Contribution à l'étude de la diffusion par un potentiel central dans la théorie de l'électron de Dirac. I

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION A

M ARIE -C LAIRE B ARTHÉLEMY

Contribution à l’étude de la diffusion par un potentiel central dans la théorie de l’électron de Dirac. I

Annales de l’I. H. P., section A, tome 6, n

^o

4 (1967), p. 365-393

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p. 365

Contribution à l’étude de la diffusion

par

^un

potentiel ^central

dans la théorie de l’électron de Dirac. I.

Marie-Claire

BARTHÉLEMY (Institut

^Henri

Poincaré).

Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. VI, ^n°

4, 1967,

Section A :

Physique théorique.

SOMMAIRE. - Cet article constitue la

première partie

^{d’un travail d’ensem-}

ble consacré à l’étude de la diffusion _par un

potentiel

^{central dans la théorie}

de l’électron de Dirac.

Après

avoir examiné les

propriétés

^{des fonctions} propres

cp)

^de

l’opérateur

^{U =}

«4[(L . a)

+

%],

^{nous montrons} que le

système ^orthonormé

des

cp)

^{vérifie une relation de} Parseval. Le

développement

^{de la}

partie

stationnaire de l’onde

plane

^sur les fonctions propres de U et la méthode des

déphasages

^nous

permettent

^{ensuite d’obtenir une}

expression simple

^{de la}

^section

^efficace de diffusion et de

l’amplitude

de diffusion.

L’approximation

^{de Born} pour les

déphasages

^ainsi que le théorème

optique

sont discutés.

ABSTRACT. - This is the first of three articles about a

study

^of

potential scattering

in the Dirac electron

theory.

In this part, ^the

eigenfunctions cp)

^{of the}

operator

U ⁼

(X4[(L . 6)

⁺

]

^are

investigated.

We prove that these

eigenfunctions

form a

complete

^{set in the sense that we can}

simultaneously expand

^four

arbitrary

functions of 0 and _cp in terms of them. The

expansion

of the time-

independant plane

^wave

part

^{in terms of}

eigenfunctions

^{of U and}

the

phase-shifts

method allow us to obtain a

simple expression

^{of the}

scattering

cross-section and of the

scattering amplitude.

^Born

approxi-

mation is then studied for the

phase-shifts.

^The

application

^{at the}

optical

theorem conclude this article.

De nombreux ouvrages ^ont été consacrés à l’étude de la diffusion d’une

particule

par ^un

champ potentiel

central. Ces travaux ont été réunis essen-

tiellement dans le cas non relativiste par N. F. Mott ^et H. S. W.

Massey [1],

H. S. W.

Massey [2],

^{Wu et Ohmura}

[3] qui

donnent de nombreuses réfé-

rences.

Notre but ^a été de

reprendre

^cette étude dans le cas

relativiste, plus

^exac-

tement dans le ^cas de l’électron de Dirac en interaction avec un

potentiel électrostatique

^central.

Plusieurs auteurs ont

déjà

^{étudié ce}

problème

^{notamment G. Parzen}

[4],

Tietz

[5]

^{dans le cas d’un}

potentiel

^central

quelconque

^{et D. M.}

Fradkin,

T. A.

Weber,

C. L. Hammer

[6],

^R. L. Gluckstern et S. R. Lin

[7],

^{A. Baker}

[8]

dans le cas du

potentiel

coulombien.

Dans le

premier chapitre,

^nous

rappelons quelques points

de la théorie de l’électron de Dirac et nous mettons en évidence un

système

de fonctions des variables

angulaires

⁰

et p

^à

quatre composantes,

orthonormé

complet, qui

^{nous sera utile dans la suite.}

Le second

chapitre

^est consacré à la méthode des

déphasages.

Cette méthode’ a été introduite en

mécanique quantique

^{par Faxen et Holtz-}

mark

[9]

^{et est}

analogue

^{à une méthode}

employée

^{par Lord}

Rayleigh

^dans

la théorie

classique

^de la diffusion. Elle fut d’abord

appliquée

^à

l’équation

de Dirac _par Mott

[10]

dans le calcul de la diffusion coulombienne des électrons

rapides. Reprise

par Parzen

[4]

pour l’électron dans ^un

champ électrique,

elle utilise des

développements

^{sur les} fonctions de

Legendre pr (cos 0)

^{comme dans le cas de}

l’équation

^de

Schrodinger, chaque

^compo-

sante de la fonction d’onde étant

développée séparément.

