ELEN0040 – REPETITION 3

ELEN0040 – REPETITION 3

Analyse de circuits

combinatoires

Analyse

Point de départ : schéma/circuit logique

Exprimer les fonctions logiques des ≠ portes et composants logiques

Simplifier les fonctions logiques représentant le circuit global (variables de sortie)

Déterminer la table de vérité du circuit

(( Vérifier l’optimalité des fonctions par Karnaugh ))

Rappel: portes logiques

X X

X

Y X.Y

X Y X Y

X Y X Y X Y X+Y

X⊕Y

= XY+XY NOT

AND

OR XOR

NAND

NOR NXOR

X.Y X+Y

X⊕Y

= XY+XY

Composants logiques

Half adder = additionneur 2 bits

X HA Y

S = X⊕Y C = XY

X Y S C

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Full adder = additionneur 3 bits

FA X

Y S = X ⊕ Y ⊕ Z

C = X.Y + Z.(X⊕Y) Z

Composants logiques

Décodeur = générateur de minterms

Y X D

D

D

D

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1

X Y

2

2

0 1 2 3

D

D

D

D

Dec 2-4

XY XY XY XY

Composants logiques

Exemple : F(X,Y) = X Y + X Y = Σm(0,3)

X Y

2

2

0 1 2 3

Dec 2-4

F

Décodeur + portes OR Implémentation de

n’importe quelle fonction

Composants logiques

Multiplexeur = sélectionneur d’entrée 2

entrées, n sélections  1 sortie

S

S

F 0 0 E

0 1 E

1 0 E

1 1 E

2⁰ 2¹ 0

1 2 3 E₀

E₁ E₂ E₃

S₀ S₁

F Mux 4-1

F = S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

! Ordre des entrées de sélection !

Composants logiques

Ex. 34 - Analyse

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = 1⊕B⊕C S_FA = BC+BC

C_FA = 1.B+C(1⊕B) C_FA = B+C

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC C_FA = B+C

2

E₃=S_FA+C_FA=1

E₂=S_FA.C_FA

=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC C_FA = B+C

E₃=S_FA+C_FA=1

E₂=S_FA.C_FA

=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

2

F1 = S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

= AB (BC+BC) + AB (B+C) + AB (B.C) + AB.1

= B + AC

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC C_FA = B+C

2

F1 = B+AC E₃=1

E₂=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

3

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC

C_FA = B+C F1 = B+AC

E₃=1

E₂=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

3

D₀ = F₁ D = F₁+D D₁ = F₁ D = F₁+D D₂ = F₁ D = F₁+D D₃ = F₁ D = F₁+D

F₁+D F₁+D F₁+D F₁+D

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC

C_FA = B+C F1 = B+AC

E₃=1

E₂=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

3

D₀ = F₁ D = F₁+D D₁ = F₁ D = F₁+D D₂ = F₁ D = F₁+D D₃ = F₁ D = F₁+D

(F₁+D).(F₁+D) = D

(F₁+D)+(F₁+D) = 1

D ⊕ 1 = D

F₁+D F₁+D F₁+D F₁+D

D

1

D

4

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC

C_FA = B+C F1 = B+AC

E₃=1

E₂=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

3

D₀ = F₁ D = F₁+D D₁ = F₁ D = F₁+D D₂ = F₁ D = F₁+D D₃ = F₁ D = F₁+D

(F₁+D).(F₁+D) = D

(F₁+D)+(F₁+D) = 1

D ⊕ 1 = D

F2 = (F₁+D) + D =1

F₁+D F₁+D F₁+D F₁+D

D

1

D

4

Ex. 34 - Analyse

1

S_FA = BC+BC

C_FA = B+C F1 = B+AC

E₃=1

E₂=B.C

E₁=C_FA E₀=S_FA

3 4

F₁+D F₁+D F₁+D F₁+D

D

1

D

F2 =1

2

Table de vérité de F

et F

A B C F

F

m

0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 2

0 1 1 1 1 3

1 0 0 0 1 4

1 0 1 0 1 5

1 1 0 1 1 6

1 1 1 1 1 7

F

= B + AC

F

= 1

Simplification de F

par Karnaugh

1 1 1

1 1

A

B

C

F

= B + AC OK!

