CONJECTURES SUR LES LIMITES

Feuille d’exercices : Limites de fonctions

CONJECTURES SUR LES LIMITES

Exercice 1 : Détermination graphique de limites

On considère une fonction 𝑓 définie sur ]−∞; −2[ ∪ ]−2; 1[ ∪ ]1; +∞[ et sa courbe représentative ci-dessous.

Déterminer graphiquement les limites aux bornes de son ensemble de définition (en −∞, en +∞, en −2 et en 1 à gauche et à droite.) Exercice 2 :

Dans chacun des cas suivants, on donne la représentation graphique d’une fonction f.

Lorsque cela est possible, déterminer graphiquement la limite en , en et en 0 de la fonction f.

Exercice 3 :

À l’aide d’une calculatrice, déterminer graphiquement les limites en et en des fonctions suivantes définies sur IR par :

1) 2) 3) 4)

¥

- + ¥

¥

- + ¥

2 3 )

( x = x +

f g ( x ) = x - x

³

h ( x ) = - x

²

+ 3 x + 1

1 2 1

)

(

₂

+ +

= x

x k

Ti2D / Limites

Détermination graphique de limites

a) b) c)

d) e) f)

B

B

B

Exercice 4 :

Dans chacun des cas, on donne le tableau de variation d’une fonction f.

À l’aide de ce tableau, déterminer l’ensemble de définition et les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

Exercice 5 :

On donne ci-dessous les représentations graphiques !^f et !^g des fonctions f et g.

Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de chacune d’elles puis les limites aux bornes de leur ensemble de définition.

Exercice 6 : Détermination d’asymptotes à partir de limites.

Que peut-on dire des limites suivantes concernant les asymptotes horizontales ou verticales ? a) lim

.→01𝑓(𝑥) = −3 c) lim

.→01𝑔(𝑥) = −∞

b) _.→8lim

.98

𝑓(𝑥) = −∞ d) lim

.→:1𝑔(𝑥) = 0

x 0

Variations de f

2 0

x 0 3

Variations de g

2 1

0

x 0 1

Variations de h

2 4

Ti2D / Limites

Détermination d’asymptotes à partie des limites

¥

- +¥

¥

¥ - -

¥

- +¥

¥ -

¥

- -1 +¥

¥ +

¥

- -¥ -¥

¥ -

!

f

!

g

V

B

V

LIMITES DES FONCTIONS DE REFERENCE

Exercice 7 :

Dans chacun des cas suivants, donner les limites aux bornes de l’ensemble sur lequel la fonction est définie :

1) f définie sur IR par : . 5) f définie sur ] ; 0 [ par : .

2) f définie sur IR par : . 6) f définie sur ] 0 ; [ par : .

3) f définie sur IR par : . 7) f définie sur ] ; 0 [ par : .

4) f définie sur IR par : . 8) f définie sur ] 0 ; [ par : .

Exercice 8 :

Dans chacun des cas suivants, donner les limites aux bornes de l’ensemble sur lequel la fonction est définie :

1) f définie sur ] 0 ; [ par : . 3) f définie sur ] 0 ; [ par : .

2) f définie sur [0 ; [ par : . 4) f définie sur IR par : .

OPERATIONS SUR LES LIMITES

Exercice 9 : opérations sur les limites

Déterminer les limites suivantes en détaillant et en justifiant les propriétés utilisées (somme, produit ou quotient) : a) lim

.→:1𝑥⁸+_.^<+ 2 b) lim

.→01

<

.+ √𝑥 − 2 c) lim

.→:1(𝑥⁸+ 1) >^<_.− 2?

d) lim

.→01 :@0_B^A C.:D

e) lim_.→D

.9D .^E:<F

.:D

f) lim_.→8

.98

<

.:8

g) lim_.→8

.G8

<

.:8

Exercice 10 :

1) Rappeler les formes à retenir sur les limites de 𝑙𝑛.

