Mod´ elisation et sp´ ecification – Master 2 Informatique TD 2 : (bi)simulation
Jeux de (bi)simulation
Simulation
Le jeu de simulation forte est d´ efinie comme suit : ´ Etant donn´ e un syst` eme de transition ´ etiquet´ e on commence ` a partir d’un couple d’´ etat (s
1, t
1). Il y a deux joueurs : un “attaquant” et un “d´ efenseur”. Le but de l’attaquant est de montrer que t
1ne peut pas simuler s
1. Les deux joueurs jouent ` a tour de rˆ ole.
L’attaquant commence. On commence ` a partir de la configuration actuelle (s
1, t
1).
– L’attaquant choisit une action a. Ensuite il doit choisir une transition s
1→
as
2. – Le d´ efenseur doit prendre la mˆ eme action a et choisir une transition t
1→
at
2– Le couple (s
2, t
2) devient la configuration actuelle et on recommence.
Un jeu est une s´ equence maximale de configurations obtenue avec les r` egles pr´ ec´ edentes. Un jeu est perdant pour le joueur qui est bloqu´ e et ne peut plus faire d’action. Si le jeu est infini, le d´ efenseur gagne.
t
1simule s
1si et seulement si le d´ efenseur a une strat´ egie gagnante universelle. t
1ne simule pas s
1si et seulement si l’attaquant a une strat´ egie gagnante universelle. Un joueur a une strat´ egie gagnante si il a une strat´ egie lui permettant de gagner le jeu quels que soient les choix de l’autre joueur.
Bisimulation
De la mˆ eme mani` ere un peu d´ efinir un jeu de bisimulation ` a partir de (s
1, t
1). Dans ce cas les r` egles sont les suivantes.
– L’attaquant choisit le cot´ e gauche ou droite de la configuration actuelle et une action a. Ensuite il doit choisir une transition s
1→
as
2s’il a choisi la gauche ou une transition t
1→
at
2s’il a choisi la droite.
– Le d´ efenseur doit prendre la mˆ eme action a et choisir une transition t
1→
at
2si l’attaquant a choisi la gauche ou une transition s
1→
as
2si l’attaquant a choisi la droite.
– Le couple (s
2, t
2) devient la configuration actuelle et on recommence.
La condition de gain est la mˆ eme que pour le jeu de simulation. s
1est bisimilaire ` a t
1si et seulement si le d´ efenseur a une strat´ egie gagnante universelle. s
1n’est pas bisimilaire ` a t
1si et seulement si l’attaquant a une strat´ egie gagnante universelle.
(Bi)simulation observationelle
Dans ce cas, on doit modifier le jeu pour tenir compte des actions internes.
Exercice 1 : Bisimulation
Trouvez les relations de bisimulation et de simulation (forte ou observationnelle) entre toutes les paires de STE de la figure 1. Pour les deux premiers syst` emes, donnez une strat´ egie gagnante pour le d´ efenseur dans le jeu de bisimulation.
Exercice 2 : Equivalence de traces ´
Les deux premiers STE dans la figure 2 repr´ esentent deux impl´ ementations (notons-les CT M
1et CT M
2) d’un distributeur de th´ e et caf´ e.
1. Quelle est la relation entre les traces des ces impl´ ementations ?
2. Le 3` eme STE de la figure 2 (designons-le par CS) est celui d’un utilisateur du distributeur. Construi- sez les STE correspondant aux expressions suivantes :
(CS||
{coin,coffee,tea
}CT M
1)\
{coin,coffee,tea
}et (CS||
{coin,coffee,tea
}CT M
2)\
{coin,coffee,tea
}Les STE que vous obtenez ont-ils les mˆ emes traces ?
3. Les STE obtenues au point pr´ ec´ edent sont-elles bisimilaires (observationnel) ? Est-ce qu’il y a une
relation de simulation entre les deux ?
0
2
a 1
a
b b
0
1 a
b
0
2 b
1 a
c c
0
2 b
1 a 3 c
c b
a
0
1 in out
2 in out
0
3 in
1 in out
2
in out
in ou
out
0
3 a
1 i i
4 b
2 i i
5 i
0
3 b
2 a
1 i
i
Figure 1 – STE
0
1 coin teacoffee
0
2 coin
1 coin
tea coffee
0
1 pub
2 coin
coffee
