Dispersion Absorption.

(1)

Dispersion Absorption.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

P. Ribière (Collège Stanislas) Dispersion Absorption. Année Scolaire 2017/2018 1 / 23

(2)

1 Chaˆıne infinie d’atomes avec pertes ´energ´etiques.

2 Recherche des solutions sous forme de pseudo OPPH.

3 Retour sur la propagation du son dans un solide en pr´esence de pertes.

4 Conclusion

(3)

Chaˆıne infinie d’atomes avec pertes ´energ´etiques.

Comme précédemment, les atomes du cristal sont modélisés par une chaine infinie d’atomes avec une interaction de type élastique (de raideurr, loi de Hooke), à laquelle des pertes (linéaires) sont ajoutées, modélisées elles par un frottement fluide−α^∂ξ_∂t.

Figure–Mod´elisation de l’interaction entre les atomes d’un solide.

L’équation vérifiée parξn(t) est md²ξn

dt² =−r(2ξn−ξn+1−ξn−1)−fdξn

dt

L’approximation des milieux continus, liée au fait que la distancedentre deux atomes dans le cristal est de l’ordre de 10⁻¹⁰m, donc très inférieure aux longueurs d’onde étudiées, consiste à définir une fonctionξ(x,t) de l’espace et du temps telle queξ(x=nd,t) =ξn(t).

L’´equation devient alors

∂²ξ

∂x²− 1 c²

∂²ξ

∂t² − α rd²

∂ξ

∂t = 0 avec c²=rd² m

(4)

dt

∂²ξ

∂x²− 1 c²

∂²ξ

∂t² − α rd²

∂ξ

(5)

dt

∂²ξ

∂x²− 1 c²

∂²ξ

∂t² − α rd²

∂ξ

(6)

Recherche des solutions sous forme de pseudo OPPH. Relation de dispersion

Plan

Relation de dispersion Absorption.

Dispersion, vitesse de phase et de groupe.

4 Conclusion

(7)

Une fois l’équation de propagation trouvée, les méthodes vues au chapitre précédent, de changement de variable ou de séparation des variables ne fonctionnent pas.

Pseudo Onde Plane Progressive Harmonique.

La résolution consiste à chercher la solution sous forme d’une OPPH complexe, alors appelée pseudo Onde Plane Progressive Harmonique notée OPPH* :

ξ(x,t) =Re(ξ(x,t)) avec ξ(x,t) =ξ

0.exp(jωt−jk.x)

En injectant cette OPPH* dans l’équation de propagation, on trouve l’équation liantketω, appeléerelation de dispersion.

Soitωsoitkest un complexe dans la forme OPPH*.

(8)

L’´equation de propagation de l’onde sonore avec perte (frottement fluide) est la suivante :

∂²ξ

∂x²− 1 c²

∂²ξ

∂t² − α rd²

∂ξ

En cherchant des solutions de type pseudo Onde Plane Progressive Harmonique, OPPH*, la relation de dispersion trouv´ee est la suivante :

−k²+ω² c² − α

rd²jω= 0

Siα= 0, alors la relation de dispersion est celle de d’Alembert (propagation sans d´eformation ni att´enuation.)

Siα6= 0, alors la relation de dispersion n’est pas celle de d’Alembert. En supposantωréel, k est complexe, la solution est alors appelée pseudo OPPH notée OPPH*.

(9)

La relation de dispersion des ondes sonores avec pertes (lin´eaires) est la suivante :

−k²+ω² c² − α

rd²jω= 0 En supposantωr´eel, k est complexe.

Pour d´egager le contenu physique de la relation de dispersion, posons donc k(ω) =k⁰(ω) +jk”(ω).

Interpr´ etation de la pseudo Onde Plane Progressive Harmonique.

Pour dégager le sens physique dek⁰etk”, il faut revenir à l’onde en réel. ξ(x,t) =Re(ξ(x,t)) =ξ0exp(k”.x) cos(ω.t−k⁰.x−ϕ0)

(10)

La relation de dispersion des ondes sonores avec pertes (lin´eaires) est la suivante :

−k²+ω² c² − α

rd²jω= 0 En supposantωr´eel, k est complexe.

