Analyse asymptotique
Master de l’ENS de Cachan, parcours MN2MC et master Mod´ elisation et Simulation de l’INSTN
2004-05
1 La d´ erivation des ´ equations de transport
1.1 La d´erivation rigoureuse
On appelle r´epartition de Poisson de param`etre µsur un sous-ensemble Λ de mesure finie (not´ee|Λ|) deRN une variable al´eatoire (not´eec=c1, .., cn)
`
a valeurs dans ∪n∈NΛn, v´erifiant les propri´et´es suivantes : la loi de n est une loi de Poisson de param`etre µ|Λ|, i-e P(n = p) = exp(−µ|Λ|)(µ|p!Λ|)p, et pournfix´e, la loi de c1, .., cn est proportionnelle `a la mesure de Lebesgue dc1..dcn sur Λn.
On admet l’existence d’une telle r´epartition, qui mod´elise un milieu homog`ene o`u des ´el´ements sont dispos´es ind´ependemment les uns des autres.
On admet ´egalement que pour toute fonctiong des ´el´ements c en question, l’esp´erance de cette fonction est donn´ee par la formule :
E(g(c)) = exp(−µ|Λ|) X
p∈N
|µ|p p!
Z
Λ
..
Z
Λ
g(c1, .., cp)dc1..dcp.
On s’int´eresse `a un flux de “petites” particules dans un milieu compos´e par des obstacles distribu´es de mani`ere homog`ene. Dans cette premi`ere partie “rigoureuse”, ces obstacles sont des sph`eres de rayonr qui absorbent les particules lorsque ces derni`eres les percutent.
Pour une configuration c = c1, .., cn d’´el´ements d’une r´epartition de Poisson (dor´enavant donc nomm´es obstacles, suppos´es sph´eriques de rayon r), ett≥0,x, v∈RN ×RN, on condid`ere
hc(t, x, v) =fin(x−vt) 1{∀i=1,..,n,s∈[0,t], x−vs /∈B(ci,r)}.
Cette quantit´e repr´esente la densit´e de particules en vol libre qui n’ont pas
´et´e absorb´ees par des obstacles au temps t. Cette densit´e au temps 0 est suppos´ee donn´ee par (x, v)7→fin(x, v)≥0.
Pour simplifier, on consid`ere quefinest `a support compact (i.-e. born´e) dans les deux variables x etv, et on s’int´eresse `a des temps tsuffisamment petits pour quex−vs reste dans un ensemble born´e Λ (quand 0≤s≤t).
On voit que (en d´esignant parEl’esp´erance par rapport `a la r´epartition de Poisson)
E(hc(t, x, v)) = exp(−µ|Λ|) X
p∈N
|µ|p p!
Z
Λ
..
Z
Λ
fin(x−vt)
×1{∀i=1,..,n; s∈[0,t], x−vs /∈B(ci,r)}dc1..dcp
=fin(x−vt) exp(−µ|Λ|) X
p∈N
|µ|p p!
Yp
q=1
Z
Λ
1{∀s∈[0,t], x−vs /∈B(cq,r)}dcq
=fin(x−vt) exp(−µ|Λ|) X
p∈N
|µ|p
p! |Λ− ∪s∈[0,t]B(x−vs, r)|p
=fin(x−vt) exp(−µ|Λ|) X
p∈N
|µ(|Λ| − |SN−1| |v|t rN−1− |SN|rN)|p p!
=fin(x−vt) exp(−µ(|SN−1| |v|t rN−1+|SN|rN)).
On se place dans la limite dite de Boltzmann-Grad : µ→+∞,r → 0 avecµ|SN−1|rN−1 →ν(etν 6= 0) dans laquelle le volume des obstacles tend vers 0 de telle sorte que le ”libre parcours moyen” (c’est-`a-dire la longueur parcourue en moyenne par une particule avant d’ˆetre absorb´ee) tende vers une limite finie. Dans cette limite,E(hc(t, x, v))→f(t, x, v), avec
f(t, x, v) =fin(x−vt) exp(−ν|v|t).
Cette fonction v´erifie l’´equation aux d´eriv´ees partielles (EDP) :
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) =−ν|v|f(t, x, v).
On a not´e∇x pour le gradient par rapport `a la variable x. Cette ´equation est une ´equation cin´etique (i.e. le terme de gauche s’´ecrit ∂tf(t, x, v) +v·
∇xf(t, x, v)) parfois appel´ee ´equation de transport avec absorption.
Dans le chapitre suivant, on pr´esente plusieurs variantes de cette ´equation, sans entrer dans les d´etails d’une d´erivation rigoureuse. On consid`ere syst´ema- tiquement le cas N = 3.
1.2 D´erivation heuristique
On consid`ere toujours un milieu constitu´e de “petites” particules avan-
¸cant entre des obstacles beaucoup plus massifs (on fait l’hypoth`ese que ces obstacles sont fixes et ont une densit´e donn´ee : ´etant massifs, ils ne sont pas perturb´es par les collisions avec les petites particules).
On prend pour inconnue du probl`eme la densit´ef(t, x, v) de particules qui au tempst et `a la positionx poss`edent la vitessev.
On commence la d´erivation heuristique d’une ´equation pourf, dans un contexte plus g´en´eral que dans le chapitre pr´ec´edent. S’il n’y avait pas de collisions avec les obstacles, la fonctionf v´erifierait
f(t+τ, x+v τ, v) =f(t, x, v). (1) En d’autres termes, les particules ont un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Cela signifie ´egalement quef serait solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (EDP)
∂tf+v· ∇xf = 0. (2)
On a d´eriv´e pour cela la relation (1) par rapport `a τ.
