ELEN0040 – REPETITION 2
Les tables de Karnaugh
Minterms et maxterms
Forme canonique d’une fonction booléenne
sous forme d’une somme de minterms
sous forme d’un produit de maxterms
Fonction à n variables 2n minterms (maxterms)
mx = Mx
Chaque ligne de la table de vérité représente un minterm de la fonction
EX. 25a Représenter la fonction suivante et son
complément sous forme de minterms et de maxterms
F = AC + BC
A B C F mi F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
EX. 25a Représenter la fonction suivante et son
complément sous forme de minterms et de maxterms
Indices des mi de F et des Mj de F
Indices des mj de F et des Mi de F
EX. 25b Représenter la fonction suivante et son
complément sous forme de minterms et de maxterms
F(W,X,Y,Z) = XYZ + YZ + WX
W X Y Z F mi
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 3
0 1 0 0 4
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6
0 1 1 1 7
1 0 0 0 8
1 0 0 1 9
1 0 1 0 10
1 0 1 1 11
1 1 0 0 12
1 1 0 1 13
1 1 1 0 14
1 1 1 1 15
F(W,X,Y,Z)
= XYZ + YZ + WX
Tables de Karnaugh
0 1 0 XY XY 1 XY XY
m0 m1
m2 m3 X
2 variables Y
3 variables
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6
00 01 11 10
0 XYZ XYZ XYZ XYZ 1 XYZ XYZ XYZ XYZ X
Y
Z
Code de Gray
2 minterms adjacents ne varient que d’un bit
Tables de Karnaugh
4 variables
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
00 01 11 10
00 ABCD ABCD ABCD ABCD 01 ABCD ABCD ABCD ABCD 11 ABCD ABCD ABCD ABCD 10 ABCD ABCD ABCD ABCD
2 minterms adjacents ne varient que d’un bit A
C
D
B
Tables de Karnaugh
5 variables
00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
00 01 11 10 00 m16 m17 m19 m18 01 m20 m21 m23 m22 11 m28 m29 m31 m30 10 m24 m25 m27 m26
A = 0 A = 1
D D
E E
B B
C C
2 minterms adjacents ne varient que d’un bit
Méthode de simplification de Karnaugh
Règles
1) On peut grouper 2n minterms adjacents
jamais de groupement en diagonale !
2) Tous les minterms de la fonction doivent faire partie d’un groupement.
Remarque
Grouper des minterms = les additionner Simplification de F Soit F une fonction à n variables,
Si on groupe 2 minterms, il reste n-1 variables
4 n-2
Il faut rechercher les groupements les + intéressants !
Ex. 26 – Réduire par Karnaugh
F(x,y,z) = ∑m(2,3,4,6,7)
Ex. 26 – Réduire par Karnaugh
F(x,y,z) = ∑m(2,3,4,6,7)
1
1 1
Y
Z X
Ex. 26 – Réduire par Karnaugh
F(x,y,z) = ∑m(2,3,4,6,7)
1 1
1 1 1
Y
Z X
Ex. 27a – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m(1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15)
Ex. 27a – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m(1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15)
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 1 1
10 1
A
C
D
B
Ex. 27a – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m(1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15)
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 1 1
10 1
A
C
D
B
Ex. 27c – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m( 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14 )
Ex. 27c – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m( 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14 )
1
1 1 1
1
1 1 1
A
C
D
B
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
Ex. 27c – Réduire par Karnaugh
F(A,B,C,D) = ∑m( 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14 )
1
1 1 1
1
1 1 1
A
C
D
B
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
Ex. 28 – Exprimer F et F sous forme de produit de sommes
F(A,B,C,D) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13 )
Ex. 28 – Exprimer F et F sous forme de produit de sommes
F(A,B,C,D) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13 )
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
A
C
D
B
Ex. 28 – Exprimer F et F sous forme de produit de sommes
F(A,B,C,D) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13 )
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
A
C
D
B
Ex. 28 – Même démarche appliquée à F
Simplification de F par Karnaugh
1
1 1 1
1 1
A
C
D
B
Ex. 28 – Même démarche appliquée à F
Simplification de F par Karnaugh
1
1 1 1
1 1
A
C
D
B
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 28, 30 )
Ex. 30 - Exprimer la fonction F sous forme de produit de sommes
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 28, 30 )
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 4, 6, 9, 11, 13, 15, 19, 22, 23, 25, 27, 29, 31)
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
A = 0 A = 1
D D
E E
B B
C C
Ex. 30 - Exprimer la fonction F sous forme de produit de sommes
Ex. 31 – Que valent F et F ?
1 1 1
X X
B
C
F = ?
A
Ex. 31 – Que valent F et F ?
1 1 1
X X
B
C
1
X 1 1 X
A
B
C
F = ? F = ?
A
Ex. 32a - Simplifier
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 0, 5, 16, 19, 21, 25, 26 ) + ∑d( 13, 17, 27, 29 )
Ex. 32a - Simplifier
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 0, 5, 16, 19, 21, 25, 26 ) + ∑d( 13, 17, 27, 29 )
1
1 X
1 X 1
1 X
1 X 1
A = 0
D D
E
B B
C C
E A = 1
E
Ex. 32b - Simplifier
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 3, 5, 7, 9, 17, 27, 29, 31 ) + ∑d( 10, 15, 24, 30 )
Ex. 32b - Simplifier
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 3, 5, 7, 9, 17, 27, 29, 31 ) + ∑d( 10, 15, 24, 30 )
1
1 1
X
1 X
1
1 1 X
X 1
A = 0
D D
E
B B
C C
E A = 1
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 1, 6, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 26, 31 ) + ∑d( 3, 4, 5, 7,10, 22, 23, 24, 25, 29 )
Ex. 32c – Minimiser par Karnaugh
F(A,B,C,D,E) = ∑m( 1, 6, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 26, 31 ) + ∑d( 3, 4, 5, 7,10, 22, 23, 24, 25, 29 )
1 X
X X X 1
1 1
1 1 X
1 1
1 X X
X 1
X X 1
D D
B
C
E A = 1
Ex. 32c – Minimiser par Karnaugh
E A = 0 B
C