polyn6mes 60

Les polyn6mes

ａ＞ り ｃ︐

1

1

1

:

J.

・

・ l

l

l

l

・.       I

0=ノ

2+だ  ￨

・        ・●       1

1‑― ^{― ― ― ― ― ― ―}

1

1  ^ ..・ l

「 古 ・ 贅 ・ 」 オ ノ

.…r:1… ..・・・・

I

x2̲2x

γ二 60

・

・●        ・.        1

・ ●..        ..   1

・....      .. ]

・・・ ...・

・ ::°1:.・

Valeur num6rique d'un ^polyn6me R6duire et ordonner des polyn6mes Op6rations avec des polyn6mes

a) Valeur num6rique d'un polyn6me

m ca:cuie:a valeur num6面 que de chaque expression pour x=...

∽ＯＥＯｃメ

一 Ｏコヽ∽Φー９α

一 α

０一

k                 l

/56

P①

 =‑2∂ +7x2+5x‑2

P←3)=‑2・ (‑3)3+7・ (‑3)2+5・(‑3)‑2

=54+63‑15‑2=100

３       ４

P(X)=.…

Ｓｉ   χ

Si χ=‑2

一      一

讀

一          一

Si χ=A/2

χ

2

教 +3 3x‑2

‑4x+1

x2̲1

9ρ +χ

x2+鉄 +2

2x2̲χ̲5

‑3x2+4x‑1

2x3̲χ2+3'

D∂‑2ノ +χ

f―^χ+3

⊇生_+χ‑2

x4̲2χ2+:

一      一

r

b) Reduire et ordonner des polynomes

赫 R6duis et ordonne les po:ynOmes suivants.Donne:eur deg ,dis s'i:s sont

complets ^(C) ou incomplets ^(l).

1) A(x;

:

-7x

2) B(,x) = -10

-2x

-7x

3) C(y)

--3-aY-2Y+Y3+1

4) D(m)

:3m2-7m-6+m2 -3m

5) Em

:

-3

6)

F(, :;-5x6 _-

*t

7) G(a)

:2a2-(a2+4a)+2aa-7a-1

8) H(y) :By3+ 100y-

(aoy'-25)- 8yt-5

∈コロロ

1)(3x4̲4χ +2)― (χ4+2x‑5)

2)7a― (a‑5a2+1)+(‑3a2+2)

のＯＥＯｃゝｂＱの︒コーせ０

メ一 ａ一０︒ 一

￨

3a3̲(5a2̲7‑(a3̲2)+4a2)

=3a3̲5a2+7+a3̲2‑ ²

=4a3̲9a2+5(polynOme inCOmplet de d99に ³⁾

/10

3)(5χ4̲2χ 2+3χ

)― (‑2χ4+3)+7χ2̲10χ

4)‑3a2̲(2a― a2̲7)+8a― _(a3̲9)

5)2y― (‑4y+5y4)+3/3̲(4/4̲1+5/2)

＋χ ２χ χ 一

＋２

ノ ３一

＋

う

χ 一

↑

  ６

7)8b3̲[̲5b2̲(3b‑6)+2わ 3̲b]̲3b5

8)3‑(χ^2̲(2χ _+1))一

[3χ2̲(χ +2)‑7]

9)一[‑3a2̲(5a3+2a― (a2̲1)+3)]

∽ｏＥＯＣ︑

一 〇 ０∽Φコー寸ｏヽαＯこい︶

10)―

(ギ

16m2̲2177‑(:+m3)̲:+2子

c) Operations avec des polynomes

1. Addition, soustraction, multiplication

NB: Pour la facilit6 des exercices, on ordonnera toujours ^en fonction des puissances d6croissantes de la variable.

m Effectueetr6duisie po:ynOme obtenu.

1) (4x2

-

- 7):

3)(y2̲y+1)(y+2)=

Oυ

♂

♂ )「 罰

一 Ｏ３１寸∽９α

一 α

０一４．

i

十一」

Alxl=2x3̲χ

2̲10  et  Bα

Ao+Blxl=2x3̲/̲10+x3+/

=3x3̲10

Alprl一 Bω =2x3̲x2̲10̲(X3+χ ²⁾

=2x3̲χ2̲10̲x3̲χ²

=χ3̲7̲10

)

Ao・ Bω

 =(黎

「

二χり

=2ガ^{ーガ ー1飲}3+2x5̲ノ ̲1屎

=2x6+χ5̲ノ ̲10x3̲10x2

/10

degr6 3 ; incomplet

degr6 3 ; incomplet

degr6 6 _; incomplet

5)(‑7b2̲6)(9b4̲8b3)=

Ⅲ

け― 罰

7)(0,213̲0,l r2)(0,11‑2)=

8)(2‑χ^3)(4χ4̲3χ ―χ‑4χ4̲9)=

動lχ

‑1は

'十

10)(3A/2‑a2̲1)(A/2‑2aA/2)=

∽ＯＥＯＣ︑

一 Ｏ α∽０コー寸ΦヽＱい二 わ一

晨瓢冊邸墨 voici 6 polynOmes en χ R6duis,Ordonne et Ca!cule(ROC).