Lorsqu’on tient compte des collisions avec les obstacles, on a `a tout instant (de taille dt) un nombre β(|v|)dt de changement de vitesse (ou de disparition) d’une particule de vitessev `a la suite d’un choc avec un obsta- cle. Ce changement de vitesse a lieu sur un intervalle de temps tr`es petit pendant lequel la particule reste confin´ee dans un domaine tr`es restreint de l’espace. De plus, on noteK(v′, v)dtle nombre de particules de vitessevqui apparaissent endt `a la suite d’une percussion par une particule de vitesse v′ sur un obstacle.
L’´equation (2) devient alors
∂tf(t, x, v)+v·∇xf(t, x, v) = Z
v′
K(v′, v)f(t, x, v′)dv′−β(|v|)f(t, x, v). (3) On note V l’espace dans lequel les vitesses v varient. Il est naturel de consid´erer queV =R3 pour des particules de mati`ere (suppos´ees non rela- tivistes) telles que les neutrons, et queV =S2 pour des photons.
On note d’autre partXl’espace dans lequel varie la positionx. Il s’agit d’un sous-domaine deR3, de fronti`ere not´ee∂X. On appellen(x) la normale unitaire ext´erieure `aX en un pointxde∂X. On ajoute `a l’´equation (3) des conditions aux limites qui peuvent ˆetre :
1. Sur une fronti`ere non physique Γ⊂∂Ω, la condition “entrante”
∀t≥0, x∈Γ, v ∈V tels quev·n(x)≤0, f(t, x, v) =g(t, x, v),
o`ugest une fonction donn´ee. Ce type de fronti`ere est utilis´ee dans les calculs num´eriques (que l’on effectue n´ecessairement sur un domaine born´e).
2. Sur une fronti`ere physique Γ⊂∂Ω, la condition de r´eflexion sp´eculaire
∀t≥0, x∈Γ, v ∈V tels quev·n(x)≤0, f(t, x, v) =f(t, x, v−2 (v·n(x))n(x)).
Enfin on ajoute `a l’´equation (3) une donn´ee initiale (d´efinie pour x ∈ X, v∈V)
f(0, x, v) =fin(x, v).
Le cas particulier dans lequelR
v′K(v′, v)dv′ =β(|v|) correspond `a la situa- tion tr`es importante dans laquelle il y a conservation du nombre de partic- ules.
On termine par une situation dans laquelle on suppose que les particules peuvent “saturer” les obstacles. Dans ce cas, les termes K et β peuvent d´ependre deR
f(t, x, w)dw en plus dev etv′.
2 L’´ equation de transport : analyse math´ ematique
On s’int´eresse dans cette partie `a l’analyse math´ematique de l’´equation (3) dans le cas particulier typique o`uK(v′, v)|S2|=β(|v|) =σ, avecσconstante (i.-e. ind´ependant de v) appel´ee opacit´e et v ∈ S2 (cas des photons). On cherche donc f ≡ f(t, x, v) ≥ 0 avec t ≥ 0, x ∈ R3, v ∈ S2, v´erifiant l’´equation
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) =σ Z
v′∈S2
f(t, x, v′)dv′
|S2|−σ f(t, x, v), (4)
`
a laquelle on adjoint la condition initiale
f(0, x, v) =fin(x, v). (5)
2.1 Solutions fortes et faibles
On commence par d´efinir les solutions fortes et faibles pour l’´equation pr´ec´edente :
D´efinition : SoitT > 0 et f ∈Cc1([0, T]×R3×S2) (cela signifie que f admet des d´eriv´ees continues par rapport `a toutes les variables et que f vaut 0 lorsquex varie en dehors d’un ensemble born´e deR3). On dit quef est une solution forte (ou classique) de (4) – (5) lorsque les relations (4) et (5) sont v´erifi´ees en tout point de ]0, T[×R3×S2 etR3×S2 respectivement.
D´efinition : Soit T > 0 et f ∈ L∞([0, T]×R3 ×S2) (cela signifie que f est born´ee). On dit quef est une solution faible de (20–5) lorsque fin ∈ L∞(R3 ×S2) et pour toute fonction φ ∈ Cc1([0, T[×R3 ×S2) (cela impose queφs’annulle au voisinage de t=T), on a
− Z T
0
Z
R3
Z
S2
f(t, x, v)
∂tφ(t, x, v) +v· ∇xφ(t, x, v)−σ φ(t, x, v)
dvdxdt
= Z
R3
Z
S2
fin(x, v)φ(0, x, v)dvdx +σ
Z T
0
Z
R3
Z
S2
Z
S2
f(t, x, v′)φ(t, x, v) dv′
|S2|dvdxdt.
On commence par v´erifier la coh´erence des d´efinitions de solutions fortes et faibles :
Proposition: Toute solution forte de (4) – (5) est ´egalement solution faible. R´eciproquement, toute solution faible de (4) – (5) qui de plus est de classeCc1([0, T]×R3×S2) est une solution forte.
Preuve: Sif est une solution forte, on la multiplie parφ∈Cc1([0, T[× R3×S2) et on int`egre le r´esultat sur [0, T]×R3×S2. On conclut alors par int´egration par partie dans les variables t et x. Il n’apparait pas de termes de bord dans la variablexpuisque φs’annulle en dehors d’un born´e dans cette variable. De mˆeme, il n’apparait pas de terme correspondant au tempst =T car φs’annulle en ce temps. Le terme de bord correspondant au temps t = 0 fournit la quantit´e R
R3
R
S2fin(x, v)φ(0, x, v)dvdx une fois qu’on a utilis´e l’´equation sur la donn´ee initiale.
On suppose maintenant que f est une solution faible de (4) – (5) et quef ∈Cc1([0, T]×R3×S2). Apr`es int´egration par partie (que l’on est en droit d’effectuer puisquef etφsont de classe C1) et traitement des termes de bord comme dans le calcul pr´ec´edent, on obtient la relation
Z T
0
Z
R3
Z
S2
φ(t, x, v)
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) +σ f(t, x, v)−σ
Z
S2
f(t, x, v′) dv′
|S2|
dvdxdt
= Z
R3
Z
S2
fin(x, v)−f(0, x, v)
φ(0, x, v)dvdx.
