Sur diverses grandeurs physiques de la théorie de Dirac

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Sur diverses grandeurs physiques de la théorie de Dirac

L. Goldstein

To cite this version:

SUR DIVERSES

GRANDEURS

_PHYSIQUES

DE LA

THÉORIE

DE DIRAC

Par L. GOLDSTEIN.

Institut Henri Poincaré.

Sommaire. - On étudie les valeurs

probables

ou _{valeurs moyennes de diverees grandeurs opératorielles}

de la théorie de Dirac dans les états discrets des atomes _{hydrogénoïdes.} Une discussion, en connexion avec ces _{valeurs moyennes, des composantes} de la vitesse _{(dérivées temporelles} des coordonnées de _{l’électron)} et

de l’accélération conduit à classer ces _grandeurs avec les grandeurs

intrinsèques

(spin, moments _magnétique et _électrique) et les _opérateurs à densité invariante en un groupe de grandeurs non observables. Celles-ci se

présentent toujours sous la forme d’un produit de matrices fondamentales ou d’une combinaison linéaire de tels _produits. Cette forme _{opératorielle} serait une condition suffisante du caractère non observable. L’étude du moment _{magnétique atomique, opérateur de perturbation, permet} d’écrire sous sa forme exacte l’opérateur

du second _ordre, en _{l’énergie,} de Dirac _qui a été donné _toujours, en _présence d’un champ extérieur, sous une forme légèrement inexacte. On _montre, en même temps, que la masse intervient sous la forme opéra-torielle dans les _opérations sur des _{grandeurs quantiques.}

1. - Les

grandeurs

physiques

contenues dans

l’équation

de Dirac se divisent en _{deux groupes du}

point

de vue de leur caractère

_classique

ou

quan-tique.

Les seules

_grandeurs

₍₁₎

_{qui gardent}

un sens

précis

sur la base de la notion

_classique

de

_trajectoire

sont la

_charge

de

_{l’électron,}

sa masse et la vitesse de la lumière dans le vide. Toutes les autres

_grandeurs

sont des

_grandeurs

_q, des

_grandeurs

_{opératorielles.}

Dans le

_présent

_travail,

nous étudions ces

_opérateurs

et ceci surtout du

_point

de vue des valeurs

_probables

qu’ils

sont

_susceptibles

de

_prendre

dans les états

discrets des atomes

_{hydrogénoïdes}

donnés à

Simultanément,

ceci

_{permet d’apporter}

des

_précisions

quant

à

_{l’interprétation}

_physique

de ces

_opérateurs

et

_quant

à

_{leur étymologie.}

Dans certains cas, l’étude des valeurs propres ou

_{caractéristiques}

de diverses

grandeurs

conduit à avancer divers

_arguments

en vue de

_pouvoir

décider du caractère observable ou mesurable de la

_grandeur

en

_question

ou de deux

_grandeurs

liées

intimement entre elles.

Un résultat

_qui

semble se

_dégager

du

_présent

tra-vail consiste en la

_possibilité

de classer divers

opéra-teurs

_parmi

ceux

_qui

ne _{seraient pas associés à des}

grandeurs

physiques

observables,

qui échappent

à la

mesure. Il

_apparaît

_{que les}

_opérateurs

se

_présentant

sous la forme d’une matrice fondamentale de

_Dirac,

de

produit

de telles matrices ou de leur combinaison

li-néaire,

abstraction

faite,

bien

entendu,

du facteur dimensionnel

_qui

est un nombre c, ces

_opérateurs

ne seraient pas des observables. Nous entendons par là

qu’aucune

mesure

_physique

réelle et non _{pas mentale} ne

_peut

atteindre leurs _{valeurs propres. La forme}

d’opérateur indiquée

serait une condition suffisante du caractère non observable. Souvent ces

_grandeurs

com-plètent

d’autres

_également

non observables pour

for-(i) Rapports et discussions au 6e Conseil _Solvay, p. 2 î6. Gauthier-iillars, éditeur, Paris, 1932.

mer une observable. La condition de non

observabi-lité

_apparaît

en connexion avec _{l’étude des}

compo-santes de la vitesse

_{(dérivées temporelles}

des

coor-données)

et de l’accélération

_{qui échapperaient}

à la mesure. Ces

_grandeurs

se

_rangeraient

ainsi avec les

opérateurs intrinsèques,

dont le caractère non-obser-vable est bien connu, et avec les

_opérateurs

ax m et le

produit

des

_quatre

matrices fondamentales ai ~c2 a3 (X4,

dans un _{groupe de}

_grandeurs

dont les _{valeurs propres}

et

_partant

les valeurs

_probables

ne

_{correspondraient}

qu’à

des mesures idéales ou mentales. Le

_présent

tra-vail ne touche en rien à la difficulté actuelle de l’effet de

_polarisation

de Mott.

