M ath ematiques ´ - ECS1
7
M atrices
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
Dans tout ce qui suit,KdésigneRouC.
7.1 Objectifs
EnsembleMn,p(K) des matrices àn lignes et pcolonnes à coefficients dansK.
Opérations dansMn,p(K). Addition, multiplication par un scalaire.
Produit matriciel. On pourra faire le lien entre le produitABet le produit deAavec les colonnes deB.
Transposée d’une matrice.
Transposition d’un produit.
NotationtA.
EnsembleMn(K) des matrices carrées d’ordre nà coefficients dansK.
Matrices triangulaires, diagonales, symé- triques, antisymétriques.
Matrices inversibles, inverse d’une matrice.
EnsembleGLn(K).
On admettra que pour une matrice carrée, un inverse à gauche ou à droite est l’inverse.
Inverse d’un produit. Transposition de l’in- verse.
Formule donnant l’inverse d’une matrice car- rée d’ordre 2.
Calcul de l’inverse de la matriceApar la réso- lution du systèmeAX=Y.
Inversibilité des matrices triangulaires, diago- nales.
7.2 Ensemble des matricesMnp(K) 7.2.1 Définition
Définition 7.2.1. Soientn,pdes entiers naturels non nuls. On appelle matrice ànlignes etpcolonnes toute toute famille (ai,j)1≤i≤n
1≤j≤pd’éléments deK. On la note alorsA=(ai,j)1≤i≤n 1≤j≤p
et on dit queai,jest le terme (ou le coefficient )d’indice (i,j).
Une matriceA =(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤pest donc une famille d’éléments deK. Elle est représentée par un tableau rectangulaire :
2
7.2 Ensemble des matricesMnp(K) 3
A=(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p=
a11 a12 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p ... ... ... an1 an2 · · · anp
L’ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes est notéMn,p(K).
La matrice ànlignes etpcolonnes ne comportant que des 0
0 0 · · · 0 0 0 · · · ... ... ... 0 0 · · · 0 0
s’appelle matrice nulle et est simplement notée 0.
Exemple 7.2.1. Reprénter les matricesA= 1
i+j+i j
1≤i≤4 1≤j≤4
etB=(i+j)!
i!j!
1≤i≤3 1≤j≤4
7.2.2 Matrices particulières
Matrices lignes, matrices colonnes.
— Si p =1, l’ensembleMn,1(K) est l’ensemble des matrices colonnes (on dit aussi vecteur colonne).
C=
a11
a21
... an1
— Si n = 1, l’ensembleM1,p(K) est l’ensemble des matrices lignes (on dit aussi vecteur ligne).
L=
a11 a12 . . . a1p
Matrices carrées, triangulaires, diagonales.
Sin=p, l’ensembleMn,n(K) est l’ensemble des matrices carrées de taillen×n. On le note plus simplementMn(K).
— Une matrice carréeD=(di,j) est dite diagonale sidi,j=0 dès quei, j.
D=
d11 0 · · · 0 0 d22 ... ...
... ... 0
0 · · · 0 dnn
La matrice ne comportant que des 1 sur la diagonale et des 0 aillleurs
1 0 · · · 0 0 1 ... ...
... ... ... 0 0 · · · 0 1
s’appelle matrice identité et est notéeIn.
— Une matrice carréeT =(ti,j) est dite triangulaire supérieure lorsqueti,j = 0 dès quei> j.
T =
t11 t12 · · · t1n
0 t22 ... ...
... ... ... tn−1,n
0 · · · 0 tnn
— Une matrice carréeT =(ti,j) est dite triangulaire inférieure lorsqueti,j= 0 dès que i< j.
T =
t11 0 · · · 0 t21 t22 ... ...
... ... ... 0 tn1 · · · tn,n−1 tnn
Matrices transposées.
Si A = (ai j) ∈ Mn,p(K) , on appelle matrice transposée deAla matrice notéetAde Mp,n(K) dont le terme d’indice (k,l) estalk:
siA=
a11 a12 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p
... ... ... an1 an2 · · · anp
alorstA=
a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2
... ... ... a1p a2p · · · anp
Lai-ème ligne deAdevient lai-ème colonne detA.