Pour d´egager le contenu physique de la relation de dispersion, posons donc k(ω) =k⁰(ω) +jk”(ω).

Interpr´ etation de la pseudo Onde Plane Progressive Harmonique.

Pour dégager le sens physique dek⁰etk”, il faut revenir à l’onde en réel.

ξ(x,t) =Re(ξ(x,t)) =ξ0exp(k”.x) cos(ω.t−k⁰.x−ϕ0)

(11)

Recherche des solutions sous forme de pseudo OPPH. Absorption.

Plan

4 Conclusion

(12)

Recherche des solutions sous forme de pseudo OPPH. Absorption.

Influence de k ” sur l’amplitude : absorption.

Le fait quek possède une partie imaginairek”6= 0 donne naissance à un terme exponentiel réel, qui influe alors sur l’amplitude de l’onde.

Dans la majorité des cas,k”<0, l’amplitude décroˆıt exponentiellement dans l’espace, caractéristique d’un amortissement dû aux pertes énergétiques.

Le milieu est alors ditabsorbantLe cas de l’amplification,k”>0, est rare mais possible dans les LASER par exemple.

Revenons au cas le plus fr´equent o`uk”(ω)<0.

L’absorption s’effectue sur une distance caract´eristique d= 1

|k⁰⁰| .

Au del`a d’une distance de quelquesd, l’onde ne se fait plus sentir.

Exemple : spectrophotométrie : absorption de la lumière par une substance colorée.

(13)

Recherche des solutions sous forme de pseudo OPPH. Dispersion, vitesse de phase et de groupe.

Plan

4 Conclusion

(14)

Pour ´etudier la dispersion, pla¸cons nous dans la suite dans le cas d’un milieutransparent, i.e.

sans absorption ni amplification :k” = 0.

La phase de la pseudo- Onde Plane Progressive Harmonique est ϕ(x,t) =ωt−k⁰x−ϕ0

et elle se propage par d´efinition, `a la vitesse de phasevϕ= _k0^ω(ω).

Dispersion.

La vitesse de phasevϕdépend, dans le cas général, de la pulsationωde l’onde étudiée, tant et si bien que deux ondes de pulsations différentes n’ont pas la même vitesse de propagation.

Les ondes de pulsation différentes ne se propagent pas de la même manière, elles sont dispersées.

Le milieu est ditdispersif.

Pour bien comprendre le phénomène de dispersion, il ne faut donc pas se contenter d’étudier une seule OPPH^∗mais une superposition d’OPPH^∗appeléepaquet d’onde.

(15)

Pour ´etudier la dispersion, pla¸cons nous dans la suite dans le cas d’un milieutransparent, i.e.

sans absorption ni amplification :k” = 0.

La phase de la pseudo- Onde Plane Progressive Harmonique est ϕ(x,t) =ωt−k⁰x−ϕ0

et elle se propage par d´efinition, `a la vitesse de phasevϕ= _k0^ω(ω).

Dispersion.

La vitesse de phasevϕdépend, dans le cas général, de la pulsationωde l’onde étudiée, tant et si bien que deux ondes de pulsations différentes n’ont pas la même vitesse de propagation.

Les ondes de pulsation différentes ne se propagent pas de la même manière, elles sont dispersées.

Le milieu est ditdispersif.

Pour bien comprendre le phénomène de dispersion, il ne faut donc pas se contenter d’étudier une seule OPPH^∗mais une superposition d’OPPH^∗appeléepaquet d’onde.

(16)

Commen¸cons simplement par l’´etude de deux OPPH de pulsation voisine, et pour plus de simplicit´e, prenonsk” = 0 (pas d’absorption).

