UNIVERSITE PARIS VI
LM371-Examen de janvier 2011
Les documents, ordinateurs, calculatrices et téléphones portables sont inter- dits.
I
Décrire, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre 360.
II
Le but de ce problème est de montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 1100.
On suppose qu’il existe un groupe simpleGd’ordre 1100.
1)
a) Donner le nombre de 11-groupes de Sylow de G. En déduire le nombre d’éléments d’ordre11deG.
b) Donner le nombre de 5-groupes de Sylow de G. Dire pourquoi ils sont commutatifs (abéliens).
2) SoitS etT deux 5-groupes de Sylow de G distincts. On se propose de montrer par l’absurde que leur intersection est réduite à{e}.
Soith∈S∩T un élément distinct dee. On noteC(h)le centralisateur de h, c’est-à-dire l’ensemble{g∈G/ghg−1=h}.
a)Montrer queS etT sont des sous-groupes deC(h).
b)Montrer qu’un groupe d’ordre50ou100possède un unique5-Sylow.
c) Montrer queGn’a pas de sous-groupe d’indice2ou4.
d)En déduire que S∩T ={e}.
3)Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 1100.
III
SoitGun groupefini etple plus petit nombre premier qui divise l’ordre de G.
1)Montrer que siGopère sur un ensemble de cardinal strictement inférieur àp, alors toutes les orbites sont réduites à un élément.
2) Soit H un sous-groupe distingué d’ordre p de G. Montrer que H est contenu sur dans le centre deG. (faire opérerGsurH).
Question supplémentaire pour les plus curieux :
(**)3) SoitGun groupefini ayant au plus un sous-groupe d’ordrenpour tout entiern. Montrer queGest cyclique.
(on pourra raisonner par récurrence sur l’ordre deG).
