ELEN0040 – REPETITION 1
Algèbre booléenne
Quelques rappels
F : fonction booléenne
Variables booléennes (binaires) : 0/1
Opérateurs logiques : AND, OR, NOT
Quelques rappels
F : fonction booléenne
Variables booléennes (binaires) : 0/1
Opérateurs logiques : AND, OR, NOT
expression algébrique :
X
.
Y X Y Xtable de vérité : 0/1 circuit logique :
AND OR NOT
Quelques rappels
F : fonction booléenne
Variables booléennes (binaires) : 0/1
Opérateurs logiques : AND, OR, NOT
But : simplifier le circuit équivalent à F
Moins de composants
Carte plus petite
Gain en fiabilité
Gain en rapidité
Coût moindre et meilleure performanceLes identités de base
1 variable
1. X + 0 = X 2. X . 1 = X 3. X + 1 = 1 4. X . 0 = 0 5. X + X = X
6. X . X = X 7. X + X = 1 8. X . X = 0 9. X = X
Rem : X=X’=~X
Les identités de base
Plusieurs variables
10. X + Y = Y + X
11. X + (Y + Z) = X + Y + Z
12. X . (Y + Z) = X . Y + X . Z 13. X . Y = Y . X
14. X . (Y . Z) = X . Y . Z
15. X + (Y . Z) = (X + Y) . (X + Z)
→ X + (X . Y) = X . (X + Y) = X
Les identités de base
Théorème de De Morgan
X
1+ X
2+ … + X
n= X
1. X
2. … . X
nX
1. X
2. … . X
n= X
1+ X
2+ … + X
nThéorème du Consensus X.Y + X.Z + Y.Z = X.Y + X.Z
(X + Y) . (X + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X + Z)
Exercice 13
a) X + XY
b) X . (X+Y)
c) ABC + ABC + ABC
Exercice 13 (suite)
d) ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
Exercice 13 (suite)
e) (A+C+D) (A+C+D) (A+C+D) (A+B)
Exercice 13 (suite et fin)
f) (A+B) . (A+B) =
À vous !
g) (CD+A) + A + AB + CD =
h) [(X+Z) . (X+Z) . Y] + [(X+Z) + (Y+Z)] =
Déterminer le complément de F (= F) de 2 manières différentes
Table de vérité : 0 1
De Morgan sur l’expression booléenne de F
Exercice 14
F =
F =
Table de vérité A B C F F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
NOT OR
AND OR
Exercice 15a
F = BC + A(B+C)
F =
Table de vérité
A B C F F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Exercices supplémentaires (15b – 15c)
F = (M + N) . (M + P) . (N + P)
F = [ (AB) . A ] . [ (AB) . B ]
Implémenter de manière optimale
Modifier/simplifier l’expression booléenne
Schématiser à l’aide de portes logiques
Minimiser (compromis):
Le nombre de niveaux délai
Le nombre de portes taille
Portes simples à réseaux d’interrupteurs tire-bas
INV 2-NAND = A.B 2-NOR = C+D 2-NAND+INV=2-AND
Série : « ET » logique // : « OU » logique
Rem: technologie CMOS: 2 transistors pour former 1 interrupteur
Implémenter de manière optimale
Modifier/simplifier l’expression booléenne
Schématiser à l’aide de portes logiques
Comptabiliser:
Le nombre de niveaux
Le nombre de transistors
INV : 2 transistors
n-NAND, n-NOR : 2n transistors
n-AND (= n-NAND + INV),
n-OR (= n-NOR + INV) : 2n + 2 transistors
Exercice 16a
F1 = AB + AB + AC
Exercice 16b
F2 = (A + B) (CD + CD)
Exercice 16c
F3 = (RST) (R+S+T)
Portes universelles : NAND et NOR
NAND :
F = A.B = A + B
NOR :
F = A + B = A.B
A
B F A
B F
A
B F A
B F
Comment réaliser un inverseur avec une
porte NAND/NOR ?
EX. 19 Implémenter le circuit au moyen de portes NAND
EX. 20 Implémenter le circuit au moyen de portes NOR
EX.21 Pour quelles conditions MEM=0 ?
EX.22 Pour quelles conditions X=1 ?
XOR et NXOR
XOR A.B + A.B = A B
NXOR A.B + A.B = A B
A B
A B
Le résultat d’un XOR entre n variables vaut 1 si et seulement si un nombre impair des variables d’entrée sont à 1
XOR = TEST DE PARITE
EX.23 Montrer que A xor B xor C = A xor ( B xor C )
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A xor B xor C
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A xor (B xor C)
