THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON
Années 1994/95-1995/96
L e c o n t e n u c o n s t r u c t i f d ' u n p r i n c i p e l o c a l - g l o b a l a v e c u n e a p p l i c a t i o n à l a s t r u c t u r e d ' u n m o d u l e
p r o j e c t i f d e t y p e f i n i
H . L O M B A R D I
L e c o n t e n u c o n s t r u c t i f d ' u n p r i n c i p e l o c a l - g l o b a l a v e c u n e a p p l i c a t i o n à l a s t r u c t u r e d ' u n m o d u l e p r o j e c t i f
d e t y p e fini
H . L o m b a r d i 6 J a n v i e r 1 9 9 7
L a b o r a t o i r e de M a t h é m a t i q u e s d e Besançon U R A C N R S 741
U F R des Sciences et Techniques Université de Franche-Comté email: lombardi@math.univ-fcomte.fr
R é s u m é
Nous étudions la structure d'une matrice projecteur F sur un anneau commutatif.
Nous explicitons le système fondamental d'idempotents orthogonaux, caché dans cette matrice, pour chacun desquels la matrice a un rang bien défini. De même nous trouvons un nombre fini d'éléments de l'anneau qui l'engendrent en tant qu'idéal et qui permettent d'expliciter le module projectif image de F comme localement libre. Nos preuves sont basées sur le principe local-global abstrait. Nous donnons deux méthodes pour récupérer une preuve constructive des résultats obtenus. La plus intéressante est une interprétation constructive du principe local-global abstrait le plus élémentaire. Il nous semble qu'il s'agit là d'un pas non négligeable dans la mise en place du "programme de Hilbert" pour l'algèbre abstraite, i.e. la traduction automatique des preuves d'algèbre abstraite en preuves constructives.
Classification A M S : 03F65, 13C10, 13B10
/
M o t s clés : M a t h é m a t i q u e s constructives, P r o g r a m m e de Hilbert, Evaluation d y n a m i q u e , Mo- dules projectifs de t y p e fini, Matrices de projection, Idéaux de Fitting, Principes local-globals.
1
T a b l e d e s m a t i è r e s
I n t r o d u c t i o n 3 1 R a p p e l s 4
1.1 Modules de présentation finie 5 1.2 Modules projectifs de t y p e fini 6
1.3 Localisation 11 1.4 S y s t è m e f o n d a m e n t a l d ' i d e m p o t e n t s o r t h o g o n a u x 12
1.5 Le principe local-global 13 2 M a t r i c e s d e p r o j e c t i o n 1 8
2.1 Cas d ' u n a n n e a u local 18
2.2 Cas général 18 2.3 Cas générique 20 3 L e c o n t e n u c o n s t r u c t i f d u p r i n c i p e l o c a l - g l o b a l 2 1
3.1 L'idée générale 21 3.2 S t r u c t u r e s algébriques d y n a m i q u e s 22
3.3 A n n e a u versus a n n e a u local (dynamiques) 22 3.4 Relectures constructives d'énoncés et de preuves 25 4 C o m p l é m e n t s s u r l ' i n t e r p r é t a t i o n c o n s t r u c t i v e d u p r i n c i p e l o c a l - g l o b a l 2 6
4.1 A n n e a u avec idéal et préinversibles : définition des s t r u c t u r e s 27 4.2 Faits prouvables et interprétation d u principe local-global a b s t r a i t 28
4.3 Récapitulons 32
I n t r o d u c t i o n
D a n s cet article, t o u s les a n n e a u x considérés sont c o m m u t a t i f s .
N o t r e b u t est d e c o m p r e n d r e en termes concrets les théorèmes suivants.
T h é o r è m e 1 (caractérisation locale des modules projectifs d e t y p e fini) Un module M s u r un anneau A est projectif de type f i n i si et seulement si il est localement libre au sens suivant : il existe s i , . . . , sm d a n s A tels que,
• s i A H 1- smA = A, et
• les MS i obtenus à p a r t i r de M en étendant les scalaires aux ASi (As désigne le localisé où on autorise le d é n o m i n a t e u r s ) sont libres.
T h é o r è m e 2 (décomposition d ' u n m o d u l e projectif de t y p e fini en s o m m e directe de modules d e r a n g c o n s t a n t ) Si M est un module projectif de type f i n i s u r un anneau A engendré p a r n éléments, il existe un système f o n d a m e n t a l d'idempotents orthogonaux r0, ra, . . . , rn tel que chaque localisé MT k soit un module projectif de rang k s u r Ar k. E n outre A est naturellement isomorphe à Ar o x Ar i x ••• x ATn et M à Mr o x Mr i x ••• x Mr„ .
L a p a r t i e la plus mystérieuse d u t h é o r è m e 1 est que la condition est nécessaire. E n pratique, le m o d u l e M p e u t ê t r e v u c o m m e l'image d a n s An d ' u n e matrice de projection F (i.e., F2 = F ) à coefficients d a n s A. On veut récupérer les s* à p a r t i r des coefficients / d e F . De m ê m e d a n s le t h é o r è m e 2 on veut récupérer les r* à p a r t i r des coefficients f j de F . Ceci est réalisé d a n s les théorèmes 3 et 4.
L'idée générale p o u r obtenir ces résultats est la suivante. O n r e m a r q u e p o u r commencer que si A est intègre, le m o d u l e est de r a n g k avec 0 < k < n et le p o l y n o m e1 caractéristique de F est alors ( X — Son coefficient de degré n — k est égal à (—1)* et c'est la somme des mineurs d i a g o n a u x d ' o r d r e k. Ce sont ces mineurs qu'il f a u t p r e n d r e c o m m e s,- p o u r obtenir les localisés libres d a n s le t h é o r è m e 1. Enfin, si on ne suppose pas A intègre, et n o t a m m e n t dans le cas générique, les rangs possibles se mélangent de manière bien contrôlée grâce à u n système f o n d a m e n t a l d ' i d e m p o t e n t s o r t h o g o n a u x qui se lisent sur le p o l y n o m e caractéristique de F .
E n fait on est particulièrement intéressé p a r le cas générique : A — Bn = S[(/»,j)i<tj<n]/t7n) où Jn est l'idéal défini p a r les n2 relations obtenues en écrivant F2 = F .
Le principe local-global abstrait en algèbre c o m m u t a t i v e est u n principe informel selon lequel certaines propriétés concernant les modules sur les a n n e a u x c o m m u t a t i f s sont vraies si et seulemment si elles sont vraies après localisation en n ' i m p o r t e quel idéal premier. D a n s nos preuves, le seul ingrédient non constructif est u n principe local-global a b s t r a i t de recollement des égalités. La preuve de ce principe utilise des outils h a u t e m e n t n o n constructifs (dont le recours à la considération de tous les idéaux premiers de A). D a n s la section 3, nous expliquons comment interpréter de m a n i è r e constructive ce principe local-global. E n gros, le cadre de l'évalutation d y n a m i q u e p e r m e t de t r a i t e r les idéaux premiers de l ' a n n e a u c o m m e des o b j e t s idéaux présents seulement à l ' é t a t latent et p a r f a i t e m e n t inoffensifs. Ceci nous p e r m e t d ' i n t e r p r é t e r l'utilisation d u principe a b s t r a i t de recollement des égalités c o m m e u n e machinerie p u r e m e n t calculatoire à l'intérieur des évalutations dynamiques. E n définitive, nous récupérons u n e preuve constructive complète des théorèmes concrets que ce principe p e r m e t de d é m o n t r e r .
1 Depuis 1990, les accents circonflexes ne sont jamais obligatoires sur le "o", n'en déplaise à Messieurs Larousse et Robert.
Il nous semble qu'il s'agit là d ' u n pas non négligeable dans la mise en place d u " p r o g r a m m e de Hilbert" p o u r l'algèbre abstraite, i.e. la t r a d u c t i o n a u t o m a t i q u e des preuves d'algèbre ab- straite en preuves constructives2. N o t r e espoir est n o t a m m e n t d ' o b t e n i r u n e relecture construc- tive a u t o m a t i q u e d u chapitre IV de [7] concernant la m é t h o d e générale de passage d u local au global.
Les références générales p o u r ce travail sont les suivantes. D a n s [11] on t r o u v e u n e approche constructive des bases de l'algèbre. Les théorèmes cités ci-dessus, p o u r lesquels nous d e m a n d o n s u n e explicitation précise, ainsi que ceux cités d a n s la section suivante (Rappels) sont dans les traités classiques d'algèbre c o m m u t a t i v e (cf. p a r exemple [6], [1], [7], [12].) Plus précisément on p e u t trouver le t h é o r è m e 1 c o m m e (partie d u ) t h é o r è m e 1 d a n s [1] chap. II §5, ou comme (partie d u ) t h é o r è m e 3.3.7 de [6], on p e u t trouver le t h é o r è m e 2 c o m m e exercice 3 dans [1]
chap. II §5.