Aω =2χ2+1̲χ =̲  ̲̲̲̲

B∞ =̲χ2+争 +2=̲

Cω =2‑5χ ^{tt χ2+2χ 一χ2=̲、}

D"=4χ 3̲5χ ‑3χ3̲2= ̲̲̲

Eω

=1‑歩

Fω

=:‑2χ

:χ

3+χ 4+χ2=̲

― ‑1

/20

1)A(x)+D(x)

3)A(χ)+C(χ )+D(χ)

4)3B(χ₎

5)‑7D(χ₎

6)B(χ_)一A(χ₎

7)E(χ)‑2D(χ)

嘲 一 ５

８

∽Ｏ Ｅ Ｏｃ 一Ｏメ α

∽Φ コ ー ヽ ９ 一Ｑ ０ 一

2)A(χ)+ B(χ)

9)一^E(χ)

10) -aE(x)

11)A(χ_).C(χ)

12)‑5C(χ )D(χ)

13)F(χ_)一 E(χ₎

14)A(χ)+D(χ)一 ^F(χ)

15)(C(χ₎₎₂

16)3A(χ)‑2D(χ)

∽Φ´ヒＯＣ≧ＯαのＱコ︲ヽハこＯＣ０

17)一A(χ)一 ^B(χ)一 C(χ)

18)一B(χ_)・ E(χ)

19)A(χ_)・A/2

20)E(χ_)・v菌

・  ffeCtue en app!iquantles produits remarquables vus en 2e ann6e.     ^‐  /14

1)(3ab‑7a2)2=

2)(::m4+2n312=

3)(:χ5̲:y3)2=

4)(‑1 l a3b2̲7a2b3)2=

5)‑2(6χ5̲9y8)2=

6)‑3a(:a3+￨:b5c2)2=

８Ｅ ２︑一＆

φ３ １ヾ 翼 一９ ｒｏ

7) (5x2

-

*

(2a2+3b3)2=4a4+12a2b3+9b6 (5x3̲7xプ)2=25x6‑70だ/+49x2y8 (3a2̲2b)(3a2+2b)=9a4̲4b2

(12a3b2̲10a2b9)(12a3b2+10a2ゎ 9)=

9)

10)

11)

12)

13)

14)

(:m7+;ρ

81(;ρ8̲::r77)=

‑2(15χ10‑1 3yll)(15χ 10+13/11)= ̲̲ ̲̲

a2b(̲6a3̲7b5)(̲6a3+7b5)=

(‑0,2χ3y7̲0,3χ2y5)(̲0,3χ2y5+0,2χ 3/7)=

2(χ4̲y5)2̲(χ4+/5)(χ4̲y5)=

部 ^2助 γ

♂ +初

G目

日

1)(a5̲3)(a3̲a2̲2)=

2)‑5χ^2(χ3̲5+2χ 2)̲4χ3(χ2̲2χ +1)=

3)(a‑2)(a+2)‑3a(5‑a2+2a)=

∽ＯＥＯｃメ

一 Ｏ αのｏコーヽΦヽαＯこい二 一

4) 2(9y

-7)'-

-

:

/12

取(χ ‑1)(χ +1)‑3x2(2+χ_{)‑3x2̲2(χ} +1)

=4χ(x2̲1)̲6x2̲3x3̲3x2̲衣 ̲2

=4x3̲取 ̲6x2̲3x3̲3′ 二 数 ‑2

=χ3̲9x2̲6x‑2

5)‑2(2χ +4)(5‑3χ )+(x‑1)2=

6)(3b‑2)(3b+2)‑3(b‑1)2=

7)5(3χ +A/2)(3χ ‑3/2)‑4(χ +6)2=

B) 9x3(3

-

-

1):

9) ^(7a

-

-

-

:

lo)(2χ ^―(3‑χ^2)).3χ2+6(χ4̲(2x3̲1))=

11)5(‑2y‑1)(1‑2y)‑4(y‑2)2+2y2̲4=

0は

→

^m2̲m+→

∽Ｏ Ｅ ＯＣ 一０︑ こ のΦ コ ー ヽ ９ 一一Ｑ こｏ ０ 一 タ

ヨ ―        ^」

Ettectue en passant par:e car diun binOme ou en u■ :isant:a formule du cube d'un bin6me.