L’étude du moment

_magnétique

de

_l’atome,

_qui

est un

_opérateur

de

_{perturbation,}

a

_permis

d’écrire sous

une forme exacte

_{l’équation}

du second ordre de

_Dirac,

en

_{l’énergie, qui}

avait été donnée sous une forme

légè-rement inexacte en

_présence

d’un

_champ

extérieur.

En liaison avec

_ceci,

il s’est _{trouvé que la}

_grandeur

masse doit être

_prise

dans des

_opérations

sur des

grandeurs quantiques

sous la forme de

_{l’opérateur}

non observable a~ ni.

Les diverses

_grandeurs

étudiées dans ce travail

peuvent

être classées

_{approximativement}

en trois groupes, le groupe des

opérateurs

cinématiques,

celui des

_opérateurs

_dynamiques

et _{le groupe}

électroma-gnétique.

On étudiera successivement les

_grandeurs

suivantes : vitesse et accélération

_(groupe

cinéma-tique), impulsion,

moment

_cinétique

et

_spin,

force

(groupe dynamique)

et enfin les

_{moments’magnétique}

et

_{électrique intrinsèques}

et le moment

_magnétique

atomique

(groupe

électromagnétique).

Le dernier

opé-rateur n’est défini en _{réalité que} comme une

_grandeur

de

_{perturbation.}

2. - Les dérivées

temporelles

des coordonnées de l’électron définissent les

_composantes

de la vitesses.

Considérons d’abord le cas d’un électron libre.

L’opéra-teur

_énergie

est alors

et la dérivée de la

_{coordonnée xk}

est

_(i)

Il est facile de voir que

l’opérateur précédent garde

encore la même forme pour un électron en

_présence

d’un

_{champ électromagnétique.}

Soient,

en

_effet,

V et A

A,~)

les

_potentiels

scalaire et vecteur du

champ

et - e la

_charge

de l’électron.

_{L’opérateur}

₍₁₎

devient

avec

Si l’on se

_rappelle

_{que Xk} commute avcc V et

_Ak,

on

vérifie _que

₍₂₎

_représente

_{encore xk} ou _vk. Il n’en est

plus

de même avec les

_composantes

de

_{l’opérateur}

accélération. En effet

_(2),

on a _{d’abord pour le} cas de

l’opérateur

(1) :

où l’on a

_{posé :}

(5)

est donc la

_composante

l~ de

_{l’opérateur}

accélé-ration associé à un électron libre.

_{L’opérateur}

y.,

dé-pend

explicitement

des

_composantes

_{pl et p; de}

l’im-pulsion,

il en

_résulte,

et on le vérifie aisément

_qu’en

présence

d’un

_{champ électromagnétique,}

_les compo-santes de l’accélération sont :

les

_l’k

étant définis _par

_(4).

L’opérateur impulsion

est un

_opérateur

correspon-dant,

c’est-à-dire sa

_{significatiou}

est

_identique

à celle de

_{l’opérateur impulsion}

en théorie non relativiste.

Le moment

_cinétique

est

_défini,

comme on le

sait,

__ "...

par

avec

le vecteur matrice a _{étant donné par}

_(6).

(1) G. BREIT. Proc. Nat. Acad. _{Ani., 14, ~~3,} 1928

(2) Pour les dérivées _{temporelles implicites} des matrices oek et

des produits de ces matrices. Cf. 41. PRocA : _Paris, 1933

et aussi J. J. _Phys. [1], 4, 368, 1933.

Pour obtenir

_{l’expression}

_explicite

de

_{l’opérateur}

force

on

doit,

en vertu de la

_dynamique

de la relati-vité

restreinte,

calculer la dérivée

_temporelle

de

l’im-pulsion.

On

trouve,

après

un calcul

_simple

E et H

_désignant

les vecteurs

_{champs électrique}

et

magnétique.

On reconnaît dans le second membre la force de Lorentz avec à la

_place

de

v‘.

c

Parmi les

_{opérateurs intrinsèques,}

nous avons

_déjà

rencontré

_{l’opérateur spin}

s donné par

(10);

nous étu-dierons encore les

_grandeurs

_{intrinsèques}

sui-vantes :

les moments

_magnétique

et

_électrique

respective-ment.

Nous nous _{occuperons finalement du moment}

ma-gnétique atomique,

qui

n’est

_qu’un

_opérateur

défini à l’aide de la théorie des

_{perturbations.}

3. - Connaissant la forme

explicite

des

_grandeurs

à

étudier on

_peut

_{passer maintenant à l’évaluation des} valeurs

_{probables qui}

leur sont associées dans les états discrets des atomes

_{hydrogénoïdes.}

Considérons d’abord les

_composantes

de la vitesse vk. Ces

composantes

s’expriment, d’après

(2),

par cak. La valeur

probable

ou _{valeur moyenne de cet}

opérateur

dans un état

_donné

est définie _par

avec

On vérifie facilement dans le cas des électrons libres que pour une solution

_{nionochromatique}

donnée les

valeurs _moyennes

₍₁₃₎

se réduisent aux

_composantes

de la vitesse relativiste

_classique

_(i).