Deux OPPH de pulsation voisine :ω1=ω0−^∆ω₂ etω2=ω0+^∆ω₂ avec ∆ω << ω0. Donck₁⁰=k⁰(ω) =k₁⁰(ω0−^∆ω₂ ) =k⁰(ω0)−^∆ω₂ ^dk_dω⁰(ω0) +...=k₀⁰−^∆k₂⁰

k₂⁰=k(ω) =k₁⁰(ω0+^∆ω₂ ) =k⁰(ω0) +^∆ω₂ ^dk_dω⁰(ω0) +...=k₀⁰+^∆k₂⁰

L’onde r´esultante de cette superposition s’´ecrit :

ξ(x,t) =A0cos(ω1.t−k₁⁰.x) +A0cos(ω2.t−k₂⁰.x) ξ(x,t) = 2.A0cos(ω2−ω1

2 .t−k₂⁰−k⁰1

2 .x) cos(ω2+ω1

2 .t−k₂⁰+k⁰1 2 .x) ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω

2 .t−∆k⁰

2 .x) cos(ω0.t−k₀⁰.x) ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω

2 .(t−∆k⁰

∆ω.x)) cos(ω0.t−k₀⁰.x) ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω

2 .(t−dk⁰

dω.x)) cos(ω0.t−k₀⁰.x) Cette expression fait apparaˆıtre deux termes :

l’onde moyenne de pulsationω0qui se propage `a la vitessevϕ=^ω_k⁰0 0. l’enveloppe de l’onde qui se propage `a la vitesse de groupevg=^∆ω_∆k = ^dω_dk.

(17)

k₂⁰=k(ω) =k₁⁰(ω0+^∆ω₂ ) =k⁰(ω0) +^∆ω₂ ^dk_dω⁰(ω0) +...=k₀⁰+^∆k₂⁰ L’onde r´esultante de cette superposition s’´ecrit :

2 .t−k₂⁰−k⁰1

2 .x) cos(ω2+ω1

2 .t−k₂⁰+k⁰1 2 .x) ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω

2 .t−∆k⁰

2 .(t−∆k⁰

2 .(t−dk⁰

dω.x)) cos(ω0.t−k₀⁰.x)

Cette expression fait apparaˆıtre deux termes :

l’onde moyenne de pulsationω0qui se propage `a la vitessevϕ=^ω_k⁰0 0. l’enveloppe de l’onde qui se propage `a la vitesse de groupevg=^∆ω_∆k = ^dω_dk.

(18)

k₂⁰=k(ω) =k₁⁰(ω0+^∆ω₂ ) =k⁰(ω0) +^∆ω₂ ^dk_dω⁰(ω0) +...=k₀⁰+^∆k₂⁰ L’onde r´esultante de cette superposition s’´ecrit :

2 .t−k₂⁰−k⁰1

2 .x) cos(ω2+ω1

2 .t−k₂⁰+k⁰1 2 .x) ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω

2 .t−∆k⁰

2 .(t−∆k⁰

2 .(t−dk⁰

dω.x)) cos(ω0.t−k₀⁰.x) Cette expression fait apparaˆıtre deux termes :

ω

(19)

Superposition de deux OPPH de pulsation voisine sans absorption.

ξ(x,t) = 2.A0cos(∆ω 2 .(t−dk⁰

dω.x)) cos(ω0.t−k₀⁰.x)

Figure–Superposition de deux ondes voisines : battement . Cette expression fait apparaˆıtre deux termes :

l’onde moyenne de pulsationω0qui se propage `a la vitessevϕ=^ω_k⁰0 0

. l’enveloppe de l’onde qui se propage `a la vitesse de groupevg =^∆ω_∆k =^dω_dk.

Par ailleurs, l’onde résultante de cette superposition de deux ondes n’est plus, à strictement parlé, d’extension infinie : l’onde commence àse localiser.

(20)

Regardons l’effet sur la localisation, de la superposition d’ondes de pulsation voisine :

Figure–Une Onde Plane Progressive Harmonique .

L’Onde Plane Progressive Harmonique est parfaitement monochromatique et d´elocalis´ee, i.e.

d’extension infinie.

(21)

Regardons l’effet sur la localisation, de la superposition d’ondes de pulsation voisine :

Figure–Paquet de deux ondes de pulsation voisine.

La superposition de deux Ondes Planes Progressives Harmoniques n’est plus monochromatique et commence `a se localiser, i.e. des annulations apparaissent dans la fonction d’onde.

(22)

Regardons l’effet de la superposition d’onde de pulsation voisine :

Figure–Paquet d’onde de 6 ondes de pulsations voisines.

