Nom :
Classe : 2nde 2 / 2nde 5
A préparer pour le : 04 / 04 / 19
Devoir maison n°4 Raisonnement par l'absurde
et irrationalité de
Note :
… / 10
Evaluation de la capacité
Je sais : Non Oui
Raisonner
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de .
Pour cela, les définitions et propriétés d'arithmétique suivantes seront nécessaires.
Définition : Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Propriétés :
• Deux entiers naturels et sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Dans ce cas, on note : PGCD( ; ) = 1.
• La fraction est irréductible si les entiers et sont premiers entre eux.
Définitions :
• Un nombre est pair s'il existe un entier tel que = .
• Un nombre est impair s'il existe un entier tel que = . 1. Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
= (………) = ……… = 2 (………) + 1 On en déduit la propriété suivante :
Propriété : Le carré d'un nombre impair est toujours un nombre …………
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour démontrer que cela impliquerait une absurdité. Ainsi, pour démontrer que est un nombre irrationnel, nous allons supposer le contraire : Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Alors, il existerait deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = et PGCD( ; ) = 1.
2. a) Démontrer que = .
b) Que peut-on en déduire sur ?
c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
3. On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = . a) Démontre que = .
b) Que peut-on en déduire sur puis sur ? 4. En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
p2
k
n n 2k
n k n 2k+ 1
p2
p2
p2
p2
p q q p p q
q
p2 2q2 p2
p n
n2 2
p k0 p 2k0
q2
q2 q
p2 2q2
p p2 p q
p q p
q p q
2k02
Nom :
Classe : 2nde 2 / 2nde 5 Le : 08 / 04 / 19
Test du DM n°4
Démonstration de l'irrationalité de
Note :
… / 10
Evaluation de la capacité
Je sais : Non Oui
Raisonner
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de .
Pour cela, les définitions et propriétés d'arithmétique suivantes seront nécessaires.
Définition : Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Propriétés :
• Deux entiers naturels et sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Dans ce cas, on note : PGCD( ; ) = 1.
• La fraction est irréductible si les entiers et sont premiers entre eux.
Définitions :
• Un nombre est pair s'il existe un entier tel que = .
• Un nombre est impair s'il existe un entier tel que = . 1. Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
= (………) = ……… = 2 (………) + 1 On en déduit la propriété suivante :
Propriété : Le carré d'un nombre impair est toujours un nombre …………
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour démontrer que cela impliquerait une absurdité. Ainsi, pour démontrer que est un nombre irrationnel, nous allons supposer le contraire : Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Alors, il existerait deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = et PGCD( ; ) = 1.
2. a) Démontrer que = .
………
………
………
………
………
b) Que peut-on en déduire sur ?
………
c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
………
………
………
………
………
………
p2
p q
p q p
q p q
n k n 2k
n k n 2k+ 1
n
n2 2
p2
p2 p2
p q q p
2 pq p q
p2 2q2
p2
p p
p2
3. On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = . a) Démontre que = .
………
………
………
………
………
………
b) Que peut-on en déduire sur puis sur ? On en déduit que est un nombre pair.
Si était un nombre impair alors son carré serait un nombre impair.
Or, est un nombre pair. On en déduit que ne peut pas être impair. Ainsi, est lui aussi un nombre pair.
4. En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
………
………
………
………
………
………
………
p2 2q2 p k0 p 2k0
q2
q2 q
q2 q
q2 q q
2k02
Correction du DM n°4 L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de .
Définition : Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Propriétés :
• Deux entiers naturels et sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Dans ce cas, on note : PGCD( ; ) = 1.
• La fraction est irréductible si les entiers et sont premiers entre eux.
Définitions :
• Un nombre est pair s'il existe un entier tel que = .
• Un nombre est impair s'il existe un entier tel que = . 1. Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier tel que = .
= ( ) = = = 2 ( ) + 1
On en déduit la propriété suivante :
Propriété : Le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair.
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour démontrer que cela impliquerait une absurdité. Ainsi, pour démontrer que est un nombre irrationnel, nous allons supposer le contraire : Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Alors, il existerait deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = et PGCD( ; ) = 1.
2. a) Démontrer que = .
En supposant que = on en déduit que : =
Ainsi, en élevant chaque membre de l'égalité au carré on a : = . b) Que peut-on en déduire sur ?
On sait que = et que est un entier naturel (car est lui même, un entier naturel).
On en déduit que est un nombre pair.
c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
Supposons que soit un nombre impair. Alors, d'après la démonstration préliminaire, son carré serait lui aussi un nombre impair. Ceci serait absurde car est un nombre pair. Ainsi, est forcément un nombre pair.
3. On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = . a) Démontre que = .
On sait que = et que, étant un nombre pair, il existe un entier tel que = .
On en déduit successivement : = puis : = puis : = Autrement dit : = b) Que peut-on en déduire sur puis sur ?
Puisque = alors est un nombre pair.
Si était un nombre impair alors son carré serait un nombre impair. Donc est forcément un nombre pair.
4. En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
Dans l'hypothèse de départ on a supposé qu'il existait deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = et PGCD( ; ) = 1. Or, nous venons de démontrer que si = alors, nécessairement, les entiers et sont pairs. Ce qui signifie qu'ils sont divisibles par . Ceci est absurde car leur PGCD est égal à 1.
En conclusion, il ne peut exister deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = et PGCD( ; ) = 1.
Ainsi, le nombre est un nombre irrationnel.
p2
p q
p q p
q p q
n k n 2k
n k n 2k+ 1
n
n2 2
p2
p2 p2
p q q p
2 pq p q
p2 2q2
p2
p p
p2 2q2 p k0 p 2k0
q2
q2 q
q2 q
k n 2k+ 1 2k+ 1 (2k)2+ 2£2k£1 + 12 4k2+ 4k+ 1 2k2+ 2k
p2 pq p p 2£q
p2 2q2
p2 2q2 q2 q
p2
p
p2 p
p2 2q2 p k0 p 2k0
2q2
(2k0)2 4k02 2q2 2k02 q2 q2
q2 2k02
2k02 2k02
q
q q
q
p p
p2 pq
p2 pq p q
2
p q q p
2 p
q p q
p2