En théorie de

Dirac, puisque

^{le moment}

cinétique

^{orbitral L n’est}

plus

une

intégrale première,

^{il nous a semblé}

préférable

de substituer au nombre

quantique

^orbital l le nombre

quantique

^{x, - x} valeur propre de

l’opéra-

teur U ⁼ +

~),

^{U étant}

intégrale première [11].

Les fonctions d’ondes seront

développées

^{sur le}

système

^orthonormé

complet

de fonctions propres de U mis ^en évidence dans le

premier chapitre.

Ceci nous conduira à une

expression

de la section efficace de

diffusion,

^de

l’amplitude

^de

diffusion,

^{au théorème}

optique

^{et à}

l’approximation

^{de Born}

pour les

déphasages.

Dans un troisième et un

quatrième chapitre,

^nous étudierons les

proprié-

tés des fonctions d’ondes radiales et d’autres

quantités

^en

rapport

^avec

l’analyse

^{en ondes}

partielles

de la théorie de la

diffusion,

^{comme fonction}

de la

quantité

^{de mouvement réduite k.}

367

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

Cette étude a été faite _par R. G. Newton

[12]

^{dans le cas de}

l’équation

non relativiste de

Schrôdinger.

^{Nous la}

développerons

^{dans le cas de}

l’équa-

tion relativiste de Dirac.

Les

chapitre

^{1 et} II constituent la

première partie

^{de notre travail.}

Les

chapitres

^{III et IV feront}

l’objet

^{d’une seconde}

partie.

I. ^- FORMALISME

GÉNÉRAL

Considérons un faisceau de

particules

incidentes ^se

propageant

^{dans la} direction de l’axe

Oz,

^{tombant sur un centre diffuseur situé à}

l’origine

^des

coordonnées.

Ces

particules

^{sont décrites par}

l’équation

^{de Dirac :}

,

-+ C~

dans

laquelle

nous avons utilisé les est

~x la masse

réduite,

^{les matrices} «x sont telles _que + ⁼

28xv,

X, v ⁼

1, 2, 3, 4).

V(r)

^{est un}

potentiel dépendant

^{seulement de r et tendant vers zéro}

plus

vite

que 1 r2 ^quand

^{r tend vers + oo.}

Si toutes les

particules

^{du faisceau incident ont la même masse et la}

même vitesse initiale _v, on

peut représenter

^la

partie indépendante

^du temps de l’onde

plane,

solution du cas V ⁼

0,

par étant ^un

spineur

à

quatre composantes (X

⁼

^{1, 2, 3,} 4).

Si les électrons diffusés sont

représentés

par ^une onde

sphérique

^diver-

eikr

gente, qui,

^à

grandes

^{distances du}

diffuseur,

^{a la forme}

g03BB(03B8, ^p) - , (gx ^(0,p)

étant un

spineur

^à

quatre composantes),

la section efficace différentielle est

alors :

368

Par

suite,

pour déterminer la section efficace

différentielle,

^{nous devons}

chercher ^une solution de

l’équation

de Dirac stationnaire pour le ^mouve- ment d’électrons

d’énergie

^{E dans un}

champ d’énergie potentielle V(r), possédant

^le

comportement asymptotique :

1.

Séparation

des variables.

Nous suivons ici ^une méthode due à Dirac

[11]

^et

développée

par

Temple [13],

^Sauter

[14]

^et Sommerfeld

[15].

,

Le

potentiel

^étant

statique,

^nous pouvons considérer les fonctions d’ondes de la forme

t)

⁼

6, L’équation

^{de Dirac}

indépendante

du temps ^{s’écrit :}

ou encore ⁼ avec H ⁼

(x .p)

^-~- ~.x4 -~--

V(r).

Nous ^savons

[11]

que

l’opérateur

^{U =}

x4(L.

