat STI Génie mécanique, civil, énergétique
PROBLÈME 10 points
Soitf la fonction définie surRpar
f(x)=xe−x+x
etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O,−→
ı ,→−
´d’unité : 1 cm.
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie surRpar
g(x)=(1−x)e−x+1.
1. Calculerg′(x), puis étudier le signe deg(x).
2. Calculerg(2). Dresser le tableau de variations deg(les limites en+∞en−∞
ne sont pas demandées). En déduire le signe deg(x).
Partie B : étude def et représentation graphique 1. Déterminer lim
x→+∞f(x) et lim
x→−∞f(x).
2. Calculerf′(x). Vérifier quef′(x)=g(x). Dresser le tableau de variations def. 3. Montrer que la droite∆d’équationy=xest asymptote àC au voisinage de
+∞.
4. Étudier la position deC par rapport à∆.
5. Tracer dans le repère³ O,→−
ı ,−→
´la droite∆et la courbeC (sur papier milli- métré).
Partie C : étude d’une aire
1. SoitHla fonction définie surRpar
H(x)=(−1−x)e−x. CalculerH′(x).
2. Soitαun réel strictement positif. Soit (E) la partie du plan limitée parC,∆et les droites d’équationsx=0 etx=α. Calculer, en cm2, l’aireA(α) de (E).
3. Calculer la limite deA(α) quandαtend vers+∞.
Métropole 2 septembre 2001