Nous n'avons pas t r o u v é d a n s la l i t t é r a t u r e concernant la s t r u c t u r e des modules projectifs de t y p e fini des théorèmes aussi explicites q u e les théorèmes 4, 5 et 6, que nous donnons à la section 2. Il n o u s semble également q u e p o u r certains autres résultats d e n a t u r e concrète contenus d a n s cet article, il n'existait pas p o u r le m o m e n t de preuve entièrement constructive.
Nous l'avons alors signalé d a n s le cours de l'article.
L'article est organisé c o m m e suit. D a n s la section 1, nous faisons quelques rappels d'algèbre c o m m u t a t i v e , d a n s le b u t n o t a m m e n t de m e t t r e en valeur le caractère constructif de n o m b r e u x théorèmes de base et de présenter quelques aspects d u principe local-global.
D a n s la section 2, nous donnons u n e explicitation précise des théorèmes 1 et 2. Nous faisons appel d a n s la preuve à u n principe local-global a b s t r a i t élémentaire mais non constructif.
Nous t e r m i n o n s en r e m a r q u a n t q u e d a n s le cas générique, t o u t e la preuve p e u t ê t r e rendue constructive, m o y e n n n a n t u n gros travail sur les idéaux des a n n e a u x de polynomes à coefficients entiers. Ceci assure la validité constructive d e t o u s les théorèmes de la section 2, d a n s tous les cas (pas seulement le cas générique).
D a n s la section 3, nous donnons u n e i n t e r p r é t a t i o n constructive d u principe local-global a b s t r a i t de recollement des égalités. Ceci p e r m e t de rendre constructives les preuves de la section 2 selon l'esprit d u p r o g r a m m e de Hilbert : d o n n e r u n e garantie a u t o m a t i q u e de la validité constructive des résultats concrets o b t e n u s p a r des m é t h o d e s abstraites.
D a n s la section 4, nous a p p o r t o n s quelques compléments sur le t h è m e d u p r o g r a m m e de Hilbert.
D a n s l'article en p r é p a r a t i o n [10], nous donnons u n t r a i t e m e n t entièrement élémentaire, sans recours a u x principes local-globals a b s t r a i t s ni à leur version d y n a m i q u e et constructive, des résultats que nous d é m o n t r o n s ici. D a n s u n a u t r e article en p r é p a r a t i o n ([9]), nous essayons de tenir la promesse d ' u n e relecture constructive a u t o m a t i q u e des principes local-globals abstraits dont nous avons connaissance.
R e m e r c i e m e n t s : Nous remercions Fred R i c h m a n p o u r sa lecture a t t e n t i v e et ses suggestions.
1 R a p p e l s
Nous d o n n o n s ici quelques rappels concernant les modules projectifs de t y p e fini et la localisa- tion, de m a n i è r e à faciliter la lecture de la suite au lecteur ou à la lectrice non averti(e), et à
2 Du moins lorsque le résultat est de nature concrète
faciliter la discussion, d a n s la section 3, a u sujet d u caractère constructif des résultats obtenus p r é c é d e m m e n t . Le lecteur ou la lectrice3 qui connaît bien ces sujets mais qui est intéressé(e) p a r la critique constructive des preuves classiques p o u r r a donc également jeter u n coup d'oeil sur cette section.
1 . 1 M o d u l e s d e p r é s e n t a t i o n finie
Un m o d u l e de p r é s e n t a t i o n finie est u n .A-module d o n n é p a r u n n o m b r e fini de générateurs et de relations. D e m a n i è r e équivalente, c'est u n m o d u l e M isomorphe au conoyau d ' u n h o m o r p h i s m e
La m a t r i c e G d e g a p o u r colonnes les relations e n t r e les générateurs a \ , . . . , aq (les images de la base canonique de Aq p a r g). U n e telle m a t r i c e s'appelle u n e matrice de présentation du module M . O n ne change pas la s t r u c t u r e de M lorsqu'on fait subir à G u n e des transformations suivantes :
— a j o u t d ' u n e colonne nulle, (ceci ne change pas le m o d u l e des relations entre des générateurs fixés)
— suppression d ' u n e colonne nulle, sauf à a b o u t i r à u n e m a t r i c e vide,
— remplacement de G, de t y p e q x m , p a r G ' de t y p e (q + 1 ) x ( m -f-1) o b t e n u e à p a r t i r de G en r a j o u t a n t u n e ligne nulle en dessous puis u n e colonne à droite avec 1 en position (q -f 1, m + 1), (ceci revient à r a j o u t e r u n vecteur p a r m i les générateurs, en indiquant sa d é p e n d a n c e par r a p p o r t a u x générateurs précédents) :
— opération inverse de la précédente, sauf à a b o u t i r à u n e m a t r i c e vide,
— a j o u t à u n e colonne d ' u n e combinaison linéaire des autres colonnes, (ceci n e change pas le m o d u l e des relations e n t r e des générateurs fixés)
— a j o u t à u n e ligne d ' u n e combinaison linéaire des a u t r e s lignes, (ceci revient à changer le système g é n é r a t e u r en r e m p l a ç a n t p a r exemple le générateur aq p a r u n élément de la forme aq — S ,= 1 A,a,- sans changer les autres générateurs)
— p e r m u t a t i o n de colonnes ou de lignes,
— multiplication d ' u n e colonne ou d ' u n e ligne p a r u n élément inversible (facultatif).
O n voit aisément que si G et H sont deux matrices de présentation d ' u n m ê m e module M , on p e u t passer de l ' u n e à l ' a u t r e a u moyen des t r a n s f o r m a t i o n s décrites ci-dessus. Un peu mieux : on voit que p o u r t o u t système g é n é r a t e u r fini de M , o n p e u t construire à p a r t i r de G , en utilisant ces t r a n s f o r m a t i o n s , u n e matrice de présentation de M correspondant au nouveau s y s t è m e générateur. Notez aussi q u ' u n changement de base de Aq ou Am correspond à la multiplication de G (à gauche ou à droite) par u n e m a t r i c e inversible, et p e u t être réalisé p a r les opérations décrites p r é c é d e m m e n t .
Un m o d u l e libre de r a n g k est présenté p a r u n e m a t r i c e colonne f o r m é e de k zéros.
Il existe u n cas facile où u n e m a t r i c e présente u n m o d u l e libre. R a p p e l o n s que deux matrices de m ê m e t y p e q x m sont dites équivalentes lorsqu'on passe de la première à la seconde en multipliant la première, à droite et à gauche, p a r deux matrices inversibles.
3 Désormais, la personne humaine qui intervient au cours de cet article subira la règle inexorable de l'alternance des sexes. Espérons que les lecteurs n'en seront pas plus affectés que les lectrices. En tout cas, cela nous éconmisera bien des "ou" et bien des "(e)".
g : A m ^ A"
L e m m e d e l a l i b e r t é Soit M un module de présentation finie, (isomorphe au) conoyau d'une matrice G de type q x m (i.e. le module est d o n n é p a r q générateurs soumis à m relations). Si la matrice G contient un m i n e u r d'ordre k inversible et si tous les m i n e u r s d'ordre (k + 1) sont nuls, alors elle est équivalente à la matrice canonique
t _ f I* Ok,m-k \
k>q'm \Oq-k,k Oq- k ,m- k )
Alors, le module M est libre de rang q — k. E n f a i t , dans ce cas, l'image, le noyau et le conoyau de G sont libres, respectivement de rangs k, m — k et q — k. E n outre l'image et le noyau possèdent des supplémentaires libres.
P r e u v e E n p e r m u t a n t éventuellement les lignes et les colonnes o n r a m è n e le m i n e u r inversible en h a u t à gauche. P u i s en multipliant à droite (ou à gauche) p a r u n e m a t r i c e inversible on se r a m è n e à la f o r m e ^ ^
G l = ( b c )
puis p a r des m a n i p u l a t i o n s élémentaires de lignes et de colonnes, on obtient
- ( o ,1: , V )
et <jr3 est nulle parce que t o u s les mineurs d ' o r d r e (k + 1) de G2 sont nuls. • 1 . 2 M o d u l e s p r o j e c t i f s d e t y p e f i n i
Ils sont caractérisés de la m a n i è r e suivante.