Cette relation est valable pourφ∈Cc1([0, T[×R3×S2).
On utilise syst´ematiquement le r´esultat suivant d’analyse fonctionnelle : Si U est un ouvert de RN (N ≥ 1), f ∈ L1∪L∞(U), et R
Uf ψ = 0 pour toutψ∈Cc∞(U), alors f = 0 presque partout (et f = 0 si f est continue).
On commence par prendre φ ∈ Cc1(]0, T[×R3 ×S2). Pour de telles fonctions (qui s’annullent ent= 0), on a
Z T
0
Z
R3
Z
S2
φ(t, x, v)
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) +σ f(t, x, v)
−σ Z
S2
f(t, x, v′) dv′
|S2|
dvdxdt= 0.
On en d´eduit que
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) +σ f(t, x, v) =σ Z
S2
f(t, x, v′) dv′
|S2|. Donc, pourφ∈Cc1([0, T[×R3×S2),
Z
R3
Z
S2
(fin(x, v)−f(0, x, v))φ(0, x, v)dvdx= 0.
Mais toute fonction ψ ∈ Cc∞(R3×S2) s’´ecrit sous la forme φ(0, x, v) avec φ∈Cc1([0, T[×R3×S2), il suffit en effet de prendre
φ(t, x, v) =χ(t)ψ(x, v),
avec χ de classeCc1([0, T[) v´erifiant χ(0) = 1. On conclut que f(0, x, v) = fin(x, v).
2.2 Existence et Unicit´e
On commence par montrer un th´eor`eme simple d’unicit´e des solutions fortes.
Proposition : Soit fin∈Cc1(R3×S2), et f1, f2 ∈Cc1([0, T[×R3×S2) deux solutions fortes de (4) – (5). Alors f1=f2.
Preuve: On ´ecrit l’´equation surf1−f2 :
∂t(f1−f2)(t, x, v) +v· ∇x(f1−f2)(t, x, v) +σ(f1−f2)(t, x, v)
=σ Z
S2
(f1−f2)(t, x, v′) dv′
|S2|.
On la multiplie parf1−f2 et on int`egre surR3×S2(mais pas sur la variable de temps). On obtient
1 2∂t
Z
R3
Z
S2|(f1−f2)(t, x, v)|2dvdx+1 2
Z
R3
Z
S2
v· ∇x|(f1−f2)(t, x, v)|2dvdx
=σ Z
R3
Z
S2
Z
S2
f(t, x, v′) dv′
|S2| 2
dvdx−σ Z
R3
Z
S2|(f1−f2)(t, x, v)|2dvdx.
En utilisant le fait que f1 −f2 s’annulle en dehors d’un born´e (pour la variablex) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (ou de Jensen), on obtient
∂t Z
R3
Z
S2|(f1−f2)(t, x, v)|2dvdx≤0, si bien quef1 =f2.
On souhaite maintenant d´emontrer un th´eor`eme d’existence pour les so- lutions fortes. On propose une m´ethode de calcul qui permet en fait d’´ecrire la solution semi-explicite (i.-e. sous forme d’une s´erie faisant intervenir des int´egrales `a param`etre) pour l’´equation de transport.
On part de l’´equation
∂tf(t, x, v) +v· ∇xf(t, x, v) =σ Z
S2
f(t, x, v′) dv′
|S2|−σ f(t, x, v).
On pose (cela revient `a utiliser la m´ethode des caract´eristiques) f♯(t, x, v) =f(t, x+vt, v).
On a alors d
dtf♯(t, x, v) =∂tf(t, x+vt, v) +v· ∇xf(t, x+vt, v), si bien que
d
dtf♯(t, x, v) =σ Z
S2
f(t, x+vt, v′)dv′
|S2|−σ f♯(t, x, v).
Donc (cela revient `a utiliser la m´ethode de variation des constantes) d
dt
eσ tf♯(t, x, v)
=σ eσ t Z
S2
f(t, x+vt, v′) dv′
|S2|, et apr`es int´egration
eσ tf♯(t, x, v)−f♯(0, x, v) =σ Z t
0
eσ s Z
S2
f(s, x+vs, v′) dv′
|S2|ds, soit
f(t, x, v) =f(0, x−vt, v)e−σ t +σ
Z t
0
e−σ(t−t1) Z
w1∈S2
f(t1, x−v(t−t1), w1)dw1
|S2|dt1. On applique alors cette formule “`a elle-mˆeme” :
f(t, x, v) =f(0, x−vt, v)e−σ t +σ
Z t
0
e−(t−t1) Z
w1∈S2
f(0, x−v(t−t1)−w1t1, w1)e−σ t1 dw1
|S2|dt1 +σ2
Z t
0
e−σ(t−t1) Z
w1∈S2
Z t1
0
e−σ(t1−t2) Z
w2∈S2
f(t2, x−v(t−t1)−w1(t1−t2), w2)dw2
|S2|dt2dw1
|S2|dt1
=f(0, x−vt, v)e−σ t +σ e−σ t
Z t
0
Z
w1∈S2
f(0, x−v(t−t1)−w1t1, w1)dw1
|S2|dt1
+σ2 Z t
0
Z t1
0
Z
w1∈S2
Z
w2∈S2
e−σ(t−t2)f(t2, x−v(t−t1)−w1(t1−t2), w2)dw2
|S2|dt2dw1
|S2|dt1.
Raisonnant par r´ecurrence, puis passant `a la limite quand N → +∞, on obtient
f(t, x, v) =f(0, x−vt, v)e−σ t +σ e−σ t
Z t
0
Z
w1∈S2
fin(x−v(t−t1)−w1t1, w1)dw1
|S2|dt1
+
+∞
X
N=1
σN+1e−σ t Z t
0
Z t1
0
..
