A225 : 5 fois 17
Voici 5 miniatures qui font intervenir le nombre 17.
1) parmi 17 nombres entiers distincts choisis dans l’ensemble des entiers naturels de 1 à 25, démontrer qu’il y en a toujours au moins deux p et q tels que le produit pq est un carré parfait.
2) parmi 17 réels distincts, démontrer qu’il y a en toujours au moins deux p et q tels que 0 < < 2.
3) démontrer que pour tout entier p positif, n’est jamais divisible par 17. Nota : l’exposant de 2 est . 4) trouver une séquence d’entiers consécutifs tous positifs la plus longue possible telle que la somme des chiffres de chacun d’eux n’est jamais divisible par 17.
5) trouver une progression arithmétique de 17 nombres entiers tous positifs dont le produit est la puissance 2009 d’un entier.
1) On peut subdiviser l’ensemble des nombres de 1 à 25, en un ensemble C de cinq carrés parfaits (1, 4, 9, 16 et 25), les produits de ces nombres entre eux étant des carrés parfaits, et un ensemble complémentaire D de 20 éléments, composé d’un trio (2,8,18), de trois couples (3,12) (5,20) (6,24) et de 11 autres éléments. Dans un ensemble de 17 nombres, il y en a au moins deux dans l’ensemble C, ou au moins 16 dans l’ensemble D, donc au moins 5 parmi les 9 éléments des trois couples et du trio: nécessairement un couple, ou deux éléments du trio, dont le produit est un carré parfait.
2) La fonction arctan fait correspondre à tout réel un nombre entre -π/2 et π/2.
D’après le principe des tiroirs, sur 17 nombres dans cet intervalle, il y en a au moins 2, a≥b, tels que 0<a-b≤π/16, et 0<tan(a-b)≤ tan(π/16)<0,2 ; si p=tana, q=tanb, tan(a-b)= (tana-tanb)/(1+tana*tanb), et 0<10(p-q)/(pq+1)<2.
3) 2^3p=2^(3*3p-1)=(2^3p-1)3 . 23=8, 83=512=2 (mod 17), et ainsi de suite, donc 2^3p +1 est congru à 3 ou 9 modulo 17, suivant la parité de p, et n’est donc jamais divisible par 17.
4) Il y a un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 17, entre 100k et 100k+79, de même entre 100h+20 et 100h+99. Il peut donc ne pas y en avoir entre 100h+21 et 100h+99 et entre 100k et 100k+78 avec h=-2 k=1 mod 17;
100h+20, et 100k+79 s(h)+2 et s(k)+16 avec k=h+1 , divisibles par 17 de 999999999999921 à 1000000000000078.
5) Le produit des termes de la progression x, 2x, ...,17x est x17*17!
Or 17!=215*36*53*72*11*13*17, il faut donc prendre x=2a*3b*5c*7d*(11*13*17)e, avec 17a+15, 17b+6, 17c+3, 17d+2, 17e+1 divisibles par 2009 : ces congruences sont solubles puisque 17 est premier avec 2009, avec, par exemple a=590,
b=236, c=118, d=1418, e=709.