La superposition de six Ondes Planes Progressives Harmoniques n’est plus monochromatique et se localise, i.e. des annulations (plus importantes) apparaissent dans la fonction d’onde.

(23)

Pour étudier un problème d’onde dont l’équation de propagation est linéaire à coefficient constant (sans absorption), il faut procéder comme tel :

1 utiliser la d´ecomposition de Fourier de l’excitation ξ(x= 0,t) = ”X

ω

”a(ω) exp(jωt) = Z

ω

ˆ

a(ω) exp(jωt)dω

2 ´etudier la propagation de chacune des composantes ξ(x,t) =

Z

ω

ˆ

a(ω) exp(jω(t− x vϕ(ω)

))dω= Z

ω

ˆ

a(ω) exp(jωt−jk⁰(ω)x)dω

3 en d´eduire alors la d´eformation du signal

Propagation d’un paquet d’ondes.

Le signal r´eel (physique) est la superposition de toutes les composantes de Fourier, nomm´ee paquet d’ondes.

ξ(x,t) =X

ω

a(ω) exp(jωt−jk⁰(ω)x) = Z

ˆ

a(ω) exp(jωt−jk⁰(ω)x)dω Ce paquet d’onde poss`ede une extension spatiale et temporelle finie, il estlocalis´e.

Plus l’onde est monochromatique ∆ωfaible, plus son extension est grande.

(24)

Pour extraire de l’information sur la déformation du signal, on se limite au cas où toutes les ondes qui composent le paquet d’ondes ont une pulsation voisine d’une pulsation moyenneω0et donc nous allons faire un Développement Limité au voisinage deω0:

ω=ω0+ (ω−ω0) =ω0+δω k⁰(ω) =k⁰(ω0) +dk⁰

dωω₀(ω−ω0) =k₀⁰+dk⁰ dωω₀δω En rempla¸cant dans les expressions, il vient :

ξ(x,t) =X

ω

a(ω) exp(j(ω0+δω)t−j(k₀⁰+dk⁰ dω0

δω)x) = Z

ˆ

a(ω) exp(j(ω0+δω)t−j(k₀⁰+dk⁰ dω0

δω)x)dω

Soit, en sortant de la somme les terme devenu ind´ependant deω: ξ(x,t) = exp(jω0t−jk₀⁰x)X

ω

A(ω) exp(jδωt−jdk dω0

δωx)

(25)

ξ(x,t) = exp(jω0t−jk₀⁰x)X

ω

A(ω) exp(jδωt−jdk dωδωx)

Vitesse de Groupe.

Le premier terme exp(jω0t−jk₀⁰x) d´esigne la propagation de l’onde moyenne alors que P

ωA(ω) exp(jδω(t−^dk_dω⁰)x) d´esigne la propagation de l’enveloppe du signal, dont la vitesse de propagation est lavitesse de groupe:

vg= dω dk⁰)ω0

La vitesse de phase diffère donc de la vitesse de groupe, ce qui fait que le paquet d’onde se déforme en se propageant. Tel est la caractéristique d’un phénomène dispersif.

Figure–D´eformation du paquet d’onde dans un milieu dispersif.

(26)

ξ(x,t) = exp(jω0t−jk₀⁰x)X

ω

A(ω) exp(jδωt−jdk dωδωx)

Vitesse de Groupe.

Le premier terme exp(jω0t−jk₀⁰x) d´esigne la propagation de l’onde moyenne alors que P

ωA(ω) exp(jδω(t−^dk_dω⁰)x) d´esigne la propagation de l’enveloppe du signal, dont la vitesse de propagation est lavitesse de groupe:

vg= dω dk⁰)ω0

La vitesse de phase diffère donc de la vitesse de groupe, ce qui fait que le paquet d’onde se déforme en se propageant. Tel est la caractéristique d’un phénomène dispersif.

(27)

Retour sur la propagation du son dans un solide en pr´esence de pertes. Retour sur la propagation du son dans un solide en pr´esence de pertes.

Plan

Retour sur la propagation du son dans un solide en pr´esence de pertes.