P r o p o s i t i o n e t d é f i n i t i o n 1 . 1 (modules projectifs de t y p e fini) Les propriétés suivantes pour un A-module M sont équivalentes.
a) M est isomorphe à un f a c t e u r direct d a n s un A-module An, i.e. il existe un entier n, un A-module N et un isomorphisme M ® N —• An.
b) Il existe un entier n , des générateurs (<7i),=i n de M et des f o r m e s linéaires ( a , ) i=i n s u r M telles que : Va; G M x = E a,(x)<7,-.
b') M est de type fini et pour tout système fini de générateurs (/i,)i=i m de M il existe des f o r m e s linéaires (/?,),=i,...,m s u r M telles que : Vx G M x = S /3i(x)hi.
c) Il existe un entier n et deux applications linéaires <p : M An et ip : An —> M telles que tp o ip = Idjv/. On a alors An = I m ( y ) 0 K e r ( 0 ) et M ~ I m ( y ) .
c') M est de type fini et p o u r toute application linéaire surjective xp : Am —• M il existe une application linéaire ip : M —y Am telle que ip o <p — Idjvj. On a alors Am = Im(<^>) © Ker(V>) et M ~ Im(<£>).
Lorsque ces conditions sont réalisées on dit que le module M est projectif de t y p e fini.
P r e u v e Le (b) (resp (b')) n'est q u ' u n e reformulation de (c) (resp. (c')).
(a) => (c) : considérer les applications canoniques M — * M ( & N e t M Ç & N — * M .
(c) =>• (a) : considérer 9 = <p o ip. O n a O2 — 6. Cela fournit la projection de An sur M parallèlement à N .
(b) (b') : en e x p r i m a n t les gi c o m m e combinaisons linéaires des h j on obtient les f3j à
p a r t i r des a,-. O
U n e m a t r i c e de projection est u n e m a t r i c e carrée F vérifiant F2 = F . E n pratique, con- f o r m é m e n t au (a) ci-dessus, nous considérerons u n m o d u l e projectif de t y p e fini c o m m e (copie p a r isomorphisme de 1') i m a g e d ' u n e m a t r i c e de projection F .
Lorsqu'on voit u n m o d u l e projectif de t y p e fini selon la définition (c), la m a t r i c e de projection est celle d e l'application linéaire y? o tp. D e m ê m e , si on utilise la définition (b) la m a t r i c e de projection est celle ayant p o u r entrées les ocj(gi) en position ( i , j ) .
Si A est u n a n n e a u intègre, on obtient p a r passage a u corps des fractions u n espace vectoriel de dimension finie k. O n en déduit q u e le p o l y n o m e caractéristique de la m a t r i c e F est égal à ( X — l ) * Xn - f c (nous considérons le p o l y n o m e caractéristique c o m m e p o l y n o m e unitaire : d e t ( X In — F ) ) . Ceci caractérise en t e r m e s p u r e m e n t calculatoires la dimension k : le premier m o n o m e n o n nul d u p o l y n o m e caractéristique (en p a r t a n t des bas degrés) est égal à (—l)f cXn~*.
E n o u t r e tous les mineurs d ' o r d r e k + 1 de F sont nuls.
Ceci conduit à la proposition suivante.
P r o p o s i t i o n 1.2 Soit k un entier naturel et M un module projectif de type fini s u r un anneau A non trivial. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
a) P o u r tout idéal p r e m i e r V de A, le module M / V M s u r l ' a n n e a u intègre A / V est de rang k (i.e. tout système de k + 1 éléments est linéairement dépendant et il existe un système de k éléments linéairement indépendant).
a ' ) P o u r tout idéal p r e m i e r V de A, l'espace vectoriel obtenu à p a r t i r de M en étendant les scalaires au corps des f r a c t i o n s de A / V est de dimension k.
b) Le polynome caractéristique d'une matrice de projection F de type n x n ayant p o u r image (un module isomorphe à) M est égal, à des nilpotents près, au polynome ( X — l )f cXn - f c.
b') M ê m e chose que (b), m a i s p o u r toute matrice F .
c) Le polynome caractéristique d ' u n e matrice de projection F de type n x n ayant p o u r image (un module isomorphe à) M est égal, à des nilpotents près, au polynome ( X — l )kXn~k, et tous les m i n e u r s d'ordre k + 1 de F sont nilpotents.
c') M ê m e chose que (c), mais p o u r toute matrice F .
P r e u v e D ' u n point de v u e classique, la preuve est i m m é d i a t e ; il suffit de se rappeler que l'intersection des idéaux premiers est le nilradical de A, i.e. l'ensemble des nilpotents.
Notez q u e d ' u n point de vue constructif, la condition (a) est a priori t r o p faible ( p a r m a n q u e d'idéaux premiers), et les conditions (b) et (c) ne sont pas clairement équivalentes.
Une preuve constructive de l'équivalence de (b) et (b') est u n e conséquence le lemme qui suit.
•
L e m m e 1 . 3 Soient Fx de type m x m et F2 de type n x n deux matrices de projection avec des images isomorphes. Alors on a
Xnd e t ( X lm - F i ) = Xmd e t ( X In - F2)
P r e u v e O n écrit Am ~ M 0 N i et An ~ M ® N2 de sorte que An + m ~ M 0 N2 © M © Nx
on considère l ' e n d o m o r p h i s m e f de An + m qui est égal à l'identité sur u n e c o m p o s a n t e M e t à 0 sur les trois autres composantes. Selon la manière dont on regroupe les termes de la somme directe on t r o u v e p o u r / u n e ou l ' a u t r e des matrices
( Fx 0m,n\ / 0m 0m,n\ VO*,™ On J O U U n , m F2 J
qui ont p o u r polynomes caractéristiques les deux m e m b r e s de l'égalité à d é m o n t r e r . O
Ceci justifie constructivement la définition suivante :
D é f i n i t i o n 1 Un module M projectif de type fini s u r un a n n e a u A non trivial est dit d e rang constant égal à k lorsque la condition (b') de la proposition 1.2 est réalisée : le polynome caractéristique d ' u n e matrice de projection F de type n x n a y a n t p o u r image (un module isomorphe à ) M est égal, à des nilpotents près, au polynome ( X — l )kXn~h.
E n fait, nous verrons plus loin des caractérisations plus agréables des modules projectifs de r a n g c o n s t a n t . N o t a m m e n t , on p e u t "supprimer les nilpotents" d a n s les conditions ( b ) - ( c ' ) . R e m a r q u e 1 . 4 Avec u n e preuve t o u t à fait analogue à celle d u l e m m e 1.3, on p e u t démontrer q u e le d é t e r m i n a n t (et donc aussi le p o l y n o m e caractéristique) d ' u n e n d o m o r p h i s m e d ' u n mod- ule projectif de t y p e fini est bien défini4. O n p e u t alors lire la condition (b) c o m m e signifiant que le p o l y n o m e caractéristique de l ' e n d o m o r p h i s m e Idji/ est égal, à des nilpotents près, à ( X — l)f c. C o n v e n t i o n 2 Lorsque l'anneau A est trivial (réduit à {0}) tous les A-modules sont triviaux.
Néanmoins, conformément à la définition ci-dessus, il est logique de considérer que le module trivial est projectif de type fini de rang constant égal à k, p o u r n'importe quelle valeur de l'entier k > 0. Cette convention p e r m e t une f o r m u l a t i o n plus uniforme des théorèmes et des preuves.
D é f i n i t i o n 3 Un a n n e a u local est un a n n e a u où est vérifié l'axiome suivant : Vx € A x ou 1 — x est inversible
Notez q u e selon c e t t e définition l ' a n n e a u trivial est local. D a n s u n a n n e a u local, les éléments
" n o n inversibles" (ceux p o u r lesquels l'hypothèse d'inversibilité implique 1 = 0 d a n s l'anneau A) f o r m e n t u n idéal. Le quotient de l ' a n n e a u p a r cet idéal est u n corps, appelé corps résiduel de l ' a n n e a u A (nous a d m e t t o n s l'anneau trivial c o m m e corps).
D é f i n i t i o n 4 Un ensemble A m u n i d ' u n e relation d'égalité est appelé discret lorsque l'axiome suivant est vérifié
Vx, y (z A x = y ou -i(x = y)
C o m m e n t a i r e 1 . 5 Classiquement, tous les ensembles sont discrets, car le "ou" présent dans la définition est compris de m a n i è r e " a b s t r a i t e " . C o n s t r u c t i v e m e n t , le "ou" présent dans la définition est compris selon la signification d u langage usuel : u n e des d e u x alternatives au moins doit avoir lieu de manière certaine. Il s'agit donc d ' u n "ou" de n a t u r e algorithmique. Un ensemble est discret si on a u n test p o u r l'égalité de deux éléments arbitraires de cet ensemble.
