Série n° 7

Série n° 7 d’exercices Corrigés sur « les intégrales et 2éme Bac S.M les sommes de Reimann »

Exercice 1

A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous :

∎

1

n n

k

a k

 n n





∎ ₂

1

1 sin

2

n n

k

b k k

n n









∎ ₂

1

1

n k n n

k

c ke

n









Correction Exercice 1

∎

1

n n

k

a k

n n







Si l’on pose ^{f x}

 

^{ x pourx}

 

^0;1 , on a : encore

1 1 1

1 1

n n n

n

k k k

k k k

a f

n n n n

 n n  













    . Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^{0;1 , donc}

1

1 1 3 1

1 2

2

1 0 0

0

1 2 2

lim lim = =

1 1 3 3

2

n

n n n

k

k x

a xdx x

n n



  

 

   

      

    

 

 

Donc : 2

lim ⁿ 3

n a

 

∎ ₂

1

1 sin

2

n n

k

b k k

n n









Si l’on pose

 

^sin

2

f x x x pour ^x

 

^{0;1 , on a :}

1

1

n n

k

b f k

n  n





    Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^{0;1 , donc :}

 

1 1 0

lim lim 1 = sin

n

n n n

k

b f k x x dx

n n

  





   



Pour calculer ¹

 

0xsin x dx



; on intègre par parties.

En posant

   

   

sin 2 1 2cos

2

u x x et v x x

u x et v x x







 

    

 

     













on obtient d’où : ₀¹

 

¹ ₀¹

0

2 2

sin cos cos

2 2

x x x

x x dx   dx

 

     

       

 

1

0

2

2 2sin 2 4

x

 



  

   



Par suite : lim _n ⁴₂

n b



  .

1 ^{n k}



Si l’on pose ^{f x}

 

^{xex pour x}

 

^{0;1 , on a :} ₂

1 1 1

1 1 1

= =

k k

n n n

n n

n

k k k

k k

c ke e f

n n n n n

 

  

   

  

  ^.

Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur

 

^{0;1 , donc :} 2 0¹ 1

lim lim 1 =

n k n x

n n n

k

c ke xe dx

n

 

  



 

Pour calculer ¹

0

xe dx^x



; on intègre par parties.

En posant

   

 

 

1

x x

u x x et v x e

u x et v x e





  

   





on obtient d’où :

_

₀^{1xe dxx  }_ ^xex_¹₀^

_

₀¹

 

^{ex dx}

1 1

0

1 1

1 1 2

e e x

e e

e

 

 

 

    

   

 

Par suite : lim _n 1 ²

n c

  e. Exercice 2

En utilisant les sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes:

∎

2 1

0

1

2 3

n n

k

a n k









 ∎

1 2 0

1 cos

n n

k

b k

n n







 

  

 



∎

2 2

2 1

n n

k

n k

c _ n







∎

2

n n

k n

d k









∎

2

sin

n n

k n

e k









    ∎

2

3 3

1

n n

k

f n k

n k



 





∎ ²

4 2

1 n k

n n

k

g n k^







Série n° 8 d’exercices sur « les intégrales et 2éme Bac S.M les sommes de Reimann »

Exercice 1

En utilisant les sommes de Riemann, calculer la limite (si elle existe) :

1

2 2

0

sin

n

k

n n k





 

  

 



Exercice 2

On pose, pournIN^ , 1 2 3 · · ·

n

S n

n n

   

 .

1) Trouver une fonction ^{f : 0;1}

 

^IR continue positive telle que

1

1

n n

k

S f k

n _ n





    ^. 2) Calculer lim _n

n S

 . Exercice 3

Soit 𝑥 un réel strictement positif.

