Les Z-modules sans torsion de type fini sont libres

Les Z-modules de type fini sans torsion sont libres

i≤n(X − xi). En particulier, les xisont distincts.

K = Q (x1, . . . , xn) = Q

P

. A = Z [x1, . . . , xn], sous-anneau de K.

On fixe p ∈ P. On suppose χp(P )s´eparable (dans Fp).

1

_{Rang d’un Z-module libre de type fini}

D´efinition 1 Soit A un Z-module (ie un groupe ab´elien). On dit que A est libre ssi A admet une base :

∃ (e_i)_i∈I / ∀ a ∈ A, ∃ ! (λi) ∈ Z(I) / a =Pi∈Iλiei.

Th´eor`eme-D´efinition 1 Soit A un Z-module libre de type fini. (ie engendr´e par une sous partie finie). Alors

toutes les bases ont mˆeme cardinal. Ce cardinal est le rang de A, not´e rg A.

D´emonstration : Soit (ei)i∈I une base de A. Soit {ai}i≤n une partie g´en´eratice de A. Chaque ai est

engendr´e par Ii sous-partie finie de I. Donc, A est engendr´e par Si≤nIi. D’o`u l’existence d’une base

finie.

On consid`_{ere alors A/2A. C’est une F}2-espace vectoriel. En effet,



A/2A, +est un groupe ab´elien et on v´erifie le seul axiome non trivial : ∀ λ, µ ∈ F2, (λ + µ)x = λx + µx(si λ = 1 = µ, x + x = 2x = 0,

dans A/2A).

Notons φ : A → A/2A le morphisme surjectif canonique. Soit (ei)_i≤n une base de A. Alors, on

montre que B = (φ(ei))_i≤n est une base du F2-espace vectoriel. B est clairement g´en´eratrice. Puis, si

P λ_iφ(ei) = 0, o`u (λi) ∈ (F2)n, on pose pour tout i, µi ∈ Z tel que χ2(µi) = λi. On a φ (P µiei) = 0

doncP µiei = 2a, avec a =P νiei. Donc, ∀ i, µi = 2νi. Donc λi = 0.

Ainsi, le cardinal de toute base de A est ´egal `<sub>a celui d’une base de A/2A donc `a dimF</sub>2



A/2A. 

2

_{Un Z-module de type fini sans torsion est libre}

2.1 Compl´etion d’une famille libre en une une famille basique

La situation n’est pas simple. En effet, on ne peut pas compl´eter une quelconque famille libre en base. Par exemple, dans Z2_{, (4, 6) n’est pas compl´etable en une base (comme tout vecteur du type δ(a, b), |δ| > 1).}

Lemme 1 Soit (λ1, . . . , λn) ∈ Zn (n ≥ 2) tel que les λi soient premiers dans leur ensemble. Alors, il existe

(αi,j)1≤i≤n 2≤j≤n∈ Z (n−1)n_{telle que :}          λ1 α12 . . . α1n λ2 α22 . . . α2n .. . ... . .. ... λn αn2 . . . αnn          = 1

D´emonstration : On raisonne par r´ecurrence sur n.

n = 2: λ1∧ λ2= 1, donc ∃ (m, n) ∈ Z2/ λ1m − nλ2 = 1, c’est-`a-dire

    λ1 n λ2 m     = 1.

HRn−1=⇒ HRn : On note δ le pgcd de {λi}_i≤n−1, et on note µi = λ_δi pour i ≤ n − 1. Les µi sont

premiers dans leur ensemble. Soit donc (αi,j)1≤i≤n−1 2≤j≤n−1 telle que :          µ1 α12 . . . α1n−1 µ2 α22 . . . α2n−1 .. . ... . .. ... µn−1 αn−12 . . . αn−1n−1          = 1

On sait que δ et λn sont premiers entre eux. Ainsi, ∃ (k, l) ∈ Z2/ kδ + lλn = 1. On v´erifie alors que la

matrice        λ1 α12 . . . α1n−1 (−1)n−1lµ1 λ2 α22 . . . α2n−1 (−1)n−1lµ2 .. . ... . .. ... ... λn−1 αn−12 . . . αn−1n−1 (−1)n−1lµn−1 λn 0 . . . 0 (−1)n−1k       

a pour d´eterminant 1, en d´eveloppant par rapport `a la derni`ere ligne. 

Proposition 1 Soit λ = (λ1, . . . , λn) ∈ Zn tel que les λi soient premiers dans leur ensemble. Alors, il existe

(ei)i≤n−1∈ (Zn)n−1telle que (λ, e1, . . . , en)soit une Z-base de Zn.

D´emonstration : On compl`ete le vecteur colonne (λ1, . . . , λn)en une matrice

M =      λ1 α12 . . . α1n λ2 α22 . . . α2n .. . ... . .. ... λn αn2 . . . αnn      = (C1, . . . , Cn)

de d´eterminant 1, grˆace au lemme pr´ec´edent. Sachant alors que fM M = det(M )In = In, o`u fM est la

transpos´ee de la comatrice de M , on en d´eduit que M−1 ∈ Mn(Z).