^{a -~-}

1)

^est

intégrale

pre- mière et que

Soit

6, cp)

^une solution de

l’équation (1-1)

^pour

laquelle :

L’équation (1-1)

^{s’écrit :}

en

appelant :

on remarque que

p~2

⁼⁼

^I

^{i =}

ip; ;

ⁱ

ppoQ ⁺

^{== 0}

(p # q)

^et, par

suite,

il existe une transformation unitaire S telle _que

S-lppS

⁼ pp ; les matrices pi, ps? P3 étant

respectivement :

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L 9ÉLECfRON DE DIRAC 369

1

désignant

la matrice unité à 2

lignes

^{et 2}

^colonnes,

^{on a :}

Si on pose

0, cp)

⁼

S’Y’(x)(r, 0, cp)

^on obtient alors :

On remarque que

l’opérateur

du second membre ne fait intervenir que la variable r. On peut donc écrire :

’F~(~ 0, ?)

⁼

~’’â "~(r)~’’~ "~( 6, ^~).

^Les

fonctions ~F~(~ cp)

^{sont les} transformées des fonctions propres ortho- normées de U par ^une transformation unitaire. En

multipliant

^à

gauche

par

~’’ , ~x~*t(8, cp) (* désignant

^la

conjugaison complexe

^{et t la}

transposition),

en

intégrant

^{sur les}

angles

^{et en revenant à ’Y(x) on trouve} que :

/~(0, (p)

^étant

^fonctions

propres orthonormées de U et

Fx

^et

Gx

^vérifiant

le

système :

2.

Fonctions

propres de ^U.

Soit

!(x,m)(6, cp)

^{une fonction} propre de U pour la valeur propre - ^x telle que :

Mz

étant la composante sur Oz du moment

cinétique

^{total M = L +}

2 a ,

x prenant ^les valeurs _entières

positives

^et

négatives,

x # 0. En écrivant :

2014~ -+

et en utilisant le fait _que ex. commute avec L. _a, on trouve les fonctions _pro- pres suivantes :

les

harmoniques sphériques

orthonormées

Y~(0, p)

^{étant définies} par

On remar ue que pi ⁼

1 0

^{et Q =}

1 )

anticommutent avec

U,

tandis que ^{x4 commute avec} U. On en déduit donc le fait suivant :

cp)

^{est fonction} propre de U ^avec la valeur propre - ^x,

cp)

et

S2 f~x~m~(8, cp)

^{sont fonctions propres avec} la valeur propre + x, tandis _que

cp)

^{est fonction} propre ^avec la valeur _{propre -} x.

Si

nous

changeons

^{x en - x, V en -}

^V,

^{E en - E dans}

(1-3),

^{nous remar-}

quons que

G-x

⁼

Fx

^et

^F-x

⁼

Gx.

Effectuons le même

changement

^dans

(1-1) ;

^{on obtient :}

On _passera de

(1-1)

^{à cette}

équation

par la transformation unitaire S :

S étant telle _que

S-lOCp,S

^{= -}

La matrice S ⁼

ei03B603B1103B1203B1303B14

^{est une matrice}

convenable,

^la

phase 03B6

^étant

371 POTENTIEL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

arbitraire dans la

représentation adoptée,

^en

prenant 03B6 = 03C0 2,

nous aurons

la matrice S réelle :

~ -+

Alors,

connaissant

(x)(r)

pour ^x

positif,

^{nous en déduisons pour}

)(

négatif

^{et en utilisant} la remarque concernant et nous obtenons :

Les fonctions propres de

U, f ~x~m~( 8, ~)

devant être normées à l’unité sur

la

sphère

de rayon 1 :

Ceci

implique : 1

^ci

1

⁼

(A-m 2(2A+ ¹⁾ )1 2

^,

^{1 C3 1 =} (A+m 2(2A- ^{1))1 2} 1

^{. Nous avons}

=

1 c1 |ei03B2,

^c3

= |ei03B3.

De

plus l’opération

^{U étant}

hermitien,

^{nous en déduisons} que ^cos

( fi - y)

^{= 0}

d’où

Finalement les fonctions propres orthonormées de U seront les

suivantes :

En

plus

^de la relation

d’orthogonalité (1-4),

^les

fonctions/~~(0, cp)

^vérifient

aussi :

3. Relation de fermeture des

fonctions

propres de ^U.

Titchmarsch

[16]

^{a montré} que les fonctions d’ondes de Dirac forment

un

système complet.