Pour calculer

maintenant

(13)

dans les états discrets des atomes

hydrogénoïdes,

on doit y

_remplacer

les fonctions

propres associées à ces états. Ces fonctions normali-sées à l’unité

_{sont (2) :}

niveaux : n, = 1

-~-1/Z, j~a~

(on

écrira m au lieu de il est

_{demi-entier).}

(1~ Cf. L. DE BROGLIE. L’électron rnagnellqup, p. 165. Hermann et éditeurs, Paris, 1933.

(2) Cf. H. BETHE. Handbucfi d. _Phys.,

_Springer,

_Berlin,

1933.

les

_{Yr,s (H,}

_cp)

sont des fonctions

_sphériques

zonales

nor-malisées à

_l’unité;

Les fonctions radiales réelles

_f

_{et g}

ont la forme

eapli-cite

suivante,

en introduisant la variables sans

dimen-1!.t’

_{désigne l’énergie}

totale de

_{l’électron,}

son

énergie

au repos ru c2

comprise.

Les fonctions

Ii

et

}/2

sont les suivantes :

ce sont des fonctions

_{hypergéométriques}

continentes

qui

se réduisent ici à des

simples polynômes,

le para-mètre a étant un entier

_négatif.

Les fonctions radiales sont normalisées à l’unité suivant

Rappelons

que le -choix des matrices fondamentales ah

auquel correspond

la forme

précédente

des fonc-tions propres est celui

qui

dérivée des matrices de second rang de Pauli

suivant la

_règle

bien connue.

Considérons d’abord les densités des valeurs moyen-nes des

_composantes

delà vitesse

_(on

_désignera

_{par Do} la _{densité des valeurs moyennes de}

_{l’opérateur}

_{o) :}

On vérifie facilement à l’aide des fonctions

précéden-tes que seules les densités

composantes

Dv,

et

_Dl’2

sont différentes de zéro. Mais les valeurs moyennes v,

(n,

l, j

~= 1 ±

₁₂₎

et V2 sont _{nulles. Les valeurs moyennes des}

composantes

cartésiennes de la vitesse dans les états

stationnaires discrets

_{représentés}

par les solutions

(15)

et

₍₁₆₎

sont nulles. On

_peut

alors passer des

compocan-tes cartésiennes aux

_composantes

_polaires.

On trouve

alors que

où

_{les ai}

et _{sont donnés par}

₍₁₅

_â)

et

₍₁₆

_a)

et les

(.x)

sont les

_polynômes

de

_Legendre

_{associés de} pre-mière

_espèce

normalisés à l’unité.

Rappelons

que des deux fonctions

radiales,

f’ est la

petite

fonction et que

f-

0

_lorsq-Lie

c - _{o, tandis que}

,q tend vers la fonction radiale normalisée à l’unité des

fonctions _propres

_{hydrogénoïdes}

de la théorie de

Schrodinger.

Il en _{résulte que}

montrant que la densité

d’opérateur

Dv~

n’a pas de

correspondant

en théorie non

relativiste.

On passe maintenant facilement des densités aux valeurs moyennes

après

intégration

sur tout

_l’espace.

On rencontre au cours de ce

_calcul,

_{d’après (20, a)}

et

(2d,

à) , deux

intégrales,

une

_angulaire

et une radiale

et

Comme ces

_expressions

sont

_compliquées

nous nous bornons ici à donner les valeurs moyennes

de v--

dans divers états discrets de nombre

_quantique

azimutal /

donné.

-On trouve en laissant de côté l’indice ?, pour v dans

les états s :

Dans les états

_{p, j}

=

3/2

on a :

et dans les états

_{p, j}

_{== 1/2}

on a :

On voit que

Cette

_égalité

des _{valeurs moyennes de} vd, dans ces

états

_qui

coïncident

_{énergétiquement,}

_{net cependant}

pas

générale.

Comme le

_produit

est 2 7t on voit que les valeurs moyennes v

(n, 1,

j,

ni)

ne

_dépendent

_pas

_{de c,}

la vitesse de la lumière dans le vide. Il en _{résulte que} l’on ne

_peut,

sur ces _{valeurs moyennes, effectuer le} passage à la limite c - oo comme c’était le cas _pour

Dv~.

Il

_apparaît

_{donc que pour l’étude}

_{étymologique}

d’un

_opérateur

o on doit utiliser Do et non _pas o.

4. Le

_{problème qui}

se _pose maintenant est de savoir si la théorie ne _{contient pas} un

_opérateur

correspon-dant à

_{l’opérateur}

vitesse non

relativiste,

Il semble bien

_qu’un

tel

_opérateur

_{existe {1).}

Les

_composantes

se

déduiraient des

_composantes

_d’espace

_{du quadrivecteur}

vitesse,

ou vitesse

_d’Univers,

_par une méthode de

correspondance.

