On est très amené à intervertir les noms (deux variables) de deux objets. Evi- demment, il ne faut perdre aucun de ces deux objets. On peut se figurer la situation

Informatique 2010-2011 : TP Maple 1 MPSI B Hoche

Intervertir deux variables

On est très amené à intervertir les noms (deux variables) de deux objets. Evi- demment, il ne faut perdre aucun de ces deux objets. On peut se figurer la situation

Fig. 1 – Intervertir deux récipients

en regardant les variables comme des récipients contenant les objets. Le problème est d’intervertir les deux récipients. Un troisième est clairement indispensable.

On dispose de trois variables : var1 , var2 , vartemp. On vous demande d’écrire, avec un diagramme puis en syntaxe Maple, un enchainement de trois instructions tel que

– avant l’exécution : var1 désigne l’objet obj1 et var2 désigne l’objet obj2 – après l’exécution : var1 désigne l’objet obj2 et var2 désigne l’objet obj1 Vous devez ensuite implémenter ces instructions sur un exemple dans votre feuille de calcul.

Itérations d’une fonction

Soit f une fonction, on cherche à calculer un objet de la forme f ◦ f ◦ · · · ◦ f (x)

Suivant les configurations des espaces de départ et d’arrivée et les propriétés de la fonction, il n’est pas du tout certain qu’un tel objet existe toujours.

Vous disposez de la variable xini qui désigne la valeur initiale que vous voulez itérer, de la variable x qui désigne les valeurs itérées, de est_dans_le_domaine (x) qui renvoie vrai ou faux, de f(x) qui renvoie l’image par f de la valeur désignée par x et de print(x) qui affiche la valeur de x.

1. Former un diagramme (rectangles, losange, flèches) affichant tous les itérés possibles de la valeur de xini. Il est à noter que cet algorithme peut ne jamais s’arrêter.

2. Ici la valeur initiale ainsi que toutes les images par f sont dans le domaine de f de sorte que les itérations sont toujours possibles.

Vous devez former un diagramme affichant seulement la valeur après la n ième itération. Vous disposez de la variable n désignant le nombre d’itérations à effectuer et d’une variable i (souvent appelée compteur).

3. Dans cette question aussi, les images par f sont toujours dans le domaine de f de sorte que les itérations sont toujours possibles. De plus, vous savez que la suite des valeurs est convergente. Vous devez former un diagramme affichant seulement le premier itéré tel que la valeur absolue de la différence avec l’itéré précédent soit inférieure à 10

. Vous disposez d’une nouvelle variable xx en plus de celles de la question 1.

4. On se replace dans les conditions de la question 2. On veut cette fois conserver une trace de tous les itérés calculés en utilisant un objet du type tableau (array) indexé de 1 à n. Former un diagramme réalisant cela.

5. Toujours dans les conditions de la question 2, on veut cette fois utiliser une séquence. Pour cela, on place les itérés de gauche à droite (en les séparant par des virgules) dans un objet désigné par Res. Former un diagramme réalisant cela.

6. Implémenter en syntaxe Maple et exécuter les algorithmes des questions 2.

3. 4. 5. pour la fonction cos avec 1.0 comme valeur initiale.

Transformation de Lehmer

On considère l’application f définie par : C \ R → C

z →

−b Re(z) Im(z) c + i

z

Pour tout nombre réel x, on désigne par bxc la partie entière de x c’est à dire l’unique entier relatif n tel que

n ≤ x < n + 1

La syntaxe Maple de la fonction partie entière est floor(x), celle des parties réelle et imaginaire est simplement Re et Im.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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On admet que si les parties réelles et imaginaires de z

sont des entiers relatifs, un des itérés de z

est réel et le processus s’arrête.

Lorsque z désigne un itéré non réel, on note

n = b Re(z)

Im(z) c α =



 

 

arctan 1

n si n 6= 0 π

2 si n = 0

On veut exprimer formellement la somme des α pour tous les itérés possibles puis la comparer numériquement à

arctan Im z

Re z

Pour ne pas être géné par les problèmes de syntaxe, former d’abord un diagramme avant d’implémenter en Maple. Pour comparer les valeurs numériques de la somme avec l’expression en arctan, utiliser la fonction evalf.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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