^Les

f ~x~m~( 8, cp)

^{formant un}

système

orthonormé sur la

sphère unité,

^{une condition} suffisante pour que ^ce

système

^soit

complet

^est

que ^nous

puissions

^{écrire une relation} de Parseval. Suivant

Titchmarsch,

nous

rappellerons

que : si

C(6, cp)

^{est une fonction de e}

et ~ possédant

^un

développement

^{en séries de}

^Fourier,

^on

peut

^{écrire :}

avec les coefficients

et la formule de Parseval :

Le

développement

^de

Legendre

^de

c(m)(6)

^{est :}

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC 373 La formule de Parseval

correspondante

^{est :}

De

(1-7)

^et

(1-9),

^nous déduisons :

avec la formule de Parseval

correspondante

^{déduite de}

(1-8), (1-11) :

La série converge ^vers

0(6, cp)

^{si C est continue en}

(0,

^{ainsi ’} que ^ses dérivées

jusqu’au

^{second ordre.}

~~(e~ 9~)

Soit

~F(0, Cf&#x3E;

⁼

’Y (6 )

^{une fonction} arbitraire à

quatre composantes

’Y 3(6’ ’P)

^{de carré sommable sur la}

^sphère.

Soit ⁼

a(A,m)(1+03B14 2) ⁺ b(A,m)(1-03B14 2), a(A,m)

^et étant définis de la

façon

^{suivante :}

Nous allons calculer

Pour ^x &#x3E;

0,

^{en utilisant}

(1-10) :

pour ^x 0 :

De même _pour

ce

qui

^{s’écrit en} réunissant les termes en

di, d2

^{et ceux en}

da, d4

^{et en}

rempla-

çant

( x -1)

par ^x dans les termes en

d1(m,lx(-1), da(m, X-1),

^{et avec}

d9~ ~’

Si x &#x3E;

1,

^- x m

x 2014 1,

^le coefficient

de 12

^{s’écrit :}

Ceci est

également

^{vrai si m =} x, de

plus

^{x) = 0 et le} coefficient

de d~{o~°~ ‘Z

^{est nul.}

Si x &#x3E;

1,

^- x m

x - 1,

^le coefficient

de d2tm + I,,~) ~ ~

^{est :}

375

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

Ceci est

également

^{vrai si m = - x - 1 et si x =}

^0,

^{m = - 1. Le terme}

en +

disparaît :

Nous avons les mêmes résultats pour les coefficients de

1

^et

1 ~~+1’~ ~

^et

finalement,

^{il reste :}

ce

qui

^s’écrit

d’après (1-12) :

Nous obtenons ainsi la relation de Parseval :

Les fonctions

F(0, cp)

^{doivent être telles que}

chaque composante

^vérifie

séparément

^les conditions de convergence du

développement

de Fourier-

Legendre,

c’est-à-dire doit être continue et avoir des dérivées

jusqu’au

second ordre continues.

On a alors le

développement :

BARTHÉaMY

II. ^-

MÉTHODE

DES

DÉPHASAGES

L’onde

plane

^en

propagation

^{dans la} direction de l’axe Oz avec

spin

dans la direction

d’incidence,

normalisée sur la

sphère

^{unité s’écrit :}

1.

Développement

^de

a(k)eikz

^{sur les}

fonctions propres

^{de U.}

Écrivons :

Notre

développement _s’exprime

par :

avec :

ce

qui

^{nous donne en} utilisant les

expressions

^de

ftx~~(6, ç)

^{données en}

(1-5)

et la relation :

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC 377

Nous ^en déduisons :

2.

Amplitude

^{de diffusion.}

Puisque

^nous étudions la diffusion d’un électron incident avec

spin

^dans

la direction

d’incidence,

^{nous allons}

considérer,

^{suivant en} cela Mott et

Massey [1],

^une série infinie des fonctions d’ondes associées à des valeurs de ^x

positives

^ou

négatives,

^{de forme}

asymptotique

^{donnée :}

La direction du

spin

^{nous donne un moment}

cinétique

total dans la direc- tion

Oz,

^{donc m = 0. Soit}

Les fonctions

Fx(r)

^et

Gx(r)

^sont solutions du

système (1-3).

