Exercices préparation au brevet blanc 2017 1

1

On définit la fonction f par f : x  -2x² + 3 1) Calculer les images de -1 et 2

3 par f.

2) Compléter ce tableau de valeurs de la fonction f.

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

f(x)

3) Représenter graphiquement la courbe représentant la fonction f pour des valeurs de x comprises entre -2 et 2 dans le repère suivant :

2

ABC est un triangle tel que : AB = 4,2 cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm.

On a : M [BC] , P [BA], Q [AC]

On veut connaître la position du point M sur le segment [BC] pour que l’aire du quadrilatère APMQ soit

maximale.

PARTIE A :

1) Justifier que le triangle ABC est rectangle.

2) En déduire la nature du quadrilatère APMQ PARTIE B :

Dans cette partie on suppose que : BM = 2,5 cm 1) Montrer que BP = 1,5 cm et PM = 2 cm.

2) Calculer l’aire du rectangle APMQ.

PARTIE C :

Dans cette partie, on note x la longueur BM en centimètres.

1) Expliquer pourquoi on a : 0 x 7

2) On note f la fonction qui à x associe l’aire rectangle APMQ.

On donne la représentation graphique ci-dessous de la fonction f.

3

cm².

b) Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l’aire du rectangle APMQ est maximale.

Exercice 3 :

La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur.

Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.

On donne les longueurs : IP = 5 cm; IG = 7 cm;

IY = 1,4 cm; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm.

1) Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles.

2) Calculer le périmètre du triangle IGP.

Exercice 4

Exercice 5 : Développement et factorisation On donne B = (-2x + 1)² - 3(-2x + 1)(x – 2).

a) Développer et réduire B.

b) Démontrer que l’expression factorisée de B est : B = (-2x + 1)(-5x + 7).

CORRECTION

4

On définit la fonction f par f : x  -2x² + 3

1) Calculer les images de -1 et 2 3 par f f(-1) = -2(-1)² + 3 = -21 + 3 = -2 + 3 = 1

f

  

 



3 = -2

 



 





+ 3 = -24

9+ 3 = -8 + 93

9 = -8 + 27 9 = 19

9 2) Compléter ce tableau de valeurs de la fonction f.

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

f(x) -5 -1,5 1 2,5 3 2,5 1 -1,5 -5

3) Représenter graphiquement la courbe représentant la fonction f pour des valeurs de x comprises entre -2 et 2 dans le repère suivant :

CORRECTION

5

ABC est un triangle tel que : AB = 4,2 cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm.

On a : M [BC] , P [BA], Q [AC]

On veut connaître la position du point M sur le segment [BC] pour que l’aire du quadrilatère APMQ soit

maximale.

PARTIE A :

1) Justifier que le triangle ABC est rectangle.

Le plus long côté du triangle ABC est [BC].

BC² = 7² = 49

AB² + AC² = 4,2² + 5,6² = 17,64 + 31,36 = 49

L'égalité de Pythagore BC² = AB² + AC² étant vérifiée alors le triangle ABC est rectangle en A.

2) En déduire la nature du quadrilatère APMQ.

Le triangle ABC étant rectangle en A, l'angle BAC est droit.

Le quadrilatère APMQ ayant 3 angles droits est donc un rectangle.

PARTIE B :

Dans cette partie on suppose que : BM = 2,5 cm 3) Montrer que BP = 1,5 cm et PM = 2 cm.

Les droites (PM) et (AC) sont parallèles car les côtés opposés [PM] et [AQ] du rectangle APMQ sont parallèles.

Comme M  [CB] et Q  [CA] et (PM) // (AC), on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BPM et BAC :

BP BA =

BM BC =

PM AC Soit : BP

4,2 = 2,5

7 = PM 5,6

CORRECTION

6

7 = 1,5 cm et PM = 5,62,5

7 = 2 cm.

4) Calculer l’aire du rectangle APMQ.

AAPMQ = APPM = 2,72 = 5,4 cm² PARTIE C :

Dans cette partie, on note x la longueur BM en centimètres.