Constructivement l'ensemble des nombres réels n'est pas discret (plus précisément : le supposer discret impliquerait u n principe d'omniscience qui n'est pas accepté constructivement, m ê m e si on ne p e u t prouver q u ' u n tel principe est absurde).
Le corps résiduel d ' u n a n n e a u local est discret si et seulement si il y a u n test d'inversibilité p o u r les éléments de A. O n dit d a n s ce cas que le groupe des unités Ax est u n e partie détachable de A.
4 Bien que la preuve du lemme 1.3 soit convaincante, il peut sembler un peu choquant que le déterminant d'un endomorphisme puisse être bien défini lorsque le rang du module lui-même n'est pas bien défini. Intuitivement, cela se passe comme suit : lorsqu'on décompose le module selon ses composantes équidimensionelles, chaque composante de l'endomorphisme a clairement un déterminant, et les déterminants en chaque dimension sont mis ensemble (via les idempotents correspondant aux composantes) pour former un déterminant global.
R a p p e l o n s q u e deux matrices carrées m x m sont dites semblables lorsqu'elles représentent le m ê m e e n d o m o r p h i s m e de Am sur deux bases distinctes (ou non).
Nous d o n n o n s m a i n t e n a n t trois preuves différentes p o u r u n l e m m e f o n d a m e n t a l , que nous appelons l e m m e de la liberté locale.
L e m m e d e l a l i b e r t é l o c a l e Soit A un a n n e a u local. Tout module projectif de type fini s u r A est libre. D e m a n i è r e équivalente : toute matrice de projection F de type n x n est semblable à une m a t r i c e de projection s t a n d a r d ; c.-à-d. de la f o r m e :
P r e m i è r e p r e u v e (preuve classique usuelle) C e t t e preuve s u p p o s e que le corps résiduel est discret. A fortiori, on sait si l ' a n n e a u est trivial ou non. Si l ' a n n e a u est trivial, c'est clair.
Si l ' a n n e a u est non trivial et si le corps résiduel est discret cela va aussi, en suivant la preuve classique usuelle. N o t o n s ip : An An la projection de m a t r i c e F . O n passe au corps résiduel, la m a t r i c e F est alors la m a t r i c e d e la projection sur le sous espace Im(<p) parallèlement au sous espace Im(Id — tp). O n considère alors u n mineur résiduellement n o n nul d ' o r d r e m a x i m u m k d a n s F , et de m ê m e u n m i n e u r résiduellement non nul d ' o r d r e m a x i m u m n — k dans In — F . E n m e t t a n t cote à cote les k colonnes de F et les n — k colonnes de I„ — F correspondant à ces mineurs, on obtient u n e m a t r i c e Q qui est résiduellement inversible, donc inversible (car son d é t e r m i n a n t est inversible). La m a t r i c e G = Q F Q ~X représente l'application linéaire tp sur u n e nouvelle base dont les k premiers vecteurs sont d a n s Im(y>) et les n — k derniers sont dans Im(Id — (p). P u i s q u e <p2 = <p ceci implique q u e G est la m a t r i c e de projection s t a n d a r d sur le sous espace des k premiers vecteurs de base parallèlement au sous espace des n — k derniers. • D e u x i è m e p r e u v e (preuve p a r la platitude) C e t t e preuve suppose aussi que le corps résiduel est discret. C'est u n e preuve u n p e u plus "calculatoire", qui sera plus facile à utiliser dans la section 4. Nous l'avons e x t r a i t e de la preuve classique qui d é m o n t r e d ' a b o r d q u ' u n module projectif est plat, puis q u ' u n m o d u l e plat de présentation finie sur u n a n n e a u local est libre.
Tout d ' a b o r d , nous établissons le l e m m e suivant :
L e m m e 1 . 6 ( L e m m e de la présentation locale) Soit A un anneau local dont le corps résiduel est discret. Une matrice G de type q x m à coefficients dans A est équivalente (sur A ) à une
où G ' a tous ses coefficients dans l'idéal maximal de A.
Tout module de p r é s e n t a t i o n finie s u r A peut être p r é s e n t é p a r une matrice G ' de ce type.
P r e u v e d u l e m m e On recopie, m u t a t i s m u t a n d i s , la preuve d u l e m m e de la liberté. Notez q u e les matrices de passage P et Q se calculent explicitement à p a r t i r de G u n e fois qu'on a repéré u n m i n e u r d ' o r d r e k inversible, tous les mineurs d ' o r d r e k + 1 é t a n t non inversibles. • E n appliquant le l e m m e précédent, o n obtient u n entier k, des matrices P , Q , Q\ inversibles et H résiduellement nulle, avec
matrice :
O n a
( . P F Q ) { QXPX) { P F Q ) = ( P F2Q ) = ( P F Q ) ce qui se réécrit, avec ( Q \ P \ ) décomposée en blocs :
( h 0k,n- k \ ( B C \ f lk O k , n - k \ _ ( h 0k,n.k\
\0n-k,k H ) \ D E ) V0n-fc,jt H J ~ VOn-M H J c.-à-d., tous calculs faits
( B C H \ _ ( lk 0f c l B_f c\
\ H D H E H j - \ On .k t k H J
Ainsi B = I* et H E H = H , donc (I„_fc — H E ) H = 0 „_*. Mais H E a ses coefficeints dans l'idéal m a x i m a l , donc det(In_jt — H E ) = 1 + j avec j d a n s l'idéal m a x i m a l est inversible. Donc
(In_fc — H E ) est inversible, et H = 0n-k- Ceci implique q u e l'image de F est u n m o d u l e libre de r a n g k puisque
F = ° n '\Vn-k,k J n _ f c) Q i E n fait, on a m ê m e
P F P - > = P F P l = P F Q Q l P l = ( ^ o r / ) ( î 5 £ ) - ( < £ , o l ) et donc en p o s a n t
\Vn-k,k I n - k J on obtient
^ ( o 1 * 7i n - k J \Vn-k,k "n-fc / e ) e t m n m - ^ i n 1 "
• T r o i s i è m e p r e u v e (preuve p a r A z u y a m a ) C e t t e preuve n e suppose pas le corps résiduel dis- cret. Elle est la t r a d u c t i o n matricielle de la preuve d u t h é o r è m e d ' A z u y a m a III.6.2 d a n s [11], p o u r le cas qui nous occupe ici. Nous allons diagonaliser la m a t r i c e F . La preuve fonctionne avec u n a n n e a u local non nécessairement c o m m u t a t i f .
Appelons f i le vecteur colonne /i..n )i de la m a t r i c e F , et el 5. . . , en la base canonique de An. - P r e m i e r cas, /l ti est inversible. Alors / i , e 2 , . . . , en est u n e base de An. P a r r a p p o r t à cette base (p a u n e m a t r i c e :
G : = ( o j u A )
E n écrivant G2 = G on obient F2 = F\ et Fxl i = 0. O n a alors :
r r r - * ' - ( 1 K V 1 H \ f 1 ~l i \ = ( 1 °1-n~1) - U „ - l , l In—1 / \ On—1,1 F j U n - U I„_! J U „ - l , l J - Deuxième cas, 1 — fl t l est inversible. Alors t \ — f \ , e2, . . . , e„ est u n e base de An. P a r r a p p o r t à cette base, Id„ — (p a u n e m a t r i c e :
G : = ( o „ l u k )
avec G2 = G . Avec le m ê m e calcul q u e d a n s le cas précédent, I„ — F est d o n c semblable à u n e m a t r i c e :
( 1 O i ,n- i \ V0„-1,1 FX J
avec F2 = F \ , ce qui signifie q u e F est semblable à u n e m a t r i c e : ( 0 0l i n_x\ U n - 1 , 1 HX J avec H2 = H \ .
O n t e r m i n e la preuve p a r induction sur n . • C o m m e n t a i r e 1 . 7 D u point d e v u e classique, t o u s les ensembles sont discrets, et l'hypothèse
c o r r e s p o n d a n t e est superflue d a n s les d e u x premières preuves. Nous avons signalé les trois preuves parce q u e le l e m m e de la liberté locale est u n l e m m e crucial dans la suite, et que les différentes preuves conduisent à différentes m é t h o d e s , plus ou moins compliquées, p e r m e t t a n t de rendre constructifs les théorèmes que nous avons en vue.