^Si

V(r)

^tend

vers zéro

plus

^vite que

1 à ^l’infini,

^{alors les fonctions}

^Fx(r)

^et

^Gx(r)

^{ont les}

comportements asymptotiques

^{suivants :}

représentant

^un

déphasage

^{associé au}

potentiel.

Par

suite,

^en réunissant les termes en eikr et les termes en

e-ikr,

^{W a le}

comportement asymptotique :

avec :

Par ailleurs le

comportement asymptotique

^du

développement (11-2)

^étant

~ et ~ étant définis ci-dessus.

379

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

Nous ^avons donc :

La forme

asymptotique

^{de ~’ devant être donnée par}

(II-3),

^{nous dédui-}

sons de

l’expression précédente l’amplitude

de diffusion :

Nous pouvons maintenant calculer la section efficace totale :

4

En

remarquant

^{que :}

¿ ^{ga(8, ] 2}

⁼

g*t(0, ~) -g(8, cp),

^{avec :}

on obtient finalement

après intégration

^{sur les}

angles

^{0 et} cp et utilisation des relations

(1-6) :

ANN.BSST. POINCARÉ, A-Vt-4 26

M.-C. BARTHÉLEMY

Nous remarquons

immédiatement qu’à l’approximation

^non

relativiste,

obtenue en faisant tendre E vers ~., ^{x =} 1 _pour ^x &#x3E;

0,

^{x = -} 1 ^- _{1 pour}

x

négatif,

~1 ^{= on} retrouve :

qui

^est

l’expression

^{bien connue de} la section efficace dans le cas de

l’équa-

tion de

Schrôdinger. Quant

^à

l’amplitude

^de

diffusion,

^{on retrouve bien à}

partir

^de

(II-4) l’amplitude

usuelle de diffusion de

Schrôdinger :

Le facteur

/ 2014 1 ² _qui

s’introduit ici

rovient

^{du fait} que l’onde

plane

^utilisée

B47T/

^{p q}

a été normalisée à un sur la

sphère

de rayon unité.

3.

Approximation

^{de Born.}

Revenons à

l’équation

^{de Dirac}

indépendante

^du

temps :

En

appliquant

^à

gauche l’opérateur

^E +

(x p)

^{+ il vient en utilisant}

les

relations :

avec k2 ⁼ E2 -

tJ.2.

, - ~-+

Soit

a03BB(k0)eik0r

^une onde

plane

incidente. En utilisant la fonction de Green associée au

premier

^{membre -}

G - - ¹

^{nous obtenons}

^{l’équation}

intégrale:

’"

[

^{r - r’}

[

381

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

qui

^{devient en}

intégrant

par

parties :

La forme

asymptotique

^de

(II-5) qui

^{nous donnera}

l’amplitude

^{de diffusion}

est fournie par

(II-3)

^{et :}

-+

,

où k est le vecteur

impulsion

dans la direction

(6, cp)

par

rapport

^{à la direc-}

-+

tion de

ko.

^{Nous avons ainsi une}

expression générale

pour

l’amplitude

^de

diffusion.

L’approximation

^{de Born sera obtenue à}

partir

de celle-ci en

~

remplaçant 03A803BD(r)

^{sous le}

signe intégral

par ^son

approximation

^{d’ordre zéro}

-+ ~- - ,

r. Il vient :

que ^nous pouvons écrire sous la forme :

gnon reh

(6) représentant l’amplitude

^{de diffusion}

correspondant

^à

l’approxi-

mation de Born _pour

l’équation

^non relativiste de

Schrôdinger.

^{Elle ne}

dépend

^{que de}

l’angle

^{0. Cette}

expression

^{est bien connue :}

^Massey [2].

En utilisant la

représentation

habituelle des matrices a, a4 et en

prenant

pour

a(ko)

^le

spineur

^{donné en}

(11-1), l’amplitude

^{de diffusion}

~(0, cp)

^donnée

en

(II-6)

^{s’écrit :}

~

ANN. INST. POINCARÉ, A-V!-4 26*

En

comparant

^avec

(11-4)

^{on trouve :}

avec :

En

multipliant

^à

gauche

par

et en

intégrant

^{sur les}

_angles, compte

^tenu des relations

(1-6)

^{on obtient :}

pour ^x &#x3E; 0 :

383

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC

pour ^x 0 :

Afin de calculer ces

intégrales,

^{nous allons}

développer respectivement :

sur le

système

^des

fonctions/~’~(0,

Nous obtenons :

avec :

En

explicitant les ( 8, cp)

^{on obtient :}

Si nous reprenons

l’expression

gnon

re1.(6)

^{définie en}

(II-6)

^{et si nous la}

développons

^{en série de}

polynômes

^de

Legendre, [2] Massey,

p.