On _{sait que les}

_composantes

_d’espace

xk sont données à l’aide des

composantes

Vo,

VA-(k

==: 1,

2,

3)

du

_{quadrivecteur}

_{par la relation}

avec, encore

(1) V. Focg a attiré l’attention sur ce _point, Z.

Physik,

55, 127,

1929.

Ces mêmes relations seraient encore vraies en théo-rie de Dirac tout au moins en absence de

_champ

lnagné-tique,

à condition de

_remplacer

vo par

l’opérateur

Vo

où H est

_{l’opérateur}

-

e V

_-f-

(a p)

c

₊

c2. Les

composaiites VI,

de

_{l’opérateur}

cherché sont donc

Si l’on admet que a

_pjc

est

_{plus petit}

devant ai in on voit que l’on a

_{approximativement}

ce

_{qui indique}

l’intervention de la masse sous la forme

opératorielle;

il est clair

_qu’à

la limite

qui

n’est autre _{que la} vitesse non relativiste.

D’après

Fock ce serait

_{l’opérateur}

_Vkqui

_correspond

à la vitesse véritable

_{corpusculaire}

en théorie de Dirac

malgré qu’elle n’y

intervient pas directement.

L’opéra-teur avec les

_composantes

c

_{ak aurait}

le caractère d’une vitesse ondulatoire. On

_peut

le

_rapprocher,

en

_effet,

de la vitesse d’une

_perturbation

ondulatoire

_qui

se _propage avec la même vitesse dans toutes _{les directions et pour}

laquelle

il n’a aucun sens de former la somme des carrés des

_composantes,

comme c’est le cas _{pour les} c _ak. Cet

opérateur correspondrait

à la vitesse de

_phase

de

de Broglie et qui

en théorie de Dirac ne

_pourrait

_prendre

que les valeurs ± c.

En vertu de cette

_{interprétation, l’opérateur}

_{c ak} ne

serait pas une observable

puisqu’une

vitesse de

_phase

ne _{l’est pas. Ceci éliminerait}

_également

les difficultés que

comportait

l’essai

d’interprétation

des

composantes

c _ak, comme on le verra

_plus

loin. La limite nulle de

D

_{(c akj}

_pour c -~ oc

_{s’expliquerait également;}

cet

opérateur

n’aurait aucun

_{correspondant}

en théorie de

Schrôdinger,

dont le formalisme ne _{contient pas la} vitesse de

_phase.

D’un autre

_côté,

le rôle fondamental que

joue l’opérateur

c ak dans la

description

des

phéno-mènes d’interaction de l’électron et du

_champ

électro-magnétique, malgré

que cet

opérateur

semble

_échapper

à la mesure, ne _{doit pas étonner}

_puisque

la

_plupart

des

opérateurs

en les

_{matrices ak}

_{n’interviennent que} sous forme de

_complément

nécessaire dans les

_grandeurs

physiques

mesurables de la

_théorie,

en

_analogie,

_par

exemple,

avec

_{l’énergie potentielle qui complète}

l’éner-gie

cinétique

pour donner la

grandeur

énergie qui

seule est atteinte

_{par la}

mesure.

82

solutions

_{monochromatiques}

associées aux électrons libres

_(’).

Il n’est pas sans intérêt de

_rappeler

ici la situation que l’on rencontre _{à propos de la vitesse} en théorie de

Schrôdinger.

Ici aussi on rencontre deux sortes de

vitesses,

plus

exactement on définit une densité

_{opératorielle}

à

_partir

de l’absence de

_divergence

du vecteur densité de

cou-rant,

dont

_{l’expression}

bien connue est

D’un autre

_côté,

les dérivées

_temporelles

des coor-données .xk conduisent à

l’opérateur

ayant

les

compo-santes

Il se

_trouve,

en

_{explicituut (29),}

_{que seul} est

différent de zéro dans les états

_{hydrogénoïdes}

_discrets,

par contre

DV (0)

et D existent mais ils sont

imagi-naires. D

Vf

coïncide avec

Dv~°’

et

_{l’on a pour} ces den-sités en

désignant

un

_instant,

)ar p,

la masse de

l’élec-tron.

av,,c

les étant les

_parties

radiales normalisées à l’unité des fonctions

_{hydrogénoïdes.}

Comme est

_égal

à

_Zjan2,

a _{étant le rayTon de} l’orbite fondamen-tale de

_{Bohr, on a (2)}

On

trouve,

en

_{particulier :}

-.

(1) On démontre également (Cf. Y. FocK, loc. crt ) que les élé. mPnts de matrices ïjoît diagonaux I,rs) du et de YI. tendent

vers la même limite pour les nombres quantiques très _grands

(r, s très grand, r - s _{~ 0’.).}

(2) Pour le calcul de (1, cf. la Note 1.

5. -

L’opérateur

accélération _a les

composantes

suivantes :

où les

_{matrices G}

_{et e~ sont définies par}

_(6).

On vérifie tout _{d’abord facilement que les valeurs}

de

_{l’opérateur précédent}

sont

_nullespour

une solution

_{monochromatique}

associée à un électron libre. Il n’en est _pas de même des valeurs de

_(à).