7.3 Opérations dansMn,p(K)
7.3.1 Addition de deux matrices SoientA =(ai j)1≤i≤n
1≤j≤petB= (bi j)1≤i≤n
1≤j≤pdeux matrices deMn,p(K). On définit la somme A+Bcomme la matrice dont le coefficient d’indice (i,j) estai j+bi j.
7.3.2 Multiplication à gauche par un scalaire SoientA=(ai j)1≤i≤n
1≤j≤pune matrice deMn,p(K) etλ∈K. On définit la matriceλAcomme étant celle dont le coefficient d’indice (i,j) estλai j.
Exemple 7.3.1. Par exemple, dansM2(R) 2 1 1
2 −1
!
−3 2 −3
−2 3
!
=
Exemple 7.3.2. Matrices élémentaires.La matrice élémentaireEi,jd’indice (i,j) deMn,p(K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i,j) qui vaut 1.
Par exemple, dansM2,3(R), E11 = 1 0 0
0 0 0
!
, E12= 0 1 0 0 0 0
!
, E13= 0 0 1 0 0 0
!
7.3 Opérations dansMn,p(K) 5
E21 = 0 0 0 1 0 0
!
, E22= 0 0 0 0 1 0
!
, E23= 0 0 0 0 0 1
!
Avec les matrices élémentaires, une matriceA=(ai j)∈ Mn,p(K) se décompose en A=
n
X
i=1 p
X
j=1
ai jEi j
Par exemple, dansM2,3(R),
1 0 −1 0 −3 0
!
=E11−E13−3E22
7.3.3 Produit de deux matrices
Soient A = (ai j) ∈ Mn,p(K) et B = (bi j) ∈ Mp,q(K) deux matrices. Le produit ABdes matricesAetBest la matrice deMn,qdont le coefficient d’indice (i,j) est
ci j=
p
X
k=1
aikbk j.
Remarque 1.Le produit ABn’est possible que si le nombre de lignes de B est égal au nombre de colonnes deA. Dans ce cas, on obtient en pratique le coefficient d’indices(i,j) en effectuant le « produit scalaire » de lai-eme ligne deApar laj-eme colonne deB.
Exemple 7.3.3. SoitA= 1 1 0 0
!
, B= 1 −1
−2 2
!
.CalculerABetBA.
Exemple 7.3.4. SoitA=
1 1 0 0 2 −1
etB= 2 −3
−2 3
!
.CalculerAB.
Exemple 7.3.5. Calculer le produitABlorsque
A=
1 2 −1 0 0 0 1 1 2 0 0 −3
, B=
1 2 −1 0
−1 0 1 1
0 0 0 −3
1 −5 2 1
.
Remarque2.Un produitAB=0n’implique pas en généralA=0ouB =0. Pourn ≥2, l’ensembleMn(K)contient des diviseurs de0. Par exemple,
A= 1 1 0 0
!
, B= 2 −3
−2 3
!
On aAB=0mais niAniBn’est nulle.
Exercice1. On dit qu’une matriceA=(ai j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) est stochastique si
— pour tout (i,j)∈ {1,2, . . . ,n}2, ai j ≥0.
— pour touti∈ {1,2, . . . ,n},
n
X
j=1
ai j=1.
Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique.
Exercice2. PourA=(ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(R), on définit la trace deApar tr(A)=
n
X
i=1
ai,i. (a) Vérifier que tr(A+B)=tr(A)+tr(B).
(b) Montrer que pour toutA,B∈ Mn(R), on a tr(AB)=tr(BA).
Exercice3. DansMn(K), étudier le produitEi jEklpour (i,j,k,l)∈~1,n4.
7.3.4 Ecriture matricielle d’un système linéaire
Résoudre un système linéaire revient à résoudre une équation matricielle. En effet, le système linéaire suivant
(S) :
a11x1+a12x2+. . . +a1pxp =y1
a21x1+a22x2+. . . +a2pxp =y2
. . .