F ₁ (A, B, C)= ∑m(0,2,3,6,7)

Implémentation de F1 à l’aide de NAND

Portes NAND Somme de produits

A C B

F

F

= B + AC

Implémentation de F1 à l’aide de NAND

Portes NAND Somme de produits

A C B

F

Rappel

F

= B + AC

Implémentation de F1 à l’aide de NAND

Portes NAND Somme de produits

A C B

F

F

= B + AC

F

= B.(AC)

Ex. 35 - Analyse

Ex. 35 - Analyse

1

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A

A B B

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

F

= S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

+ S

S

E

= AB B + (A+B) A

= A B

S

= C

= A+B S

= S

C

= 1

S

S

= 0 E

inutile S

S

= 0 E

inutile S

S

= A.B E

= B S

S

= A+B E

= A

A+B 1 A

A B

B AB

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A+B 1 A

A B

B AB

3

A

S_HA2 = X⊕A C_HA2 = XA

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A+B 1 A

A B

B AB

3

A

4

D₀=XY D₁=XY D₂=XY D₃=XY

S_HA2 = X⊕A C_HA2 = XA

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A+B 1 A

A B

B AB

3

A

4

D₀=XY D₁=XY D₂=XY D₃=XY

5

S_HA2 = X⊕A C_HA2 = XA

S₀=C_HA2 = X+A S₁=X⊕A

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A+B 1 A

A B

B AB

3

S_HA2 = X⊕A A

4

D₀=XY D₁=XY D₂=XY D₃=XY

5

S₀=C_HA2 = X+A S₁=X⊕A C_HA2 = XA

Y Y

XY

F = S₁ S₀ E₀ + S₁ S₀ E₁ + S₁ S₀ E₂ + S₁ S₀ E₃

= XA Y + XA Y + (XA+XA) XY

= XY + AXY

S₁ S₀ = XA E₀ = D₀⊕D₁ = Y S₁ S₀ = XA E₁ = D₂⊕D₃ = Y S₁ S₀ = 0 E₂ inutile

S₁ S₀ = XA+XA E₃ = (D₀⊕D₂). (D₀⊕D₁) = XY

Ex. 35 - Analyse

1

2

S_HA1 = A⊕B C_HA1 = AB

A+B 1 A

A B

B AB

3

S_HA2 = X⊕A A

4

D₀=XY D₁=XY D₂=XY D₃=XY

5

S₀=C_HA2 = X+A S₁=X⊕A C_HA2 = XA

Y Y

XY

F = XY + AXY

Table de vérité de F

A X Y F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

XY

XY

A X Y

Implémentation de F grâce à un MUX

A X Y F E

0 0 0 0 ^E

(Y)

0 0 1 0

0 1 0 0 ^E

(Y)

0 1 1 1

1 0 0 1 ^E

(Y)

1 0 1 0

1 1 0 0 ^E

(Y)

1 1 1 1

S

S

S

S

F 0 0 E

0 1 E

1 0 E

1 1 E

= == =

Implémentation de F grâce à un MUX

A X Y F E

0 0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0 Y

0 1 1 1

1 0 0 1 Y

1 0 1 0

1 1 0 0 Y

1 1 1 1

S

S

2⁰ 2¹

E

= 0

X A

Mux 4-1

F E

= Y

E

= Y

E

= Y

Implémentation de F grâce à un MUX (Sol2)

A X Y F E

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

XY

S

X nxor Y

A XY

X nxor Y

MUX

F

2-1

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

()

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

X+YZ+YZ

X⊕Y⊕Z

X.Y + Z.(X⊕Y)

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

X+YZ+YZ

X⊕Y⊕Z

X.Y + Z.(X⊕Y)

O = S₁ S₀ E₀ + S₁ S₀ E₁ + S₁ S₀ E₂ + S₁ S₀ E₃

= Y.(X+YZ+YZ) + XY.(X⊕Y⊕Z) + XY(XY + Z.(X⊕Y))

= XY + YZ + XZ

S₁ S₀ = Y S₁ S₀ = 0 E₁ S₁ S₀ = XY S₁ S₀ = XY

Ex.36 - Analyser le circuit suivant. Donner la table de vérité (variable dans l’ordre alphabétique SVP) de la fonction de sortie et son expression canonique sous forme d’un produit de sommes.

0 X + Y

X + Y Y

X+YZ+YZ

X⊕Y⊕Z

X.Y + Z.(X⊕Y) O = XY + YZ + XZ

Table de vérité de O

X Y Z O

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Expression canonique de O sous forme d’un produit de sommes

1 1 1 0

0 1 0 0

X

Y

Z

O(X, Y, Z)= ∑m(0,1,3,5)

O = XY + XZ + YZ

O = (X+Y).(X+Z).(Y+Z)

Exercice 37 (suppl.) - Analysez le circuit suivant et donnez la table de vérité de la sortie F. Implémentez cette sortie à l’aide d’un nombre minimum de portes NOR (les entrées complémentées sont également disponibles).

Exercice 37 (suppl.) - Analysez le circuit suivant et donnez la table de vérité de la sortie F. Implémentez cette sortie à l’aide d’un nombre minimum de portes NOR (les entrées complémentées sont également disponibles).

