Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2005-06
M1 math´ematiques F. Conduch´e - M. Couillens - L. Merel
EXAMEN du 6 juin 2006 Dur´ee : 3 h
1. Consid´erons les groupes ab´eliens suivants : Q,Q/Z,C∗,{z∈C∗/z2006= 1}.
1.a. D´eterminer leurs parties de torsion.
1.b. Dire lesquels parmi eux sont de type fini.
1.c. Dire lesquels parmi eux poss`ede un sous-groupe de type fini libre de rang non nul.
2. Y a-t-il deux groupes ab´eliens d’ordre 2006 qui ne sont pas isomorphes ?
3. L’anneauZ/9Zest-il principal ?
4. SoitKun corps.
4.a. Les anneauxK(X)[Y] etK(X)[Y, Z] sont-ils principaux ? 4.b. Sont-ils factoriels ?
5. PosonsP(X) =X4+X3+X2+X+ 1∈Z[X].
5.a. CalculerP(Y + 1).
5.b. En d´eduire queP est irr´eductible surQ.
5.c. Est-il irr´eductible surR?
5.d. La r´eduction modulo 5 deP est-elle irr´eductible surF5? 5.e. La r´eduction modulo 2 deP est-elle irr´eductible surF2 ?
6. SoitKle corps de d´ecomposition dansCdu polynˆomeX4−4.
6.a. D´ecomposer le polynˆomeX4−4 en produit de polynˆomes irr´eductibles surQ.
6.b. D´emontrer queK poss`ede deux sous-corps distinctsK1 etK2qui sont des extensions quadratiques de Q.
6.c. Donner deux polynˆomesP1 etP2dont K1et K2 sont des corps de rupture surQ.
6.d. D´emontrer queK=K1K2.
6.e. Quel est le degr´e de l’extensionK|Q?
6.f. Les extensionsK1|Qet K2|Qsont-elles galoisiennes ? 6.g. Le groupe de Galois de l’extensionK|Qest-il ab´elien ? 6.h. D´emontrer que√
2(1 +i) appartient `a K.
6.i. D´eterminer un ´el´ement primitif de l’extensionK|Q.