an1x1+an2x2+. . . +anpxp =yn
se réecrit sous la formeAX=YoùA=
a11 a12 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p ... ... ... an1 an2 · · · anp
, X=
x1
x2 ... xp
, Y=
y1
y2 ... yn
7.3.5 Propriétés relatives aux opérations sur les matrices Soientn,p,q,rdes entiers non nuls.
(1) Quels que soientA∈Mnp(K), B∈Mnp(K),C∈Mpq(K), (A+B)C=AC+BC (2) Quels que soientA∈Mnp(K), B∈Mpq(K),C∈Mpq(K), A(B+C)=AB+AC (3) Quels que soientA∈Mnp(K), B∈Mpq(K) etλ∈K, (λA)B=A(λB)=λAB (4) Quels que soientA∈Mnp(K), B∈Mpq(K),C∈Mqr(K), A(BC)=(AB)C=ABC (5) Quel que soitA∈Mnp(K), AIp=InA=A
7.3.6 Produit de matrices diagonales, matrices triangulaires
•Soientα∈RetD1,D2deux matrices diagonales :
D1=
λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · ...
... ... 0
0 · · · 0 λn
, D2=
µ1 0 · · · 0 0 µ2 · · · ...
... ... 0
0 · · · 0 µn
Les matricesαD1,D1+D2sont diagonales. De plus, le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale
D1D2 =
λ1µ1 0 · · · 0 0 λ2µ2 · · · ...
... ... 0
0 · · · 0 λnµn
7.4 Matrices inversibles. EnsembleGLn(K) 7
L’ensembleDndes matrices diagonales deMn(K) est stable par somme et produit.
•Soientα∈RetT1,T2deux matrices triangulaires supérieures :
T1=
a11 ? · · · ? 0 a22 · · · ...
... ... ?
0 · · · 0 ann
, T2=
b11 ? · · · ? 0 b22 · · · ...
... ... ?
0 · · · 0 bnn
Les matricesαT1,T1+T2sont triangulaires supérieures. De plus, le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure
T1T2=
a11b11 ? · · · ? 0 a22b2 · · · ...
... ... ?
0 · · · 0 annbnn
L’ensembleTn+des matrices matrices triangulaires supérieures deMn(K) est stable par somme et produit.
•De même, l’ensembleTn−des matrices matrices triangulaires inférieuers deMn(K) est stable par somme et produit.
7.4 Matrices inversibles. EnsembleGLn(K) 7.4.1 Définition et propriétés
Définition 7.4.1. Une matrice carréeA∈Mn(K) est dite inversible lorsqu’il existe une matrice carréeB∈Mn(K) telle queAB=BA=In.
Dans ce cas, la matrice Best unique et on noteB = A−1.L’ensemble des matrices inversibles est notéGLn(K).
Proposition 7.4.1. Soient A,B∈GLn(K)alors (1) A−1 ∈GLn(K)et(A−1)−1=A.
(2) (AB)−1=B−1A−1
7.4.2 Caractérisation d’une matrice inversible
Proposition 7.4.2. Soit A ∈ Mn(K)et X un vecteur colonne à n lignes. La matrice A est inversible si et seulement si l’équation AX = 0admet X = 0pour unique vecteur solution.
Exemple 7.4.1. SoitA=
1 1 3 0 1 2 1 0 1
. A l’aide de la caractérisation précédente, étudier l’in- versibilité deA.
Proposition 7.4.3. Cas des matrices diagonales et triangulaires.
(1) Une matrice diagonale est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls.
(2) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls.
7.4.3 Méthode de calcul pratique de l’inverse d’une matrice
(1) SiAB=InalorsAetBsont inversibles et inverses l’une de l’autre.
(2) Si pour tousX,Y ∈Kn, Y =AX⇐⇒X=BYalorsAest inversible etA−1=B.
Exemple 7.4.2. SoitA=
0 0 6 1 0 −11 0 1 6
. CalculerA3−6A2+11Aet en déduire l’inversibilité et l’inverse deA.
Exemple 7.4.3. Montrer que la matriceAest inversible et calculer son inverse où
A=
2 −1 0 0
−1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 1
Proposition 7.4.4. Cas des matrices 2×2.Une matrice a b c d
!
est inversible si et seulement si ad−bc,0et dans ce cas,
a b c d
!
= 1 ad−bc
d −b
−c a
!
Remarque3.La conditionad−bc,0signifie simplement que les vecteurs colonnes de la matrice a b
c d
!
ne sont pas proportionnels.
Exemple 7.4.4. Soitθ∈RetAθ = cosθ −sinθ sinθ cosθ
!