On

trouve,

en _{effet pour} ces _{valeurs propres}

1,~f~

associées les deux valeurs

_égales

et de

_signe

contraire sui-vantes :

Ce résultat

_{paraît paradoxal ;}

il est en effet difficile de concevoir

_qu’une

mesure, si elle est

_{possible, puisse}

donner pour un

_électron,

dont t on a affirmé

_qu’il

est

libre,

une accélération différente de zéro. Certes on

pourrait

dire ici que l’existence cles valeurs propres

(33),

toujours

différentes de zéro n’est pas en contradiction immédiate avec le fait que l’électron est libre

_puisque

l’opérateur

force,

dans ce _{cas, est}

_{identiquement}

nul. Il se _pose

_ici,

il nous

_semble,

un

_problème

relatif à

l’interprétation

quantitative

du fait que l’électron est

libre.

_Que

_signifie,

_pour ce

_{qui regarde}

un _{processus de} mesure

_ultérieur,

l’affirmation _{que l’électron} est

_libre,

se souvenant de ce _{que cette affirmation est} condi-tionnée par une sorte

_{d’expérience}

sur cet électron.

On doit se demander

_également

_par

_{quelle expérience}

peut-on

atteindre les valeurs

_{(333). rappelons,encore}

une

fois,

que

l’opérateur

accélération n’a pas de lien immé-diat avec

_{l’opérateur}

_force,

tout comme

_{l’opérateur}

ci, n’en a _pas avec _{v~. Par}

_définition,

_{Ik’ la dérivée}

temporelle

de elk mesurerait la variation de ce dernier pour un intervalle de

_temps

~t très

_petit.

Donc,

deux mesures de vitesse successives faites à des instants suffisamment

_{rapprochés pourraient,}

semble-t

il,

ren-seigner

sur les valeurs

_{caractéristiques}

_{de y.}

Bal).pe-l ons,

en

_effet,

qu’il

_s’agit

ici de mesures esseittiellemen

répétables puisque

1 on ne absolument rien de l’état de l’électron avant les _mesures, en dehors du

fuit

qu’il

est libre.

_Or,

dans ce _cas, les mesures, si elles sont

_possibles,

sur la

_grandeur

_ci, ne

_peuvent

donner que le résultat -~- c et ceci éternellement. La méthode de mesure en

_question

ne

_peut

_{donc pas conduire} aux valeurs propres de YI.

malgré

qu’elle

se

_présente

auto-matiquement

comme

_{pouvant renseigner}

sur la ;aria-tion dans le

_temps

_{de ci,. Il} nous _{semble que} cet état de chose est en faveur du caractère non observable de

Ik’ Il est clair que si l’on admet que cxk n’est pas

obser-vable,

Ik ne _{l’est pas} non

_plus,

à _{la condition que l’on}

puisse

démontrer

que la méthode de mesure

cepen-dant que YI-. ne se soumet

_guère

à une mesure _{parce que}

cet

_opérateur

ne _{dérive que de} et ne

_présente

aucune liaison à d’autres

_grandeurs.

Les discussions

précédentes

de c2,, et conduisent surtout à les considérer comnle des

_grandeurs

non observables.

Nous voudrions encore

_{rappeler qu’au}

début du

dé-veloppement

de la théorie on soutenait la

_possibilité

pour que le résultat d’une mesure de vitesse d’un

élec-tron soit ±c

_{puisque l’opérateur}

_{cxk n’a que} ces va-leurs propres. Du

point

de vue

_physiqne

ceci

_paraît

être difficile à

_accepter,

_puisque

l’on ne voit

_guère

qu’une

mesure non mentale

puisse

conduire à la vitesse de la _{lumière dans le vide pour} un

_corpuscule

ou entité

physique

autre que la lumière. Les valeurs

possibles

ne

_peuvent

_{être que} ~= c

_{rigoureusement,}

et non _pas

« _{presque ±} c _{» ; ; cette} limite

_{représente davantage}

le

résultat d’un _{passage à la limite mental}

_qu’une

cons-tante

_empirique

_pouvant

être atteinte par des mobiles.

L’opérateur

ne

_pourrait,

_par

_suite,

_guère

être

con-sidéré comme une observable.

Nous donnons les valeurs moyennes de y,, pour les états discrets des atomes

_{hydrogénoïdes.}

On trouve

d’abord que

l’opérateur

6~ a seul des valeurs _moyennes

différentes de zéro dans ces états. On a, en

_effet,

La

_première

_partie

de

_{l’opérateur (5)}

_[cr

X

p]k 1

me que nous

_désignons

_par

_’If’

sans

dimension,

n’a des

valeurs moyennes non nulles _{que pour Ir et} l’on trouve

pour celles-ci

A l’aide des

_expressions

_{précédentes}

on forme

im-médiatement les valeurs moyennes de la

composante

’Yr de

l’opérateur

accélération. On voit

également.

que cet

_opérateur

n’a aucun

_{correspondant}

en théorie de

Schrôdinger.