240,

^nous obtenons :

En

portant

ceci dans les

expressions

^de

~3i

^et

~32 ci-dessus,

^{nous avons}

après intégration

^{en 0 :}

avec :

POTENTIEL CENTRAL DANS ^LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC 385

et finalement :

avec

De la même manière en notant que :

on obtient

respectivement :

386

avec

avec

En revenant maintenant à

l’expression (II-7)

^des

déphasages,

^{on a, en uti-}

lisant les

développements (II-10), (II-11 ), ( II-12)

^et

(II-13) :

1~ Pour x

positif :

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC 387

En utilisant les relations

(1-6)

^et les relations :

on obtient finalement _pour ^x

positif :

388

2~ Pour x

négatif :

de la même manière on obtient :

ce

qui

^{nous donne}

après

calculs pour ^x

négatif :

Finalement

l’approximation

^{de Born} pour les

déphasages

^est

équivalente

aux

expressions (11-14)

^et

(11-15).

A

l’approximation

^non

relativiste, E+ 2

^~

^{1, 20142014}

^~

,2014 qui

^est

négli- geable, | x j

^{2014 1 =}

l,

^{on retrouve}

l’expression

^{bien connue}

[2] :

Nous pouvons

également

obtenir le

développement

^de

l’amplitude

^{de diffu-}

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON DE DIRAC 389

sion sur les fonctions

f ~~~( 8, ~)

pour

l’approximation

^{de Born. Pour cela}

nous utiliserons :

avec :

avec ::

En

portant

^ces

développements

^dans

(II-6)

^{nous obtenons :}

avec :

En

égalant

^ce

développement

^{et le}

développement (II-4)

^{incluant les}

dépha-

. sages, ^nous retrouvons bien

l’approximation

^{de Born} pour les

déphasages

donnée en

(II-14)

^et

(II-15).

4. Théorème

optique.

Reprenons l’expression générale

^de

l’amplitude

^{de diffusion}

(II-4).

~(0, p)

^étant essentiellement

complexe,

^nous pouvons l’écrire sous la forme :

POTENTIEL CENTRAL DANS LA THÉORIE DE L’ÉLECTRON ^{DE DIRAC} 391

La

partie imaginaire

^Im

~(0, cp)

^{est donnée} par :

En faisant 0 ⁼

0,

^{nous obtenons} pour la

partie imaginaire

^de

l’amplitude

^de

diffusion, l’expression :

De ^.

l’expression

^P de la section efficace ^a

= 403C0 k2 03A3|

^k2

^{( i}

^{A sin2 ~A, on déduit que :}

A

l’approximation

^non relativiste

(E+ 2E’l ’

^-+

^{l, £ - 0,}

^{on retrouve}

le théorème

optique

^{associé à}

l’équation

^de

Schrödinger :

Im

gi(0, q)

⁼

(1 403C0)1 2 k03C3 403C0

^{tandis que}

^q)

⁼

^tp)

^{= Irn}

^{g,(0, tp) =}

^0.

BARTHÉLEMY

Nous pouvons chercher la

première

correction relativiste en

développant (II-17)

^{suivant les}

puissances

de k. On obtient :

E

^2E

⁺ )1 2

^{~ 1 -}

^8~.~

^{k2 8 2 et E}

^-~-

^k

^~.

^~

^2~.

^{k en se limitant au}

^premier

^{p terme.°}

(II-17)

^{devient :}

Ceci nous donne bien

l’approximation

^non relativiste :

et la

première

correction de relativité :

Nous remarquons que ^cette correction

provient uniquement

de la variation

(E + ~)t

du terme

2014.2014 .

Nous étudierons dans une seconde

partie qui paraîtra ultérieurement,

les

propriétés analytiques

des fonctions d’ondes radiales comme fonctions de la

quantité

^{de mouvement réduite ~.}

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