. On a cosθcosθ+sinθsinθ=1 ,0 doncAθest inversible et son inverse est la matriceA−1θ =A−θ= cosθ sinθ
−sinθ cosθ
!
7.5 Transposition
Proposition 7.5.1. La transposition est une application linéaire de Mnp(K) vers Mpn(K). De plus, pour toute matrice A∈ Mnp(K), t(tA)=A.
Proposition 7.5.2. Quelles que soient les matrices A∈ Mnp(K), B∈ Mpq(K),
t(AB)=(tB)(tA).
7.6 Exercices. 9
Proposition 7.5.3. Soit A ∈ Mn(K). Alors A est inversible si et seulement sitA est inversible et dans ce cas,(tA)−1= t(A−1).
Définition 7.5.1. SoitA∈ Mn(K).
(1) La matriceAest symétrique sitA=A.
(2) La matriceAest antisymétrique sitA=−A.
Le sous ensemble des matrices symétriques est notéSn(K) et et celui des matrices antisymétriques est notéA Sn(K).
7.6 Exercices.
Opérations avec les matrices
Exercice4. Former le produitAB, lorsqu’il est possible, dans chacun des cas ci-dessous : (a) A= 1 2 3
−1 0 −2
!
, B=
1 7 −2
−2 1 0 1 1 2
(b) A=
2 3
−1 0 2 −3
, B= 1 −4 0
0 1 −2
!
(c) A=
1 7 −2
−2 1 0 1 1 2
, B=
−1 0 2 3 5−1
−1 1 −3
(d) A=
−1 0 2 3 5 −1
−1 1 −3 0 1 −2
, B= 1 2 0 3 0 −1 0 −2
!
(e) A= 1 2 0 3 0 −1 0 −2
!
, B=
−1 0 2 3 5 −1
−1 1 −3 0 1 −2
Exercice5. On considère les deux matrices deM3(R) : A=
1 −1 1
−1 1 −1
1 1 1
et B=
1 1 0 1 1 0 0 0 1
.
CalculerA+B, (A+B)2,A2,B2,ABetBA. En déduire que (A+B)2,A2+2AB+B2.
Exercice6. SoitA=
3 4 2 3 1 1
.
Montrer qu’il n’existe aucune matriceM∈M2,3(R) telle queAM=I3mais qu’il existe une infinité de matricesN∈M2,3(R) telles queNA=I2.
Produit matriciel, calcul d’inverse de matrices.
Exercice7. Dans cet exercice,netpdésignent deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 etAun élément deMn,p(R). Montrer quetAA=0 si et seulement siA=0.
Exercice8. Calculer les matrices inverses des matrices suivantes : A= 1 2
−1 3
!
, B=
1 2 3 0 1 4 0 0 1
, C=
1 −1 1 2 −3 0 1 1 2
.
D=
0 1 0 0 0 1
−2 1 2
, E=
0 2 2
−1 3 −1 3 −3 1
, F=
2 −1 1 1 4 −3
1 1 0
.
Exercice9. SoitA=
2 −1 2 5 −3 3
−1 0 −2
.Du calcul de (A+I3)3, déduire queAest inversible.
Exercice10. Soitnun entier strictement supérieur à 1. Montrer que la matricen×n
A=
1 −1 · · · −1
0 1 ... ...
... ... −1
0 · · · 0 1
est inversible et calculer son inverse.
Exercice11. Soitnun entier strictement supérieur à 1 et la matricen×n
A=
0 1 · · · 1 1 0 ... ...
... ... 1 1 · · · 1 0
.
Du calcul deA2, montrer queAest inversible et donner son inverse. On pourra introduire la matriceJdont tous les coefficients sont égaux à 1.
7.6 Exercices. 11
Exercice 12. SoitAla matricen×nde coefficientai,j = min(i,j). Montrer queAest inversible et calculer son inverse.
Exercice13. SoitAune matrice telle quekAk+1 =(k+1)Ak. Simplifier la somme 1+ 2x+3x2+· · ·+kxk−1. Montrer queA−Inest inversible.
Exercice14. SoitAune matrice carréen×ntelle queA3=2In. Montrer que la matrice B=A2−2A+2Inest inversible.
