DS 2 - Corrigé

Maths expertes DS 2 - Corrigé

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Exercice 1 : Question de cours, 3 points

Solution : Apprendre le cours.

Exercice 2 : : Une équation diophantienne, 6 points

On procède par analyse-synthèse.

Analyse : On considère un éventuel couple (x, y) solution de l’équation, on a donc x² = 33 + 4y² avec x, y ∈Nainsi x² −4y² = 33.

En factorisant, il vient (x+ 2y)(x−2y) = 33. On en déduit quex+ 2y et x−2y sont des diviseurs associés de 33. De plusx+2y>0, ce sont donc des diviseurs positifs etx+2y>x−2y ainsi x+ 2y est le plus grand des deux diviseurs associés.

L’ensemble des diviseurs positifs de 33 est : D_N(33) = {1,3,11,33}. Il n’y a donc que 2 possibilités :

x+ 2y = 33

x−2y = 1 ⇔

x+ 2y = 33

−4y = −32 ⇔

x+ 16 = 33

y = 8 ⇔

x = 17

y = 8 ou

x+ 2y = 11

x−2y = 3 ⇔

x+ 2y = 11

−4y = −8 ⇔

x+ 4 = 11

y = 2 ⇔

x = 7

y = 2 Synthèse :

Pour(x, y) = (17,8), on ax² = 17² = 289 = 33 + 256 = 33 + 4×64 = 33 + 4×8² = 33 + 4y². Pour (x, y) = (7,2), on a x² = 7² = 49 = 33 + 16 = 33 + 4×4 = 33 + 4×2² = 33 + 4y².

S ={(17,8), (7,2)}

Exercice 3 : Une équation diophantienne, (6 points)

1. L’expression 3x² est un polynôme de x à coefficient entier ainsi, d’après la propriété sur les congruences dans les expressions polynomiales, le reste de la division euclidienne de 3x² par 11 ne dépend que de celui de x par 11.

On obtient le tableau suivant :

Reste de x par 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Reste de 3x² par 11 0 3 1 5 4 9 9 4 5 1 3

2. L’expression y⁵ est un polynôme de y à coefficient entier ainsi, d’après la propriété sur les congruences dans les expressions polynomiales, le reste de la division euclidienne de y⁵ par 11 ne dépend que de celui de y par 11.

On obtient le tableau suivant :

Reste de y par 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Reste dey⁵ par 11 0 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10

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3. Pour une éventuelle solution de l’équation 3x² =y⁵−4, on a 3x² ≡y⁵−4 [11]

Dans le dernier tableau on obtient que 3 restes possibles pour y⁵ dans la division par 11 qui sont 0, 1 et 10. On a 0−4≡7 [11], 1−4≡8 [11] et10−4≡6 [11].

Les valeurs 7, 8 et 6 sont absentes de la deuxième ligne du premier tableau, on ne peut donc jamais avoir 3x² ≡y⁵−4 [11] ce qui montre que :

l’équation diophantienne 3x² =y⁵−4 n’a pas de solutions

Exercice 4 : 6 points

1. On a 3³ = 27 = 2×13 + 1 donc3³ ≡1 [13].

Soit r le reste de n par 3 ainsi il existe q∈N tel que n = 3q+r.

On en déduit alors 3³q

≡1 [13] c’est à dire3^3q ≡1 [13] puis 3^3q×3^r ≡3^r [13].

Il vient alors 3ⁿ ≡3^r [13] ce qui montre que 3ⁿ et3^r ont même reste par 13 ainsi : Le reste de la division euclidienne de3ⁿ par 13 ne dépend que de celui den par 3 On obtient le tableau suivant :

Reste den par 3 0 1 2 Reste de3ⁿ par 13 1 3 9

2. On dresse un tableau qui donne le reste de 8ⁿ par 13 en fonction de n pour les premières valeurs de n :

n 0 1 2 3 4

Reste de8ⁿ par 13 1 8 12 5 1 On remarque que 8⁴ ≡1 [13], on va donc diviser n par 4 :

Soit r⁰ le reste de n par 4 ainsi il existe q⁰ ∈Ntel que n= 4q⁰+r⁰. On en déduit alors 8⁴q⁰

≡1 [13] c’est à dire8^4q0 ≡1 [13] puis 8^4q0 ×8^r0 ≡8^r0 [13].

Il vient alors 8ⁿ ≡8^r0 [13] ce qui montre que 8ⁿ et 8^r0 ont même reste par 13 ainsi : Le reste de la division euclidienne de8ⁿ par 13 ne dépend que de celui den par 4 On obtient le tableau suivant :

Reste den par 4 0 1 2 3 Reste de 8ⁿ par 13 1 8 12 5 3. On procède par analyse-synthèse.

Analyse :

Soit n∈Ntel que 13|8ⁿ−3ⁿ. On a donc8ⁿ≡3ⁿ [13]ce qui prouve que 8ⁿ et3ⁿ ont même reste dans la division euclidienne par 13.

Dans les tableaux obtenus aux questions 1. et 2., la seule valeur commune aux deux secondes lignes est 1. On en déduit que3ⁿ≡1 [13]et8ⁿ≡1 [13]puis, en utilisant encore ces tableaux, que 3|n et 4|n.

En multipliant respectivement par 4 et 3, il vient alors 12 | 4n et 12 | 3n. Ensuite, par différence : 12|4n−3n c’est à dire12|n. Ainsi il existe k ∈N tel que n= 12k

Synthèse :

Pourn = 12kaveck∈N, on a3|net4|nainsi, d’après les tableaux obtenus aux questions 1. et 2. ; 3ⁿ≡1 [13] et8ⁿ≡1 [13] d’où 8ⁿ≡3ⁿ [13] puis 13|8ⁿ−3ⁿ.

13|8ⁿ−3ⁿ si et seulement si n est un multiple de 12

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Feuille1DS2Ex 1Ex 2analysesystèmessynthèseEx 31.2.3.Ex 41.2.3.Total3,003,002,001,002,002,002,002,002,002,0021102,51,5111007221,525,531321220,511,5431,510000,56502,5210,50,50,57623212200,50,50,513,573321222217832,52100,50,50,510902,51,5111022111002,5210005,511000011002120,51,51,511122010,5131,52,5211,51,50,510,51431,5211,520011151311220,5010,5160321220,510,51702,51100004,51802,5210005,51932,5210,59202,53211,520,50,50,513,52102,5212210,50112221,500220007,5232,5211118,5241,5211,520,50,50092502,5212200,50,50,5112602,5210,50,56,5273032802,52105,52932163032,521220,52153102,52110,5073212,521220010,5330,5321110,59342,52121,50,509,5