On

_trouve,

_par

_exemple,

dans l’état

_1~

qui

tend vers -

ao pour Z- 1 1 a - 137. Cette limite n’est pas en contradiction avec la limite

_analogue

de

l’opérateur

force

quoique

aucune liaison immédiate n’existe entre ces deux

_grandeurs.

6. -

a~ L’opérateur

impulsion

est un

_opérateur

cor-respondant

par excellence.

L’expression générale

des

valeurs moyennes de cet

_opérateur

est

_cependant

com-pliquée.

Nous nous bornons à donner ici les valeurs moyennes dans divers états discrets. Les seules valeurs

acceptables

sont _{fournies par la}

_composante

_{p,. On}

trouve

_alors,

et,

en

_particulier,

On remarque sur les formules

_{précédentes}

l’existence

de valeurs moyennes non nulles de

_{l’impulsion}

dans des états s.

_{Dp, (s)}

tend

_cependant

vers zéro avec

comme ceci est nécessaire. A

_part

du fait

précédent,

l’impulsion

ne

_présente

_{pas de}

_{particularités}

essen-tielles en théorie relativiste.

b)

Il n’en est pas de même pour le nioment

_cinétique.

On sait que cet

opérateur

est _{donné par}

Considérons d’abord

_{l’opérateur intrinsèque}

On vérifie facilement que seul S3 a des valeurs

84

et

_remplaçant

ici les solutions associées aux états dis-crets on trouve _{les valeurs moyennes suivantes :}

et

où les indices

₊

ou - à côté des fonctions radiales

indiquent qu’elles

se

_rapportent

_{respectivement}

à un niveau

_{avec j}

= l

₊

_1/2

_{et j}

.--- 1

_{- 1/2.}

Or,

en vertu de la condition de normalisation des fonctions

radiales.

Rappelons

que l’on a

où ~± est donné par

(~ ~a).

On trouve ainsi finalement

Voici

_quelques

valeurs

_{particulières.}

montrant

_qu’à

la limite 7 --~. 1/x 137 la valeur

moyenne du

spin

dans les états

_précédents

_peut

dé-croître

_jusqu’au

tiers de savaleur en absence de

_champ.

Il est clair

_cependant

_{que ceci} ne

_correspond

_{pas à}

une

_grandeur

observable. On trouve de même pour

L’étude de

_{l’opérateur}

moment

_cinétique

oî,bital

montre que seule la

_composante

L3

a des valeurs moyennes non nulles dans les états

_qui

nous

_occupent

et l’on

trouve,

tous calculs

faits,

donc les _{valeurs moyennes de la}

_partie

orbitale

_l,3

pré-sentent une allure

semblable,

mais en sens

_opposé,

à celle

de s3

avec le

_champ

où se trouve l’électron

_(variation

avec Z contenu en ~+ et

_E-).

Le moment

_{ca’zétigue}

total

M3

présente

les valeurs moyennes

évidentes,

Il est clair _que

_{l’opérateur précédent}

est un

_opérateur

correspondant.

c)

Supposons

maintenant _que 1 atome

_{soit placé}

dans un

_{champ magnétique}

uniforme d’intensité

H,

dirigé

dans le sens

_positif

de l’axe des z. Pour calculer

les valeurs moyennes du moment

cinétique

dans ce cas on devrait connaître les fonctions _{propres exactes de} l’atome en

_présence

du

_{champ magnétique.}

On se bornera ici aux fonctions

_{d’approximation}

d’ordre

zéro.

_{L’opérareur}

a

_cependant

_{changé, puisque}

l’impulsion

p doit être

complété

ici de

_{l’impulsion}

électromagnétique

eA,

A étant le

_potentiel

vecteur du

champ

magnétique

appliqué.

Dans le cas

_qui

nous oc-cupe,

J .

La formule

₍₅₃₎

va donc être

_augmentée

à notre

ap-proximation

de la

_{valeurmoyenne}

de

_{l’opérateur}

On

trouve,

tous calculs

_faits,

où ;2

_et,

sin26

_{représentent}

les valeurs moyennes du

Rappelons qu’en

théorie de

_Schrôdinger

on a un terme

analogue

à

₍₅₆₎

_pour

_compléter

_{les valeurs moyennes} du moment

_cinétique

en

_présence

d’un

_champ

de la forme

_(~4).

On a

_ici,

à la même

_{approximation}

que

plus

haut,

et,

Les _{valeurs moyennes de r2} en théorie de Dirac ont

une forme

_{plus compliquée}

(cf.

Note

_II).