Z tN
0
Z
w1∈S2
Z
w2∈S2
..
Z
wN+1∈S2
fin(x−v(t−t1)−w1(t1−t2)−..−wN(tN −tN+1)−wN+1tN+1, wN+1) dwN+1
|S2| ..dw1
|S2|dtN+1..dt1.
L’utilisation de cette formule permet de d´emontrer le th´eor`eme suivant : Proposition: Soitfin ∈Cc1(R3×S2). Alors l’unique solution forte de (4) – (5) est donn´ee par la formule
f(t, x, v) =f(0, x−vt, v)e−σ t +σ e−σ t
Z t
0
Z
w1∈S2
fin(x−v(t−t1)−w1t1, w1)dw1
|S2|dt1 +
+∞
X
N=1
σN+1e−σ t Z t
0
Z t1
0
..
Z tN
0
Z
w1∈S2
Z
w2∈S2
..
Z
wN+1∈S2
fin(x−v(t−t1)−w1(t1−t2)−..−wN(tN −tN+1)−wN+1tN+1, wN+1) dwN+1
|S2| ..dw1
|S2|dtN+1..dt1.
Preuve: L’unicit´e est d´ej`a d´emontr´ee. Il suffit de v´erifier que la for- mule fournit bien une solution de (4) – (5). Cela s’obtient par une sim- ple v´erification (on applique la formule de d´erivation des int´egrales qui d´ependent d’un param`etre intervenant `a la fois dans l’int´egrande et les bornes).
2.3 Propri´et´es qualitatives
Parmi les cons´equences de la formule pr´ec´edente, on a la propagation
`
a vitesse au plus 1 de la solution. Cela signifie que si fin a son support (dans la variablex) dans B(0, R) (pour R > 0), alors f(t,·) a son support (toujours dans la variable x) dans B(0, R+t). En effet, il suffit de v´erifier que
|v(t−t1) +w1(t1−t2) +..+wN(tN−tN+1) +wN+1tN+1| ≤1 lorsquew1, .., wN+1 ∈S2 et 0≤tN+1 ≤..≤t1≤t.
D’autre part,
||f(t,·)||L∞ ≤e−σ t
1 +σ t+
+∞
X
N=1
σN+1 tN+1 (N+ 1)!
||fin||L∞ ≤ ||fin||L∞. On a donc un principe du maximum.
Enfin, par utilisation de l’in´egalit´e de Jensen, pourp∈[1,+∞[,
||f(t,·)||Lp ≤e−σ t
1 +σ t+
+∞
X
N=1
σN+1 tN+1 (N + 1)!
||fin||Lp ≤ ||fin||Lp. On peut ´egalement ´etudier la propagation de la r´egularit´e et des singu- larit´es pour cette ´equation.
Dans de nombreuses situations,σ >>1 (le milieu est alors dit opaque).
Le traitement de l’´equation de transport se fait dans ce cas par l’analyse asymptotique, qui est d´ecrite dans le prochain chapitre.
3 analyse asympotique
3.1 introduction
En physique, de nombreux probl`emes font intervenir des ´echelles de temps (ou d’espace) diff´erentes. On est donc amen´e `a faire intervenir dans les ´equations des param`etres petits, not´es ε par exemple, qui repr´esentent le rapport entre deux param`etres (exprim´es dans la mˆeme unit´e) de valeurs tr`es diff´erentes.
Les ´equations s’´ecrivent alors sous la forme F(∂αuε, ε) = 0,
o`uu est l’inconnue, ∂α repr´esente l’ensemble des d´eriv´ees partielles et εest un petit param`etre.
Lorsque F est continue par rapport `a la seconde variable, on parle de perturbation r´eguli`ere et l’on s’attend `a ce que uε converge vers u quand ε tend vers 0, o`u u est solution de
F(∂αu,0) = 0.
Il arrive malheureusement souvent queF ne soit pas continue (ou pas d´efinie) en 0 par rapport `a la seconde variable. On dit alors que l’on a une perturbation singuli`ere (on peut parfois se ramener tout de mˆeme `a la sit- uation pr´ec´edente en transformant l’´equation en une ´equation ´equivalente).
On se heurte souvent `a un probl`eme de conditions aux limites : celles relatives `a l’´equation
F(∂αuε, ε) = 0
(pourε >0) ne sont pas forc´ement les mˆemes que celles relatives `a l’´equation F(∂αu,0) = 0.
Il y a alors apparition de “couches limites” (appel´ees “couches initiales”
lorsqu’elles concernent la donn´ee ent= 0).
Un exemple typique de ce ph´enom`ene est fourni par l’´equation de Navier-Stokes (incompressible) avec grand nombre de Reynolds (situation tr`es courante)
∂tu+ (u· ∇x)u+∇xp=ε∆xu, ∇x·u= 0.
La perturbation est r´eguli`ere (on s’attend `a ce que la limite soit solution de l’´equation d’Euler (incompressible)
∂tu+ (u· ∇x)u+∇xp= 0, ∇x·u= 0.
Par contre les conditions aux limites naturelles au bord d’un obstacle (on ap- pellenla normale ext´erieure unitaire en un point de la fronti`ere de l’obstacle) pour l’´equation de Navier-Stokes sont de typeu = 0, alors qu’elles sont de type u·n= 0 pour l’´equation d’Euler.
Avant de voir l’approximation de la diffusion pour les ´equations de transport (une perturbation singuli`ere typique, lorsqu’on poseε= 1/σ), on commence par un cas plus simple : les ´equations diff´erentielles et leurs appli- cations `a la cin´etique chimique. Des d´emonstrations ´el´ementaires compl`etes peuvent ˆetre propos´ees dans ce cas.