1 . 3 L o c a l i s a t i o n
Nous supposons la lectrice familière d u processus de localisation en u n e p a r t i e multiplicative S de A, ainsi qu'avec les n o t a t i o n s A s , M s (pour le localisé d u A - m o d u l e M ) , et A , , Ms lorsque S est engendré p a r l'élément s de A. Nous voulons c e p e n d a n t garder la possibilité d e localiser en u n m o n o ï d e (multiplicatif) p o u v a n t contenir 0. Le résultat est alors l'anneau trivial (et le m o d u l e trivial).
Des résultats essentiels sont les suivants :
F a i t 1 . 8 Si M est un sous module de N , on a l'identification canonique de M s avec un sous module de N s et de ( N / M ) s avec N s / M s -
Si f : M —• N est une application A-linéaire, I m ( / s ) s'identifie canoniquement à ( l m ( f ) ) s , K e r ( / s ) s'identifie canoniquement à ( K e r ( / ) ) s et C o k e r ( f s ) s'identifie canoniquement à (Coker ( / ) ) * .
Si
M M N P est une suite exacte de A-modules et S C A un monoïde, alors
Ps
est une suite exacte de As-modules.
F a i t 1 . 9 Soit f : M —• N , g : M —• N deux applications linéaires entre A-modules, avec M de t y p e fini. Soit S un monoïde de A . Alors f s = g s seulement si il existe s G S tel que s f = s g . E n d ' a u t r e s termes, l'application canonique ( H o mA( M , N ) ) s H o m ^s( M s , N s ) est injective.
F a i t 1 . 1 0 Soit M et N deux A-modules, S un monoïde de A et tp : M s —• N s une application As-linéaire. Supposons que M est de présentation finie.
Alors il existe une application A-linéaire <f> : M N et s e S tels que 1 s
E n d'autres termes, l'application canonique ( H o m ^ M , N ) ) s —> H o m ^s( M s , N s ) est bijective.
P r e u v e (Cf. [12] exercice 9 p . 50 ou [7] chap. IV proposition 1.10) Supposons q u e M est le conoyau de l'application linéaire g : Am —• Aq avec u n e m a t r i c e G — (<7,j) p a r r a p p o r t aux bases canoniques, alors d ' a p r è s le fait 1.8 M s est le conoyau de l'application linéaire g s : A™ —» Aqs avec la m a t r i c e G s = (<7»j/l) p a r r a p p o r t a u x bases canoniques. O n n o t e jm : Am —> A™, jq : A9 —• Ags, j m : M —* M s , j N N N s , t : A9 —» M , irs A9S —• M s les applications canoniques. Soit ij> : = ip o 7r5, de sorte q u e xj) o gs = D o n c xp o gs o jm = 0 = ip o jq o g.
Il existe u n d é n o m i n a t e u r c o m m u n s € S p o u r les images p a r xp des vecteurs de la base canonique, d o n c il existe u n e application linéaire ty : A9 N avec (sxp) o jg = jN o ty. D'où j N ° o g = s ( jm o gs o xp) = 0. D ' a p r è s le fait 1.9 appliqué à $ o g, l'égalité j N o ( ^ o g) = 0 d a n s N s implique qu'il existe s ' G S tel que o <jr) = 0. D o n c se factorise sous forme
<j> o 7r. O n obtient alors ( s ^ V ) o jM o ic = ss'(tp 0 x 5 0 jq) = ss'V> o jq = s ' j ^ o ^ f = jNo ( j > o i r , e t puisque ir est surjective ss'<p o j m = j/f o <f>. C.-à-d., p o u r t o u t x Ç. M <p(x/\) = <j>(x)/ss'.
fn*.
- é r H
• Un cas particulier est le suivant.
F a i t 1 . 1 1 Soit M un A-module de p r é s e n t a t i o n finie, S un monoïde de A et ip : M s A s une f o r m e As-linéaire.
Alors il existe une f o r m e A-linéaire <j> : M —> A et s G S tels que V x g m h>(t) = —
1 s
F a i t 1 . 1 2 Si S C S ' sont deux monoïdes de A et M un A-module on a des identifications canoniques (As)s< — As» et ( M s ) s1 — Ms>-
1 . 4 S y s t è m e f o n d a m e n t a l d ' i d e m p o t e n t s o r t h o g o n a u x
D a n s la suite nous serons amenés à considérer l'anneau localisé Ar où r est u n idempotent, ainsi que le localisé MT p o u r u n A - m o d u l e M . Il est b o n de r e m a r q u e r que AP s'identifie canoniquement à l'idéal r A muni de la s t r u c t u r e d ' a n n e a u où r est l'élément n e u t r e de la multiplication. L'application canonique de A vers Ar identifié à r A est donnée par x n-» r x . Q u a n t à Mr, il s'identifie naturellement à r M (avec l'application canonique M —» r M , x i-> r x ) .
Si M est i m a g e d ' u n e application linéaire f : An —• An de m a t r i c e F , le m o d u l e MT
s'identifie aussi naturellement à l'image de l'application linéaire fr: A " — * A " ayant pour m a t r i c e la m a t r i c e r F (lorsqu'on identifie Ar avec r A ) . Ceci résulte d u fait 1.8 m o d u l o les identifications canoniques.
R a p p e l o n s q u e d a n s u n a n n e a u A u n système f o n d a m e n t a l d'idempotents orthogonaux (sfio) est u n e liste d'éléments de A, ( rl 5. . . , rn) , qui vérifie
r , r j = 0 si i j , et S r,- = 1
(nous n e réclamons pas qu'ils soient tous non nuls). Ceci implique q u e rt- = rf p o u r chaque i.
O n obtient alors :
F a i t 1 . 1 3 Si ( rl 5. . . , rn) est un sfio d ' u n a n n e a u A, et si M est un A-module, on a : A ~ An x •• • x AT n
M = rxM © • • • ® rnM ~ Mr i x ••• x Mr n
1 . 5 L e p r i n c i p e l o c a l - g l o b a l
Un outil essentiel en algèbre classique est la localisation en (le complémentaire d') u n idéal premier. Cet outil est a priori difficile à utiliser constructivement p a r c e q u ' o n ne sait pas fabriquer les idéaux premiers qui interviennent d a n s les preuves classiques, et dont l'existence repose sur l'axiome d u choix. C e p e n d a n t , on p e u t r e m a r q u e r q u e ces idéaux premiers sont en général utilisés à l'intérieur de preuves p a r l'absurde, et ceci d o n n e u n e explication du fait que le recours à ces o b j e t s "idéaux" p o u r r a ê t r e contourné et m ê m e i n t e r p r é t é constructivement d a n s la section 3.
Le principe local-global a b s t r a i t en algèbre c o m m u t a t i v e est u n principe informel selon lequel certaines propriétés concernant les modules sur les a n n e a u x c o m m u t a t i f s sont vraies si et seulemment si elles sont vraies après localisation en n ' i m p o r t e quel idéal premier.
Nous é t u d i o n s m a i n t e n a n t quelques cas élémentaires où le principe local-global s'applique.
Nous commençons à chaque fois par des versions concrètes en a p p a r e n c e plus faibles, mais qui s'avéreront bien utiles, au moins d ' u n point de vue constructif. P o u r ces versions concrètes, la localisation n'est pas réclamée "en n ' i m p o r t e quel idéal premier" mais en un n o m b r e fini d'éléments de A qui engendrent A en t a n t qu'idéal. E n langage savant, d a n s u n principe local- global concret on recouvre le spectre de l ' a n n e a u p a r u n n o m b r e fini d'ouverts, tandis que dans u n principe local-global a b s t r a i t on voit le spectre c o m m e l'ensemble de ses points.
Nous disons q u ' u n élément a de A est non diviseur de zéro si la suite 0 — • A A
est exacte. A u t r e m e n t dit, on a :
V6 G A {ha = 0 b = 0)
C'est seulement p o u r l ' a n n e a u trival q u e 0 est non diviseur de zéro.
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l c o n c r e t 1 Supposons que s i , . . . sn E A avec s i A + \- snA = A, et soit a E A. Alors on a les équivalences suivantes :
Recollement concret des égalités :
a = 0 Vi G { 1 , . . . , n } a / 1 = 0 d a n s ASi
Recollement concret des non diviseurs de zéro :
a est n o n d i v i s e u r de z é r o d a n s A & Vi € { 1 , . . . , n } a / 1 est n o n d i v i s e u r de z é r o d a n s ASi
Recollement concret des inversibles :
a est i n v e r s i b l e d a n s A Vi G { 1 , . . . a / 1 est i n v e r s i b l e d a n s ASi
P r e u v e Les conditions sont nécessaires en raison d u fait 1.8. U n e vérification directe est d'ailleurs i m m é d i a t e .