On trouve pour l’état 1 s,

On vérifie facilement

_qu’à

la lim ite a - o ces valeurs moyennes coïncident avec celles de la théorie non re-lativiste. Les valeurs moyennes de

l’opérateur

supplé-mentaire

~,3

se conduisent comme celles de rz

et,

l’on a pour le moment

cinétique

total,

à

_{l’approximation}

indi-quée,

n3 étant donné par

_~56).

a)

Dans les atomes

_{hydrogénoïdes}

_et,

en absence de

champ

extérieur,

on a _pour

_{l’opérateur}

_force

est

la

_{composante k}

de la force

_électrique

_{que subit}

l’électron dans l’atome donc

et par

conséquent

On trouve en

_particulier

Il est _{clair que} cet

_opérateur

est un

_opérateur

corres-pondant

par excellence. On a en

effet,

en théorie non relativiste pour la force dans- les atomes

hydrogé-noïdes une

_{expression identique}

à

(63)

et ses valeurs moyennes sont

On déduit de

₍₆₇₎

_{les valeurs moyennes de} l’accéléra-tion en théorie non relativiste en divisant

₍₆₇₎

_par m, la

masse de l’électron.

7. - Nous arrivons à l’étude des

opérateurs

élec-tromagnétiques

intrinsèques.

Ces

_opérateurs

sont don-nés par

(12).

On vérifie à l’aide des fonctions

₍₁₅₎

et

(16)

que seules la

composante Jl13

du moment

magné-tique

a des valeurs moyennes non nulles. On trouve pour celles-ci :

où /~ est -

ehl!t

7B.nlC et _{z± sont donnés par}

(46)

et

(47 a) respectivement.

On remarque ici aussi comme

c’était

_déjà

le cas de

_{l’opérateur}

_spin

s3 la

symétrie

des valeurs moyennes en ces

_grandeurs

_{E± et}

_{XI. (In trouve} en

_explicitant,

dans les

_premiers

_états;

et enfin :

En

_comparant

les formules

_{précédentes}

avec _{celles que} donnent les valeurs moyennes de

l’opérateur spin

s3,

(~8)-(51),

on voit

_qu’elles

_présentent

la même allure avec

Z,

_(le

_champ

du

_noyau)

_{que celles de}

_s;.

Cepen-dant comme _s3, JES n’est pas une observable non

_plus.

Nous verrons

_plus

loin la

_grandeur

observable où entre

il-L3.

L’opérateur

moment

_électrique

n’est autre

_chose,

au facteur -

eh,

4-;: nac

_près,

_{que le} vecteurs _{matrice e que}

86

accélération. Nous y avons vu _{que seule la}

_composante

ér a des valeurs moyennes non nulles dans les états

qui

nous

_occupent.

Ces valeurs sont

et dans les

_premiers

niveaux :

Cet

_opérateur,

comme

_Jlt3,

_{n’est pas} non

_plus

obser-vable.

8. - Si les

opérateurs précédents

01-L,3

et

ne sont pas des

observables,

l’atome

_possède,

_par

_contre,

un

opérateur

moment

_magnétique,

une

_grandeur

d’ap-proximation

ou de

_{perturbation qui}

est,

tout au moins

indirectement,

une observable. On

_sait,

en

_effet,

_que

l’énergie

de

_perturbation

due à un

_{champ magnétique}

uniforme

_est,

dans le cas

_qui

nous _occupe,

elle moment

_magnétique

_{que l’on}

_peut

associer à

₍₇₄₎

est

Nous _{supposons que} l’atome soit

_placé

dans un

champ

identique

à celui défini par

(54)

donc

Le moment

_magnétique

devient alors

et les valeurs moyennes de cet

opérateur

sont,

comme

on s’en assure

_facilement,

et

et effectuant les

_calculs,

on

trouve,

désignant

_par ~(1)

(ce

_{+ 3)}

et 1’2)

_(a

₊

₃₎

deux

_{grandeurs explicitées}

dans

la’Note II,

et

On

trouve,

en

_particulier,

_{pour les}

_premiers

ni-veaux :

Ceci terminerait l’étude de

_{l’opérateur}

de

perturba-tion,

moment

_{magnétique atomique,}

défini _par

_(75).

Nous voudrions

_cependant

rendre

_plus

visible le rôle que

joue

ici la

grandeur

intrinsèque

Jll3 que nous

avons étudié

_plus

haut.

Pour obtenir une autre formé, de

₍₇₅₎

on

peut

utili-ser

_{l’opérateur}

du second ordre _{de Dirac que} l’on obtient à

_partir

de

₍₃₎

en _y

_{appliquant l’opérateur}

H

₊

e

_{VIe +}

a P

r

On

_trouve,

_après

un calcul

_simple,

le résultat bien connu, en écrivant E

_{(énergie totale)}

à la

_place

de

H,

(H, E)

étant les vecteurs

_{champ magnétique}

et

élec-trique

agissant

sur l’électron. Pour passer maintenant

de

_(8,1),

écrit en

_impulsion,

à

_{l’opérateur}

en

_ér»e»qie,

on convient de diviser

_{par 2}

m, ce

_qui

fait appa-raître dans les deux derniers termes nie. Si l’on définissait alors le momeret

_magnétique

à

_partir

de

~,~~/2 nlc2,

à l’aide des termes

_{proportionnels}

à

_H,

on trouverait

qui

n’a pas les mêmes valeurs moyennes que

(75),

donc

qui

n’est pas

l’opérateur

exact.