2) Déterminer les limites des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition : a) 𝑓_<(𝑥) =⁸_.− 𝑥 ln 𝑥 définie sur ]0; +∞[.

b) 𝑓_D(𝑥) = 𝑥^D+_{KL .}^. définie sur ]0; +∞[.

c) 𝑓8(𝑥) = ln(𝑥) − 𝑥 définie sur ]0; +∞[.

)

7

( x x

f = - ¥ 1

₅

) ( x x

f =

012

)

2

( x x

f = ^{+ ¥} ( ) ²

₂

x x

f =

2

17

)

( x x

f = - ¥ ( ) 6

₃

x x

f = -

4

3 ) 1

( x x

f = - + ¥

x x

f 3

) 1 ( = -

¥

+ f ( x ) = 2 ln x + ¥

1 ) 1

( = +

x x f

¥

+ f ( x ) = 3 x

4 ) 1 (

2

+

= x x f

Ti2D / Limites

Opérations sur les limites

V

V

R

R

FORMES INDETERMINEES

Exercice 11 :

Dans chacun des cas suivants, déterminer les limites aux bornes de l’ensemble sur lequel la fonction est définie :

1) f définie sur [0 ; [ par : . 5) f définie sur ] 0 ; [ par : .

2) f définie sur [0 ; [ par : . 6) f définie sur ] 3 ; [ par : .

3) f définie sur IR par : . 7) f définie sur ] −2 ; 2 [ par : .

4) f définie sur ] 0 ; [ par : . 8) f définie sur ] ; 0 [ par : .

Exercice 12 :

Déterminer les limites en , en et en 1 des fonctions suivantes :

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9)

Exercice 13 :

1) f 1 est la fonction définie sur IR^* par . Déterminer la limite de f 1 en 1, en −2 et en . 2) f 2 est la fonction définie sur IR^* par . Déterminer la limite de f 2 en 3, en et en . 3) f 3 est la fonction définie sur IR par . Déterminer la limite de f 3 en .

4) f 4 est la fonction définie sur IR^* par . Déterminer la limite de f 4 en et en . 5) f 5 est la fonction définie sur ] ; 0 [ par . Déterminer la limite de f 5 en 0 .

6) f 6 est la fonction définie sur ] 0 ; [ par . Déterminer la limite de f 6 en et en . 7) f 7 définie sur ] ; [ par . Déterminer la limite de f 7 en .

8) f 8 définie sur ] ; 3 [par . Déterminer la limite de f 8 en 3.

EXERCICES TYPE BAC :

Exercice 14 :

On considère la fonction f définie par .

1) a) Résoudre dans IR 𝑥^D+ 𝑥 − 2 = 0 b) En déduire le domaine de définition de 𝑓.

2) Etudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

3) En déduire l’existence éventuelle d’asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.

¥

+ f ( x ) = x x + ¥ ( )

³

1

₅

x x x

f = +

¥

+ f ( x ) = ( 1 - 2 x )( 1 - 3 x ) + ¥

3 ) 1

( = - + x x

f )

9 5 ( ) 3 7 ( )

( x = x +

²

x +

f 4

) 3

(

₂

- -

= x x f

¥

+ f ( x ) = ( x + 2 ) ln x - ¥

x x

f 3

4 )

( = +

¥

- + ¥ 1 4 3 )

( x = - x

²

+ x +

f f ( x ) = - 6 x

²

+ 2 x

³

+ 1

₂

2 3

5 ) 3

( x x

x x

f + -

= - 1

)

( x = - x

³

+ x +

f 2

2 ) 3

(

₂

2

- -

+ +

= -

x x

x x x

f 7 4 6

1 2 ) 4

(

_{5 2}

5 3

- +

- +

= -

x x

x x x x

f 1

2 )

( x = x

⁴

- x

³

+ x -

f 2

12 7 ) 2

(

2

- +

= - x

x x x

f

₂

4 1

1 ) 4

( x

x x

f -

= +

x x

f

₁

( ) = 2 + 1 + ¥

x x x

f

₂

( ) =

³

+ 1 + ¥ - ¥

3 2

3

( x ) x x

f = - - ¥

÷ ø ç ö

è æ - +

= x x

x

f 3

2 )