V´erifions que (C1, . . . , Cn)est une Z-base de Zn. Notons εi∈ M1n(Z) tel que (εi)j = δij. On a dans

ce cas, M X = εi ⇐⇒ X = M−1εi∈ M1n(Z). Donc, εi =Pj≤nXjCj. Ainsi, (Cj)j≤nest g´en´eratrice de

Znet libre car de bon cardinal. 

2.2 _{Etude des quotients de Z}´ n

On caract´erise dans ce paragraphe les groupes quotients de Zn_{sans torsion.}

Th´eor`eme 1 (Structure des quotients sans torsion de Zn_{) Soit G un sous-groupe de Z}n _{tel que Z}n

/G soit

sans torsion. Alors il existe k ∈ N tel que Zn/G ' Zk_. D´emonstration : On raisonne par r´ecurrence sur n.

n=1 : Dans ce cas, soit G est le groupe nul, soit G est Z entier. En effet, on sait que les quotients de Z sont les Z/nZ, qui sont cycliques d`es que n > 1.

HRn−1=⇒ HRn : Soit G un sous-groupe, suppos´e non nul, de Zn tel que Zn/G soit sans torsion.

Soit λ ∈ Zn _{non nul. Soit δ le plus grand diviseur commun aux λ}

i. Alors, µ =  λi δ  i≤n ∈ G ; en effet,

sinon, on aurait, en notant ϕ : Zn_{→ Z}n

peut alors compl´eter µ en une base (ei)i≤no`u e1= µ, et consid´erer : ψ : Z n−1_{→ Z}n /G (x2, . . . , xn) 7→ ϕ(Pi≥2xiei) . Ce morphisme est bien d´efini et surjectif car µ ∈ G. Ainsi :

Zn/G ' Zn−1/ker ψ,

ce qui permet de conclure grˆace `a l’hypoth`ese de r´ecurrence. 

2.3 _{Les Z-modules de type fini sans torsion sont libres}

Les modules ont ceci de diff´erent d’avec les espaces vectoriels qu’ils n’admettent pas forc´ement de base, mˆ_{eme s’ils sont de type fini. On peut donner l’exemple de Z/nZ, qui n’admet pas de famille libre. Cependant,} on a le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2 Soit M un Z-module de type fini et sans torsion. Alors, M est libre.

D´emonstration : Soit M un tel module et soit (ai)i≤nune famille g´en´eratrice de M . Soit

ϕ : Z

n_{→ M}

λ 7→P

i≤nλiai

.

ϕest surjective : M ' Zn_{/ker ϕ ' Z}k_{, d’apr`es les hypoth`eses faites. Soient (ε}

i)i≤k la base canonique de

Zket f un isomorphisme de Zkvers M . Alors, (f (εi))_i≤kest une Z-base de M. 

3

Etude de A

´

Fait 1 A est un Z-module non nul, libre et de type fini.

Par ailleurs, on a rg(A) = [K : Q].

D´emonstration : La premi`ere assertion provient de l’´etude faite pr´ec´edemment sur les Z-modules sans torsion, de type fini. Soit donc e = (ei)i≤pune base de A. Comme on sait que K = {R(x1, . . . , xn),

R ∈ Q(X1, . . . , Xn)} et A = {R(x1, . . . , xn), R ∈ Z(X1, . . . , Xn)}, si x est un ´el´ement de K, alors

x = x_m0 o`u x0 <sub>∈ A et m ∈ Z. On en d´eduit le caract`ere g´en´eracteur de e. La libert´e s’obtient par un</sub>

argument similaire. 

4

A/pA

est un anneau (fini) non nul

Fait 2 Soit A un Z-module non nul libre de type fini. Alors A/pA est un anneau fini non nul.

D´emonstration : Le fait que A/pA soit un anneau est acquis d`es la construcation de A/pA.

Pour montrer qu’il est fini non nul, on montre_{A/pA, +}'_Z/pZn, o`u n = rg A. Notons (ei)i≤n

une base de A. D’abord, φ : A → Z

n

P λiei7→ (λi)_i≤n est un isomorphisme. Puis, notant f : A → A/pA

le morphisme surjectif canonique, on consid`ere ψ : A/pA → 

Z/pZ n

f (P λiei) 7→ (χp(λi))_i≤n

bien d´efinie, on note que f (P λ_iei) = f (P µiei) =⇒P(λi−µi)ei= pa = pP βiei. Donc mod (λi, p) =

mod (µi, p). Il est clair que ψ est injective et surjective. 

