Corrigé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°07

• Le devoir devra être rédigé sur des copies doubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

Problème 1

1 1.a SoitP ∈ E𝑛. Tout d’abord,𝑡 ↦ P(𝑡)𝑒^𝑡est continue surℝ.

De plus, par croissance comparée,𝑡²P(𝑡)𝑒^𝑡 ⟶

𝑡→−∞ 0i.e.P(𝑡)𝑒^𝑡 =

𝑡→+∞ 𝑜 (¹

𝑡²). Comme l’intégrale∫_−∞^{−1 d𝑡}

𝑡² converge et𝑡 ↦ ¹

𝑡² est positive, l’intégrale∫_−∞^𝑥 P(𝑡)𝑒^𝑡 d𝑡converge quelque soit le réel𝑥. Ainsi l’applicationL(𝑓)est bien définie surℝ.

L’applicationLest donc bien définie surE_𝑛. 1.b Pour tout𝑥 ∈ ℝ,

L(1)(𝑥) = 𝑒^−𝑥∫

𝑥

−∞

𝑒^𝑡d𝑡 = 𝑒^−𝑥[𝑒^𝑡]^𝑡=𝑥_𝑡=−∞= 𝑒^−𝑥𝑒^𝑥= 1 AinsiL(1) = 1.

1.c Soient𝑘 ∈J0, 𝑛 − 1Ket𝑥 ∈ ℝ. Les applications𝑡 ↦ 𝑡^𝑘+1et𝑡 ↦ 𝑒^𝑡sont de classe𝒞¹surℝet lim𝑡→−∞𝑡^𝑘+1𝑒^𝑡= 0 par croissances comparées donc, par intégration par parties,

L(X^𝑘+1)(𝑥) = 𝑒^−𝑥∫

𝑥

−∞

𝑡^𝑘+1𝑒^𝑡 d𝑡

= 𝑒^−𝑥([𝑡^𝑘+1𝑒^𝑡]^𝑥

𝑡=−∞− ∫

−∞

(𝑘 + 1)𝑡^𝑘𝑒^𝑡d𝑡)

= 𝑒^−𝑥(𝑥^𝑘+1𝑒^𝑥− (𝑘 + 1) ∫

𝑥

−∞

𝑡^𝑘𝑒^𝑡 d𝑡)

= 𝑥^𝑘+1− (𝑘 + 1)L(X^𝑘)(𝑥) AinsiL(X^𝑘+1) = X^𝑘+1− (𝑘 + 1)L(X^𝑘).

1.d On a bienL(1) = 1 ∈ E𝑛et siL(X^𝑘) ∈ E𝑛pour un certain𝑘 ∈J0, 𝑛 − 1K, alorsL(X^𝑘+1) = X^𝑘+1− (𝑘 + 1)L(X^𝑘) ∈ E𝑛. Par récurrence,L(X^𝑘) ∈ E𝑛pour tout𝑘 ∈J0, 𝑛K. De plus,Lest clairement linéaire et(X^𝑘)0≤𝑘≤𝑛est une base deE𝑛doncLest bien un endomorphisme deE𝑛.

2 2.a Pour tout𝑥 ∈ ℝ,

𝑔(𝑥) = L(𝑓)(𝑥) = 𝑒^−𝑥∫

−∞

𝑓(𝑡)𝑒^𝑡 d𝑡

De plus,𝑥 ↦ 𝑒^−𝑥est de dérivable surℝ, de même que𝑥 ↦ ∫_−∞𝑓(𝑡)𝑒^𝑡 d𝑡. La dérivée de cette seconde fonction est𝑥 ↦ 𝑓(𝑥)𝑒^𝑥donc𝑔est dérivable comme produit de fonctions dérivables et

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔^′(𝑥) = −𝑒^−𝑥∫

−∞

𝑓(𝑡)𝑒^𝑡 d𝑡 + 𝑒^−𝑥⋅ 𝑒^𝑥𝑓(𝑥) = −L(𝑓)(𝑥) + 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)

𝑔est donc bien solution surℝde l’équation différentielle𝑦^′+ 𝑦 = 𝑓.