Calcul de puissances de matrices
Exercice15. SoitA=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
(a) Calculer et exprimerA2en fonction deAetI3.
(b) En déduire queAest inversible et exprimerA−1en fonction deAetI3
(c) Montrer qu’il existe deux suites (an) et (bn) telles que pour toutn∈N, An =anA+ bnI3. Exprimeran+1etbn+1en fonction deanetbn.
(d) Déterminer l’expression dean etbnen fonction denet donner l’expression deAn en fonction den,A,I3.
Exercice16. SoitP∈R[X] etA=
x 1 0 0 x 1 0 0 x
. Montrer que
P(A)=
P(x) P0(x) P00(x)/2 0 P(x) P0(x)
0 0 P(x)
Exercice17. On poseF0=0,F1=1 et pour toutn∈N,Fn+2=Fn+1+Fn. En considérant la matrice M = 1 1
1 0
!
, montrer queFm+n+1 = Fm+1Fn+1+FmFn. Que vautFn+1Fn−1−F2n?
7.7 Exercices avancés
Exercice18. SoitA∈ Mn(K) une matrice à diagonale strictement dominante :
∀i∈~1,n, |aii|>
n
X
j=1 j,i
|ai j|
Montrer, en raisonnant par l’absurde, queAest inversible.
Exercice19. On appelle graphe fini tout coupleG =(S,A) formé d’ensemble de som- mets numérotésS ={1,2, . . . ,p}et d’un ensemble d’arêtesAformé de paires de points {i,j}oùi , j. On représente un graphe en considérantppoints du plan ou de l’espace en traçant une arête entre les points des paires deA.
Par exemple, le couple (S,A) où S = {1,2,3,4} et A = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}correspond au graphe suivant :
1 2
3 4
A tout grapheG=(S,A), on asocie sa matrice d’adjacenceM=(mi,j)1≤i,j≤pdéfinie par mi,j=(
1 si{i,j} ∈A 0 sinon
Un chemin entre deux sommetsaetbest une suite (x0,x1, . . . ,xn) telle quex0=a,xn= bet pour touti∈ {1,2, . . . ,n−1}, {xi,xi+1} ∈A.L’entiernest alors appelé longueur du chemin.
(1) Cas du graphe triangulaire :G=(S,A) où
S ={1,2,3}etA={{1,2},{2,3},{3,1}}
(a) Donner la matriceMd’adjacence du grapheGet vérifier quemk,lest le nombre de chemins de longueur 1 reliant les sommetsketl.
(b) CalculerM2. On note(2)mk,lle coefficient d’indice (k,l) deM2. Vérifier que(2)mk,l
est le nombre de chemins de longueur 2 reliant les sommetsketl.
(c) Soitn∈N∗.On note(n)mk,lle coefficient d’indice (k,l) deMn. Montrer que(n)mk,l est le nombre de chemins de longueurnreliant les sommetsketl.
(d) Quel est le nombre de chemins de longueurnreliant les sommets 2 et 3 ? (2) Tracer le graphe de matrice d’adjacence
M=
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
7.7 Exercices avancés 13
Exercice20. Pourn∈N∗, on note
• Snl’ensemble des matricesA=(ai,j)∈ Mn(R) telles que, pour touti∈~1,n,
n
P
j=1
ai,j=1.
• S+n l’ensemble des matrices deSnà coefficients positifs ou nuls.
• Jnla matrice deMn(R) dont tous les coefficients valent 1.
(1) Pour tout (a,b)∈[0,1]2, on poseMa,b = a 1−a b 1−b
!
. Étudier l’inversibilité deMa,b
et calculer son inverse lorsqu’elle existe.
(2) (a) SoitA∈ Mn(R). Montrer queA∈ Snsi et seulementAJn=Jn.
(b) Vérifier queSnest stable pour la multiplication (c’est–à–dire que le produit de deux éléments deSnest un élément deSn).
(c) SoitA∈ Sninversible. Montrer queA−1∈ Sn.
(d) Vérifier queS+n est stable pour la multiplication. SoitA∈ S+n inversible. A-t- onA−1∈ S+n?
(3) Soitσune permutation de{1,2, . . . ,n}. On noteMσla matricen×ndont le coeffi- cient d’indice (i,j) estδ0,i−σ(j)
(a) Vérifier queMσ∈ S+n.