3.2 Equations diff´erentielles 3.2.1 Rappels
On appelle syst`eme deN ´equations diff´erentielles (`a N inconnues) une relation du type
x′ =a(t, x), (6)
o`ua:I×RN →RN (I ´etant un intervalle deR).
Une solution de l’´equation (6) est une applicationt7→x(t) deC1(I,RN) v´erifiant
∀t∈I, x′(t) =a(t, x(t)).
Tout syst`eme d’´equations d’ordre sup´erieur peut en fait se mettre sous la forme (6), quitte `a augmenter N. Il peut mˆeme ˆetre mis sous une forme autonome, c’est-`a-dire avec une fonctionaqui ne d´epend pas explicitement de t.
Exemple: On consid`ere le syst`eme x′′ =x′+y′+y2,
y′′=x′y′+t. (7)
On posex1 =x′,x2 =x,x3=y′, et x4=y. Le syst`eme (7) devient alors
x′1 =x1+x3+x24, x′2 =x1,
x′3 =x1x3+t, x′4 =x3.
Si on le souhaite, on peut poserx5 =t, et obtenir le syst`eme autonome
x′1 =x1+x3+x24, x′2 =x1,
x′3 =x1x3+x5, x′4 =x3,
x′5 = 1.
L’ensemble des r´esultats ´el´ementaires d’existence et d’unicit´e sur les
´equations de type (6) se r´esume en le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme : On consid`ere un intervalleI = [t0, T0[ deR,x0 ∈RN, et une condition initiale
x(t0) =x0, (8)
ainsi qu’une fonctiona:I×RN →RN de classeC1.
1. Soit t1 ∈]t0, T0[. La fonctionx est solution de (6), (8) sur [t0, t1[ si et seulement six est continue sur [t0, t1[ et
∀t∈[t0, t1[, x(t) =x0+ Z t
t0
a(s, x(s))ds.
2. (existence : Cauchy-Arzela) Siaest continue, alors il existet1 ∈]t0, T0[ etx solution de (6), (8) sur [t0, t1[.
3. (unicit´e : Cauchy-Lipschitz) Siaest de classeC1(ou, plus g´en´eralement localement Lipschitzienne), alors deux solutionsx1, x2 de (6), (8) sur [t0, t1[ sont identiques (x1=x2).
4. (th´eor`eme des bouts) Soit t1 ∈]t0, T0[ et x solution de (6), (8) sur [t0, t1[. Alors soit t1 = T0, soit x peut se prolonger sur [t0, t1+ε[ en une solution de (6), (8) pour un certainε >0, soit enfin il existe une suiteτn→t1 telle que|x(τn)| →+∞.
5. Siaest `a croissance au plus lin´eaire, i.-e. il existe C >0 telle que
∀t∈I, |a(t, x)| ≤C(1 +|x|),
alors il existe x solution de (6), (8) sur I. Cela reste valide si a est globalement Lipschitzienne, ou mˆeme s’il existeC >0 telle que
∀t∈I, (a(t, x)−a(t, y))·(x−y)≤C|x−y|2. 3.2.2 Perturbations r´eguli`eres
On commence par le r´esultat ´el´ementaire suivant de stabilit´e : Lemme(Gronwall) : Soit x∈C([t0, T],RN) telle que
∀t∈[t0, T], |x(t)| ≤C+K Z t
t0
|x(s)|ds.
Alors
∀t∈[t0, T], |x(t)| ≤C eK(t−t0). Preuve: On remarque que
d dt
e−K t
Z t
t0
|x(s)|ds
≤C e−K t.
Donc Z t
t0
|x(s)|ds≤ C K
eK(t−t0)−1
, et
|x(t)| ≤C eK(t−t0).
On ´enonce maintenant un th´eor`eme de continuit´e des solutions d’une
´equation diff´erentielle par rapport `a ses coefficients. Pour simplifier, on se contente du cas globalement Lipschitzien, et (sans restreindre en fait la g´en´eralit´e) on ne consid`ere que le cas autonome. En d’autres termes, on prenda:RN →RN v´erifiant pour un certain K >0,
∀x, y∈RN, |a(x)−a(y)| ≤K|x−y|. (9) On montre le
Th´eor`eme : Soit a :RN → RN v´erifiant (9) pour un certain K > 0, etx,y des solutions sur [t0, T] des ´equations
x′(t) =a(x(t)),
x(0) =x0, (10)
et
y′(t) =a(y(t)) +φ(t),
y(0) =x0+δ, (11)
o`u δ∈RN etφest continue sur [t0, T].
Alors
∀t∈[t0, T], |x(t)−y(t)| ≤
|δ|+ (T−t0)||φ||∞
eK(t−t0). Preuve: On ´ecrit pourt∈[t0, T],
x(t) =x0+ Z t
t0
a(x(s))ds,
y(t) =x0+δ+ Z t
t0
a(y(s))ds+ Z t
t0
φ(s)ds.
On en d´eduit que
|x(t)−y(t)| ≤ |δ|+ Z t
t0
|φ(s)|ds+ Z t
t0
|a(x(s))−a(y(s))|ds
≤ |δ|+ (T −t0)||φ||∞+K Z t
t0
|x(s)−y(s)|ds si bien que l’on conclut avec le lemme de Gronwall.