F.A.: Entrées: X_FA = A ; Y_FA = AB.AB = AB+AB = A⊕B ; Z_FA = B F.A. : Sorties: S_FA = X_FA⊕Y_FA⊕Z_FA = A⊕(A⊕B)⊕B = 0

F.A. : Sorties: C_FA = X_FAY_FA+ Z_FA(X_FA⊕Y_FA)

F.A. : Sorties: C_FA = A.(A⊕B) + B.((A⊕B)⊕A) = AB + B = A+B MUX4-1: S₀ = S_FA = 1 ; S₁ = B

MUX4-1: S₀ S₁ = 0 → E₀ inutile

MUX4-1: S₀ S₁ = B → E₁ = (D₀D₂+D₄D₅)⊕D₇ = (D₀D₂D₄D₅)⊕D₇ (*^DEC3-8) MUX4-1: S₀ S₁ = 0 → E₂ inutile

MUX4-1: S₀ S₁ = B → E₃ = S_HA = B⊕C

F = S₀ S₁ E₀ + S₀ S₁ E₁ + S₀ S₁ E₂ + S₀ S₁ E₃

Exercice 37 (suppl.) - Analysez le circuit suivant et donnez la table de vérité de la sortie F. Implémentez cette sortie à l’aide d’un nombre minimum de portes NOR (les entrées complémentées sont également disponibles).

DEC3-8: D₀ = ABC DEC3-8: D₁ = ABC DEC3-8: D₂ = ABC

DEC3-8: D₃ = ABC → D₀D₂D₄D₅ = 0 (∏m_i = 0) DEC3-8: D₄ = ABC

DEC3-8: D₅ = ABC DEC3-8: D₆ = ABC

DEC3-8: D₇ = ABC E₁ = (D₀D₂D₄D₅)⊕D₇ = 0⊕D₇ = D₇ = ABC (*) F = S₀ S₁ E₀ + S₀ S₁ E₁ + S₀ S₁ E₂ + S₀ S₁ E₃

= B.ABC + B.(B⊕C)

= ABC + BC = C(A+B)

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Exercice 37 (suppl.) - Analysez le circuit suivant et donnez la table de vérité de la sortie F. Implémentez cette sortie à l’aide d’un nombre minimum de portes NOR (les entrées complémentées sont également disponibles).

= CA + CB

Exercice 37 (suppl.) - Analysez le circuit suivant et donnez la table de vérité de la sortie F. Implémentez cette sortie à l’aide d’un nombre minimum de portes NOR (les entrées complémentées sont également disponibles).

F = C(A+B) = C(A+B) = C+(A+B)

A B

C

F

Exercice 40

1) Simplifier la fonction F en utilisant la méthode de Karnaugh.

2) Implémenter la fonction F à l’aide d’un

multiplexeur de taille minimale. Chaque entrée du multiplexeur peut comporter une et une

seule des portes logiques suivantes : AND, OR, XOR, NXOR.

F(z, y, x, w)

= ∑m(0, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 15) + ∑d(2, 10)

Simplification par Karnaugh F(z, y, x, w)

= ∑m(0, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 15) + ∑d(2, 10)

1 0 1 X

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 1 X

X

W Z

Y z

y x

w

F(z, y, x, w) = xw + wy + wy

Z Y X W M_i F

0 0 0 0 0 1

X NXOR W

0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 2 X

0 0 1 1 3 1

0 1 0 0 4 0

0 1 0 1 5 1 W

0 1 1 0 6 0

0 1 1 1 7 1

1 0 0 0 8 1

X NXOR W

1 0 0 1 9 0

1 0 1 0 10 X

1 0 1 1 11 1

1 1 0 0 12 0

1 1 0 1 13 1 W

1 1 1 0 14 0

1 1 1 1 15 1

Implémenter la fonction F à l’aide d’un MUX de taille minimale. Chaque entrée du MUX peut

comporter une et une seule des portes logiques suivantes : AND, OR, XOR, NXOR

2⁰ 2¹

Y Z

Mux 4-1

F

W

W

X ⊕ W X ⊕ W

Minimal ?

Z Y X W M_i F

0 0 0 0 0 1

X NXOR W

0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 2 X

0 0 1 1 3 1

0 1 0 0 4 0

0 1 0 1 5 1 W

0 1 1 0 6 0

0 1 1 1 7 1

1 0 0 0 8 1

X NXOR W

1 0 0 1 9 0

1 0 1 0 10 X

1 0 1 1 11 1

1 1 0 0 12 0

1 1 0 1 13 1 W

1 1 1 0 14 0

1 1 1 1 15 1

Implémenter la fonction F à l’aide d’un MUX de taille minimale. Chaque entrée du MUX peut

comporter une et une seule des portes logiques suivantes : AND, OR, XOR, NXOR

Y

MUX

F

2-1 2⁰ 2¹

Y Z

Mux 4-1

F

W

W

=

== =

X ⊕ W X ⊕ W

X ⊕ W