P o u r prouver que les conditions sont suffisantes, nous t r a i t o n s sans p e r t e de généralité le cas avec n = 2 et «j = s, s2 = t, s -f t = 1.
Supposons d ' a b o r d que a / 1 = 0 d a n s A , et d a n s At. P o u r u n entier h < 0 convenable on a donc sha = 0 = tha d a n s A. Or 1 = (s + t )2 h = u sh + v th p o u r u et u convenables dans A.
Donc a = l a = u sha + v tha = u x 0 | d x 0 = 0 dans A.
Supposons m a i n t e n a n t que a / 1 soit non diviseur de zéro d a n s As et d a n s At. Soit b E A avec ab = 0 d a n s A donc aussi a b / 1 = 0 dans As et d a n s At. O n a donc b/1 = 0 d a n s As et dans At, donc aussi d a n s A.
Supposons enfin que a / 1 soit inversible d a n s A„ et d a n s At. Soient donc 6, c G A et u n entier k > 0 avec a b / sk = 1 d a n s A„ et a c / tk = 1 d a n s At, i.e., p o u r u n entier p > 0, absp — sp + k et actp = tp + k d a n s A. Posons h = p + k et c o m m e ci-dessus déterminons u et v d a n s A tels que
u sh + v th = 1 d a n s A. Alors a x (ubsp + vctp) = u sh + v th = 1 dans A. • N o t a t i o n 5 O n n o t e Spec(A) l'ensemble des idéaux premiers de A.
P o u r V € Spec(A) et S = A \ V on n o t e Aj> p o u r A s (l'ambiguité entre les deux notations contradictoires A-p et A$ est levée en p r a t i q u e p a r le contexte).
Si x est u n élément d ' u n A - m o d u l e M , nous notons
A n n ( x ) : = {a € A ; a x = 0}
l'idéal a n n u l a t e u r de x.
La relation étroite qui existe entre les localisés locaux d ' u n a n n e a u A et ses idéaux premiers est précisée dans le fait suivant.
F a i t 1 . 1 4 Un monoïde S d ' u n anneeau A est dit s a t u r é lorsqu'on a l'implication V s , t e A (st e S =• s e S )
P o u r qu 'un monoïde multiplicatif s a t u r é S f a s s e de A s un anneau local non trivial, il f a u t et suffit que S = A \ V où V est un idéal premier.
P a r ailleurs, tout homomorhisme A — * B d e A vers un a n n e a u local B se f a c t o r i s e de manière unique p a r A-p où V est l'image réciproque de l'idéal m a x i m a l de B .
La version a b s t r a i t e puissante d u principe local-global concret précédent est la suivante.
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l a b s t r a i t 1 Soit a G A . Alors on a les équivalences suivantes : Recollement abstrait des égalités :
a = 0 W G Spec(A) a / 1 = 0 d a n s A p Recollement abstrait des non diviseurs de zéro :
a est n o n d i v i s e u r de z é r o d a n s A V P G Spec(A) a / 1 est n o n d i v i s e u r de z é r o d a n s Ap Recollement abstrait des inversibles :
a est i n v e r s i b l e d a n s A & V P € Spec(A) a / 1 est i n v e r s i b l e d a n s A-p
P r e u v e (non constructive) Les conditions sont nécessaires en raison d u fait 1.8. Une vérification directe est d'ailleurs i m m é d i a t e .
P o u r les réciproques, nous supposons sans p e r t e de généralité q u e l ' a n n e a u A est n o n trivial.
P r e m i è r e preuve
Supposons d ' a b o r d a / 0 d a n s A, soit A n n ( a ) l'idéal a n n u l a t e u r de a, qui est u n idéal strict, soit V u n idéal premier contenant A n n ( a ) et soit S = A \ V . L'ensemble S fl A n n ( a ) est vide, donc a / 1 / 0 d a n s As-
On en déduit la deuxième réciproque c o m m e d a n s le cas analogue d u principe local-global concret 1.
Supposons enfin a non inversible d a n s A. Soit V u n idéal premier contenant a A et soit S — A \ V . Alors a / 1 est non inversible d a n s A s .
Deuxième preuve ( p o u r les cas a = 0 et a inversible)
P o u r chaque idéal premier V on p e u t trouver s ^ V tel que a / 1 est nul (resp. inversible) dans A , . Les ouverts correspondants Us = {V G Spec(A); s ^ V } recouvrent Spec(A), donc les s correspondants engendrent A c o m m e idéal, donc u n n o m b r e fini d ' e n t r e eux, « j , . . . , sm engen- drent A c o m m e idéal. O n p e u t donc faire appel au principe local-global concret correspondant.
•
C o m m e n t a i r e 1 . 1 5 La deuxième preuve m o n t r e bien le lien e n t r e le principe local-global a b s t r a i t et le principe local-global concret. C e p e n d a n t , il ne semble pas qu'elle puisse jamais ê t r e r e n d u e constructive. La première preuve n'est pas non plus "en général" constructive, mais il existe des cas où elle l'est. Il suffit p o u r cela que les conditions suivantes soient vérifiées : D a n s le cas d u recollement des égalités
— l ' a n n e a u A est discret
— p o u r t o u t a / 0 d a n s A on sait construire u n idéal premier "P d e A contenant A n n ( a ) . D a n s le cas d u recollement des inversibles
— l'ensemble des a G A inversibles est u n e p a r t i e détachable de A.
— p o u r t o u t a G A n o n inversible, on sait construire u n i d é a l premier V de A contenant aA.
C'est p a r exemple le cas lorsque A est u n e algèbre de présentation finie sur TL ou sur u n corps
"pleinement factoriel" (voir [11]).
E n p r a t i q u e , on p e u t c o m p r e n d r e le principe local-global a b s t r a i t 1 sous la f o r m e intuitive suivante : p o u r d é m o n t r e r u n t h é o r è m e d'algèbre c o m m u t a t i v e dont la signification est q u ' u n certain élément d ' u n a n n e a u c o m m u t a t i f A est nul, non diviseur de zéro, ou inversible, il suffit de t r a i t e r le cas où l'anneau est local. C'est un principe d u m ê m e genre q u e le principe de Lefschetz : p o u r d é m o n t r e r u n théorème d'algèbre c o m m u t a t i v e dont la signification est q u ' u n e certaine identité algébrique a lieu, il suffit d e traiter le cas où l ' a n n e a u est le corps des complexes (ou n ' i m p o r t e quel sous a n n e a u qui nous arrange, d'ailleurs).
Un résultat local-global concret, qui d o n n e la moitié la plus facile d u théorème 1, est le suivant.
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l c o n c r e t 2 (recollement concret de modules de t y p e fini, de présenta- tion finie ou projectifs de t y p e fini) Supposons que s i , . . . sn G A avec s j A + • • • 4- snA = A, et soit M un A-module. Alors on a les équivalences suivantes :
• M est de type fini si et seulement si chacun des Mt i est un A,. -module de type fini.
• M est de p r é s e n t a t i o n finie si et seulement si chacun des MS t est un Aa i-module de p r é s e n t a t i o n finie.
• M est projectif de type f i n i si et seulement si chacun des Mt i est un At i -module projectif de type fini.
P r e u v e Les conditions sont clairement nécessaires. P o u r prouver qu'elles sont suffisantes, nous t r a i t o n s sans p e r t e de généralité le cas avec n = 2 et Si — s, s2 = t, s + t = 1.
T o u t d ' a b o r d supposons que M , est u n Aa- m o d u l e d e t y p e fini et Mt est u n At- m o d u l e de t y p e fini. M o n t r o n s que M est de t y p e fini. Soit gx, . . . ,gq des éléments de M qui engendrent M„ et Mt. Soit x £ M arbitraire. O n a pour u n certain exposant m et certains éléments a i , . . . , aq de A :
smx = a i g i -| (- aqgq dans Ms
donc p o u r u n certain exposant p :
sm + px = spaxg i + • • • + spaqgq d a n s M
On écrit u n e égalité d u m ê m e style avec t, et on les combine selon la procédure u sh + vth = 1 c o m m e d a n s les preuves précécentes.
Supposons m a i n t e n a n t que Ms est u n As- m o d u l e de présentation finie et Mt est u n At- m o d u l e de présentation finie. M o n t r o n s que M est de de présentation finie.
Soit g i , . . . ,gq u n système générateur de M .