4 Conclusion

(28)

k²=ω² c² − α

rd²jω k²=ω²

c²(1−j αc² rd²ω) Etude haute fr´equence (ou pour des frottements faibles).

DL0

k²'^ω²

c² Relation de dispersion de d’Alembert, sans att´enuation ni dispersion.

DL1

k' ^ω_c(1−j ^fc²

2rd²ω) Relation de dispersion. k⁰= ^ω_c doncvϕ=cmilieu non dispersif.

k⁰⁰=_2rd^fc2 <0 milieu absorbant (toutes les ondes sont absorbées de la même manière. DL2

k= ^ω_c(1−j_2rd^fc²2ω− ^f²^c⁴

8r²d⁴ω²) Relation de dispersion. k⁰= ^ω_c(1− ^f²^c⁴

4r²d⁴ω²) doncvϕd´epend de la pulsation : milieu dispersif.

k⁰⁰=_2rd^fc₂ <0 milieu absorbant (toutes les ondes sont absorbées de la même manière. Remarque : dispersion et absorption sont liées par le principe de causalité mais les deux phénomènes peuvent apparaˆıtre à des ordres différents, comme le montre l’exemple ci dessus.

(29)

k²=ω² c² − α

rd²jω k²=ω²

DL0

k²'^ω²

DL1

k' ^ω_c(1−j ^fc²

2rd²ω) Relation de dispersion.

k⁰= ^ω_c doncvϕ=cmilieu non dispersif.

k⁰⁰=_2rd^fc₂ <0 milieu absorbant (toutes les ondes sont absorbées de la même manière.

DL2

k= ^ω_c(1−j_2rd^fc²2ω− ^f²^c⁴

8r²d⁴ω²) Relation de dispersion. k⁰= ^ω_c(1− ^f²^c⁴

k⁰⁰=_2rd^fc₂ <0 milieu absorbant (toutes les ondes sont absorbées de la même manière. Remarque : dispersion et absorption sont liées par le principe de causalité mais les deux phénomènes peuvent apparaˆıtre à des ordres différents, comme le montre l’exemple ci dessus.

(30)

k²=ω² c² − α

rd²jω k²=ω²

DL0

k²'^ω²

DL1

k' ^ω_c(1−j ^fc²

DL2

k= ^ω_c(1−j_2rd^fc²₂_ω− ^f²^c⁴

8r²d⁴ω²) Relation de dispersion.

k⁰= ^ω_c(1− ^f²^c⁴

Remarque : dispersion et absorption sont liées par le principe de causalité mais les deux phénomènes peuvent apparaˆıtre à des ordres différents, comme le montre l’exemple ci dessus.

(31)

k²=ω² c² − α

rd²jω k²=ω²

DL0

k²'^ω²

DL1

k' ^ω_c(1−j ^fc²

DL2

k= ^ω_c(1−j_2rd^fc²₂_ω− ^f²^c⁴

8r²d⁴ω²) Relation de dispersion.

k⁰= ^ω_c(1− ^f²^c⁴

Remarque : dispersion et absorption sont liées par le principe de causalité mais les deux phénomènes peuvent apparaˆıtre à des ordres différents, comme le montre l’exemple ci dessus.

(32)

Conclusion

L’équation de d’Alembert étudié au chapitre précédent est une équation qui invariante par retournement temporelle (i.e. par changement det→t⁰=−t, le terme de dérivée seconde ne change pas.).

L’équation traduit donc un phénomène réversible.

Il n’y a aucune perte dans les ´etudes du chapitre 1.

L’équation trouvée dans ce chapitre est une équation dont le coefficient−^α

rd²

∂ξ

∂t n’est pas invariant par retournement temporelle, il deviendrait +_rd^α₂_∂t^∂ξ0.

L’équation traduit donc un phénomène irréversible.

Les frottements sont responsables de cette irr´eversibilit´e.

Le retournement temporelle conduirait à une amplification au lieu d’une absorption, ce qui n’a pas de sens en l’absence d’énergie extérieure apportée.

(33)

Conclusion

Retour sur la propagation du son dans un solide en pr´esence de pertes.

4 Conclusion