Ce r´esultat s’interpr`ete de la mani`ere suivante en terme de perturba- tions (r´eguli`eres) : siaest une fonction deRN×[0, ε0] dansRN (pourε0 >0) continue par rapport `a la seconde variable et globalement Lipschitzienne par rapport `a la premi`ere (uniform´ement par rapport `a la seconde) et si s est une fonction de [0, ε0] dansRN (pourε0 >0) continue, alors la solution xε
de l’´equation
x′ε(t) =a(xε(t), ε),
x(0) =s(ε), (12)
converge uniform´ement sur tout intervalle born´e deRvers la solutionx0 de
l’´equation
x′0(t) =a(x0(t),0),
x(0) =s(0), (13)
3.2.3 La cin´etique chimique et les perturbations singuli`eres
Les r´eactions chimiques peuvent se d´ecomposer en une suite de r´eactions
´el´ementaires du type
A1+..+An−→B1+..+Bp,
o`u les produits Ai, Bj ne sont pas n´ecessairement distincts, et, en g´en´eral, n= 1,2 ou, au maximum,n= 3.
Chaque fois qu’un produitP figure parmi lesBj, sa concentration aug- mente `a la vitesse k a1.. an, o`u ai est la concentration deAi et la constante de proportionnalit´ek est dite constante de la r´eaction. Chaque fois que P figure parmi lesAi, sa concentration diminue `a la vitesse k a1.. an.
En tenant compte des diff´erentes r´eactions ´el´ementaires, on obtient un syst`eme d’´equations diff´erentielles portant sur les concentrations des pro- duits.
Exemple: On consid`ere une r´eaction du type A+B −→C,
qui se d´ecompose en r´eactions ´el´ementaires A+B −→X, X−→A+B,
X −→C,
dont les constantes respectives sont not´ees k1, k−1, k2. On obtient alors le syst`eme d’´equations diff´erentielles
a′=−k1ab+k−1x, b′=−k1ab+k−1x, x′ =k1ab−(k−1+k2)x,
c′ =k2x.
En observant d’une part que c n’intervient pas dans les trois premi`eres
´equations, et d’autre part que a′=b′, on voit que b(t) =a(t)−a(0) +b(0), et donc le syst`eme peut ˆetre r´e´ecrit
a′(t) =−k1a(t) (a(t)−a(0) +b(0)) +k−1x(t), x′(t) =k1a(t) (a(t)−a(0) +b(0))−(k−1+k2)x(t).
Le r´esultat obtenu est donc un syst`eme de deux ´equations autonomes non- lin´eaires.
Dans de nombreux cas, X est un produit tr`es r´eactif (appel´e interm´e- diaire de r´eaction) si bien que k−1, k2 >> k1. Un exemple de valeurs num´eriques (−a(0) +b(0) = 1, k1 = 1,k−1 =k2 = 1ε) fournit le syst`eme
a′ =−a(a+ 1) + x ε, x′ = a(a+ 1)−2x
ε.
On voit que l’on ne peut pas appliquer la th´eorie des perturbations r´eguli`eres
`
a ce syst`eme pour trouver la limite deaetx lorsqueε→0.
Le changement de variabley= xε am`ene au syst`eme a′ =−a(a+ 1) +y,
ε y′ = a(a+ 1)−2y.
Le passage `a la limite “formel” dans ce syst`eme donne 0 =a(a+ 1)−2y,
puis
a′=−1
2a(a+ 1).
Les conditions initiales posent des probl`emes sp´ecifiques que nous ´etudierons dans la suite. Dans les conditions normales le produitXest de concentration nulle en d´ebut de r´eaction. On justifie le calcul formel par le
Th´eor`eme : Soit aε, xε la solution unique (sur [0, Tε∗] o`u Tε∗ est le temps maximal d’existence de la solution en question) du syst`eme
a′ε=−aε(aε+ 1) + xε
ε , aε(0) =α >0, (14) x′ε=aε(aε+ 1)−2xε
ε, xε(0) = 0. (15)
D’autre part, soita la solution (surR+) de l’´equation a′=−1
2a(a+ 1), a(0) =α.
AlorsTε∗= +∞, et pour toutT >0,t∈[0, T], 0≤xε(t)≤ 1
2α(α+ 1)ε,
|aε(t)−a(t)| ≤ 1
4α(α+ 1)e(α+12)T ε.
Preuve : On ne note pas la d´ependance en ε des diff´erents temps intervenant dans la preuve.
1`ere ´etape : Pourt∈]0, T∗[, on axε(t)>0 et aε(t)>0.
On commence par remarquer que aε(0) =α >0 et xε(0) = 0, x′ε(0) = aε(0) (aε(0) + 1) = α(α + 1) > 0. On en d´eduit que T∗∗ = sup{t >
0, /xε, aε>0 sur ]0, t[} est bien d´efini, et de plusT∗∗>0.
Si T∗∗ < T∗, on est alors dans l’une des trois situations suivantes : soit aε(T∗∗) = xε(T∗∗) = 0, soit aε(T∗∗) > 0, xε(T∗∗) = 0, soit aε(T∗∗) = 0, xε(T∗∗)>0. Mais dans le premier cas, on a (par unicit´e dans le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz)aε(0) =xε(0) = 0, ce qui est contraire aux hypoth`eses.
Dans le second cas,x′ε(T∗∗)>0, ce qui est impossible. Enfin dans le dernier cas, a′ε(T∗∗)>0, ce qui est ´egalement impossible.
Finalement, on obtient queT∗∗=T∗, ou, en d’autres termes,xε(t)>0 etaε(t) >0 sur ]0, T∗[. On observe alors en additionnant (14) et (15) que a′ε(t)+x′ε(t)≤0. On en d´eduit queaε(t)+xε(t)≤αsur ]0, T∗[. Finalement, 0< aε(t)≤α, 0< xε(t)≤α, (16) sur ]0, T∗[. D’apr`es le th´eor`eme des bouts, on voit queT∗ = +∞.
2`eme ´etape: On a 0< xε(t)≤ 2εα(α+ 1) sur ]0,+∞[.