_Que

les termes

supplé-mentaires en a et _{i a n’étaient pas} sous une forme

con-venable dans

_{l’opérateur}

_{(JJ(2) /2}

avait été

_déjà

remarqué

par L. de

Broglie, qui

montrait

₍₂₎

_{que l’on} devait avoir cra4 et _{aa, pour} ces termes

supplémen-taires,

ceci d’une

_part

_pour éliminer

_{l’opérateur}

non

(1) Ces formules ont été données par BREIT : Nature, 1928,

120,

648. Le calcul pour l’état 1 s est donné _{explicitement} dans Morf

et

_{MASSEY :}

The _{theory of} atomic collisions, Oxforâ,1933. p. 55 Je remercie à ce _{propos 112. le Prof. Mott pour} un _échange de

hermitique

za et d’autre

_part

à cause de la variance

relativiste du tenseur densité de moments

_{intrinsèques.}

En

_réalité,

tout

_{l’opérateur}

mc’ est inexact et au lieu de diviser par2 ni, on _{doit diviser par}

_{l’opérateur}

2 _m’:J.4 ou

_opérer

sur en le

_multipliant

en arrière par

7+u m ;

on trouve

alors,

avec

₊

mec2 à la

_place

de

E,

oû Oit et 5 sont les

_opérateurs

_{intrinsèques}

étudiés

plus

haut.

_{L’opérateur}

moment

_magnétique

est donc

et

_{explicitement}

et _{les valeurs moyennes de cet}

_opérateur

se calculent

rapidement,

se

_{rappelant qu’avec}

le

_{champ (54)}

on a

et l’on

_trouve,

tous calculs

faits,

On vérifie directernent l’identité des valeurs moyennes

(84)

et

₍₇₇₎

et avec elle l’identité des

opérateurs

(75)

et

(83).

Rappelons

que y± et e± sont donnés par

(17 a)

et

_{(46) respectivement.}

L’intérêt de l’étude

_précédente

consistait à donner

aux _{valeurs moyennes N,} une forme

_{explicite simple}

pour tous les niveaux. Elle a

_permis,

en

_outre,

de

cor-riger l’équation

du second ordre de Dirac

qui

avait été donnée, en cas d’un

_champ

extérieur et écrite en

énergie, toujours

sous une forme inexacte. On

voit,

en même

_temps,

l’intervention de

l’opérateury, -,ni

dans le passage d’un

opérateur

à un autre.

_Cependant,

cet

opérateur

ne

_{peut guère}

être considéré comme

repré-sentant une observable.

_Que

la valseur propre - m de

ni n’a pas de sens

_phy·ique,

il serait difficile de

contester. Ce caractère de non _{observabilité des}

gran-deurs

_{proportionnelles}

aux matrices

_{fondamentales,}

à

leur

_produit

ou à une combinaison linéaire de ces pro-duits semble se

_dégager

du

_présent

travail. On est ainsi conduit à classer

_{l’opérateur}

à densité

_invariante,

le

_produit

_oc, a4-

_également

_parmi

les

grandeurs

non observables.

NOTE 1

Les

_{intégrales angulaires}

_{que l’on rencontre dans le} calcul de diverses valeurs moyennes sont du

type

suivant :

ou encore avec

on a

et

_développant

en série le

_produit

des deux

poly-nômes de

_Legendre,

on trouve :

les sommations sur ~, et 1,’ vont

_jusqu’à

ou suivant que 1 - _{u ou} l’ - u’ est

pair

ou

impair. L’intégrale

en

₍₃₎

_{n’est différente de zéro que}

si

_{(l - u)}

₊

_(l’

-

u’)

est

_par.

Posons :

on trouve

_{alors, lorsque}

est

_iml)air.

.. -

88

Dans le calcul _{de ci,, seul}

la

intervient.

NOTE II

Les diverses

_intégrales

radiales rencontrées dans ce travail sont de deux

types :

où à la

_place

de

_fnl

_peut

_{figurer également}

l’autre

fonction radiale Ces fonctions sont définies _{par les} formules

₍₁₇₎

à

(17 c)

du texte. L’autre

_intégrale

type

est

’

Substituant en

(1) (ni par

sa forme

_{(17 a),}

on

_trouve,

après

avoir

remplacé

la variable r _{par la variable} sans dimension

_désignée

_par u,

Posons maintenant

avec

on

_trouve,

tenant

_compte

_toujours

des relations

_(17;

à

(17 c) du

texte,

1 1

Si gnl se trouve à la

_place

de

_fni

en

_J,

on a à

rempla-cer en

₍₅₎

On trouvera de _{même pour}

_{l’intégrale 7~,}

où toutes les

_grandeurs

intervenant sont

_explicitées

dans les formules

₍₁₇₎

à

_{( 1’7}

_c).