A310 - Les nombres automorphes Solution
Les seuls nombres automorphes à 1 chiffre sont 1,5 et 6.
Les nombres à 2 chiffres se terminant par 1 ne sont plus automorphes car le chiffre des
dizaines de (10*a1)2=100*a2+20*a +1 est égal au dernier chiffre de 2*a et ne peut jamais être égal à a. Tous les nombres de la forme 10*a+5 ont leurs carrés qui se terminent par 25.
En conséquence 25 est le seul nombre automorphe à 2 chiffres se terminant par 5. De la même manière on vérifie que 76 est le seul nombre automorphe à 2 chiffres se terminant par 6.
Quand on passe aux nombres à 3 chiffres, on constate que tous les termes de la forme 100*a+25 ont leurs carrés se terminant par 625 et parmi tous les termes de la forme
100*a+76, seul 376 a son carré qui se termine par lui-même. En résumé 625 et 376 sont les seuls nombres automorphes à 3 chiffres.
En poursuivant l’analyse pas à pas, on obtient le tableau ci-après des nombres automorphes se terminant par 5 et 6 et qui ont de 1 à 12 chiffres :
nombre
de chiffres a a
1 5 25 6 36
2 25 625 76 5 776
3 625 390 625 376 141 376
4 9 376 87 909 376
5 90 625 8 212 890 625
6 890 625 793 212 890 625 109 376 11 963 109 376
7 2 890 625 8 355 712 890 625 7 109 376 50 543 227 109 376
8 12 890 625 166 168 212 890 625 87 109 376 7 588 043 387 109 376
9 212 890 625 45 322 418 212 890 625 787 109 376 619 541 169 787 109 376
10 8 212 890 625 67 451 572 418 212 890 625 1 787 109 376 3 193 759 921 787 109 376 11 18 212 890 625 331 709 384 918 212 890 625 81 787 109 376 6 689 131 260 081 787 109 376 12 918 212 890 625 843 114 912 509 918 212 890 625
nombres se terminant par 5 nombres se terminant par 6
a2 a2