D’apr`es la deuxi`eme ´equation, x′ε+ 2xε
ε =aε(aε+ 1), si bien que
(xεe2t/ε)′=aε(aε+ 1)e2t/ε. On en d´eduit que
xε(t)e2t/ε−xε(0) = Z t
0
aε(s) (aε(s) + 1)e2s/εds, soit
|xε(t)| ≤e−2t/εα(α+ 1)e2t/ε−1 2/ε
≤ ε
2α(α+ 1).
3`eme ´etape: On conclut.
En additionnant (14) `a la moiti´e de (15), on obtient a′ε+1
2x′ε=−1
2aε(aε+ 1), si bien que
a′ε−a′ = [−1
2aε(aε+ 1)]−[−1
2a(a+ 1)]−1 2x′ε,
et donc
|aε(t)−a(t)| ≤ 1 2
Z t
0 |aε(s) (aε(s) + 1)
−a(s) (a(s) + 1)|ds+1 2|xε(t)|
≤ 1 2
Z t
0
|aε(s)| |aε(s)−a(s)|+|a(s) + 1| |aε(s)−a(s)|
ds+1 2|xε(t)|
≤(α+1 2)
Z t
0 |aε(s)−a(s)|ds+ε
4α(α+ 1).
On conclut enfin par utilisation du lemme de Gronwall.
3.2.4 La couche initiale
Le th´eor`eme pr´ec´edent reste valide lorsque la condition initialexε(0) = 0 est remplac´ee par une condition du type xε(0) = ε ξ. Par contre, le r´esultat ne peut subsister quandxε(0) =ξ (la conclusion impliquait en effet quexε(0)→0). Le r´esultat que l’on peut d´emontrer est le suivant :
Th´eor`eme : Soit aε, xε la solution unique (sur [0, T∗] o`u T∗ est le temps maximal d’existence de la solution en question) du syst`eme
a′ε=−aε(aε+ 1) + xε
ε , aε(0) =α >0, (17) x′ε=aε(aε+ 1)−2xε
ε, xε(0) =ξ >0. (18) D’autre part, soita la solution (surR+) de l’´equation
a′=−1
2a(a+ 1), a(0) =α+ξ/2.
AlorsT∗= +∞, et pour toutT >0,t∈[0, T],
|xε(t)−ξ e−2t/ε| ≤ ε
2(α+ξ) (α+ξ+ 1), (19)
|aε(t) +ξ
2e−2t/ε−a(t)| ≤ ε
2(α+ξ) (α+ 5
4ξ+ 1)e(α+32ξ+12)T. Preuve : En utilisant le mˆeme raisonnement que dans le th´eor`eme pr´ec´edent, on obtient queT∗ = +∞, queaε et xε sont strictement positifs
sur ]0,+∞[, et que a′ε(t) +x′ε(t) ≤0. Donc aε(t) ≤α+ξ et xε(t) ≤α+ξ sur ]0,+∞[.
Toujours comme auparavant, on a
(xεe2t/ε)′=aε(aε+ 1)e2t/ε. Mais on en d´eduit maintenant que
xε(t)e2t/ε−ξ= Z t
0
aε(s) (aε(s) + 1)e2s/εds, soit
xε(t)−ξ e−2t/ε= Z t
0
aε(s) (aε(s) + 1)e−2(t−s)/εds.
Donc
|xε(t)−ξ e−2t/ε| ≤(α+ξ) (α+ξ+ 1) Z t
0
e−2(t−s)/εds, d’o`u l’estimation (19).
On note dor´enavant
˜
xε(t) =xε(t)−ξ e−2t/ε, ˜aε(t) =aε(t) + ξ
2e−2t/ε. Enfin,
a′ε−a′ = [−1
2aε(aε+ 1)]−[−1
2a(a+ 1)]−1 2x′ε, soit
aε(t)−a(t) =−1 2
Z t
0
aε(s) (aε(s) + 1)−a(s) (a(s) + 1)
ds +α−a(0)−ξ
2(e−2t/ε−1)−1 2x˜ε(t), ce qui justifie la valeur dea(0) choisie dans ce th´eor`eme.
Donc
˜
aε(t)−a(t) =−1 2
Z t
0
(˜aε(s)− ξ
2e−2s/ε) (˜aε(s)−ξ
2e−2s/ε+ 1)
−a(s) (a(s) + 1)
ds−1 2x˜ε(t)
=−1 2
Z t
0
˜
aε(s) (˜aε(s) + 1)−a(s) (a(s) + 1)
ds+yε(t), et
|yε(t)| ≤ ξ 4
Z t
0
e−2s/ε|˜aε(s)− ξ
2e−2s/ε+ 1|ds +ξ
4 Z t
0
e−2s/ε|˜aε(s)|ds+1 2|x˜ε(t)|
≤(||a˜ε||∞+||aε||∞+ 1)ξ 4
Z t
0
e−2s/εds+ ε
4(α+ξ) (α+ξ+ 1)
≤ ε 4
(α+5
4ξ+ 1
2)ξ+ (α+ξ+ 1) (α+ξ)
≤ ε
2(α+ξ) (α+5 4ξ+ 1).
Finalement,
|˜aε(t)−a(t)| ≤(1 2+1
2||aε||∞+1
2||˜a||∞) Z t
0 |˜aε(s)−a(s)|ds+ε
2(α+ξ) (α+5 4ξ+1).
Enfin, grˆace au lemme de Gronwall,
|˜aε(t)−a(t)| ≤ ε
2(α+ξ) (α+ 5
4ξ+ 1)e(α+32ξ+12)T. 3.3 L’int´erˆet des sch´emas implicites
On convient en g´en´eral de dire que dans les syt`emes dissipatifs (c’est-`a-dire ceux dans lesquels il y a une forme d’irr´eversibilit´e), on peut s’affranchir du calcul des ´echelles de temps les plus faibles en utilisant des sch´emas implicites. En d’autres termes, sous r´eserve d’utiliser des sch´emas implicites, on peut utiliser des pas de temps plus grands que le temps caract´eristique le plus court du ph´enom`ene ´etudi´e.