Soit ( a: )i , . . . ,a,-1?) G A\ des relations entre les <7,/l G M , (i.e., S j a.jfl'j = 0 d a n s Ms) p o u r i = 1 , . . . , ki, qui engendrent le As- m o d u l e (contenu d a n s A®) des relations e n t r e les Ç j / l . O n p e u t supposer sans p e r t e de généralité que chaque at i J est en fait u n élément ^ 1 avec a'^ - G A. H existe alors u n exposant n convenable tel que les vecteurs sn( a \ 1 ?. . . , a'i q) = . . . , a"q) G Aq soient des A-relations entre les g j G M .
Considérons de la m ê m e manière u n système générateur de relations ( 6t i l, . . . , 6t i î) G A? (où i = 1 , . . . , k2) e n t r e les 1 G Mt, avec bi t j = b ' ^ / l où a'itj G A, puis tm( Vi x, . . . , b'iq) = ( 6 " j , . . . , b"q) G Aq qui sont des A-relations entre les g j G M .
M o n t r o n s que les deux systèmes de relations ainsi construits e n t r e les g j engendrent toutes les relations. Soit en effet u n e relation arbitraire ( cl 5. . . ,cq) e n t r e les g j . Considérons là comme u n e relation e n t r e les g j / l G M„ et écrivons là en conséquence c o m m e combinaison Aâ-linéaire des vecteurs ( a "l 5. . . , a "q) G A®. Après multiplication p a r u n e puissance convenable sh de s on obtient u n e égalité d a n s A® :
af c( c i , . . . , cq) = e i ( a "l 5. . . , a " ^ ) + • • • + e , ( a £t l, . . . , a ' lu q)
O n fait de m ê m e avec t et il reste à combiner les deux résultats selon la procédure u s h + v th = 1 c o m m e d a n s les preuves précécentes.
Supposons enfin q u e Ms est u n As- m o d u l e projectif de t y p e fini et Mt est u n Arm o d u l e projectif de t y p e fini. M o n t r o n s que M est projectif de t y p e fini. P u i s q u e Ms est projectif de t y p e fini, il existe des formes Aa-linéaires ax, . . . , aq sur M„ telles que
Vx G M , x = oti(x)gi -\ 1- aq( x ) gq d a n s Ms
D ' a p r è s le fait 1.11, puisque M est de présentation finie, il existe u n exposant m et des formes A-linéaires c t \ , . . . , a 'q sur M telles que
Vx 6 M sma i ( x ) = c*J ( x ) , . . . , sma , ( x ) = aq( x ) d a n s Ma
et donc
Vx G M smx = a [ ( x ) g i 1- a'q(x)gq d a n s M , donc, c o m m e M est de t y p e fini (voir le fait 1.9) il existe u n e x p o s a n t p tel q u e
Vx € M sm + px = spa '1( x ) g1 + • • • + spa'q(x)gq
O n écrit u n e égalité d u m ê m e style avec t, et o n les combine selon la p r o c é d u r e u s h + vth = 1
c o m m e d a n s les preuves précécentes. • R e m a r q u e 1 . 1 6 Les preuves sont t o u j o u r s "les m ê m e s " . Il existe u n t r a i t e m e n t u n peu plus
a b s t r a i t , s ' a p p u y a n t sur la notion d e m o d u l e fidèlement plat qui p e r m e t de voir pourquoi. Voir p a r exemple [6] proposition 2.3.5 et lemme 3.2.3. L'exposé d a n s [6] d u principe de recollement concret des modules projectifs de t y p e fini m a n q u e de p e u u n e preuve entièrement constructive.
D a n s [7] ce principe est l'objet de la règle 1.14 d u chapitre IV, mais là aussi la preuve n'est pas constructive.
La principe local-global concret 2 de recollement des modules projectifs a d m e t la version a b s t r a i t e suivante. Nous n'utiliserons pas ce résultat.
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l a b s t r a i t 2 (recollement a b s t r a i t de modules projectifs) Soit M un A- module. Supposons que M soit de p r é s e n t a t i o n finie ou que M soit de type fini et A intègre, alors M est projectif de type fini si et seulement si les localisés M p , p o u r tous les V € Spec(A) sont libres.
P r e u v e (cf. [12] chap. 2, t h é o r è m e 14 p.43 et exercice 10 p.51, [6] t h é o r è m e 3.3.7).
Nous donnons u n e preuve p o u r le cas d ' u n m o d u l e de présentation finie, distincte de celles citées ci-dessus. C e t t e preuve fonctionne c o m m e la deuxième preuve d u principe local-global a b s t r a i t 1.
Il f a u t m o n t r e r q u e la condition est suffisante. Dire q u ' u n e m a t r i c e G présente u n m o d u l e libre de r a n g k revient à dire q u ' o n p e u t passer d e G à u n e m a t r i c e nulle de t y p e k x 1 p a r u n e suite finie de t r a n s f o r m a t i o n s élémentaires décrites à la section 1.1.
Soit m a i n t e n a n t V u n idéal premier. Si ce que nous venons d'expliquer fonctionne p o u r le A p - m o d u l e M-p et u n certain entier k, cela fonctionne aussi p o u r le A , - m o d u l e M , pour un s G A \ V convenable, ceci en vertu d u n o m b r e fini d'égalités d a n s A p mises en jeu lors de ces t r a n s f o r m a t i o n s élémentaires.
Il reste à recouvrir Spec(A) p a r u n n o m b r e fini d'ouverts U3i et à faire appel au principe
local-global concret d e recollement des modules projectifs de t y p e fini. O Les deux principes qui suivent (concret et a b s t r a i t ) ne seront pas utilisés dans la suite de
l'article. Les preuves sont analogues à celles des principes 1. Le principe concret p e u t p a r exemple ê t r e t r o u v é d a n s le livre de Knight [6].
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l c o n c r e t 3 (recollement concret des suites exactes)
Supposons que S j , . . . sn € A avec sxA + • • • + snA = A, et soit f : M N et g : N —* P des applications A-linéaires entre A-modules. Alors la suite
m - U N - U P est exacte si et seulement si les suites
Mt i Nt i PS i sont exactes p o u r i Ç { 1 , . . . , n } .
P r i n c i p e l o c a l - g l o b a l a b s t r a i t 3 (recollement a b s t r a i t des suites exactes)
Soit f : M —• N et g : N —• P des applications A-linéaires entre A-modules. Alors la suite M - U N - U P
est exacte si et seulement si les suites
p-p sont exactes p o u r tous les V E Spec(y4).
2 M a t r i c e s d e p r o j e c t i o n 2 . 1 C a s d ' u n a n n e a u l o c a l
P r o p o s i t i o n 2 . 1 (cas d ' u n a n n e a u local) Soit A un a n n e a u local, F € M a tn( A ) avec F2 — F et M le module projectif de type f i n i image de F d a n s An. H existe un entier k (0 < k < n) tel que det(I„ + X F ) = (1 + X )k. E n outre tous les m i n e u r s d'ordre k + 1 de F sont nuls.
P r e u v e II s'agit d ' u n e conséquence i m m é d i a t e d u lemme de la liberté locale : t o u t e matrice de projection sur u n a n n e a u local est semblable à u n e m a t r i c e de projection s t a n d a r d Ifc)n,„.
L'entier k est u n i q u e m e n t d é t e r m i n é si l ' a n n e a u est non trivial. • Notez que la preuve précédente est entièrement constructive lorsqu'elle est basée sur la
troisième preuve d u l e m m e de la liberté locale. Les deux a u t r e s preuves réclameraient que l ' a n n e a u local ait u n corps résiduel discret.
2 . 2 C a s g é n é r a l
T h é o r è m e 3 (matrices de projection : i d e m p o t e n t s et localisations libres) Soit A un anneau, F € M a t „ ( A ) avec F2 = F et M le module projectif de type fini image de F dans An. P o s o n s Rf( 1 + X ) : = d e t ( In + X F ) , RF( X ) = : r0 + rxX + • • • + rnXn. Alors le système { r0, ru . . . , rn) est un système f o n d a m e n t a l d'idempotents orthogonaux.
E n outre, les m i n e u r s d'ordre (k + 1) de la matrice rkF sont tous nuls. E t si s est un mineur diagonal d'ordre k de rkF , alors le module M3 est libre de rang k s u r l'anneau As.
R e m a r q u e 2 . 2 O n n o t e r a que la dernière affirmation d u t h é o r è m e reste vraie si s — 0 en raison de la convention 2. De m ê m e , avec c e t t e convention la proposition 2.1 reste vraie dans le cas d ' u n a n n e a u trivial si on n e d e m a n d e pas l'unicité de k.