(

³

4

+ ¥ - ¥

¥

-

₅

( ) 1

₃

x x x

f = +

¥

+

_{6 2}

1 1 )

( x

x x

f - +

= + ¥ 0

3 1 + ¥

1 3 ) 1

7

( -

= + x x x

f

¹

3

¥

- 3

1 1 2 )

8

( = + + -

x x x f

2 ) 3

(

₂

- +

= - x x x

f R

R

G

R

Exercice 15 :

On considère la fonction f définie sur ] 0 ; [ par :𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 + ln 𝑥.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J) d'unités graphiques 4 cm.

On note !f la courbe représentative de la fonction f.

1) a) Étudier la limite de la fonction f en 0.

b) En déduire l’existence d’une asymptote à !^f dont on précisera une équation.

2) a) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0; +∞[ : 𝑓(𝑥) = 𝑥 >^D_.− 1 +^{KL .}_. ? b) En déduire la limite de la fonction f en .

3) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

4) Étudier les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

5) Déterminer une équation de T, la tangente à !f au point d’abscisse 2.

Exercice 16 :

On considère la fonction f définie sur ] 0 ; [ par : 𝑓(𝑥) =^{D KL .}_. + 3 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J) d'unités graphiques 2 cm.

On note !f la courbe représentative de la fonction f.

1) a) Déterminer lim

.→01𝑓(𝑥) et lim_.→F

.9F

𝑓(𝑥).

b) Que peut-on en déduire pour la courbe !f ? 2) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

3) Étudier les variations de la fonction f puis, dresser son tableau de variations.

4) On considère la droite " d'équation 𝑦 = 3.

a) La courbe !f et la droite " ont un point commun E, calculer les coordonnées de E.

b) Étudier la position relative de la courbe !f par rapport à la droite ".

5) On admet l’existence d’un unique nombre réel 𝛼 tel que 𝑓(𝛼) = 0 Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de 𝛼 à 10^:< près.

¥ +

¥ +

¥ +

Ti2D / Limites

Carte d’identité de 2 − 𝑥 + ln 𝑥

R

R

POUR ALLER PLUS LOIN

ASYMPTOTES OBLIQUES : Exercice A :

Dans chacun des cas suivants, on donne soit la courbe représentative, soit le tableau de variations d’une fonction f.

La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ? Si oui, préciser leurs équations.

Exercice B :

On considère la fonction f définie sur [ 3 ; [ par 𝑓(𝑥) =^:@._8.0D^E:.0P. On note !f sa courbe représentative.

1) Déterminer la limite de la fonction f en .

2) Vérifier que pour tout x de [ 3 ; [ 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 +_8.0D⁸ .

3) a) Démontrer que !f admet une asymptote oblique D dont on précisera l’équation.

b) Étudier la position relative de !f par rapport à D.

LIMITES DE FONCTIONS COMPOSEES :

Exercice C :

On considère la fonction g définie sur ] ; −1 [ par 𝑔(𝑥) =_(.0<)^D.E:<_E

1) Montrer que la courbe représentative !g de la fonction g, admet une asymptote verticale D et une asymptote horizontale D dont on précisera les équations.

2) a) Etudier le signe de 𝑔(𝑥) − 2 sur ] ; −1 [.

b) En déduire la position relative de !g par rapport à D.

Exercice D :

On considère la fonction f la fonction définie sur ] 0 ; [ par 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥 −^{KL .}_. . 1) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2) Calculer lim

.→01(𝑓(𝑥) − (3 − 𝑥))Que peut-on en déduire pour la courbe représentative !f de la fonction f ?

¥ +

¥ +

¥ +

¥ -

¥ -

¥ +

¥ +

x 2 7

Variations de f

−4

−1

¥

- -5 +¥

¥

+ +¥ +¥

¥

¥ - -

a) b) c)

d)

e) G

N

N

N