Cela est malheureusement assez compliqu´e `a v´erifier pour les syst`emes d’´equations diff´erentielles non lin´eaires. On consid`ere donc `a la place des syst`emes 2-2 d’´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants et sans second membre, pour lesquels tous les calculs peuvent ˆetre men´es de mani`ere explicite. On ´ecrit
X′ =A X,
o`u la matrice A est diagonalisable: A = P−1
λ1 0 0 λ2
P. La solution explicite de ce syst`eme est
X(t) = exp(A t)X(0)
=P−1
eλ1t 0 0 eλ2t
P X(0)
=
a eλ1t(P X(0))1+b eλ2t(P X(0))2 c eλ1t(P X(0))1+d eλ2t(P X(0))2
, o`ua, b, c, d sont les coefficients de la matrice de P−1.
Les sch´emas d’Euler explicites et implicites donnent respectivement pourt= 1 (et apr`es les pas de temps 1/n,2/n, ..1) le r´esultat
a(1 +λ1/n)n(P X(0))1+b(1 +λ2/n)n(P X(0))2 c(1 +λ1/n)n(P X(0))1+d(1 +λ2/n)n(P X(0))2
, a(1−λ1/n)−n(P X(0))1+b(1−λ2/n)−n(P X(0))2
c(1−λ1/n)−n(P X(0))1+d(1−λ2/n)−n(P X(0))2
.
On voit que lorsque|λ1/n|,|λ2/n|<<1, les deux sch´emas fonctionnent bien.
Par contre lorsque λ2 <0 et |λ1/n|<<1 mais −λ2/n grand devant 1 (ou de l’ordre de 1), alors le 1er ne fonctionne plus du tout (car (1 +λ2/n)n devient ´enorme et de signe altern´e) alors que que le second continue de bien fonctionner (careλ2 et (1−λ2/n)−n sont tous deux tr`es petits).
cette situation se pr´esente quand on consid`ere le syst`eme d’´equations diff´erentielles v´erifi´e par les concentrations deAetXdans la r´eaction chim- ique
A→X, A←X, X→C+D,
o`u la constante de la 1`ere r´eaction est 1 et celle des deux autres est 1/ε. La matrice est alors
−1 1/ε 1 −2/ε
et ses valeurs propres sontλ1 =−1/2+O(ε), λ2 =−2/ε+O(1).
3.4 L’approximation de la diffusion pour l’´equation de trans- port
On consid`ere le scaling suivant pour l’´equation de transport : ε ∂tfε+v· ∇xfε= 1
ε( ˜fε−fε), (20) o`u on a d´efini (pourg donn´ee) ˜g(t, x) =R
w∈S2g(t, x, w)|dwS2|. On lui adjoint la donn´ee initiale
fε(0, x, v) =fin(x, v). (21) On montre le th´eor`eme :
Th´eor`eme : Soit fin ∈ Cc1(R3 ×S2) une fonction positive, et fε
l’unique solution (forte) positive dans Cc1([0, T]×R3 ×S2) de l’´equation (20), (21). Alorsfε converge versf dansL∞([0, T]×R3×S2) faible (*), o`u f ∈C1([0, T]×R3) est l’unique solution forte de l’´equation de diffusion
∂tf(t, x)−1
3∆xf(t, x) = 0, f(0, x) =
Z
S2
fin(x, v) dv
|S2|.
Preuve: On multiplie l’´equation (20) parfε et on int´egre sur [0, T]× R3×S2. On obtient l’estimation
||f˜ε−fε||L2([0,T]×R3×S2)≤ε||fin||L2(R3). Quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que
fε⇀ f dans L1∩L∞([0, T]×R3×S2) faible (∗).
Cela signifie que pour toute fonctionφ∈Lp([0, T]×R3×S2) (p∈[1,+∞]), Z T
0
Z
R3
Z
S2
fεφ −→
Z T
0
Z
R3
Z
S2
f φ.
En particulier, pour toute fonction ψ de v born´ee, et toute fonction η ∈ Lp([0, T]×R3) (p∈[1,+∞]),
Z T
0
Z
R3
ψ fgεη −→
Z T
0
Z
R3
gψ f η.
On en d´eduit que ˜f =f, autrement dit quef ne d´epend que det etx.
On multiplie eq. (20) par 1, puis parv, et on int`egre par rapport `a la variablev. On obtient
ε∂tf˜ε+∇x·(gv fε) = 0, ε∂t(v fgε) +∇x·(v^⊗v fε) =−1
εv fgε. La combinaison des deux fournit
∂tf˜ε− ∇x∇x :v^⊗v fε=ε ∂t∇x·(gv fε).
On observe alors que
] v⊗v= 1
3Id.
Le r´esultat final (une fois qu’on est pass´e `a la limite au sens des distributions) est
∂tf−1
3∆xf = 0.
En d’autres termes, f v´erifie une ´equation de diffusion.
On ne peut esp´erer que
f(0,·) =fin
que si fin ne d´epend pas de v. Lorsque fin d´epend de v, il y a apparition d’une couche initiale.
Pour comprendre comment cette couche se met en place, on passe `a la limite dans la formulation faible de l’´equation de transport.
On sait quefε est ´egalement solution faible de l’´equation de transport, donc pour toute fonctionφ∈Cc1([0, T[×R3×S2), on a
− Z T
0
Z
R3
Z
S2
fε(t, x, v)
ε ∂tφ(t, x, v) +v· ∇xφ(t, x, v)−1
εφ(t, x, v)
dvdxdt
= Z
R3
Z
S2
fin(x, v)φ(0, x, v)dvdx +1
ε Z T
0
Z
R3
Z
S2
Z
S2
fε(t, x, v′)φ(t, x, v) dv′
|S2|dvdxdt.