R e m a r q u e 2 . 3 L a définition des r,- attachés à la m a t r i c e F p e u t ê t r e relue c o m m e suit en utilisant le p o l y n o m e caractéristique sous sa f o r m e usuelle :
d e t ( X In - F ) = : r0Xn + r iXn~ \ X - 1) + • • • + n X ^ X - 1)' + • • • + rn( X - l )n
(les Xn~ ' ( X — 1)' forment u n e b a s e d u m o d u l e des polynomes de degré < n, triangulaire p a r r a p p o r t à la b a s e usuelle)
P r e u v e d u t h é o r è m e : O n a trivialement R / r ( l ) = 1, i.e. S,r,- = 1. O n utilise le principe local-global a b s t r a i t de recollement des égalités p o u r m o n t r e r q u e r,ry = 0 p o u r i / j . E n effet cette égalité est vraie d a n s le cas des a n n e a u x locaux d ' a p r è s la proposition 2.1 puisque tous les r,- sont égaux à 0, sauf u n égal à 1.
La m ê m e astuce fonctionne p o u r d é m o n t r e r q u e les mineurs d ' o r d r e k + 1 de rkF sont nuls.
Soit en effet t u n m i n e u r d ' o r d r e k + 1 de F , on doit m o n t r e r q u e t rk = 0 d a n s A. Si A est local, ou bien rk = 0 (si le r a n g est h / k), ou bien rk = 1 et t = 0 (si le r a n g est k). Voyons enfin la dernière affirmation. Nous notons Fa la m a t r i c e F v u e d a n s Aa. Il est clair que le m i n e u r diagonal s est inversible d a n s Aa et on vient de voir q u e tous les mineurs d ' o r d r e k + 1 de rkF ~ Fr k sont nuls, donc a fortiori tous les mineurs d ' o r d r e k + 1 de Fa sont nuls. On p e u t donc appliquer le l e m m e de la liberté (page 6) et déduire q u e le A j - m o d u l e Ma image de la
m a t r i c e Fa est libre. •
T h é o r è m e 4 (forme explicite des théorèmes 1 et 2)
Sous les m ê m e s hypothèses et avec les m ê m e s notations qu'au théorème 3, p o u r chaque k = 0, . . . , n , la matrice rkF , vue comme matrice à coefficients d a n s Ar k (identifié à rkA ) a pour image un module projectif de rang k s u r l'anneau ATk (ceci prouve le t h é o r è m e 2).
Si les tk,i sont les m i n e u r s diagonaux d'ordre k de F , et si on pose sk,i = rktk ii , la s o m m e (pour k fixé) des sk ti est égale à rk, et chaque module M3 k i est libre de rang k. D o n c la famille de tous les sk<{ a p o u r s o m m e 1 et convient p o u r le théorème 1. E n particulier, p o u r tout module projectif de type fini à n générateurs, 2n éléments s,- suffisent p o u r le théorème 1.
P r e u v e : Conséquence i m m é d i a t e d u théorème 3. Q C o m m e n t a i r e 2 . 4 Le t h é o r è m e précédent d o n n e u n e version complètement explicite des
théorèmes 1 et 2. Nous sommes ici d a n s u n e situation typique que se proposait de "résoudre"
le p r o g r a m m e de Hilbert. U n énoncé explicite concret a été d é m o n t r é p a r des m é t h o d e s ab- straites a priori p e u fiables. Nous donnons dans la suite deux moyens de récupérer u n e preuve entièrement fiable de l'énoncé concret. L ' a r g u m e n t parfois cité que t o u t t h é o r è m e d ' a r i h m é t i q u e p r o u v é d a n s Z F C p e u t également ê t r e prouvé sans recours à l'axiome d u choix offre a u moins trois inconvénients. Le premier (mineur) est q u ' u n e analyse assez poussée doit ê t r e menée pour se convaincre q u ' u n t h é o r è m e c o m m e le t h é o r è m e 2 a, en fait, la signification d ' u n théorème d ' a r i t h m é t i q u e . Le deuxième ( n e t t e m e n t plus sérieux) est que le recours à l'axiome d u choix n'est pas le seul ingrédient non constructif dans la preuve qui a été fournie. Le troisième (redoutable) est que rien ne garantit que Z F C soit u n e théorie cohérente.
U n a u t r e corollaire d u t h é o r è m e 3 est le suivant :
T h é o r è m e 5 (polynome caractéristique des matrices de projection de r a n g constant)
Soit F G M a tn( A ) avec F2 = F et M le module projectif de type fini image de F dans An. Alors le module M est de rang k si et seulement si le polynome caractéristique de F est égal à ( X — l )kXn~k. D a n s ce cas tous les m i n e u r s d'ordre k + l de F sont nuls.
P r e u v e : L a condition est clairement suffisante. M o n t r o n s qu'elle est nécessaire. Nous sup- posons d o n c q u e le p o l y n o m e caractéristique de F est égal, à des nilpotents près, au polynome ( X — l )kXn~k. E n a p p l i q u a n t le t h é o r è m e 2, cela implique q u e p o u r h ^ k l ' i d e m p o t e n t rh est nilpotent, donc nul. E n ce qui concerne les mineurs d ' o r d r e A: -f-1 de F , on p e u t alors appliquer
le t h é o r è m e 3. • C o m m e n t a i r e 2 . 5 Notez q u e d a n s la mesure où le t h é o r è m e p e u t ê t r e prouvé constructive-
m e n t , ceci nous d o n n e u n e version constructivement satisfaisante de la proposition 1.2 (on ne considère pas le (a), et d a n s les autres conditions équivalentes, on p e u t évacuer les nilpotents).
Nous verrons encore u n peu mieux à la section 3.4.
U n dernier corollaire i m m é d i a t d a n s le m ê m e style est le suivant, (cf. t h é o r è m e 2 dans [1]
chap. II §5).
T h é o r è m e 6 (caractérisation locale des modules projectifs de r a n g c o n s t a n t )
Un A-module M engendré p a r n éléments est projectif de rang constant k si et seulement si il
existe un entier m < et des éléments « i , . . . , sm de A tels que, d'une p a r t SjAH = A, et d'autre p a r t les modules MS i soient libres de rang k.
Nous t e r m i n o n s c e t t e section p a r u n e proposition facile.
P r o p o s i t i o n 2 . 6 ( q u a n d le localisé en u n élément de A est de r a n g c o n s t a n t )
Soit F une matrice de projection ayant p o u r image un module M , et r o , . . . , rn le sfio défini au théorème 3.
Soit s un élément de A. P o u r que le localisé Ms soit projectif de rang h il f a u t et suffit que r h / 1 = 1 d a n s As, c.-à-d. que rh$m = sm dans A p o u r un certain exposant m . Si s est un idempotent, cela signifie que rh divise s .
E n f i n si s o , . . . , sn est un sfio tel que chaque M„h soit de rang h, alors r/, = Sh p o u r h = 0 , . . . , n . 2 . 3 C a s g é n é r i q u e
Qu'est-ce que nous appelons le cas générique, concernant u n m o d u l e projectif à n générateurs ? On considère l ' a n n e a u A = B „ = 2Z[(fij)i<i,j<n]/<Jn, où Jn est l'idéal défini p a r les n2 relations obtenues en écrivant F2 = F . D a n s cet a n n e a u Bn, nous avons la m a t r i c e F = ( f i j ) dont l'image d a n s B " est ce qui mérite d ' ê t r e appelé le module projectif générique à n générateurs.
Reprenons les n o t a t i o n s d u t h é o r è m e 3 d a n s ce cas particulier. Dire que r^r* = 0 d a n s Bn
(pour 0 < h ^ k < n ) signifie que, dans 2Z[f] = 2Z[(/t,j)i<;j<n]
rf c( f ) r * ( f ) G Jn (*)
Cela implique u n e identité algébrique qui p e r m e t d ' e x p r i m e r c e t t e a p p a r t e n a n c e . C e t t e identité algébrique est naturellement valable d a n s tous les a n n e a u x c o m m u t a t i f s . Il est donc clair que si l ' a p p a r t e n a n c e (*) est vérifiée d a n s le cas générique, elle implique r^r*. = 0 p o u r n ' i m p o r t e quelle m a t r i c e de projection p o u r n ' i m p o r t e quel a n n e a u c o m m u t a t i f .
La m ê m e chose vaut p o u r les égalités r ^ s = 0 lorsque s est un m i n e u r d ' o r d r e h + 1.
E n r é s u m é : si le t h é o r è m e 3 est vérifié dans le cas générique, il est vérifié d a n s t o u s les cas.
Le seul ingrédient non constructif dans la preuve du t h é o r è m e 3 était l'appel au principe local-global a b s t r a i t 1. D a n s le c o m m e n t a i r e après ce théorème, nous avons indiqué que le
20