3) Expliquer pourquoi on a : 0 x 7.

M  [BC] donc BB  BM  BC Soit 0  x  7

2) On note f la fonction qui à x associe l’aire rectangle APMQ.

On donne la représentation graphique ci-dessous de la fonction f.

c) Par lecture graphique, trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle APMQ est de 3 cm².

On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est 3.

On lit environ : 1,1 cm et 5,9 cm.

d) Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l’aire du rectangle APMQ est maximale.

On lit l'abscisses du point le plus haut de la courbe.

On lit environ 3,5 cm.

CORRECTION

7

Exercice 3

La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur.

Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.

On donne les longueurs : IP = 5 cm; IG = 7 cm; IY = 1,4 cm; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm.

1) Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles.

D'une part IP IT =

5

1 = 5 et d'autre part IG IY =

7 1,4 = 5

Les points P,I, T ainsi que les points G, I, Y sont alignés dans cet ordre et IP IT =

IG

IY, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (PG) et (YT) sont parallèles.

2) Calculer le périmètre du triangle IGP.

Périmètre de IGP = IP + IG + PG = 5 + 7 + PG = 12 + PG Calcul de PG :

Les points P,I, T ainsi que les points G, I, Y sont alignés dans cet ordre et les droites (PG) et (YT) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IPG et ITY :

IP IT =

IG IY =

PG YT

Soit : PG 0,8 = 5

Donc PG = 50,8 = 4 cm

Et Périmètre de IGP = 12 + 4 = 16 cm

CORRECTION

8

a) Moyenne Marrakech = 19 + 19 + 26 + 24 + 5 + 2 + 0 + 2 + 6 + 14 + 17 + 18

12

= 152

12  12,7

Moyenne Pointe-à-Pitre = 44 + 30 + 34 + 39 + 64 + 55 + 58 + 95 + 86 + 118 + 112 + 70

12

= 805

12  67,1

Etendue Marrakech = Max – min = 26 – 0 = 26 Etendue

= Max – min = 118 – 30 = 88

Pour déterminer la médiane, il faut ordonner les deux séries : Marrakech : 0 – 2 – 2 – 5 – 6 – 14 – 17 – 18 – 19 – 19 – 24 – 26

Point-à-Pitre : 30 – 34 – 39 – 44 - 55 – 58 – 64 – 70 – 86 – 95 – 112 – 118

La médiane correspond à la valeur centrale : soit entre la 6

et la 7ème valeur.

On peut prendre comme valeur médiane la moyenne de ces deux valeurs.

Soit : Médiane Marrakech : 14 + 17

2 = 15,5

CORRECTION

9 Soit : Médiane Point-à-Pitre : 58 + 64

2 = 61 b) Pour Marrakech :

• 20% en moins de 12,7 = 12,70,8 = 10,16

• 20% en plus de 12,7 = 12,7  1,2 = 15,24

1 seule valeur est comprise entre 10,16 et 15,24 : 14 Pour Point-à-Pitre :

• 20% en moins de 67,1 = 67,10,8 = 53,68

• 20% en plus de 67,1 = 67,11,2 = 80,52

4 valeurs sont comprises entre 53,68 et 80,52 : 55 – 58 – 64 – 70

On donne B = (-2x + 1)² - 3(-2x + 1)(x – 2).

c) Développer et réduire B.

d) Démontrer que l’expression factorisée de B est : B = (-2x + 1)(-5x + 7).

a) B = (-2x)² + 2 (-2x) 1 + 1² - 3(-2x x – 2x (-2) + 1 x - 1 2) B = 4x² - 4x + 1 – 3(-2x² + 4x + x – 2)

B = 4x² - 4x + 1 – 3(-2x² + 5x – 2) B = 4x² - 4x + 1 + 6x² - 15x + 6 B = 10x² - 19x + 7

b) B = (-2x + 1)[(-2x + 1) – 3(x – 2)]

B = (-2x + 1)(-2x + 1 – 3x + 6) B = (-2x + 1)(-5x + 7)