1. Montrer que :

1

0

1 1

lim =

kx x

n n

n k

e e

n x



 





2. En déduire, pour toutx0, la relation

0^xe dt^t  e^x 1



Exercice 4

Etablir les propriétés suivantes à l’aide de changements de variable simples.

a) Si f est une fonction continue de

 

^{a b; dansIR , b}

 

^b

 

a f x dx a f a b x dx

 

^.

b) Si f est une fonction continue de



^1;1



^{dans IR,}



₀^{2 f}



^{cosx dx}



^



₀^{2 f}



^{sinx dx}



c) Si f est une fonction continue de



^1;1



^{dans IR,} ₀



^sin



₀



^sin



₀²



^sin



xf x dx 2 f x dx f x dx

    

  

^.

Application. Calculer ₂

0

sin 1 cos

x x

xdx





 ^.

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes : a) ¹

0 1

x x

e dx

e^ 



b) ₄



²



0

cos 1 tan sin cos

x x

x x dx

 



 c) ⁵

 

²

 

0^sin x cos x dx



d)

 

 

21 0 13

cos 1 sin

x dx

x





 e)

1 3 0

2 1

x dx

x

  

  

 



f)

2

2

sin 1 cos

x dx x



 



g)

1 2 0 2

arctan 1

x x

x dx





Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes :

a)

 

1 0 2

1

x x

e dx

e^ 



b)

 

4 0

1

cos sin cos dx

x x x





 c) ³

 

⁴

 

0^sin x cos x dx



d)

 

 

79 0 15

cos 1 sin

x dx

x





 e)

3 1

0

3 2

x dx

x

  

  

 



f)

2 2 0

cos 1 sin

x dx x







g) ¹

 

²

0x arctanx dx



Exercice 7

On pose pour tout entier n0 : ¹

0 1 ⁿ

n x

u 



 dx^. a) Etudier la monotonie de la suite

 

un .

b) Etablir que, pour tout x de

 

^0;1 , on a les inégalités1 1 1 2

n

n n x

x x

     .

c) En intégrant les inégalités ci-dessus entre 0 et 1, déduire que la suite



n u



n¹

 

est bornée.

Exercice 8

a) Montrer que pour tout entier k 0 on a : ^{k 1} 1 1

k dx

x k

 



^.

et que, pour tout entier k 1,

1

1 ^k 1

k dx

k 



^ x ^. b) En déduire que la suite

 

un n_1 définie par :

1

1 2

n n

k

u n

k







 , est convergente, et que sa limite ℓ vérifie

2 1

    . Exercice 9

Soit F la fonction définie sur IRpar :

 

² ₄ ¹₂

4

x

F x x dt

t t





  ^. a) Montrer que F est une fonction impaire.

b) Montrer que la fonction F est dérivable puis calculer ^{F x}

 

pour x réel et déterminer le signe de ^{F x}

 

^.

c) Montrer que pour toutx0, on a les inégalités⁰

 

_{4 2}

4 F x x

x x

 

  .

d) Déduire de ce qui précède que la fonction F est bornée sur IR et donner un majorant irrationnel de F . Tracer approximativement le graphe de F

Exercice 10

Soit f une fonction continue de IR dans IR. Montrer que les fonctions F définies ci-dessous sont dérivables et calculer F ′ (x).

a)F x

 





^b f x t







cos t dt b)^{F x}

 

^

_

^{b f x t}



^

 

^{1 t2 sin t dt}



^.

Exercice 11

Calculer la dérivée des fonctions F définies sur IR par :

a) ^{F x}

 

^



₃^x_x²_^₁^{1e t x 2dt} b) ^{F x}

 

^



₂^x_x²_^₁^{2e t x 2dt}

Exercice 12

Calculer la limite des suites définies ci-dessous.

a) ⁴ⁿ1 ^t

n n

u e dt

t

 





b) ^{n 1}1 ^t

n n

v e dt

t

  





^.

Exercice 13

Calculer la limite des suites définies ci-dessous.

a)

2 2

2 arctan

n

n n

x

u ndx





x b)

4 2

arctan ln

n

n n

x

v ndx

x x





^.