R6f6rence : (a + b)s

:

Rёfёrence:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

m Effectue.

1)(3m+2月₎₃₌

2)(l oa‑6b)3=

鋤 (4x‑5y)3=

4)(2a2+5b3)3=

5)― (a5b7̲a3b4)3=

6)(2a3b+3a2b4)3=

のＯ Ｅ Ｏ Ｃゝ ｂ

α

∽Φ コ ー ヾ ９ 夕一Ｑ

０ 一

/6

∈固ID MuLip:ication de 2 pOlynOmes avec tab:eau.Effectue.

Complite le tableau et trouve le polynOme r6duit.

=)(χ ‑2)(3χ 2̲χ ̲1)=

⇒_(χ +2)(χ3+3χ 2+χ ̲3)=

∽ΦＥＯｃゝＯα∽ΦコーヽＰ

一 Ｑ

０ 一 一

=(-2x2 ^{+ 5x}

-

:

x2 ‑2x

χ

ν つ

2

び

色 ︲

⇒ いの 仔 一 数 十 ⇒ ^=bゝ

/5

⇒←γ +5x‑4)lx2̲χ +2)=

⇒

2̲0.げ

 l)=

2.M6thode de la division euclidienne

m ParqudblslVaに

ndL?

1)Pω =χ²

P(  )=

2)P(yl=/2 P(  )=

‑4/+4=0

3)Pω =x4̲χ^{3̲2χ 2+5χ} ‑3=0

∽ｏＥＯｃ︑Ｏα∽ｏコーヽ９

一 α

０ 一 

P(  )=

P(xl=x2̲10x+25

Dv 25=← tp̲Q2Q一 劉

P(5)=(5)2̲10(5)+25 P(5)=25‑50+25=回

=0 /10

4)Pla)=a2+12a+36=0

P(  )=ヽ_{̲̲̲ヽ̲―ヽ一―̲――‐}

5)P(yl=/2+6y+5=0 P(  )  P(  )=̲̲̲̲

6)Pla)=a2+a 6=0 P( ) P( )=̲̲̲

7)Po=2χ ^3̲5χ ‑6=0 P( )=̲  ̲̲̲̲

PO=/3+y2̲2y‑2=0 P( )=̲̲̲̲̲̲―  _― Pla)=a3+5a2+8a+4=0 P( )= ̲̲̲

10)Pω _{=5χ 3̲4χ}2+9=0 P( )=̲  _、̲

GttD EFeaueに sd」

∽ΦＥＯＣ︑

一釧一Ｏコせ０ 一 ∽Φー０﹂Ｑα Conclusion:

Dlxl=(3x+2)・ ●²

3x+2

0=Reste(Ro)

+数

Dlxl=3x3+〔レ2+χ̲2

d●)=3x+2

q夕)=?

rO=?

3x3+8x2+χ ̲2

γ +χ

― ア ー 収

‑3x‑2 +3x+2

ldiVidendel (diViSeurl (quOtient) (reStel

X2+数 ‑1

division exacte

■ ｌ ｆ ｌ

︐ １ １ １ こ

⁚ ｌ ｉ ｌ

■ １

︐ １ １ ３ １ １ 卜 ｔ ｌ ｌ ｌ ご １

︐ １ ５

︐ １ １ 可 ｌ ι ｌ ｌ ｌ 2)

3)

4)

5)

6)

Prends soin de compl6ter ^et d'ordonner ^les polyn6mes ^!

m

si c'estle cas,d rrnine le quotient paria rnttode dne de HOrner et ensuite la conclusion.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

/6 ecris

８ ＯＥ 長 一ａ ３の 寸１ 豊 吾 ｏ 一 曖

2x3+3x2̲5x‑3

2x4̲3x3̲7χ^2+10χ ̲8 3x3̲20x2+8

6x4+9χ^{2+7χ ‑7χ}3̲10

‑5+13χ 2̲12x3+12x

2x+1 x2̲2x

‑2+3χ

χ+2x2

‑3χ +1 x‑5

3. Division par (x-a) (m6thode dite de Horner)

x3̲5χ2+12x‑12 4+3χ^3̲χ ̲2x2

2x4̲6x3̲2χ^2+1lχ ̲15

̲χ +χ2̲20 x3+8

3χ4̲2χ 2+χ ̲2

x‑2 x+1

χ‑3

χ+4

χ+2 X‑1

/6

χ‑2

. I g 2 1 I o

Conclusion:3x3̲4x2̲3x‑2=(χ ^‑2)。 (3x2+2x+1)

Le polynOme est exactement divisible par  χ‑2.

Dlxl

P●₎ Conclusion