5

Les pr´

eliminaires `

a la d´

emonstration

Lemme 2 σ ∈ Gal_Q(P ) =⇒ σ|A∈ Aut (A), et ψ :

Gal_Q(P ) → Aut (A) σ 7→ σ|A

est un isomorphisme de groupes.

D´emonstration :

a) Soit σ ∈ Gal_Q(P ) ' Aut_Q 

QP 

. σ|A h´erite de l’injectivit´e et des propri´et´es de morphisme de σ.

Puis, σ permute les racines, qui sont disctinctes et g´en´eratrice de A. Donc σ(A) = A.

b) ψ est clairement un morphisme. Si ψ(σ) = Id, σ|A(xi) = σ(xi) = xi, alors σ = Id. Enfin, soit

ρ ∈ Aut (A). Soit σ : K → K

R (x1, . . . , xn) 7→ R (ρ(x1), . . . , ρ(xn))

. σ est bien d´efnie car ρ l’est. σ est un morphisme et est surjectif car les xisont distincts et car ρ les permute.



Lemme 3 Hom (A, Ep) 6= ∅.

D´emonstration : Soit M un id´eal de A maximal contenant p (l’existence est assur´ee par le fait 2 et le lemme de Krull). Soit φ : A → A/M le morphisme surjectif canonique d’anneaux. On a Fp ⊂ A/M car

φ(p) = 0 _{et φ(1) 6= 0 (A/pA est non nul). Par ailleurs, A/M est g´en´er´e par (φ(x}i))i≤n et est un corps.

Enfin, φ(P ) = χp(P ) =Qi≤n(X − φ(xi)), donc les φ(xi)sont les racines de χp(P ).

Donc A/M = Fp χp(P )= Ep. Donc, φ ∈ Hom (A, Ep). 

Fixons τ ∈ Hom (A, Ep)une fois pour toutes.

6

_{Structure de Hom (A, E}

)

Lemme 4 Soit M un Z-module libre de type fini et L un corps. Alors, EndZ(M, L)est de dimension ´egale au rang de M .

D´emonstration : Notons (ei)i≤n une base de M . On d´emontre que f :

End_Z(M, L) → Ln

φ 7→ (φ(ei))i≤n

est un isomorphisme. En fait, on a juste `a montrer la surjectivit´e. Soit donc (µi)i≤n ∈ Ln et soit g :

M → K P λiei 7→P λiµi

; on a bien φ(g) = (µi)i≤n. 

Proposition 2 (description des prolongements de la r´eduction modulo p)

Hom (A, Ep) = {τ ◦ σ, σ ∈ Aut (A)} .

D´emonstration : On a d´ej`a Hom (A, Ep) ⊂ {τ ◦ σ, σ ∈ Aut (A)}. On conclut par un argument de

Le th´eor`eme de Dedekind permet d’affirmer que les ´el´ement de Hom (A, Ep) sont lin´eairement

ind´ependants. Or, Hom (A, Ep) ⊂ EndZ(A, Ep). Donc,

dim_Ep(EndZ(A, Ep)) ≥ #Hom (A, Ep) ≥ [K : Q]

|| rg A = [K : Q]

,

l’in´egalit´e de droite provenant du fait que les τ ◦σ sont deux-`a-deux distincts et #Aut (A) = #Gal<sub>Q</sub>(P ) = [K : Q]. Pourquoi les τ ◦ σ sont-il deux-`a-deux distincts ? χp(P ) est s´eparable : donc τ est injectif sur

{xi}_i≤n. Or, σ 6= σ0 =⇒ ∃ i / σ(xi) 6= σ0(xi)(les xiengendrent A). D’o`u le r´esultat. 

7

Groupe de Galois et r´

eduction modulo p

Th´eor`eme 3 Soit P ∈ Z[X], unitaire, irr´eductible1_{de racines distinctes x}

1, . . . , xn, tel que χp(P )soit encore `

a racines simples dans son corps de d´ecomposition. Alors,

Gal_Fp(χp(P )) est un sous-groupe de GalQ(P ).

D´emonstration : Soit σ ∈ Gal_Fp(χp(P )). Soit ˜σl’unique ´el´ement de Aut (A) tel que σ ◦ τ = τ ◦ ˜σ, d’apr`es

la proposition 2.

Alors, Φ : GalFp(χp(P )) → Aut (A) ' GalQ(P )

σ 7→ ˜σ est un morphisme injectif de groupes.

V´erifions que c’est un morphisme : σ1◦ σ2◦ τ = τ ◦ Φ(σ1◦ σ2) = σ1◦ (σ2◦ τ ) = (σ1◦ τ ) ◦ Φ(σ2) =

τ ◦ Φ(σ1) ◦ Φ(σ2). D’apr`es la mˆeme proposition : Φ(σ1◦ σ2) = Φ(σ1) ◦ Φ(σ2).

Enfin, il estinjectif car si Φ(σ) = Id, ie σ ◦ τ = τ , σ laisse forc´ement invariants les τ (xi), qui sont