(b) Justifier que Mσ est inversible et déterminer son inverse en fonction deσ.
Vérifier queM−1σ ∈ S+n.
(4) SoitA∈ S+n inversible telle queA−1∈ S+n. On noteA−1=(bi,j)1≤i,j≤n. (a) Montrer que pour tout (i,j,k)∈~1,n3on a : (i, j)=⇒bi,kak,j=0.
(b) En déduire que chaque colonne deAcontient un unique élément non nul.
(c) En déduire qu’il existe une permutationσde{1,2, . . . ,n}telle queA=Mσ.
7.8 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice1. Ecrire la formule du coefficient général d’un produit de deux matrices, puis pour la deuxième condition à vérifier, penser à intervertir les deux sommes.
Indication pour l’exercice2. La première égalité est facile. Pour la deuxième, écrire les formules des coefficients généraux des produitsABetBA, et passer aux traces. Exploiter ensuite le fait que les indices de sommation sont muets.
Indication pour l’exercice7. Pour la condition nécessaire, commencer par écrire le coef- ficient d’indice (i,j) detAA.
Indication pour l’exercice9. Former une matriceBtelle queAB=I3.
Indication pour l’exercice10. Le caractère inversible n’est pas difficile : matrice triangu- laire sans coefficient nul sur la diagonale. Pour le calcul de l’inverse, on pourra inverser la relationAX=Y.
Indication pour l’exercice11. L’indication fournie par l’énoncé est claire, non ? Indication pour l’exercice12.
Indication pour l’exercice13. Pour simplifier la somme 1+2x+3x2+· · ·+kxk−1, distinguer les casx=1 etx,1. Pour l’inversibilité deA−In, n’oublier pas qu’on peut substituer une matrice à l’indéterminéexdans une expression ou relation polynômiale.
Indication pour l’exercice14. Chercher un inverse pourBsous la formeaA2+bA+cIn. Indication pour l’exercice15. Exercice classique.
Indication pour l’exercice16. Conjecturer une formule pourAkpuis la vérifier par récur- rence, et l’étendre par combinaison linéaire aux polynômes enA.
Indication pour l’exercice17. Remarquer que M = 1 1 1 0
!
= F2 F1
F1 F0
!
et M2 = 2 1 1 1
!
= F3 F2
F2 F1
!
. Que pouvez vous conjecturer pourMn?
7.9 Correction des exercices 15
7.9 Correction des exercices
Correction de l’exercice1. Soient des matricesA=(ai j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) etB=(bi j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) toutes deux stochastiques. On poseC=ABetci,jle coefficient d’indice (i,j) deC.
Soit (i,j) ∈ ~1,n2. On sait queci,j =
n
X
k=1
ai,kbk,j. Par somme et produit de termes positifs ou nuls, le coefficientci,jest positif ou nul. Ensuite,
n
X
j=1
ci j=
n
X
j=1 n
X
k=1
ai,kbk,j
=
n
X
k=1 n
X
j=1
ai,kbk,j
=
n
X
k=1
ai,k
n
X
j=1
bk,j
=
n
X
k=1
ai,k, carBest stochastique,
=1, carAest stochastique.
Correction de l’exercice2. SoientA=(ai,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) etB=(bi,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) deux matrices.
(a) Le coeffiicient général deA+Bestai,j+bi,jdonc tr(A+B)=
n
X
i=1
(ai,i+bi,i
=
n
X
i=1
ai,i+
n
X
i=1
bi,i
=tr(A)+tr(B)
(b) Appelonsci,jetdi,jles coefficients respectifs des matricesABetBA.On a donc tr(AB)=
n
X
i=1
ci,i
=
n
X
i=1 n
X
k=1
ai,kbk,i
et
tr(BA)=
n
X
i=1
di,i
=
n
X
i=1 n
X
k=1
bi,kak,i
=
n
X
k=1 n
X
i=1
ak,ibi,k.
Les indices de sommation étant muets, on peut renommer les indicesi et k, pour obtenir
tr(BA)=
n
X
I=1 n
X
K=1
aI,KbK,I
et constater alors que tr(AB)=tr(BA).