2.b Si𝑓 ∈KerL, alors𝑔 = L(𝑓) = 0et, d’après la question précédente,𝑓 = 𝑔^′+𝑔 = 0. On en déduit que Ker(L) = {0}.

L’endomorphismeLest donc injectif. PuisqueE_𝑛est de dimension finie,Lest un automorphisme deE_𝑛. 3 3.a Comme Ker𝑓 = {0},0n’est pas valeur propre deE𝑛.

3.b D’après une question précédente,𝑔 = L(𝑓) = λ𝑓 est solution de l’équation différentielle𝑦^′+ 𝑦 = 𝑓. Ainsi λ𝑓^′+ λ𝑓 = 𝑓ou encoreλ𝑓^′+ (λ − 1)𝑓 = 0.𝑓est bien solution de l’équation différentielleλ𝑦^′+ (1 − λ)𝑦 = 0.

http://lgarcin.github.io 1

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville 3.c D’après le cours, les solutions de l’équation différentielle(ℰ)sont les fonctions𝑥 ↦ C𝑒

(1−λ)𝑥

λ avecC ∈ ℝ.

3.d SoitPune éventuelle solution polynomiale de(ℰ). En notant𝑑son degré, on a doncP^(𝑑+1)= 0. Mais la question précédente montre qu’il existeC ∈ ℝtel que

∀𝑥 ∈ ℝ, P(𝑥) = C𝑒

(1−λ)𝑥 λ

Alors

∀𝑥 ∈ ℝ, P^(𝑑+1)(𝑥) = C (1 − λ λ )

𝑑+1

𝑒

(1−λ)𝑥 λ

Cette fonction n’est pas nulle à moins queλ = 1ouC = 0. On en déduit que

• siλ ≠ 1, l’unique solution polynomiale de(ℰ)est la fonction nulle;

• siλ = 1, les solutions polynomiales de(ℰ)sont les fonctions constantes.

3.e D’après ce qui précède, la seule valeur propre deLest1et le sous-espace propre associé est l’ensemble des fonctions constantes i.e.ℝ₀[X] =vect(1).

3.f Comme1est la seule valeur propre deL, siLétait diagonalisable, on auraitL =Id. Ceci n’est pas le cas puisque, par exemple,L(X) = X − L(1) = X − 1. Par conséquent,Ln’est pas diagonalisable.

4 4.a SoitP ∈ E𝑛. On a vu queL(P)est solution de l’équation différentielle𝑦^′+ 𝑦 = PdoncL(P)^′+ L(P) = Pou encore (D +Id) ∘ L(P) = P. On en déduit que(𝑑 +Id) ∘ L =Id. CommeLest un automorphisme deE𝑛,D +Id= L⁻¹. 4.b La matrice deL⁻¹dans la baseℬest donc la matrice deD +Id dans la baseℬ. Pour tout𝑘 ∈J0, 𝑛K,(D +Id)(X^𝑘) =

X^𝑘+ 𝑘X^𝑘−1. Ainsi

M =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

1 1 0 ⋯ 0 0 1 2 ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ ⋱ 0

⋮ ⋱ 1 𝑛

0 ⋯ ⋯ 0 1

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

4.c On en déduit queχ_L−1 = (X − 1)^𝑛+1. Ainsi1est la seule valeur propre deL⁻¹. Soitλune valeur propre deL.

Il existe doncP ∈ E_𝑛non nul tel queL(P) = λP. AinsiP = λL⁻¹(P). On a déjà vu plus haut queλ ≠ 0donc L⁻¹(P) = ¹

λP. Donc1/λest une valeur propre deL⁻¹et donc1/λ = 1i.e.λ = 1.

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